Data Science Python 2

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.17.6%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20nav_menu%20%3D%20mo.nav_menu(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Findex.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Ahome')%7D%20Home%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20orientation%3D%22vertical%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20nav_menu%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Optimization%2C%20Part%201%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Goal%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20This%20practice%20set%20is%20designed%20to%20develop%20the%20ability%20to%20model%20and%20solve%20a%20variety%20of%20optimization%20problems.%20It%20includes%20problems%20that%20cover%20key%20topics%3A%20moment%20optimization%20over%20probability%20distributions%2C%20equivalence%20of%20integer%20program%20formulations%2C%20modeling%20logical%20constraints%20using%20binary%20variables%2C%20scheduling%20tasks%20to%20minimize%20weighted%20completion%20time%2C%20and%20converting%20general%20linear%20programs%20into%20standard%20form.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20attention%20%7C%20Attention!%0A%0A%20%20%20%20Code%20in%20this%20notebook%20**WOULD%20NOT**%20run%20directly%20as%20Marimo%20does%20not%20include%20AMPL%20package%20(it%20needs%20registration%20anyway).%20Check%20AMPL%20%5Bofficial%20website%5D(https%3A%2F%2Fampl.com)%20for%20more%20info.%0A%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20from%20amplpy%20import%20AMPL%0A%20%20%20%20from%20itertools%20import%20product%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%201%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20Form%20a%20linear%20program%20that%20identifies%20the%20discrete%20probability%20distribution%2C%20that%20takes%20%60k%60%20values%2C%20whose%20first%20and%20second%20moment%20are%20%60M_1%60%20and%20%60M_2%60%2C%20and%20whose%20fourth%20moment%20is%20maximized.%0A%0A%20%20%20%20Solve%20this%20linear%20program%20for%20%60k%20%3D%205%3B%20M_1%20%3D%203.5%3B%20M_2%20%3D%2015%60%2C%20and%20%60k%20%3D%2080%3B%20M_1%20%3D%2010%3B%20M_2%20%3D%20200%60.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20'''%0A%20%20%20%20def%20solve_moment_problem(k%2C%20M1%2C%20M2)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ampl%20%3D%20AMPL()%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ampl.eval(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20param%20k%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20set%20INDEX%20%3A%3D%201..k%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20param%20M1%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20param%20M2%3B%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20var%20p%20%7BINDEX%7D%20%3E%3D%200%3B%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20s.t.%20TotalProb%3A%20sum%20%7Bi%20in%20INDEX%7D%20p%5Bi%5D%20%3D%201%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20s.t.%20FirstMoment%3A%20sum%20%7Bi%20in%20INDEX%7D%20i%20*%20p%5Bi%5D%20%3D%20M1%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20s.t.%20SecondMoment%3A%20sum%20%7Bi%20in%20INDEX%7D%20(i%5E2)%20*%20p%5Bi%5D%20%3D%20M2%3B%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20maximize%20FourthMoment%3A%20sum%20%7Bi%20in%20INDEX%7D%20(i%5E4)%20*%20p%5Bi%5D%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ampl.param%5B%22k%22%5D%20%3D%20k%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ampl.param%5B%22M1%22%5D%20%3D%20M1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ampl.param%5B%22M2%22%5D%20%3D%20M2%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ampl.set_option(%22solver%22%2C%20%22gurobi%22)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ampl.solve()%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20p_vals%20%3D%20ampl.get_variable(%22p%22).to_dict()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fourth_moment%20%3D%20ampl.get_objective(%22FourthMoment%22).value()%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20p_vals%2C%20fourth_moment%0A%20%20%20%20'''%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20k%20%3D%205%0A%20%20%20%20M1%20%3D%203.5%0A%20%20%20%20M2%20%3D%2015%0A%0A%20%20%20%20p_opt%2C%20max_fourth_moment%20%3D%20solve_moment_problem(k%2C%20M1%2C%20M2)%0A%0A%20%20%20%20print(%22Optimal%20Distribution%3A%22)%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range(1%2C%20k%20%2B%201)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20print(f%22p_%7Bi%7D%20%3D%20%7Bp_opt%5Bi%5D%3A.4f%7D%22)%0A%0A%20%20%20%20print(f%22Max%20Fourth%20Moment%20%3D%20%7Bmax_fourth_moment%3A.4f%7D%22)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Gurobi%2012.0.2%3AGurobi%2012.0.2%3A%20optimal%20solution%3B%20objective%20344%0A%20%20%20%20%23%203%20simplex%20iterations%0A%20%20%20%20%23%20Optimal%20Distribution%3A%0A%20%20%20%20%23%20p_1%20%3D%200.1250%0A%20%20%20%20%23%20p_2%20%3D%200.3333%0A%20%20%20%20%23%20p_3%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_4%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_5%20%3D%200.5417%0A%20%20%20%20%23%20Max%20Fourth%20Moment%20%3D%20344.0000%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20k%20%3D%2080%0A%20%20%20%20M1%20%3D%2010%0A%20%20%20%20M2%20%3D%20200%0A%0A%20%20%20%20p_opt%2C%20max_fourth_moment%20%3D%20solve_moment_problem(k%2C%20M1%2C%20M2)%0A%0A%20%20%20%20print(%22Optimal%20Distribution%3A%22)%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range(1%2C%20k%20%2B%201)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20print(f%22p_%7Bi%7D%20%3D%20%7Bp_opt%5Bi%5D%3A.4f%7D%22)%0A%0A%20%20%20%20print(f%22Max%20Fourth%20Moment%20%3D%20%7Bmax_fourth_moment%3A.4f%7D%22)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Gurobi%2012.0.2%3AGurobi%2012.0.2%3A%20optimal%20solution%3B%20objective%20822680%0A%20%20%20%20%23%2010%20simplex%20iterations%0A%20%20%20%20%23%20Optimal%20Distribution%3A%0A%20%20%20%20%23%20p_1%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_2%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_3%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_4%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_5%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_6%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_7%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_8%20%3D%200.4167%0A%20%20%20%20%23%20p_9%20%3D%200.5634%0A%20%20%20%20%23%20p_10%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_11%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_12%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_13%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_14%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_15%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_16%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_17%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_18%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_19%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_20%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_21%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_22%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_23%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_24%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_25%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_26%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_27%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_28%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_29%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_30%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_31%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_32%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_33%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_34%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_35%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_36%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_37%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_38%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_39%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_40%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_41%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_42%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_43%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_44%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_45%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_46%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_47%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_48%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_49%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_50%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_51%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_52%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_53%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_54%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_55%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_56%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_57%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_58%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_59%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_60%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_61%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_62%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_63%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_64%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_65%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_66%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_67%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_68%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_69%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_70%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_71%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_72%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_73%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_74%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_75%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_76%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_77%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_78%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_79%20%3D%200.0000%0A%20%20%20%20%23%20p_80%20%3D%200.0200%0A%20%20%20%20%23%20Max%20Fourth%20Moment%20%3D%20822680.0000%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%202%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20Show%20that%20the%20following%20integer%20programs%20all%20have%20the%20same%20set%20of%20feasible%20solutions%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20%2497x_1%20%2B%2032x_2%20%2B%2025x_3%20%2B%2020x_4%20%5Cle%20139%24%2C%20%24x_i%20%5Cin%20%5Clbrace%200%20%2C%201%20%5Crbrace%24%0A%20%20%20%20-%20%242x_1%20%2B%20x_2%20%2B%20x_3%20%2B%20x_4%20%5Cle%203%24%2C%20%24x_i%20%5Cin%20%5Clbrace%200%20%2C%201%20%5Crbrace%24%0A%20%20%20%20-%20%24x_1%20%2B%20x_2%20%2B%20x_3%20%5Cle%202%24%2C%20%24x_1%20%2B%20x_2%20%2B%20x_4%20%5Cle%202%24%2C%20%24x_1%20%2B%20x_3%20%2B%20x_4%20%5Cle%202%24%2C%20%24x_i%20%5Cin%20%5Clbrace%200%20%2C%201%20%5Crbrace%24%0A%0A%20%20%20%20This%20is%20an%20easy%20exericse%20that%20can%20be%20done%20by%20hand.%20AMPL%20does%20not%20provide%20a%20native%20way%20to%20check%20feasible%20solutions.%20To%20check%20with%20Python%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20feasible_points%20%3D%20list(product(%5B0%2C%201%5D%2C%20repeat%3D4))%0A%0A%0A%20%20%20%20def%20constraint1(x)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%2097%20*%20x%5B0%5D%20%2B%2032%20*%20x%5B1%5D%20%2B%2025%20*%20x%5B2%5D%20%2B%2020%20*%20x%5B3%5D%20%3C%3D%20139%0A%0A%0A%20%20%20%20def%20constraint2(x)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%202%20*%20x%5B0%5D%20%2B%20x%5B1%5D%20%2B%20x%5B2%5D%20%2B%20x%5B3%5D%20%3C%3D%203%0A%0A%0A%20%20%20%20def%20constraint3(x)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%5B0%5D%20%2B%20x%5B1%5D%20%2B%20x%5B2%5D%20%3C%3D%202%20and%20x%5B0%5D%20%2B%20x%5B1%5D%20%2B%20x%5B3%5D%20%3C%3D%202%20and%20x%5B0%5D%20%2B%20x%5B2%5D%20%2B%20x%5B3%5D%20%3C%3D%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%0A%20%20%20%20feasible1%20%3D%20%7Bx%20for%20x%20in%20feasible_points%20if%20constraint1(x)%7D%0A%20%20%20%20feasible2%20%3D%20%7Bx%20for%20x%20in%20feasible_points%20if%20constraint2(x)%7D%0A%20%20%20%20feasible3%20%3D%20%7Bx%20for%20x%20in%20feasible_points%20if%20constraint3(x)%7D%0A%0A%20%20%20%20print(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22All%20three%20constraint%20systems%20have%20the%20same%20feasible%20set%3A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20feasible1%20%3D%3D%20feasible2%20%3D%3D%20feasible3%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20print(%22Feasible%20solutions%20(x1%2C%20x2%2C%20x3%2C%20x4)%3A%22)%0A%20%20%20%20for%20sol%20in%20sorted(feasible1)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20print(sol)%0A%0A%20%20%20%20%23%20All%20three%20constraint%20systems%20have%20the%20same%20feasible%20set%3A%20True%0A%20%20%20%20%23%20Feasible%20solutions%20(x1%2C%20x2%2C%20x3%2C%20x4)%3A%0A%20%20%20%20%23%20(0%2C%200%2C%200%2C%200)%0A%20%20%20%20%23%20(0%2C%200%2C%200%2C%201)%0A%20%20%20%20%23%20(0%2C%200%2C%201%2C%200)%0A%20%20%20%20%23%20(0%2C%200%2C%201%2C%201)%0A%20%20%20%20%23%20(0%2C%201%2C%200%2C%200)%0A%20%20%20%20%23%20(0%2C%201%2C%200%2C%201)%0A%20%20%20%20%23%20(0%2C%201%2C%201%2C%200)%0A%20%20%20%20%23%20(0%2C%201%2C%201%2C%201)%0A%20%20%20%20%23%20(1%2C%200%2C%200%2C%200)%0A%20%20%20%20%23%20(1%2C%200%2C%200%2C%201)%0A%20%20%20%20%23%20(1%2C%200%2C%201%2C%200)%0A%20%20%20%20%23%20(1%2C%201%2C%200%2C%200)%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%203%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20Model%20the%20following%20constraints%20in%20choosing%20a%20subset%20from%201%2C%202%2C%20...%2C%207%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20You%20cannot%20choose%20all%20of%20them%0A%20%20%20%20-%20You%20must%20choose%20at%20least%20one%20of%20them%0A%20%20%20%20-%201%20cannot%20be%20chosen%20if%203%20is%20chosen%0A%20%20%20%20-%204%20can%20only%20be%20chosen%20if%202%20is%20chosen%0A%20%20%20%20-%20You%20must%20either%20choose%20both%201%20and%205%2C%20or%20neither%20of%20them%0A%20%20%20%20-%20You%20must%20either%20choose%20at%20least%20one%20of%201%2C%202%2C%203%2C%20or%20choose%20at%20least%20two%20of%202%2C%204%2C%205%2C%206%0A%0A%20%20%20%20An%20example%20objective%20is%20given%20(maximize%20items%20chosen)%2C%20the%20following%20is%20the%20full%20AMPL%20setup%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20'''%0A%20%20%20%20def%20solve_subset_selection()%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ampl%20%3D%20AMPL()%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ampl.eval(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20set%20I%20%3A%3D%201..7%3B%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20var%20x%20%7Bi%20in%20I%7D%20binary%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20var%20y%20binary%3B%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Constraints%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20s.t.%20NotAll%3A%20sum%20%7Bi%20in%20I%7D%20x%5Bi%5D%20%3C%3D%206%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20s.t.%20AtLeastOne%3A%20sum%20%7Bi%20in%20I%7D%20x%5Bi%5D%20%3E%3D%201%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20s.t.%20No1if3%3A%20x%5B1%5D%20%2B%20x%5B3%5D%20%3C%3D%201%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20s.t.%20FourOnlyIfTwo%3A%20x%5B4%5D%20%3C%3D%20x%5B2%5D%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20s.t.%20OneAndFiveTogether%3A%20x%5B1%5D%20%3D%20x%5B5%5D%3B%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Disjunctive%20constraint%20using%20auxiliary%20binary%20y%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20s.t.%20DisjunctLeft%3A%20%20x%5B1%5D%20%2B%20x%5B2%5D%20%2B%20x%5B3%5D%20%3E%3D%201%20-%203*y%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20s.t.%20DisjunctRight%3A%20x%5B2%5D%20%2B%20x%5B4%5D%20%2B%20x%5B5%5D%20%2B%20x%5B6%5D%20%3E%3D%202%20-%204*(1%20-%20y)%3B%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Dummy%20objective%3A%20maximize%20number%20of%20selected%20items%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20maximize%20NumSelected%3A%20sum%20%7Bi%20in%20I%7D%20x%5Bi%5D%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ampl.set_option(%22solver%22%2C%20%22gurobi%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ampl.solve()%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_vals%20%3D%20ampl.get_variable(%22x%22).to_dict()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_items%20%3D%20%5Bi%20for%20i%20in%20range(1%2C%208)%20if%20x_vals%5Bi%5D%20%3D%3D%201%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20num_selected%20%3D%20ampl.get_objective(%22NumSelected%22).value()%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20selected_items%2C%20num_selected%0A%20%20%20%20'''%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20items%2C%20total%20%3D%20solve_subset_selection()%0A%0A%20%20%20%20print(%22Selected%20items%3A%22%2C%20items)%0A%20%20%20%20print(%22Total%20selected%3A%22%2C%20int(total))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Gurobi%2012.0.2%3AGurobi%2012.0.2%3A%20optimal%20solution%3B%20objective%206%0A%20%20%20%20%23%200%20simplex%20iterations%0A%20%20%20%20%23%20Selected%20items%3A%20%5B1%2C%202%2C%204%2C%205%2C%206%2C%207%5D%0A%20%20%20%20%23%20Total%20selected%3A%206%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%204%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20Suppose%20that%20we%20have%20a%20single%20machine%20and%20we%20have%20several%20tasks%20to%20perform%20on%20this%20machine.%20The%20machine%20process%20one%20task%20at%20a%20time%20but%20we%20can%20choose%20the%20order%20in%20which%20the%20tasks%20are%20performed.%20Suppose%20each%20task%20has%20a%20weight%2C%20we%20want%20to%20minimize%20the%20average%20weighted%20completion%20time%20of%20the%20tasks.%20To%20clarify%2C%20the%20*completion%20time*%20means%20the%20cumulative%20completion%20time.%20For%20example%2C%20suppose%20we%20have%20two%20tasks%20A%2C%20B.%20Suppose%20they%20take%201%20and%2010%20minutes%20to%20complete%2C%20respectively%2C%20and%20they%20have%20weights%2010%20and%201%2C%20respectively%2C%20then%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20If%20we%20do%20A%20then%20B%2C%20the%20average%20weighted%20completion%20time%20is%20calculated%20as%20%241%20%5Ccdot%2010%20%2B%20(1%20%2B%2010)%20%5Ccdot%201%20%3D%2021%24%2C%20and%0A%20%20%20%20-%20If%20we%20do%20B%20then%20A%2C%20the%20average%20weighted%20completion%20time%20is%20calculated%20as%20%2410%20%5Ccdot%201%20%2B%20(10%20%2B%201)%20%5Ccdot%2010%20%3D%20120%24%0A%0A%20%20%20%20We%20can%20show%20that%20if%20there%20is%20a%20sequence%20of%20times%20%24x_1%2C%20%5Cdots%2C%20x_k%24%20that%20satisfy%20the%20constraints%3A%20for%20all%20distinct%20tasks%20%24i%24%20and%20%24j%24%2C%20either%20%24x_j%20%5Cge%20x_i%20%2B%20t_i%24%20or%20%24x_i%20%5Cge%20x_j%20%2B%20t_j%24%2C%20where%20%24t_i%24%20is%20the%20time%20to%20complete%20the%20single%20task%20%24i%24%2C%20then%20the%20tasks%20can%20be%20placed%20in%20a%20sequence%20such%20that%20task%20%24i%24%20is%20started%20at%20time%20%24x_i%24.%20In%20other%20words%2C%20the%20above%20constraints%20are%20the%20ones%20we%20should%20use%20in%20the%20program.%0A%0A%20%20%20%20Formulate%20an%20integer%20program%20that%20can%20be%20used%20to%20identify%20the%20optimal%20sequence%20of%20tasks%2C%20and%20solve%20the%20following%20instance%3A%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Task%20%7C%20Processing%20Time%20%7C%20Weight%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20----%20%7C%20---------------%20%7C%20------%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%201%20%7C%205%20minutes%20%7C%200.1%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%202%20%7C%2010%20minutes%20%7C%200.2%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%203%20%7C%2017%20minutes%20%7C%200.3%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%204%20%7C%208%20minutes%20%7C%200.15%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%205%20%7C%209%20minutes%20%7C%200.05%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%206%20%7C%2014%20minutes%20%7C%200.05%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%207%20%7C%2028%20minutes%20%7C%200.15%20%7C%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20'''%0A%20%20%20%20def%20solve_weighted_completion_time(task_ids%2C%20processing_times%2C%20weights)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ampl%20%3D%20AMPL()%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ampl.eval(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20set%20TASKS%3B%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20param%20t%20%7BTASKS%7D%3B%20%20%23%20processing%20time%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20param%20w%20%7BTASKS%7D%3B%20%20%23%20weight%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20var%20x%20%7BTASKS%7D%20%3E%3D%200%3B%20%20%23%20start%20time%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20var%20z%20%7Bi%20in%20TASKS%2C%20j%20in%20TASKS%3A%20i%20!%3D%20j%7D%20binary%3B%20%20%23%20precedence%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20param%20BIG%3B%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Disjunctive%20constraints%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20s.t.%20Ordering1%20%7Bi%20in%20TASKS%2C%20j%20in%20TASKS%3A%20i%20!%3D%20j%7D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%5Bj%5D%20%3E%3D%20x%5Bi%5D%20%2B%20t%5Bi%5D%20-%20BIG%20*%20(1%20-%20z%5Bi%2Cj%5D)%3B%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20s.t.%20Ordering2%20%7Bi%20in%20TASKS%2C%20j%20in%20TASKS%3A%20i%20!%3D%20j%7D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%5Bi%5D%20%3E%3D%20x%5Bj%5D%20%2B%20t%5Bj%5D%20-%20BIG%20*%20z%5Bi%2Cj%5D%3B%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Objective%3A%20minimize%20weighted%20completion%20time%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20minimize%20WeightedCompletion%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20sum%20%7Bi%20in%20TASKS%7D%20w%5Bi%5D%20*%20(x%5Bi%5D%20%2B%20t%5Bi%5D)%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ampl.set%5B%22TASKS%22%5D%20%3D%20task_ids%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ampl.param%5B%22BIG%22%5D%20%3D%20sum(processing_times.values())%20%20%23%20conservative%20Big-M%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ampl.param%5B%22t%22%5D%20%3D%20processing_times%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ampl.param%5B%22w%22%5D%20%3D%20weights%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ampl.set_option(%22solver%22%2C%20%22gurobi%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ampl.solve()%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_vals%20%3D%20ampl.get_variable(%22x%22).to_dict()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20C_vals%20%3D%20%7Bi%3A%20x_vals%5Bi%5D%20%2B%20processing_times%5Bi%5D%20for%20i%20in%20task_ids%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20obj_val%20%3D%20ampl.get_objective(%22WeightedCompletion%22).value()%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20schedule%20%3D%20sorted(task_ids%2C%20key%3Dlambda%20i%3A%20x_vals%5Bi%5D)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20schedule%2C%20C_vals%2C%20obj_val%0A%20%20%20%20'''%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20task_ids%20%3D%20list(range(1%2C%208))%0A%20%20%20%20processing_times%20%3D%20%7B1%3A%205%2C%202%3A%2010%2C%203%3A%2017%2C%204%3A%208%2C%205%3A%209%2C%206%3A%2014%2C%207%3A%2028%7D%0A%20%20%20%20weights%20%3D%20%7B1%3A%200.1%2C%202%3A%200.2%2C%203%3A%200.3%2C%204%3A%200.15%2C%205%3A%200.05%2C%206%3A%200.05%2C%207%3A%200.15%7D%0A%0A%20%20%20%20schedule%2C%20completion_times%2C%20total%20%3D%20solve_weighted_completion_time(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20task_ids%2C%20processing_times%2C%20weights%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20print(%22Optimal%20Task%20Order%3A%22%2C%20schedule)%0A%20%20%20%20print(%22Completion%20Times%3A%22)%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20schedule%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20print(f%22Task%20%7Bi%7D%3A%20%7Bcompletion_times%5Bi%5D%7D%20minutes%22)%0A%0A%20%20%20%20print(f%22Total%20Weighted%20Completion%20Time%20%3D%20%7Btotal%3A.4f%7D%22)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Gurobi%2012.0.2%3AGurobi%2012.0.2%3A%20optimal%20solution%3B%20objective%2037.5%0A%20%20%20%20%23%2049%20simplex%20iterations%0A%20%20%20%20%23%201%20branching%20node%0A%20%20%20%20%23%20Optimal%20Task%20Order%3A%20%5B1%2C%202%2C%204%2C%203%2C%205%2C%207%2C%206%5D%0A%20%20%20%20%23%20Completion%20Times%3A%0A%20%20%20%20%23%20Task%201%3A%205%20minutes%0A%20%20%20%20%23%20Task%202%3A%2015%20minutes%0A%20%20%20%20%23%20Task%204%3A%2023%20minutes%0A%20%20%20%20%23%20Task%203%3A%2040%20minutes%0A%20%20%20%20%23%20Task%205%3A%2049%20minutes%0A%20%20%20%20%23%20Task%207%3A%2077%20minutes%0A%20%20%20%20%23%20Task%206%3A%2091%20minutes%0A%20%20%20%20%23%20Total%20Weighted%20Completion%20Time%20%3D%2037.5000%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%205%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20A%20linear%20program%20with%20the%20form%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%20%5Cmax(c%5ETx)%20%26%5Ctext%7B%20s.t.%7D%20%5C%5C%20Ax%20%26%5Cle%20b%20%5C%5C%20x%20%26%5Cge%200%20%5Cend%7Baligned%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20is%20said%20to%20be%20of%20standard%20form.%20Describe%20how%20to%20re-formulate%20a%20linear%20program%20into%20a%20standard%20form%20in%20the%20following%20situations%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20the%20linear%20problem%20is%20a%20minimization%20problem%0A%20%20%20%20-%20one%20constraint%20is%20an%20equality%20constraint%0A%20%20%20%20-%20one%20constraint%20is%20a%20greater-than-or-equal%20constraint%0A%20%20%20%20-%20one%20variable%20is%20restricted%20to%20be%20non-positive%0A%20%20%20%20-%20one%20variable%20is%20*not*%20restricted%0A%0A%20%20%20%20Write%20the%20following%20linear%20program%20in%20standard%20form%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%20%5Cmin(2x_1%20-%20x_2%20%2B%204x_3)%20%26%5Ctext%7B%20s.t.%7D%20%5C%5C%20x_1%20%2B%20x_2%20%2B%20x_4%20%26%5Cle%202%20%5C%5C%203x_2%20-%20x_3%20%26%3D%205%20%5C%5C%20x_3%20%2B%20x_4%20%26%5Cge%203%20%5C%5C%20x_1%20%26%5Cge%200%20%5C%5C%20x_3%20%26%5Cle%200%20%5Cend%7Baligned%7D%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20Solution%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20negate%20the%20objective%20coefficients%2C%20%24%5Cmin(c%5ETx)%24%20becomes%20%24%5Cmax(-c%5ETx)%24%0A%20%20%20%20-%20%24a%5ET%20x%20%3D%20b%24%20becomes%20two%20inequalities%20%24%5Cbegin%7Bcases%7D%20a%5ET%20x%20%5Cle%20b%20%5C%5C%20-a%5ET%20x%20%5Cle%20-b%20%5Cend%7Bcases%7D%24%0A%20%20%20%20-%20%24a%5ET%20x%20%5Cge%20b%24%20becomes%20%24-a%5ET%20x%20%5Cle%20-b%24%0A%20%20%20%20-%20introduce%20%24x_i'%20%3D%20-x_i%24%2C%20%24x_i%20%5Cle%200%24%20becomes%20%24x_i'%20%5Cge%200%24%0A%20%20%20%20-%20introduce%20%24x_i%20%3D%20x_i%5E%2B%20-%20x_i%5E-%24%2C%20add%20constraints%20%24x_i%5E%2B%2C%20x_i%5E-%20%5Cge%200%24%0A%0A%20%20%20%20Use%20above%2C%20the%20example%20linear%20program%20can%20be%20written%20as%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%20%5Cmax(-2x_1%20%2B%20x_2%5E%2B%20-%20x_2%5E-%20%2B%204x_3')%20%26%5Ctext%7B%20s.t.%7D%20%5C%5C%20x_1%20%2B%20x_2%5E%2B%20-%20x_2%5E-%20%2B%20x_4%5E%2B%20-%20x_4%5E-%20%26%5Cle%202%20%5C%5C%203x_2%5E%2B%20-%203x_2%5E-%20%2B%20x_3'%20%26%5Cle%205%20%5C%5C%20-3x_2%5E%2B%20%2B%203x_2%5E-%20-%20x_3'%20%26%5Cle%20-5%20%5C%5C%20x_3'%20-%20x_4%5E%2B%20%2B%20x_4%5E-%20%26%5Cle%20-3%20%5C%5C%20x_1%2C%20x_2%5E%2B%2C%20x_2%5E-%2C%20x_3'%2C%20x_4%5E%2B%2C%20x_4%5E-%20%26%5Cge%200%5Cend%7Baligned%7D%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20An%20extra%20question%20for%20linear%20programs%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20Even'Star%20Organic%20Farm%20was%20founded%20in%201997%20by%20Brett%20Grohsgal%2C%20a%20former%20chef%20in%20Washington%20DC.%20The%20company%20owns%20a%20104-acre%20farm%20in%20southern%20Maryland%2C%20and%20grows%20and%20sells%20organic%20produce.%20This%20problem%20describes%20the%20business%20issues%20faced%20by%20Brett%2C%20and%20the%20data%20is%20based%20on%20actual%20observations.%0A%0A%20%20%20%20Brett%20has%20decided%20to%20grow%20five%20different%20types%20of%20produce%3A%20watermelon%2C%20basil%2C%20cucumbers%2C%20sweet%20potatoes%2C%20and%20winter%20squash.%20He%20distributes%20his%20produce%20through%20three%20different%20channels%3A%20Restaurants%2C%20Community-Supported%20Agriculture%2C%20and%20Farmers'%20Markets.%0A%0A%20%20%20%20Initially%2C%20he%20sold%20exclusively%20to%20restaurants.%20He%20knows%20of%2020%20restaurants%20that%20will%20buy%20his%20produce%20from%20his%20connections%20as%20a%20former%20chef.%20As%20his%20farm%20expanded%2C%20he%20also%20started%20selling%20his%20produce%20at%20a%20local%20farmers'%20market%2C%20where%20he%20can%20command%20a%20higher%20price.%20Recently%2C%20he%20has%20also%20started%20selling%20through%20Community%20Supported%20Agriculture%20(CSA)%2C%20a%20program%20in%20which%20individuals%20pay%20a%20%24400%20subscription%20price%20to%20get%20a%20box%20of%20produce%20each%20week%20for%2015%20weeks.%20He%20currently%20knows%20of%2090%20individuals%20who%20are%20interested%20in%20buying%20his%20produce%20through%20the%20CSA%20program.%0A%0A%20%20%20%20Brett%20wanted%20to%20decide%20the%20number%20of%20cases%20of%20each%20type%20of%20produce%20to%20sell%20in%20each%20channel%20(there%20are%2015%20decision%20variables).%20Brett's%20objective%20is%20to%20maximize%20total%20profit%20(total%20revenue%20minus%20total%20cost).%0A%0A%20%20%20%20The%20variable%20cost%20per%20client%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20Restaurant%3A%20%5C%24214.40%0A%20%20%20%20-%20CSA%3A%20%5C%2431.68%0A%20%20%20%20-%20Farmer's%20Market%3A%20%5C%240%0A%0A%20%20%20%20To%20compute%20the%20total%20variable%20cost%20for%20each%20restaurant%20client%2C%20we%20use%20the%20information%20that%20eachrestaurant%20client%20will%20buy%20119%20cases%20of%20produce%20during%20the%20season.%20So%2C%20the%20total%20number%20of%20restaurantclients%20served%20in%20a%20season%20can%20be%20computed%20as%20the%20total%20number%20of%20cases%20sold%20to%20restaurants%2C%20dividedby%20119.%20Note%20that%20the%20number%20of%20restaurant%20clients%20Brett%20gives%20produce%20to%20could%20be%20fractional(like%2016.57).%20This%20is%20a%20simplification%20we'll%20make%20for%20this%20problem%2C%20so%20please%20ignore%20the%20fact%20that%20thisnumber%20should%20be%20integer.%0A%0A%20%20%20%20To%20compute%20the%20total%20variable%20cost%20for%20CSA%20clients%2C%20we%20need%20to%20know%20that%20each%20CSA%20customerwill%20buy%20%24400%20worth%20of%20produce%20during%20the%20season.%20So%2C%20the%20total%20number%20of%20CSA%20clients%20servedcan%20be%20computed%20by%20dividing%20the%20total%20dollar%20amount%20sent%20to%20CSA%20customers%20by%20%24400.%20Note%20thatthe%20number%20of%20CSA%20clients%20Brett%20gives%20produce%20to%20could%20be%20fractional%20(like%2016.57).%20This%20is%20againa%20simplification%20we'll%20make%20for%20this%20problem%2C%20so%20please%20ignore%20the%20fact%20that%20this%20number%20should%20beinteger.%0A%0A%20%20%20%20There%20is%20no%20variable%20cost%20for%20farmers'%20market%20clients.%0A%0A%20%20%20%20Brett%20has%20a%20limited%20amount%20of%20produce%20that%20he%20can%20sell%20each%20season%2C%20and%20he%20needs%20to%20decide%20howmuch%20produce%20to%20sell%20through%20each%20channel%20(restaurants%2C%20CSA%2C%20or%20farmers'%20markets).%20Brett%20can't%20sellnegative%20cases%2C%20and%20he%20can't%20sell%20more%20cases%20than%20he%20produces.%20Produce%20Data%3A%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Produce%20%7C%20Number%20of%20Available%20Cases%20%7C%20Restaurant%20Price%20%7C%20CSA%20Price%20%7C%20Farmer's%20Market%20Price%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20-------%20%7C%20-------------------------%20%7C%20----------------%20%7C%20---------%20%7C%20---------------------%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Watermelon%20%7C%20167%20%7C%20%5C%2420%20%7C%20%5C%2420%20%7C%20%5C%2420.25%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Basil%20%7C%20406%20%7C%20%5C%2426%20%7C%20%5C%2436%20%7C%20%5C%2434%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Cucumber%20%7C%20251%20%7C%20%5C%2424%20%7C%20%5C%2424%20%7C%20%5C%2425.20%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Sweet%20Potato%20%7C%20107%20%7C%20%5C%2436%20%7C%20%5C%2436%20%7C%20%5C%2436%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Winter%20Squash%20%7C%20133%20%7C%20%5C%2436%20%7C%20%5C%2436%20%7C%20%5C%2436%20%7C%0A%0A%20%20%20%20Due%20to%20the%20truck%20capacity%2C%20the%20number%20of%20cases%20sold%20at%20the%20farmers'%20market%20can't%20be%20more%20than%20500.%20At%20most%2020%20restaurants%20will%20buy%20his%20produce%2C%20and%20at%20most%2090%20CSA%20customers%20will%20buy%20his%20produce.%0A%0A%20%20%20%20Model%20Brett's%20problem%20as%20a%20linear%20optimization%20problem%20and%20solve%20it%20to%20get%20the%20optimal%20solution.%0A%0A%20%20%20%20Now%20suppose%20that%20Brett%20has%20purchased%20additional%20acres%20of%20land%2C%20which%20allows%20him%20to%20produce%2010%20additional%20cases%20of%20one%20of%20his%20vegetables.%20Which%20vegetable%20should%20he%20plant%20on%20these%20additional%20acres%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20solve_optimize_produce_allocation_array(produce_array%2C%20produce_names%2C%20cost_data)%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20channels%20%3D%20%5B%22Restaurant%22%2C%20%22CSA%22%2C%20%22FarmersMarket%22%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Basic%20sanity%20check%0A%20%20%20%20%20%20%20%20assert%20produce_array.shape%20%3D%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20len(produce_names)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20len(channels)%20%2B%201%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%20%22produce_array%20shape%20must%20match%20(num_produce%2C%201%20%2B%20num_channels)%22%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Init%20AMPL%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ampl%20%3D%20AMPL()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ampl.set_option(%22solver%22%2C%20%22gurobi%22)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20AMPL%20model%20string%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ampl.eval(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r'''%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20set%20PRODUCE%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20set%20CHANNELS%3B%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20param%20Supply%20%7BPRODUCE%7D%20%3E%3D%200%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20param%20Price%20%7BPRODUCE%2C%20CHANNELS%7D%20%3E%3D%200%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20param%20CostPerCase%20%7BCHANNELS%7D%20default%200%3B%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20param%20CSACostRate%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20param%20RestaurantCasePerClient%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20param%20CSARevenuePerClient%3B%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20param%20MaxRestaurantClients%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20param%20MaxCSAClients%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20param%20MaxFarmersMarketCases%3B%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20var%20x%20%7BPRODUCE%2C%20CHANNELS%7D%20%3E%3D%200%3B%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20maximize%20TotalProfit%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20sum%20%7Bi%20in%20PRODUCE%2C%20j%20in%20CHANNELS%7D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20j%20%3D%20%22CSA%22%20then%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%5Bi%2Cj%5D%20*%20Price%5Bi%2Cj%5D%20*%20(1%20-%20CSACostRate)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%5Bi%2Cj%5D%20*%20(Price%5Bi%2Cj%5D%20-%20CostPerCase%5Bj%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%3B%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20subject%20to%20SupplyLimit%20%7Bi%20in%20PRODUCE%7D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20sum%20%7Bj%20in%20CHANNELS%7D%20x%5Bi%2Cj%5D%20%3C%3D%20Supply%5Bi%5D%3B%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20subject%20to%20RestaurantLimit%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20sum%20%7Bi%20in%20PRODUCE%7D%20x%5Bi%2C%22Restaurant%22%5D%20%3C%3D%20MaxRestaurantClients%20*%20RestaurantCasePerClient%3B%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20subject%20to%20CSALimit%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20sum%20%7Bi%20in%20PRODUCE%7D%20x%5Bi%2C%22CSA%22%5D%20*%20Price%5Bi%2C%22CSA%22%5D%20%3C%3D%20MaxCSAClients%20*%20CSARevenuePerClient%3B%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20subject%20to%20FarmersMarketLimit%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20sum%20%7Bi%20in%20PRODUCE%7D%20x%5Bi%2C%22FarmersMarket%22%5D%20%3C%3D%20MaxFarmersMarketCases%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20'''%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Sets%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ampl.set%5B%22PRODUCE%22%5D.set_values(produce_names)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ampl.set%5B%22CHANNELS%22%5D.set_values(channels)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Supply%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ampl.param%5B%22Supply%22%5D.set_values(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7Bp%3A%20produce_array%5Bi%2C%200%5D%20for%20i%2C%20p%20in%20enumerate(produce_names)%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Price%20(skip%20first%20column)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20price_dict%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(produce_names%5Bi%5D%2C%20channels%5Bj%5D)%3A%20float(produce_array%5Bi%2C%20j%20%2B%201%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20i%20in%20range(len(produce_names))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20j%20in%20range(len(channels))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ampl.param%5B%22Price%22%5D.set_values(price_dict)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Cost%20per%20case%0A%20%20%20%20%20%20%20%20restaurant_cost_per_case%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cost_data%5B%22restaurant_cost_per_client%22%5D%20%2F%20cost_data%5B%22num_restaurant%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cost_per_case%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Restaurant%22%3A%20restaurant_cost_per_case%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22CSA%22%3A%200.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22FarmersMarket%22%3A%200.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ampl.param%5B%22CostPerCase%22%5D.set_values(cost_per_case)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Client-level%20constraints%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ampl.param%5B%22RestaurantCasePerClient%22%5D%20%3D%20cost_data%5B%22num_restaurant%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ampl.param%5B%22CSARevenuePerClient%22%5D%20%3D%20cost_data%5B%22csa_revenue_per_client%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ampl.param%5B%22CSACostRate%22%5D%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cost_data%5B%22csa_cost_per_client%22%5D%20%2F%20cost_data%5B%22csa_revenue_per_client%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ampl.param%5B%22MaxRestaurantClients%22%5D%20%3D%20cost_data%5B%22max_restaurant_clients%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ampl.param%5B%22MaxCSAClients%22%5D%20%3D%20cost_data%5B%22max_csa_clients%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ampl.param%5B%22MaxFarmersMarketCases%22%5D%20%3D%20cost_data%5B%22max_farmers_market_cases%22%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Solve%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ampl.solve()%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Extract%20results%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%20%3D%20ampl.get_variable(%22x%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20result%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20produce%3A%20%7Bchannel%3A%20x%5Bproduce%2C%20channel%5D.value()%20for%20channel%20in%20channels%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20produce%20in%20produce_names%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20result%2C%20ampl%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20produce_names%20%3D%20%5B%22Watermelon%22%2C%20%22Basil%22%2C%20%22Cucumber%22%2C%20%22SweetPotato%22%2C%20%22WinterSquash%22%5D%0A%0A%20%20%20%20%23%20rows%3A%20Watermelon%2C%20Basil%2C%20Cucumber%2C%20SweetPotato%2C%20WinterSquash%20according%20to%20produce_names%20above%0A%20%20%20%20%23%20cols%3A%20Supply%2C%20R%20Price%2C%20C%20Price%2C%20F%20Price%0A%20%20%20%20produce_array%20%3D%20np.array(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B167%2C%2020.0%2C%2020.0%2C%2020.25%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B406%2C%2026.0%2C%2036.0%2C%2034.0%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B251%2C%2024.0%2C%2024.0%2C%2025.2%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B107%2C%2036.0%2C%2036.0%2C%2036.0%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B133%2C%2036.0%2C%2036.0%2C%2036.0%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20cost_data%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22restaurant_cost_per_client%22%3A%20214.4%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22num_restaurant%22%3A%20119%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22csa_cost_per_client%22%3A%2031.68%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22csa_revenue_per_client%22%3A%20400%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22max_restaurant_clients%22%3A%2020%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22max_csa_clients%22%3A%2090%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22max_farmers_market_cases%22%3A%20500%2C%0A%20%20%20%20%7D%0A%0A%20%20%20%20result%2C%20ampl%20%3D%20solve_optimize_produce_allocation_array(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20produce_names%3Dproduce_names%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20produce_array%3Dproduce_array%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cost_data%3Dcost_data%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20result%0A%0A%20%20%20%20%23%20Gurobi%2012.0.2%3AGurobi%2012.0.2%3A%20optimal%20solution%3B%20objective%2031520.69725%0A%20%20%20%20%23%201%20simplex%20iteration%0A%20%20%20%20%23%0A%20%20%20%20%23%20%7B'Watermelon'%3A%20%7B'Restaurant'%3A%200.0%2C%20'CSA'%3A%200.0%2C%20'FarmersMarket'%3A%20167.0%7D%2C%0A%20%20%20%20%23%20%20'Basil'%3A%20%7B'Restaurant'%3A%200.0%2C%20'CSA'%3A%20406.0%2C%20'FarmersMarket'%3A%200.0%7D%2C%0A%20%20%20%20%23%20%20'Cucumber'%3A%20%7B'Restaurant'%3A%200.0%2C%20'CSA'%3A%200.0%2C%20'FarmersMarket'%3A%20251.0%7D%2C%0A%20%20%20%20%23%20%20'SweetPotato'%3A%20%7B'Restaurant'%3A%2025.0%2C%20'CSA'%3A%200.0%2C%20'FarmersMarket'%3A%2082.0%7D%2C%0A%20%20%20%20%23%20%20'WinterSquash'%3A%20%7B'Restaurant'%3A%20133.0%2C%20'CSA'%3A%200.0%2C%20'FarmersMarket'%3A%200.0%7D%7D%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20recommend_extra_production(ampl%2C%20produce_names%2C%20extra_cases%3D10)%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20duals%20%3D%20ampl.get_constraint(%22SupplyLimit%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20shadow_prices%20%3D%20%7Bproduce%3A%20duals%5Bproduce%5D.dual()%20for%20produce%20in%20produce_names%7D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gains%20%3D%20%7Bproduce%3A%20shadow_prices%5Bproduce%5D%20*%20extra_cases%20for%20produce%20in%20produce_names%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20best_produce%2C%20best_gain%20%3D%20max(gains.items()%2C%20key%3Dlambda%20x%3A%20x%5B1%5D)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20print(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%5CnBrett%20should%20grow%20more%20%7Bbest_produce%7D%2C%20expecting%20an%20extra%20%24%7Bbest_gain%3A.2f%7D%20profit%20for%20%7Bextra_cases%7D%20additional%20cases.%5Cn%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20print(f%22%7B'Produce'%3A20%7D%20%7B'Shadow%20Price'%7D%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20produce%20in%20produce_names%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dual%20%3D%20shadow_prices%5Bproduce%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20print(f%22%7Bproduce%3A20%7D%20%24%7Bdual%3A.4f%7D%22)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20best_produce%2C%20best_gain%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20_%2C%20_%20%3D%20recommend_extra_production(ampl%2C%20produce_names%2C%2010)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Brett%20should%20grow%20more%20SweetPotato%2C%20expecting%20an%20extra%20%24341.98%20profit%20for%2010%20additional%20cases.%0A%0A%20%20%20%20%23%20Produce%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Shadow%20Price%0A%20%20%20%20%23%20Watermelon%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2418.4483%0A%20%20%20%20%23%20Basil%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2433.1488%0A%20%20%20%20%23%20Cucumber%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2423.3983%0A%20%20%20%20%23%20SweetPotato%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2434.1983%0A%20%20%20%20%23%20WinterSquash%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2434.1983%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A