Data Science Python 1

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.17.6%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20from%20numpy.typing%20import%20NDArray%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20return%20NDArray%2C%20mo%2C%20np%2C%20plt%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20nav_menu%20%3D%20mo.nav_menu(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Findex.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Ahome')%7D%20Home%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20orientation%3D%22vertical%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20nav_menu%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Warm-up%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Goal%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20The%20goal%20of%20this%20practice%20is%20to%20strengthen%20Python%20programming%20skills%20in%20scientific%20computing%20by%20working%20with%20arrays%2C%20matrices%2C%20expressions%2C%20control%20flow%2C%20and%20plotting%2C%20and%20to%20apply%20these%20concepts%20to%20visualize%20fractals%20such%20as%20Julia%20and%20Mandelbrot%20sets.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Section%201%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20(a)%0A%0A%20%20%20%20Scalar%20variables%2C%20make%20the%20following%20variables.%0A%0A%20%20%20%20-%20%24a%20%3D%2010%24%0A%20%20%20%20-%20%24b%20%3D%202.5%5Ctimes%2010%5E%7B23%7D%24%0A%20%20%20%20-%20%24c%20%3D%202%20%2B%203i%24%20where%20%24i%5E2%20%3D%20-1%24%0A%20%20%20%20-%20%24d%20%3D%20e%5E%7Bi2%5Cpi%2F3%7D%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np)%3A%0A%20%20%20%20a%3A%20int%20%3D%2010%0A%20%20%20%20b%3A%20float%20%3D%202.5e23%0A%20%20%20%20%23%201j%20means%20i%20and%200.3j%20mean%200.3i%2C%20etc.%0A%20%20%20%20%23%20No%20space%20between%20the%20number%20and%20j%0A%20%20%20%20c%3A%20complex%20%3D%202%20%2B%203j%0A%20%20%20%20d%3A%20complex%20%3D%20np.exp(2j%20*%20np.pi%20%2F%203)%0A%20%20%20%20return%20a%2C%20c%2C%20d%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20(b)%0A%0A%20%20%20%20Vector%20variables%2C%20make%20the%20following%20variables%2C%20as%20numpy%20arrays.%0A%0A%20%20%20%20-%20%24%5Cmathbf%7Bu%7D%20%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%203.14%20%26%2015%20%26%209%20%26%2026%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%24%0A%20%20%20%20-%20%24%5Cmathbf%7Bv%7D%20%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%202.71%20%5C%5C%208%20%5C%5C%2028%20%5C%5C%20182%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%24%0A%20%20%20%20-%20%24%5Cmathbf%7Bw%7D%20%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%205%20%26%204.8%20%26%204.6%20%26%20%5Cdots%20%26%20-4.8%20%26%20-5%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%24%0A%20%20%20%20-%20%24%5Cmathbf%7Bm%7D%20%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%2010%5E0%20%26%2010%5E%7B0.01%7D%20%26%20%5Cdots%20%26%2010%5E%7B0.99%7D%20%26%2010%5E1%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(NDArray%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20%23%20np.reshape%3A%20one%20of%20the%20argument%20can%20be%20left%20as%20-1%20to%20indicate%20%22use%20whatever%20shape%20needed%20at%20this%20dimension%22%0A%20%20%20%20u%3A%20NDArray%20%3D%20np.array(%5B3.14%2C%2015%2C%209%2C%2026%5D).reshape(1%2C%20-1)%0A%20%20%20%20v%3A%20NDArray%20%3D%20np.array(%5B2.71%2C%208%2C%2028%2C%20182%5D).reshape(-1%2C%201)%0A%20%20%20%20w%3A%20NDArray%20%3D%20np.linspace(5%2C%20-5%2C%2051)%0A%20%20%20%20m%3A%20NDArray%20%3D%20np.logspace(0%2C%201%2C%20101%2C%20base%3D10)%0A%20%20%20%20return%20m%2C%20u%2C%20v%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20(c)%0A%0A%20%20%20%20Matrix%20variables%2C%20make%20the%20following%20variables.%0A%0A%20%20%20%20-%20%24A%24%2C%20a%20%249%20%5Ctimes%209%24%20matrix%20full%20of%20%242%24s%0A%20%20%20%20-%20%24B%24%2C%20a%20%249%20%5Ctimes%209%24%20matrix%20of%20zeros%20with%20%24%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%201%20%26%202%20%26%203%20%26%204%20%26%205%20%26%204%20%26%203%20%26%202%20%26%201%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%24%20on%20the%20diagonal%0A%20%20%20%20-%20%24C%24%2C%20a%20%2410%20%5Ctimes%2010%24%20matrix%20with%20numbers%20%241%2C%20%5Cdots%2C%20100%24%20down%20the%20column%0A%20%20%20%20-%20%24D%20%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%2013%20%26%20-1%20%26%205%20%5C%5C%20-22%20%26%2010%20%26%2087%5Cend%7Bpmatrix%7D%24%0A%20%20%20%20-%20%24E%24%2C%20a%20%245%20%5Ctimes%203%24%20matrix%20of%20random%20integers%20with%20values%20on%20the%20range%20%24-3%24%20to%20%243%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(NDArray%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20A%3A%20NDArray%5Bint%5D%20%3D%20np.full(shape%3D%5B9%2C%209%5D%2C%20fill_value%3D2)%0A%20%20%20%20B%3A%20NDArray%5Bint%5D%20%3D%20np.diag(%5B1%2C%202%2C%203%2C%204%2C%205%2C%204%2C%203%2C%202%2C%201%5D)%0A%20%20%20%20C%3A%20NDArray%5Bint%5D%20%3D%20np.linspace(1%2C%20100%2C%20100).astype(int).reshape(10%2C%2010).T%0A%20%20%20%20D%3A%20NDArray%5Bint%5D%20%3D%20np.array(%5B%5B13%2C%20-1%2C%205%5D%2C%20%5B-22%2C%2010%2C%2087%5D%5D)%0A%20%20%20%20%23%20The%20result%20is%20not%20uniformly%20distributed%20because%20of%20the%20sampling%20and%20rounding%20process%20here%0A%20%20%20%20E%3A%20NDArray%5Bint%5D%20%3D%20(-3%20%2B%206%20*%20np.random.random_sample(5%20*%203)).round().astype(int).reshape(5%2C%203)%0A%20%20%20%20return%20A%2C%20B%2C%20C%2C%20D%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20(d)%0A%0A%20%20%20%20Scalar%20expressions%2C%20using%20the%20variables%20created%20in%20(a)%2C%20calculate%20%24x%24%20and%20%24y%24.%0A%0A%20%20%20%20-%20%24%5Cdisplaystyle%20x%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B1%20%2B%20e%5E%7B-(a-15)%2F6%7D%7D%24%0A%20%20%20%20-%20%24%5Cdisplaystyle%20y%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Clog(%5Cmathcal%7BR%7D%5B(c%2Bd)(c-d)%5D%20%5Ccdot%20%5Csin(a%20%5Cpi%20%2F%203))%7D%7Bc%5Coverline%7Bc%7D%7D%24%20where%20%24%5Cmathcal%7BR%7D%24%20indicates%20the%20real%20part%20of%20a%20complex%20number%20and%20%24%5Clog%24%20is%20the%20natural%20logarithm%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(a%3A%20int%2C%20c%3A%20complex%2C%20d%3A%20complex%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20x%3A%20np.float64%20%3D%201%20%2F%20(1%20%2B%20np.exp(-(a%20-%2015)%20%2F%206))%0A%20%20%20%20%23%20When%20we%20are%20certain%20that%20the%20operation%20will%20yield%20a%20real%20number%2C%20we%20can%20take%20the%20real%20part%20by%20.real%20and%20annotate%20the%20type%20as%20float%0A%20%20%20%20y%3A%20np.float64%20%3D%20(np.log(np.real((c%20%2B%20d)%20*%20(c%20-%20d))%20*%20np.sin(a%20*%20np.pi%20%2F%203))%20%2F%20(c%20*%20np.conj(c))).real%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20(e)%0A%0A%20%20%20%20Vector%20expression%2C%20using%20the%20variables%20created%20in%20(b)%2C%20evaluate%20the%20expressions%20below%20elementwise.%0A%0A%20%20%20%20-%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cmathbf%7Bx%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%20%5Cpi%20(2.5)%5E2%7D%7De%5E%7B-%5Cmathbf%7Bv%7D%5E2%20%2F%20(2%20%5Ccdot%20(2.5)%5E2)%7D%24%0A%20%20%20%20-%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cmathbf%7By%7D%20%3D%20%5Csqrt%7B(%5Cmathbf%7Bu%7D%5ET)%5E2%20%2B%20%5Cmathbf%7Bv%7D%5E2%7D%24%0A%20%20%20%20-%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cmathbf%7Bz%7D%20%3D%20%5Clog_%7B10%7D(%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cmathbf%7Bm%7D%7D)%24%2C%20does%20the%20output%20make%20sense%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(NDArray%2C%20m%3A%20%22NDArray%22%2C%20np%2C%20u%3A%20%22NDArray%22%2C%20v%3A%20%22NDArray%22)%3A%0A%20%20%20%20x_vec%3A%20NDArray%5Bnp.float64%5D%20%3D%20(1%20%2F%20np.sqrt(2%20*%20np.pi%20*%20(2.5**2)))%20*%20np.exp(-(v**2)%20%2F%20(2%20*%20(2.5**2)))%0A%20%20%20%20y_vec%3A%20NDArray%5Bnp.float64%5D%20%3D%20np.sqrt((u.T)%20**%202%20%2B%20v**2)%0A%20%20%20%20z_vec%3A%20NDArray%5Bnp.float64%5D%20%3D%20np.log10(1%20%2F%20m)%0A%20%20%20%20return%20(z_vec%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%60z_vec%60%20should%20be%20an%20array%20from%200%20to%20-1%20because%20%24%5Clog_%7B10%7D(1%2F10%5Ex)%20%3D%20%5Clog_%7B10%7D(10%5E%7B-x%7D)%20%3D%20-x%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(z_vec%3A%20%22NDArray%5Bnp.float64%5D%22)%3A%0A%20%20%20%20z_vec%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20(f)%0A%0A%20%20%20%20Matrix%20expressions%2C%20using%20the%20variables%20created%20in%20(b)%20and%20(c)%2C%20evaluate%20the%20expressions%20below.%0A%0A%20%20%20%20-%20%24X%20%3D%20(%5Cmathbf%7Bu%7D%20%5Ccdot%20%5Cmathbf%7Bv%7D)%20A%5E2%24%0A%20%20%20%20-%20%24Y%20%3D%20%5Cmathbf%7Bv%7D%20%5Ccdot%20%5Cmathbf%7Bu%7D%24%0A%20%20%20%20-%20%24Z%20%3D%20%5Cdet(C)%20(AB)%5ET%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20A%3A%20%22NDArray%5Bint%5D%22%2C%0A%20%20%20%20B%3A%20%22NDArray%5Bint%5D%22%2C%0A%20%20%20%20C%3A%20%22NDArray%5Bint%5D%22%2C%0A%20%20%20%20NDArray%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20u%3A%20%22NDArray%22%2C%0A%20%20%20%20v%3A%20%22NDArray%22%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20X%3A%20NDArray%5Bnp.float64%5D%20%3D%20(np.dot(u%2C%20v))%20*%20np.linalg.matrix_power(A%2C%202)%0A%20%20%20%20Y%3A%20NDArray%5Bnp.float64%5D%20%3D%20np.dot(v%2C%20u)%0A%20%20%20%20%23%20We%20can%20also%20use%20A%20%40%20B%20for%20matrix%20multiplication%0A%20%20%20%20Z%3A%20NDArray%5Bnp.float64%5D%20%3D%20np.linalg.det(C)%20*%20np.matmul(A%2C%20B).T%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20(g)%0A%0A%20%20%20%20Common%20functions%20and%20indexing.%0A%0A%20%20%20%20-%20Compute%20the%20column-wise%20sum%20of%20%24C%24%0A%20%20%20%20-%20Compute%20the%20mean%20across%20the%20rows%20of%20%24D%24%0A%20%20%20%20-%20Display%20only%20the%20second%20column%20of%20%24D%24%0A%20%20%20%20-%20Display%20only%20the%20first%20row%20of%20%24D%24%0A%20%20%20%20-%20Replace%20the%20top%20row%20of%20%24D%24%20with%20%24%5B1%2C%201%2C%201%5D%24%0A%20%20%20%20-%20Extract%20the%20submatrix%20of%20%24C%24%20that%20only%20contains%20rows%20%242%24%20through%20%249%24%20and%20columns%20%242%24%20through%20%249%24%0A%20%20%20%20-%20Make%20the%20vector%20%24%5Cmathbf%7Bk%7D%20%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%201%20%26%202%20%26%203%20%26%20%5Cdots%20%26%2020%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%24%20and%20then%20make%20every%20other%20value%20in%20it%20negative%20to%20get%20%24%5Cmathbf%7Bk%7D%20%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%201%20%26%20-2%20%26%203%20%26%20%5Cdots%20%26%2019%20%26%20-20%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%24%0A%20%20%20%20-%20Make%20%24%5Cmathbf%7Br%7D%24%20a%20%241%20%5Ctimes%205%24%20vector%20using%20%60np.random.random_sample%60.%20Find%20the%20elements%20that%20have%20values%20strictly%20less%20than%20%240.5%24%20and%20set%20those%20values%20to%20%240%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(C%3A%20%22NDArray%5Bint%5D%22%2C%20D%3A%20%22NDArray%5Bint%5D%22%2C%20NDArray%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20%23%20%60keepdims%3DTrue%60%20to%20make%20column%20wise%20operation%20leaving%20a%20row%20(also%20by%20default)%20and%20row%20wise%20operation%20leaving%20a%20column%20(by%20default%20it%20leaves%20a%20row%20also)%0A%20%20%20%20column_wise_sum_C%3A%20NDArray%5Bint%5D%20%3D%20np.sum(C%2C%20axis%3D0%2C%20keepdims%3DTrue)%0A%20%20%20%20row_wise_mean_D%3A%20NDArray%5Bnp.float64%5D%20%3D%20np.mean(D%2C%20axis%3D1%2C%20keepdims%3DTrue)%0A%20%20%20%20second_column_D%3A%20NDArray%5Bint%5D%20%3D%20D%5B%3A%2C%201%5D%0A%20%20%20%20first_row_D%3A%20NDArray%5Bint%5D%20%3D%20D%5B0%2C%20%3A%5D%0A%20%20%20%20D%5B0%5D%20%3D%20%5B1%2C%201%2C%201%5D%0A%20%20%20%20submatrix_C%3A%20NDArray%5Bint%5D%20%3D%20C%5B2%3A10%2C%202%3A10%5D%0A%20%20%20%20k_vec%3A%20NDArray%5Bint%5D%20%3D%20np.linspace(1%2C%2020%2C%2020).astype(int)%20*%20(-1)%20**%20(np.arange(0%2C%2020))%0A%20%20%20%20r_vec%3A%20NDArray%5Bnp.float64%5D%20%3D%20np.random.random_sample((1%2C%205))%0A%20%20%20%20r_vec%5Br_vec%20%3C%200.5%5D%20%3D%200%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Section%202%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20(a)%0A%0A%20%20%20%20First%2C%20we'll%20deal%20with%20a%20geometric%20series%20%24%5Cdisplaystyle%20S%20%3D%20%5Csum_%7Bk%20%3D%200%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20r%5Ek%24.%20We%20need%20to%20define%20the%20value%20of%20%24r%24%20and%20the%20values%20of%20%24k%24.%20Say%20%24r%20%3D%200.99%24%20and%20%24k%24%20is%20an%20array%20containing%20the%20integers%20from%20%240%24%20to%20%241000%24%2C%20inclusive.%0A%0A%20%20%20%20-%20Calculate%20each%20term%20in%20the%20series%20%24a_k%20%3D%20r%5Ek%24%0A%20%20%20%20-%20Calculate%20the%20partial%20sums%20%24%5Cdisplaystyle%20S_k%20%3D%20%5Csum_%7Bi%20%3D%200%7D%5Ek%20a_i%24%0A%20%20%20%20-%20Calculate%20the%20value%20of%20the%20infinite%20series%20using%20the%20fact%20that%20%24%5Cdisplaystyle%20S%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B1%20-%20r%7D%24%0A%20%20%20%20-%20Plot%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Plot%20the%20value%20of%20the%20inifite%20series%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20On%20the%20same%20plot%2C%20plot%20the%20value%20of%20the%20finite%20series%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Label%20the%20axes%2C%20give%20the%20figure%20a%20title%2C%20and%20create%20a%20legend%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(NDArray%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20r%3A%20float%20%3D%200.99%0A%20%20%20%20num_sum_geom%3A%20int%20%3D%201000%0A%20%20%20%20k%3A%20NDArray%5Bint%5D%20%3D%20np.linspace(0%2C%20num_sum_geom%2C%20num_sum_geom%20%2B%201).astype(int)%0A%20%20%20%20a_k_geom%3A%20NDArray%5Bnp.float64%5D%20%3D%20r**k%0A%20%20%20%20S_k_geom%3A%20NDArray%5Bnp.float64%5D%20%3D%20np.cumsum(a_k_geom)%0A%20%20%20%20S_geom%3A%20float%20%3D%201%20%2F%20(1%20-%20r)%0A%20%20%20%20return%20S_geom%2C%20S_k_geom%2C%20r%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(S_geom%3A%20float%2C%20S_k_geom%3A%20%22NDArray%5Bnp.float64%5D%22%2C%20plt%2C%20r%3A%20float)%3A%0A%20%20%20%20plt.figure(figsize%3D(5%2C%203))%0A%20%20%20%20%23%20%60label%60%20is%20required%20for%20legend%20plotting%0A%20%20%20%20plt.plot(S_k_geom%2C%20label%3D%22Infinite%20sum%22)%0A%20%20%20%20plt.axhline(S_geom%2C%20color%3D%22orange%22%2C%20label%3D%22Finite%20sum%22)%0A%20%20%20%20plt.title(f%22Convergence%20of%20geometric%20series%20with%20r%3D%7Br%7D%22)%0A%20%20%20%20plt.xlabel(%22index%22)%0A%20%20%20%20plt.ylabel(%22sum%22)%0A%20%20%20%20plt.legend()%0A%20%20%20%20plt.show()%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20(b)%0A%0A%20%20%20%20Do%20a%20similar%20thing%20for%20the%20%24p%24-series%20%24%5Cdisplaystyle%20S%20%3D%20%5Csum_%7Bn%20%3D%201%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5E2%7D%24.%20Use%20%24n%24%20as%20a%20vector%20containing%20all%20the%20integers%20from%20%241%24%20to%20%24500%24%2C%20inclusive.%20Also%2C%20note%20%24%5Cdisplaystyle%20S%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cpi%5E2%7D%7B6%7D%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(NDArray%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20num_sum_p%3A%20int%20%3D%20500%0A%20%20%20%20n%3A%20NDArray%5Bint%5D%20%3D%20np.linspace(1%2C%20num_sum_p%2C%20num_sum_p).astype(int)%0A%20%20%20%20a_k_p%3A%20NDArray%5Bnp.float64%5D%20%3D%201%20%2F%20n**2%0A%20%20%20%20S_k_p%3A%20NDArray%5Bnp.float64%5D%20%3D%20np.cumsum(a_k_p)%0A%20%20%20%20S_p%3A%20float%20%3D%20np.pi**2%20%2F%206%0A%20%20%20%20return%20S_k_p%2C%20S_p%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(S_k_p%3A%20%22NDArray%5Bnp.float64%5D%22%2C%20S_p%3A%20float%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20plt.figure(figsize%3D(5%2C%203))%0A%20%20%20%20plt.plot(S_k_p%2C%20label%3D%22Infinite%20sum%22)%0A%20%20%20%20plt.axhline(S_p%2C%20color%3D%22orange%22%2C%20label%3D%22Finite%20sum%22)%0A%20%20%20%20plt.title(f%22Convergence%20of%20p-series%20with%20p%3D2%22)%0A%20%20%20%20plt.xlabel(%22index%22)%0A%20%20%20%20plt.ylabel(%22sum%22)%0A%20%20%20%20plt.legend()%0A%20%20%20%20plt.show()%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20(c)%0A%0A%20%20%20%20Visualize%20the%20error%20in%20the%20partial%20sums.%20Plot%20%24%7CS_n%20-%20S%7C%24%20for%20both%20the%20series.%20Use%20a%20logarithmic%20scale%20for%20the%20vertical%20axis%2C%20and%20add%20a%20grid%20for%20ease%20of%20reading.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20S_geom%3A%20float%2C%0A%20%20%20%20S_k_geom%3A%20%22NDArray%5Bnp.float64%5D%22%2C%0A%20%20%20%20S_k_p%3A%20%22NDArray%5Bnp.float64%5D%22%2C%0A%20%20%20%20S_p%3A%20float%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20r%3A%20float%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20plt.figure(figsize%3D(10%2C%203))%0A%0A%20%20%20%20plt.subplot(1%2C%202%2C%201)%0A%20%20%20%20plt.plot(np.abs(S_k_geom%20-%20S_geom)%2C%20label%3D%22Error%22)%0A%20%20%20%20%23%20Use%20plt.semilogy()%20for%20logarithmic%20scale%20y%20axis%0A%20%20%20%20plt.semilogy()%0A%20%20%20%20plt.grid()%0A%20%20%20%20plt.xlabel(%22index%22)%0A%20%20%20%20plt.ylabel(%22finite%20series%20truncation%20error%22)%0A%20%20%20%20plt.title(f%22Convergence%20of%20geometric%20series%20with%20r%3D%7Br%7D%22)%0A%0A%20%20%20%20plt.subplot(1%2C%202%2C%202)%0A%20%20%20%20plt.plot(np.abs(S_k_p%20-%20S_p)%2C%20label%3D%22Error%22)%0A%20%20%20%20plt.semilogy()%0A%20%20%20%20plt.grid()%0A%20%20%20%20plt.xlabel(%22index%22)%0A%20%20%20%20plt.ylabel(%22finite%20series%20truncation%20error%22)%0A%20%20%20%20plt.title(f%22Convergence%20of%20p-series%20with%20p%3D2%22)%0A%20%20%20%20plt.show()%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Section%203%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20Loops%20and%20flow%20control%3A%20Make%20function%20called%20%60loopTest(M%2C%20N)%60%20that%20loops%20through%20the%20values%20%24M%24%20through%20%24N%24.%20For%20each%20number%20%24n%24%20it%20should%20display%20%60n%20is%20divisible%20by%203%60%20or%20%60n%20is%20NOT%20divisible%20by%203%60%20and%20it%20should%20stop%20after%20finding%20three%20occurrences%20of%20a%20number%20divisible%20by%20three.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.function%0Adef%20loopTest(M%3A%20int%2C%20N%3A%20int)%20-%3E%20None%3A%0A%20%20%20%20count%20%3D%200%0A%20%20%20%20for%20number%20in%20range(M%2C%20N%20%2B%201)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20number%20%25%203%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20print(f%22%7Bnumber%7D%20is%20divisible%20by%203%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20count%20%3E%3D%203%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20print(f%22%7Bnumber%7D%20is%20NOT%20divisible%20by%203%22)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20loopTest(10%2C%2013)%0A%20%20%20%20print(%22---%22)%0A%20%20%20%20loopTest(13%2C%200)%0A%20%20%20%20print(%22---%22)%0A%20%20%20%20loopTest(1%2C%20200)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Section%204%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20The%20following%20description%20is%20adapted%20from%20Wikipedia%20at%20%5BJulia%20set%5D(http%3A%2F%2Fen.wikipedia.org%2Fwiki%2FJulia_set).%0A%0A%20%20%20%20Given%20two%20complex%20numbers%20%24c%24%20and%20%24z_0%24%2C%20we%20define%20the%20following%20recursion%20%24%24z_n%20%3D%20z_%7Bn-1%7D%5E2%20%2B%20c%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2C%20n%20%3D%201%2C%202%2C3%2C%20%5Cdots%24%24%20This%20is%20a%20dynamical%20system%20known%20as%20a%20quadratic%20map.%20Given%20a%20specific%20choice%20of%20%24c%24%20and%20%24z_0%24%2C%20the%20above%20recursion%20leads%20to%20a%20sequence%20of%20complex%20numbers%20%24z_1%2C%20z_2%2C%20z_3%2C%20%5Cdots%24%20called%20the%20orbit%20of%20%24z_0%24.%20Depending%20on%20the%20exact%20choice%20of%20%24c%24%20and%20%24z_0%24%2C%20a%20large%20range%20of%20orbit%20patterns%20are%20possible.%20For%20a%20given%20fixed%20%24c%24%2C%20most%20choices%20of%20%24z_0%24%20yield%20orbits%20that%20tend%20towards%20infinity.%20For%20some%20values%20of%20%24c%24%20certain%20choices%20of%20%24z_0%24%20yield%20orbits%20that%20eventually%20go%20into%20a%20periodic%20loop.%20Finally%2C%20some%20starting%20values%20yield%20orbits%20that%20appear%20to%20dance%20around%20the%20complex%20plane%2C%20apparently%20at%20random.%20(This%20is%20an%20example%20of%20chaos.)%20These%20starting%20values%2C%20%24z_0%24%20%2C%20make%20up%20the%20Julia%20set%20of%20the%20map%2C%20denoted%20%24J_c%24%20.%20In%20this%20problem%2C%20you%20will%20write%20python%20code%20that%20visualizes%20a%20slightly%20different%20set%2C%20called%20the%20filled-in%20Julia%20set%20(or%20Prisoner%20Set)%2C%20denoted%20%24K_c%24%20%2C%20which%20is%20the%20set%20of%20all%20%24z_0%24%20with%20orbits%20which%20do%20not%20tend%20towards%20infinity.%20The%20%22normal%22%20Julia%20set%20%24J_c%24%20is%20the%20boundary%20of%20the%20filled-in%20Julia%20set.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20(a)%0A%0A%20%20%20%20It%20has%20been%20shown%20that%20if%20the%20modulus%20of%20%24z_n%24%20becomes%20larger%20than%20%242%24%20for%20some%20%24n%24%20then%20it%20is%20guaranteed%20that%20the%20orbit%20will%20tend%20to%20infinity.%20The%20value%20of%20%24n%24%20for%20which%20this%20becomes%20true%20is%20called%20the%20'escape%20velocity'%20of%20a%20particular%20%24z_0%24.%20Write%20a%20function%20that%20returns%20the%20escape%20velocity%20of%20a%20given%20%24z_0%24%20and%20%24c%24.%20The%20function%20declaration%20should%20be%20%60n%20%3D%20escapeVelocity(z0%2C%20c%2C%20N)%60%20where%20%60N%60%20is%20the%20maximum%20allowed%20escape%20velocity%20(basically%2C%20if%20the%20modulus%20of%20%24z_n%24%20does%20not%20exceed%20%242%24%20for%20%24n%20%3C%20N%24%2C%20return%20%60N%60%20as%20the%20escape%20velocity.%20This%20will%20prevent%20infinite%20loops).%0A%0A%20%20%20%20To%20check%20your%20escape%20velocity%20function%2C%20run%20%60escapeVelocity(0.3%2B0.4j%2C%20-0.3%2B0.6j%2C%20100)%60.%20The%20result%20should%20be%20%606%60.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np)%3A%0A%20%20%20%20def%20escapeVelocity(z0%3A%20complex%2C%20c%3A%20complex%2C%20N%3A%20int)%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20z_current%20%3D%20z0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Start%20with%201%20in%20the%20for%20loop%20since%20z_0%20is%20given%20already%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20n%20in%20range(1%2C%20N)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20z_next%3A%20complex%20%3D%20z_current**2%20%2B%20c%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20z_current%3A%20complex%20%3D%20z_next%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20np.abs(z_current)%20%3E%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20n%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20N%0A%20%20%20%20return%20(escapeVelocity%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(escapeVelocity)%3A%0A%20%20%20%20escapeVelocity(0.3%20%2B%200.4j%2C%20-0.3%20%2B%200.6j%2C%20100)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20(b)%0A%0A%20%20%20%20To%20generate%20the%20filled%20in%20Julia%20set%2C%20write%20the%20following%20function%20%60M%20%3D%20julia(zMax%2C%20c%2C%20N)%60.%20%60zMax%60%20will%20be%20the%20maximum%20of%20the%20imaginary%20and%20complex%20parts%20of%20the%20various%20%24z_0%24s%20for%20which%20we%20will%20compute%20escape%20velocities.%20%60c%60%20and%20%60N%60%20are%20the%20same%20as%20defined%20above%2C%20and%20%60M%60%20is%20the%20matrix%20that%20contains%20the%20escape%20velocity%20of%20various%20%24z_0%24s.%0A%0A%20%20%20%20-%20In%20this%20function%2C%20you%20first%20want%20to%20make%20a%20%24500%C3%97500%24%20array%20that%20contains%20complex%20numbers%20with%20real%20part%20between%20%60-zMax%60%20and%20%60zMax%60%2C%20and%20imaginary%20part%20between%20%60-zMax%60%20and%20%60zMax%60.%20Call%20this%20array%20%60Z%60.%20Make%20the%20imaginary%20part%20vary%20along%20the%20%24y%24-axis%20of%20this%20array.%20You%20can%20most%20easily%20do%20this%20by%20using%20np.linspace%20and%20np.meshgrid%2C%20but%20you%20can%20also%20do%20it%20with%20a%20loop.%0A%20%20%20%20-%20For%20each%20element%20of%20%60Z%60%2C%20compute%20the%20escape%20velocity%20(by%20calling%20%60escapeVelocity%60)%20and%20store%20it%20in%20the%20same%20location%20in%20a%20matrix%20%60M%60.%20When%20done%2C%20the%20matrix%20%60M%60%20should%20be%20the%20same%20size%20as%20%60Z%60%20and%20contain%20escape%20velocities%20with%20values%20between%20%241%24%20and%20%24N%24.%0A%20%20%20%20-%20Run%20your%20julia%20function%20with%20various%20%60zMax%60%2C%20%60c%60%2C%20and%20%60N%60%20values%20to%20generate%20various%20fractals.%20To%20display%20the%20fractal%20use%20%60plt.imshow%60%3B%20you%20may%20also%20want%20to%20use%20%60origin%3D'lower'%60%20so%20the%20origin%20is%20in%20the%20lower-left%20corner%20instead%20of%20the%20upper-left%20corner).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(NDArray%2C%20escapeVelocity%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20def%20julia(zMax%3A%20float%2C%20c%3A%20complex%2C%20N%3A%20int)%20-%3E%20NDArray%5Bint%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20zMax%20%3D%20np.abs(zMax)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20n%3A%20int%20%3D%20500%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rows%3A%20NDArray%5Bnp.float64%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cols%3A%20NDArray%5Bnp.float64%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%60np.meshgrid%60%20will%20return%20a%20tuple%20of%20two%20ndarray's%20with%20the%20row%20and%20column%20values%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rows%2C%20cols%20%3D%20np.meshgrid(np.linspace(-zMax%2C%20zMax%2C%20n)%2C%20np.linspace(-zMax%2C%20zMax%2C%20n)%2C%20indexing%3D%22ij%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Direct%20operation%20on%20the%20rows%20and%20columns%20is%20possible%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Z%3A%20NDArray%5Bcomplex%5D%20%3D%20cols%20%2B%20rows%20*%201j%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%60np.vectorize%60%20provides%20a%20clean%20way%20to%20apply%20a%20function%20to%20an%20ndarray%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20The%20%60excluded%60%20argument%20tells%20which%20arguments%20are%20held%20constant%20but%20it%20is%20not%20essential%0A%20%20%20%20%20%20%20%20escape%3A%20np.vectorize%20%3D%20np.vectorize(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20escapeVelocity%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20excluded%3D%5B%22c%22%2C%20%22N%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20M%3A%20NDArray%5Bint%5D%20%3D%20escape(z0%3DZ%2C%20c%3Dc%2C%20N%3DN)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20M%0A%20%20%20%20return%20(julia%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(NDArray%2C%20julia%2C%20np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20def%20plot_julia(zMax%3A%20float%2C%20c%3A%20complex%2C%20N%3A%20int)%20-%3E%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20M%3A%20NDArray%5Bint%5D%20%3D%20julia(zMax%2C%20c%2C%20N)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20zMax%20%3D%20np.abs(zMax)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.figure(figsize%3D(4%2C%204))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%60extent%60%20gives%20the%20heatmap%20a%20customized%20*display*%20range%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.imshow(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20M%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cmap%3D%22viridis%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20origin%3D%22lower%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20extent%3D(-zMax%2C%20zMax%2C%20-zMax%2C%20zMax)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.colorbar()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.title(f%22Escape%20Velocity%20Map%20with%5Cnz%3D%7BzMax%7D%2C%5Cn%20c%3D%7Bc%7D%2C%5Cnand%20N%3D%7BN%7D%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.show()%0A%20%20%20%20return%20(plot_julia%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(plot_julia)%3A%0A%20%20%20%20plot_julia(1%2C%20-0.297491%20%2B%201j%20*%200.641051%2C%20100)%0A%20%20%20%20plot_julia(0.35%2C%20-0.297491%20%2B%201j%20*%200.641051%2C%20250)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20(c)%0A%0A%20%20%20%20Now%20make%20another%20function%20%60benoit(zMax%2C%20N)%60%2C%20identical%20to%20julia%20except%20that%20the%20recursion%20should%20be%20%24%24z_n%20%3D%20z_%7Bn%E2%88%921%7D%5E2%20%2B%20z_0%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2C%20n%20%3D%202%2C%203%2C%204%2C%5Cdots%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2C%20z_1%20%3D%200%24%24%0A%0A%20%20%20%20Notice%20that%20the%20point%20in%20the%20complex%20plane%2C%20%24z_0%24%2C%20is%20now%20playing%20the%20role%20of%20the%20constant%20%24c%24%20from%20the%20Julia%20set%2C%20and%20that%20the%20recursion%20always%20starts%20at%20the%20origin.%20You%20could%20write%20a%20new%20function%20similar%20to%20%60escapeVelocity%60%20but%20since%20the%20functional%20form%20of%20this%20recursion%20(quadratic%20map)%20is%20the%20same%2C%20you%20can%20re-use%20%60escapeVelocity%60%20but%20with%20%24z_0%24%20%20going%20in%20place%20of%20%24c%24%20and%20setting%20the%20%24z_0%24%20to%20zero.%0A%0A%20%20%20%20Show%20the%20result%20of%20%60benoit(2%2C%20100)%60%20with%20imshow%20as%20above.%20You%20will%20recognize%20the%20image!%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(NDArray%2C%20escapeVelocity%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20def%20benoit(zMax%3A%20float%2C%20N%3A%20int)%20-%3E%20NDArray%5Bint%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20zMax%20%3D%20np.abs(zMax)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20n%3A%20int%20%3D%20500%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rows%3A%20NDArray%5Bnp.float64%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cols%3A%20NDArray%5Bnp.float64%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rows%2C%20cols%20%3D%20np.meshgrid(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.linspace(-zMax%2C%20zMax%2C%20n)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.linspace(-zMax%2C%20zMax%2C%20n)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20indexing%3D%22ij%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Z%3A%20NDArray%5Bcomplex%5D%20%3D%20cols%20%2B%20rows%20*%201j%0A%20%20%20%20%20%20%20%20escape%3A%20np.vectorize%20%3D%20np.vectorize(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20escapeVelocity%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20excluded%3D%5B%22z0%22%2C%20%22N%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20M%3A%20NDArray%5Bint%5D%20%3D%20escape(z0%3D0%2C%20c%3DZ%2C%20N%3DN)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20M%0A%20%20%20%20return%20(benoit%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(NDArray%2C%20benoit%2C%20np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20def%20plot_benoit(zMax%3A%20float%2C%20N%3A%20int)%20-%3E%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20M%3A%20NDArray%5Bint%5D%20%3D%20benoit(zMax%2C%20N)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20zMax%20%3D%20np.abs(zMax)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.figure(figsize%3D(4%2C%204))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.imshow(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20M%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cmap%3D%22viridis%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20origin%3D%22lower%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20extent%3D(-zMax%2C%20zMax%2C%20-zMax%2C%20zMax)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.colorbar()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.title(f%22Escape%20Velocity%20Map%20with%5Cnz%3D%7BzMax%7D%20and%20N%3D%7BN%7D%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.show()%0A%20%20%20%20return%20(plot_benoit%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(plot_benoit)%3A%0A%20%20%20%20plot_benoit(2%2C%20250)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20It's%20the%20Mandelbrot%20set!%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A