Rips Complexes

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.17.6%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20nav_menu%20%3D%20mo.nav_menu(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Findex.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Ahome')%7D%20Home%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20orientation%3D%22vertical%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20nav_menu%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Vietoris-Rips%20Complex%3A%20Constructing%20Simplicial%20Complexes%20from%20Point%20Clouds%0A%0A%20%20%20%20Topological%20data%20analysis%20provides%20a%20way%20to%20study%20the%20%22shape%22%20of%20data.%20At%20the%20heart%20of%20TDA%20lies%20the%20idea%20of%20building%20simplicial%20complexes%20from%20finite%20sets%20of%20points%20in%20metric%20spaces.%20In%20this%20notebook%2C%20we%20focus%20on%20one%20of%20the%20most%20widely%20used%20constructions%20in%20practice%3A%20the%20Vietoris-Rips%20complex.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Why%20Vietoris-Rips%3F%0A%0A%20%20%20%20There%20are%20multiple%20ways%20to%20build%20simplicial%20complexes%20from%20data%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20The%20%C4%8Cech%20complex%20is%20defined%20via%20the%20nerve%20of%20balls%20around%20points%3A%20for%20each%20point%20%24p_i%24%2C%20consider%20a%20closed%20ball%20%24B_r(p_i)%24%2C%20and%20include%20simplices%20whenever%20the%20intersection%20of%20balls%20is%20non-empty.%20However%2C%20directly%20checking%20for%20these%20intersections%20is%20computationally%20expensive%3B%0A%20%20%20%20-%20The%20Vietoris-Rips%20complex%20provides%20a%20simpler%2C%20purely%20combinatorial%20approximation%20that%20can%20be%20built%20directly%20from%20pairwise%20distances.%0A%0A%20%20%20%20In%20most%20real-world%20TDA%20applications%2C%20the%20Vietoris-Rips%20complex%20is%20used%20because%20it%20is%20straightforward%20to%20compute%2C%20even%20in%20high%20dimensions.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Formal%20Definition%3A%20Vietoris-Rips%20Complex%0A%0A%20%20%20%20Let%20%24(P%2C%20d)%24%20be%20a%20finite%20metric%20space%2C%20where%20%24P%24%20is%20a%20set%20of%20points%20and%20%24d%24%20is%20a%20distance%20function.%0A%0A%20%20%20%20Given%20a%20scale%20parameter%20%24r%20%3E%200%24%2C%20the%20Vietoris-Rips%20complex%20%24%5Cmathbb%7BVR%7D%5Er(P)%24%20is%20the%20simplicial%20complex%20where%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20Each%20point%20%24p_i%20%5Cin%20P%24%20becomes%20a%20%240%24-simplex%20(vertex)%3B%0A%20%20%20%20-%20Any%20collection%20of%20points%20%24%5Clbrace%20p_%7Bi_0%7D%2C%20p_%7Bi_1%7D%2C%20%5Cdots%2C%20p_%7Bi_k%7D%20%5Crbrace%24%20spans%20a%20%24k%24-simplex%20if%20and%20only%20if%20%24%24d(p_%7Bi_a%7D%2C%20p_%7Bi_b%7D)%20%5Cleq%20r%20%5Ctext%7B%20for%20all%20pairs%20%7D%20a%2C%20b.%24%24%0A%0A%20%20%20%20In%20other%20words%2C%20a%20simplex%20is%20included%20whenever%20all%20of%20its%20edges%20are%20%E2%80%9Cshort%20enough%E2%80%9D%20relative%20to%20the%20chosen%20radius%20%24r%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Code%20Structure%0A%0A%20%20%20%20In%20this%20notebook%2C%20we%20define%20a%20%60VietorisRipsComplex%60%20class%20that%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20Accepts%20a%20point%20cloud%3B%0A%20%20%20%20-%20Computes%20the%20Vietoris-Rips%20complex%20at%20any%20chosen%20scale%3B%0A%20%20%20%20-%20Supports%20visualization%20in%20both%202D%20and%203D.%0A%0A%20%20%20%20We%20fully%20separate%20the%20mathematical%20logic%20of%20complex%20construction%2C%20the%20visualization%20logic%20(with%20both%20static%20and%20interactive%20options)%2C%20and%20the%20class%20supports%20arbitrary%20distance%20metrics%20via%20the%20%60scipy.spatial.distance%20package%60.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20import%20itertools%0A%20%20%20%20from%20mpl_toolkits.mplot3d.art3d%20import%20Poly3DCollection%0A%20%20%20%20from%20scipy.spatial%20import%20distance%0A%20%20%20%20import%20plotly.graph_objs%20as%20go%0A%20%20%20%20import%20plotly.io%20as%20pio%0A%0A%20%20%20%20pio.templates.default%20%3D%20%22plotly_white%22%0A%0A%20%20%20%20class%20VietorisRipsComplex%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20def%20__init__(self%2C%20point_cloud%2C%20max_dimension%3DNone%2C%20metric%3D%22euclidean%22)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.points%20%3D%20np.array(point_cloud)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.n%20%3D%20len(self.points)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.dim%20%3D%20self.points.shape%5B1%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.max_dimension%20%3D%20max_dimension%20if%20max_dimension%20is%20not%20None%20else%20self.dim%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.metric%20%3D%20metric%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.distance%20%3D%20distance.cdist(self.points%2C%20self.points%2C%20metric%3Dself.metric)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.rips_complex%20%3D%20None%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20def%20compute_rips_complex(self%2C%20radius)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20simplices%20%3D%20%5B(i%2C)%20for%20i%20in%20range(self.n)%5D%20%20%23%200-simplices%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20k%20in%20range(2%2C%20self.max_dimension%20%2B%202)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20simplex%20in%20itertools.combinations(range(self.n)%2C%20k)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pairs%20%3D%20itertools.combinations(simplex%2C%202)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20all(self.distance%5Bi%2C%20j%5D%20%3C%3D%20radius%20for%20i%2C%20j%20in%20pairs)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20simplices.append(simplex)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.rips_complex%20%3D%20simplices%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20simplices%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20def%20plot_complex(self%2C%20radius%2C%20interactive%3DFalse%2C%20box_aspect%3D%5B1%2C%201%2C%201%5D)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20simplices%20%3D%20self.compute_rips_complex(radius)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20interactive%20and%20self.dim%20%3D%3D%203%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self._plot_3d_interactive(simplices%2C%20radius)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20elif%20self.dim%20%3D%3D%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self._plot_2d(simplices%2C%20radius)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20elif%20self.dim%20%3D%3D%203%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self._plot_3d(simplices%2C%20radius%2C%20box_aspect)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(%22Only%202D%20or%203D%20supported.%22)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20def%20_plot_2d(self%2C%20simplices%2C%20radius)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fig%2C%20ax%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(8%2C%208))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ax.scatter(self.points%5B%3A%2C%200%5D%2C%20self.points%5B%3A%2C%201%5D%2C%20color%3D%22r%22%2C%20s%3D10)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20simplex%20in%20simplices%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pts%20%3D%20self.points%5Blist(simplex)%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20len(simplex)%20%3D%3D%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ax.plot(pts%5B%3A%2C%200%5D%2C%20pts%5B%3A%2C%201%5D%2C%20%22b-%22%2C%20lw%3D1)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20elif%20len(simplex)%20%3D%3D%203%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20polygon%20%3D%20plt.Polygon(pts%2C%20facecolor%3D%22green%22%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ax.add_patch(polygon)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ax.set_title(f%22Vietoris-Rips%20Complex%20(radius%3D%7Bradius%7D)%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ax.set_aspect(%22equal%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20plt.show()%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20def%20_plot_3d(self%2C%20simplices%2C%20radius%2C%20box_aspect)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fig%20%3D%20plt.figure(figsize%3D(10%2C%208))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ax%20%3D%20fig.add_subplot(111%2C%20projection%3D%223d%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ax.scatter(self.points%5B%3A%2C%200%5D%2C%20self.points%5B%3A%2C%201%5D%2C%20self.points%5B%3A%2C%202%5D%2C%20color%3D%22r%22%2C%20s%3D5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20simplex%20in%20simplices%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pts%20%3D%20self.points%5Blist(simplex)%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20len(simplex)%20%3D%3D%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ax.plot(pts%5B%3A%2C%200%5D%2C%20pts%5B%3A%2C%201%5D%2C%20pts%5B%3A%2C%202%5D%2C%20%22b-%22%2C%20lw%3D1)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20elif%20len(simplex)%20%3D%3D%203%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20tri%20%3D%20Poly3DCollection(%5Bpts%5D%2C%20alpha%3D0.3%2C%20facecolor%3D%22green%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ax.add_collection3d(tri)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ax.set_title(f%22Vietoris-Rips%20Complex%20(radius%3D%7Bradius%7D)%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ax.set_box_aspect(box_aspect)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20plt.show()%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20def%20_plot_3d_interactive(self%2C%20simplices%2C%20radius)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20vertices%20%3D%20go.Scatter3d(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dself.points%5B%3A%2C%200%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dself.points%5B%3A%2C%201%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20z%3Dself.points%5B%3A%2C%202%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22markers%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(size%3D3%2C%20color%3D%22red%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20edges%2C%20faces%20%3D%20%5B%5D%2C%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20simplex%20in%20simplices%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pts%20%3D%20self.points%5Blist(simplex)%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20len(simplex)%20%3D%3D%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20edges.append(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter3d(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5Bpts%5B0%2C%200%5D%2C%20pts%5B1%2C%200%5D%2C%20None%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5Bpts%5B0%2C%201%5D%2C%20pts%5B1%2C%201%5D%2C%20None%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20z%3D%5Bpts%5B0%2C%202%5D%2C%20pts%5B1%2C%202%5D%2C%20None%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22blue%22%2C%20width%3D2)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20elif%20len(simplex)%20%3D%3D%203%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20faces.append(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Mesh3d(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dpts%5B%3A%2C%200%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dpts%5B%3A%2C%201%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20z%3Dpts%5B%3A%2C%202%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22green%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20opacity%3D0.4%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x_range%20%3D%20%5Bself.points%5B%3A%2C%200%5D.min()%20-%201%2C%20self.points%5B%3A%2C%200%5D.max()%20%2B%201%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y_range%20%3D%20%5Bself.points%5B%3A%2C%201%5D.min()%20-%201%2C%20self.points%5B%3A%2C%201%5D.max()%20%2B%201%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20z_range%20%3D%20%5Bself.points%5B%3A%2C%202%5D.min()%20-%200.5%2C%20self.points%5B%3A%2C%202%5D.max()%20%2B%200.5%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fig%20%3D%20go.Figure(data%3D%5Bvertices%5D%20%2B%20edges%20%2B%20faces)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fig.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D1000%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20height%3D800%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20scene%3Ddict(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis%3Ddict(title%3D%22X%22%2C%20range%3Dx_range)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis%3Ddict(title%3D%22Y%22%2C%20range%3Dy_range)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20zaxis%3Ddict(title%3D%22Z%22%2C%20range%3Dz_range)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20aspectmode%3D%22manual%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20aspectratio%3D%7B%22x%22%3A%204%2C%20%22y%22%3A%204%2C%20%22z%22%3A%201%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20camera%3Ddict(eye%3Ddict(x%3D3%2C%20y%3D3%2C%20z%3D2))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fig.show()%0A%20%20%20%20return%20VietorisRipsComplex%2C%20np%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Example%3A%20Vietoris-Rips%20Complex%20on%20a%20Torus%20Point%20Cloud%0A%0A%20%20%20%20We%20generate%20a%20noisy%20sample%20of%20points%20lying%20approximately%20on%20a%20torus%20embedded%20in%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%5E3%24%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np)%3A%0A%20%20%20%20def%20generate_torus(R%3D7%2C%20r%3D1%2C%20m%3D50%2C%20n%3D15%2C%20noise%3D0.1%2C%20seed%3D42)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.random.seed(seed)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20u%20%3D%20np.linspace(0%2C%202%20*%20np.pi%2C%20m)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20v%20%3D%20np.linspace(0%2C%202%20*%20np.pi%2C%20n)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20u%2C%20v%20%3D%20np.meshgrid(u%2C%20v)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%20%3D%20(R%20%2B%20r%20*%20np.cos(v))%20*%20np.cos(u)%20%2B%20np.random.normal(0%2C%20noise%2C%20u.shape)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%20%3D%20(R%20%2B%20r%20*%20np.cos(v))%20*%20np.sin(u)%20%2B%20np.random.normal(0%2C%20noise%2C%20u.shape)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20z%20%3D%20r%20*%20np.sin(v)%20%2B%20np.random.normal(0%2C%20noise%2C%20u.shape)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20list(zip(x.flatten()%2C%20y.flatten()%2C%20z.flatten()))%0A%0A%20%20%20%20point_cloud%20%3D%20generate_torus()%0A%20%20%20%20return%20(point_cloud%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20And%20we%20can%20compute%20and%20plot%20the%20Rips%20complexes%20with%20different%20radius%20parameters.%20As%20the%20radius%20changes%2C%20the%20Vietoris-Rips%20complex%20gradually%20adds%20higher-dimensional%20simplices%2C%20revealing%20information%20about%20the%20underlying%20geometry%20and%20topology%20of%20the%20data.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(VietorisRipsComplex%2C%20point_cloud)%3A%0A%20%20%20%20rips3d%20%3D%20VietorisRipsComplex(point_cloud%2C%20max_dimension%3D2)%0A%20%20%20%20%23%20rips3d.plot_complex(radius%3D.4%2C%20box_aspect%3D%5B4%2C4%2C1%5D)%0A%20%20%20%20%23%20rips3d.plot_complex(radius%3D.6%2C%20box_aspect%3D%5B4%2C4%2C1%5D)%0A%20%20%20%20%23%20rips3d.plot_complex(radius%3D.8%2C%20box_aspect%3D%5B4%2C4%2C1%5D)%0A%20%20%20%20%23%20rips3d.plot_complex(radius%3D1.0%2C%20box_aspect%3D%5B4%2C4%2C1%5D)%0A%20%20%20%20%23%20rips3d.plot_complex(radius%3D1.0%2C%20interactive%3DTrue)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%3Cdiv%20style%3D%22display%3A%20flex%3B%20flex-wrap%3A%20wrap%3B%20gap%3A%2010px%3B%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%3Cimg%20src%3D%22public%2Fcomplex%2004.png%22%20style%3D%22width%3A%20300px%3B%22%2F%3E%0A%20%20%20%20%20%20%3Cimg%20src%3D%22public%2Fcomplex%2006.png%22%20style%3D%22width%3A%20300px%3B%22%2F%3E%0A%20%20%20%20%20%20%3Cimg%20src%3D%22public%2Fcomplex%2008.png%22%20style%3D%22width%3A%20300px%3B%22%2F%3E%0A%20%20%20%20%20%20%3Cimg%20src%3D%22public%2Fcomplex%2010.png%22%20style%3D%22width%3A%20300px%3B%22%2F%3E%0A%20%20%20%20%20%20%3Cimg%20src%3D%22public%2Fcomplex%203d.png%22%20style%3D%22width%3A%20300px%3B%22%2F%3E%0A%20%20%20%20%3C%2Fdiv%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Note%20on%20performance%0A%0A%20%20%20%20The%20code%20presented%20above%20is%20designed%20for%20educational%20clarity%2C%20not%20computational%20efficiency.%20In%20particular%2C%20we%20directly%20enumerate%20all%20possible%20simplices%20using%20brute-force%20combinatorics%20(%60itertools.combinations%60)%2C%20which%20scales%20exponentially%20in%20both%20the%20number%20of%20points%20and%20the%20simplex%20dimension.%20For%20real-world%20datasets%20(especially%20when%20working%20with%20hundreds%20or%20thousands%20of%20points)%2C%20such%20naive%20enumeration%20becomes%20computationally%20infeasible%20even%20for%20moderate%20dimensions.%0A%0A%20%20%20%20For%20this%20reason%2C%20the%20figures%20displayed%20above%20are%20generated%20using%20precomputed%20complexes%2C%20and%20we%20simply%20show%20static%20images%20to%20illustrate%20the%20output.%0A%0A%20%20%20%20In%20practical%20TDA%20pipelines%2C%20highly%20optimized%20libraries%20are%20used%20to%20construct%20Vietoris-Rips%20complexes%20and%20compute%20persistent%20homology%20efficiently.%20Some%20widely%20used%20packages%20include%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20%60GUDHI%60%20(Geometry%20Understanding%20in%20Higher%20Dimensions)%3B%0A%20%20%20%20-%20%60Ripser%60%20(extremely%20fast%20computation%20of%20Vietoris-Rips%20persistent%20homology)%3B%0A%20%20%20%20-%20%60Giotto-tda%60%2C%20...%0A%0A%20%20%20%20These%20libraries%20implement%20sophisticated%20data%20structures%20and%20algorithms%20to%20avoid%20redundant%20computations%20and%20efficiently%20handle%20filtrations%20and%20persistence%20calculations.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Why%20We%20Omit%20%C4%8Cech%20Complex%20Computation%0A%0A%20%20%20%20While%20the%20%C4%8Cech%20complex%20provides%20a%20more%20%E2%80%9Cfaithful%E2%80%9D%20topological%20model%20(via%20the%20Nerve%20Theorem)%2C%20it%20requires%20explicitly%20checking%20intersections%20of%20balls%2C%20which%20becomes%20computationally%20challenging%20even%20for%20moderate-sized%20datasets.%0A%0A%20%20%20%20In%20practice%2C%20the%20Vietoris-Rips%20complex%20is%20widely%20used%20because%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20It%20is%20much%20easier%20to%20compute%3B%0A%20%20%20%20-%20It%20captures%20similar%20qualitative%20topological%20features%3B%0A%20%20%20%20-%20It%20allows%20efficient%20persistence%20computations%20for%20persistent%20homology.%0A%0A%20%20%20%20The%20%C4%8Cech%20and%20Vietoris-Rips%20complexes%20are%20related%20via%20the%20following%20inclusions%3A%20%24%24%5Cmathbb%7BC%7D%5Er(P)%20%5Csubseteq%20%5Cmathbb%7BVR%7D%5Er(P)%20%5Csubseteq%20%5Cmathbb%7BC%7D%5E%7B2r%7D(P).%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20The%20Limitation%20of%20Single%20Radius%20and%20the%20Idea%20of%20Filtrations%0A%0A%20%20%20%20As%20we%20can%20see%20in%20the%20above%20plots%2C%20a%20big%20drawback%20of%20building%20a%20simplicial%20complex%20at%20a%20single%20scale%20parameter%20%24r%24%20is%20that%20the%20resulting%20complex%20depends%20heavily%20on%20this%20arbitrary%20choice.%20If%20%24r%24%20is%20too%20small%2C%20the%20complex%20may%20be%20disconnected%20and%20fail%20to%20capture%20any%20meaningful%20structure.%20If%20%24r%24%20is%20too%20large%2C%20the%20complex%20may%20quickly%20become%20contractible%20and%20lose%20all%20useful%20topological%20information.%0A%0A%20%20%20%20To%20address%20this%2C%20TDA%20works%20not%20with%20a%20single%20complex%2C%20but%20with%20a%20filtration%2C%20a%20nested%20sequence%20of%20complexes%2C%20indexed%20by%20scale%20parameter.%0A%0A%20%20%20%20For%20example%2C%20a%20Vietoris-Rips%20filtration%20is%20a%20family%3A%20%24%24%5Cmathbb%7BVR%7D%5E%7Br_1%7D(P)%20%5Csubseteq%20%5Cmathbb%7BVR%7D%5E%7Br_2%7D(P)%20%5Csubseteq%20%5Ccdots%20%5Csubseteq%20%5Cmathbb%7BVR%7D%5E%7Br_n%7D(P)%24%24%20as%20%24r_1%20%5Cle%20r_2%20%5Cle%20%5Ccdots%20%5Cle%20r_n%24.%0A%0A%20%20%20%20This%20allows%20us%20to%20track%20how%20topological%20features%20(connected%20components%2C%20loops%2C%20voids%2C%20etc.)%20appear%20and%20disappear%20as%20%24r%24%20varies%2C%20a%20process%20known%20as%20persistent%20homology.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Types%20of%20Filtrations%0A%0A%20%20%20%20While%20we%20focus%20here%20on%20Vietoris-Rips%20filtrations%20(built%20from%20distances)%2C%20in%20more%20general%20settings%20TDA%20uses%20various%20types%20of%20filtrations%20depending%20on%20the%20context%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20Vietoris-Rips%20filtration%3A%20built%20from%20pairwise%20distances%3B%0A%20%20%20%20-%20%C4%8Cech%20filtration%3A%20based%20on%20intersections%20of%20metric%20balls%3B%0A%20%20%20%20-%20Alpha%20complexes%3A%20based%20on%20Delaunay%20triangulation%3B%20often%20preferred%20in%20Euclidean%20spaces%20for%20better%20geometric%20approximation%3B%0A%20%20%20%20-%20Witness%20complexes%3A%20approximate%20complexes%20for%20large-scale%20datasets%20using%20a%20subset%20of%20landmark%20points%3B%0A%20%20%20%20-%20Sublevel%20filtrations%3A%20built%20from%20scalar%20functions%20or%20continuous%20measurements%20defined%20on%20a%20space%3B%0A%20%20%20%20-%20Zigzag%20filtrations%3A%20allow%20simplices%20to%20both%20enter%20and%20leave%20the%20filtration%20as%20the%20parameter%20varies%2C%20useful%20for%20dynamic%20or%20time-varying%20data.%0A%0A%20%20%20%20Zigzag%20filtrations%20generalize%20the%20usual%20(nested)%20filtration%20framework%20and%20require%20more%20sophisticated%20algebraic%20machinery%2C%20but%20they%20allow%20TDA%20to%20handle%20non-monotonic%20data%20sequences.%20For%20example%2C%20streaming%20data%2C%20or%20situations%20where%20data%20points%20or%20simplices%20may%20both%20appear%20and%20disappear%20over%20time.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A