Compute Homology

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.17.6%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20nav_menu%20%3D%20mo.nav_menu(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Findex.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Ahome')%7D%20Home%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20orientation%3D%22vertical%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20nav_menu%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Simplicial%20Homology%2C%20Persistence%2C%20and%20Bottleneck%20Distance%0A%0A%20%20%20%20In%20this%20notebook%2C%20we%20go%20beyond%20the%20construction%20of%20simplicial%20complexes%2C%20and%20begin%20to%20compute%20actual%20homological%20invariants%20that%20capture%20the%20shape%20of%20data.%0A%0A%20%20%20%20This%20notebook%20has%20three%20main%20goals%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20Compute%20homology%20groups%20using%20two%20different%20methods%3B%0A%20%20%20%20-%20Compute%20persistence%20diagrams%3B%0A%20%20%20%20-%20Compare%20persistence%20diagrams%20using%20bottleneck%20distance.%0A%0A%20%20%20%20All%20computations%20are%20performed%20directly%20in%20Python%2C%20without%20external%20TDA%20libraries%2C%20to%20give%20maximum%20transparency%20into%20the%20algorithms.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Simplicial%20Homology%0A%0A%20%20%20%20Recall%20that%20a%20simplicial%20complex%20is%20a%20collection%20of%20simplices%20(vertices%2C%20edges%2C%20triangles%2C%20etc.)%20that%20satisfy%20the%20closure%20property%3A%20every%20face%20of%20a%20simplex%20is%20also%20a%20simplex.%0A%0A%20%20%20%20Given%20a%20simplicial%20complex%2C%20we%20can%20compute%20its%20homology%20via%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20The%20boundary%20operator%20%24%5Cpartial_k%24%2C%20which%20maps%20%24k%24-simplices%20to%20their%20boundaries%20(formal%20sums%20of%20%24(k-1)%24-simplices)%3B%0A%20%20%20%20-%20The%20homology%20groups%3A%20%24H_k%20%3D%20%5Cker(%5Cpartial_k)%20%2F%20%5Ctext%7Bim%7D(%5Cpartial_%7Bk%2B1%7D)%24.%0A%0A%20%20%20%20These%20homology%20groups%20count%20topological%20features%20such%20as%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20%24H_0%24%3A%20connected%20components%2C%0A%20%20%20%20-%20%24H_1%24%3A%20holes%20(%241%24-dimensional%20cycles)%2C%0A%20%20%20%20-%20%24H_2%24%3A%20voids%20(%242%24-dimensional%20cavities)%2C%0A%20%20%20%20-%20And%20so%20on.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Two%20Methods%20for%20Computing%20Homology%0A%0A%20%20%20%20In%20this%20notebook%2C%20we%20compute%20homology%20using%20two%20different%20approaches.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Method%201%3A%20Matrix-based%20computation%0A%0A%20%20%20%20-%20We%20explicitly%20construct%20boundary%20matrices%3B%0A%20%20%20%20-%20We%20compute%20kernel%20and%20image%20ranks%20using%20linear%20algebra%3B%0A%20%20%20%20-%20From%20these%2C%20we%20directly%20calculate%20Betti%20numbers%3A%20%24%5Cbeta_k%20%3D%20%5Cdim(%5Cker(%5Cpartial_k))%20-%20%5Cdim(%5Ctext%7Bim%7D(%5Cpartial_%7Bk%2B1%7D))%24.%0A%0A%20%20%20%20This%20method%20follows%20the%20classical%20algebraic%20topology%20definition%20directly.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Method%202%3A%20Persistent%20Homology%20approach%20(on%20a%20static%20complex)%0A%0A%20%20%20%20-%20Even%20though%20persistence%20is%20usually%20used%20for%20filtrations%2C%20we%20can%20run%20the%20persistence%20machinery%20on%20a%20fixed%20complex%20to%20recover%20Betti%20numbers%3B%0A%20%20%20%20-%20In%20later%20sections%2C%20we%20extend%20this%20idea%20to%20actual%20filtrations.%0A%0A%20%20%20%20Both%20methods%20give%20the%20same%20Betti%20numbers%20(as%20they%20should)%2C%20but%20they%20reflect%20two%20different%20viewpoints%3A%20algebraic%20versus%20filtration-based%20computation.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20math%0A%20%20%20%20import%20networkx%20as%20nx%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20from%20scipy.linalg%20import%20null_space%0A%20%20%20%20import%20scipy.linalg%20as%20la%0A%20%20%20%20return%20la%2C%20math%2C%20np%2C%20nx%2C%20plt%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np)%3A%0A%20%20%20%20class%20SimplicialComplex%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20def%20__init__(self%2C%20all_simplices%2C%20is_sorted%3DFalse)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Initialize%20a%20simplicial%20complex.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Args%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20all_simplices%3A%20A%20list%20of%20tuples%20representing%20the%20simplices%20(each%20tuple%20is%20a%20simplex).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20is_sorted%3A%20A%20boolean%20flag%20indicating%20if%20the%20simplices%20are%20already%20sorted.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Raises%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ValueError%3A%20If%20the%20input%20is%20not%20a%20valid%20simplicial%20complex.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Sort%20the%20vertices%20in%20each%20simplex%20if%20not%20sorted%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20is_sorted%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20all_simplices%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20tuple(sorted(simplex))%20for%20simplex%20in%20all_simplices%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Ensure%20the%20input%20forms%20a%20valid%20simplicial%20complex%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20self._is_simplicial_complex(all_simplices)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22The%20input%20set%20is%20not%20a%20valid%20simplicial%20complex.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Store%20simplices%20in%20the%20complex%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.all_simplices%20%3D%20all_simplices%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20The%20dimension%20of%20the%20simplicial%20complex%20is%20determined%20by%20the%20maximum%20simplex%20dimension%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.dimension%20%3D%20len(max(all_simplices%2C%20key%3Dlen))%20-%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Group%20simplices%20by%20their%20dimension%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.dim_simplices%20%3D%20self._sort_simplices_by_dimension()%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20def%20process_complex(self)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Processes%20the%20simplicial%20complex%20by%20computing%20incidence%20matrices%2C%20persistence%20pairs%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20and%20homology%20groups.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Sort%20and%20flatten%20the%20simplices%20into%20a%20single%20list%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.all_simplices%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20simplex%20for%20dim%20in%20self.dim_simplices%20for%20simplex%20in%20dim%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Build%20incidence%20matrices%20for%20the%20complex%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.incidence_matrices%20%3D%20self._build_incidence_matrix()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Reduce%20the%20incidence%20matrices%20to%20find%20persistence%20pairs%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.reduced_incidence_matrices%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self._build_reduced_incidence_matrix()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Compute%20finite%20persistence%20pairs%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.finite_persistence_pairs%20%3D%20self._finite_persistence_pairs()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Compute%20infinite%20persistence%20pairs%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.infinite_persistence_pairs%20%3D%20self._infinite_persistence_pairs()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Compute%20homology%20groups%20based%20on%20persistence%20pairs%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.homology%20%3D%20self._homology()%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20def%20_sort_simplices_by_dimension(self)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Sorts%20and%20groups%20simplices%20by%20their%20dimension.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Returns%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20A%20list%20of%20lists%2C%20where%20each%20sublist%20contains%20simplices%20of%20a%20specific%20dimension.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Group%20simplices%20by%20their%20dimension%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20sorted(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20simplex%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20simplex%20in%20self.all_simplices%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20len(simplex)%20%3D%3D%20i%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20i%20in%20range(1%2C%20self.dimension%20%2B%202)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20def%20_is_simplicial_complex(self%2C%20all_simplices)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Checks%20whether%20the%20input%20forms%20a%20valid%20simplicial%20complex.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20A%20valid%20simplicial%20complex%20must%20contain%20all%20faces%20of%20each%20simplex.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Args%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20all_simplices%3A%20A%20list%20of%20simplices.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Returns%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20bool%3A%20True%20if%20the%20input%20forms%20a%20valid%20simplicial%20complex%2C%20False%20otherwise.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20simplex%20in%20all_simplices%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Single%20vertices%20(0-simplices)%20are%20always%20valid%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20len(simplex)%20%3D%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20continue%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20For%20higher-dimensional%20simplices%2C%20check%20that%20all%20faces%20(subsets)%20are%20present%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20i%20in%20range(len(simplex))%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Create%20a%20face%20by%20removing%20one%20vertex%20from%20the%20simplex%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20face%20%3D%20simplex%5B%3Ai%5D%20%2B%20simplex%5Bi%20%2B%201%20%3A%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20face%20not%20in%20all_simplices%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20False%20%20%23%20The%20face%20must%20be%20present%20in%20the%20simplicial%20complex%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20True%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20def%20_build_incidence_matrix(self)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Builds%20the%20incidence%20matrices%20for%20the%20simplicial%20complex.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20incidence%20matrix%20represents%20the%20boundary%20relations%20between%20k-simplices%20and%20(k%2B1)-simplices.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20A%20boundary%20matrix%20encodes%20which%20(k-1)-simplices%20are%20faces%20of%20k-simplices.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Returns%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20A%20list%20of%20incidence%20matrices%20for%20each%20dimension.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20incidence_matrices%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Iterate%20over%20adjacent%20dimensions%20to%20construct%20boundary%20matrices%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20k_simplices%2C%20kp1_simplices%20in%20zip(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.dim_simplices%2C%20self.dim_simplices%5B1%3A%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Initialize%20an%20empty%20incidence%20matrix%20of%20size%20(number%20of%20k-simplices)%20x%20(number%20of%20k%2B1-simplices)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20incidence_matrix_k%20%3D%20np.zeros(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(len(k_simplices)%2C%20len(kp1_simplices))%2C%20dtype%3Dint%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Fill%20the%20incidence%20matrix%20based%20on%20the%20boundary%20relations%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20simplex_index%2C%20simplex%20in%20enumerate(kp1_simplices)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20For%20each%20k%2B1-simplex%2C%20find%20the%20k-dimensional%20faces%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20i%20in%20range(len(simplex))%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20face%20%3D%20tuple(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20simplex%5B%3Ai%5D%20%2B%20simplex%5Bi%20%2B%201%20%3A%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%20%20%23%20Create%20the%20face%20by%20removing%20one%20vertex%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20face_index%20%3D%20k_simplices.index(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20face%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%20%20%23%20Find%20the%20index%20of%20the%20face%20in%20k-simplices%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20incidence_matrix_k%5Bface_index%2C%20simplex_index%5D%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%201%20%20%23%20Boundary%20relation%20is%20marked%20as%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20incidence_matrices.append(incidence_matrix_k)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20incidence_matrices%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20def%20_build_reduced_incidence_matrix(self)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Reduces%20the%20incidence%20matrices%20to%20compute%20persistence%20pairs.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Uses%20column%20reduction%20(mod%202)%20to%20simplify%20the%20incidence%20matrices%2C%20which%20is%20crucial%20for%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20calculating%20finite%20and%20infinite%20persistence%20pairs.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Returns%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20A%20list%20of%20reduced%20incidence%20matrices.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20def%20calculate_low_row_indices(matrix)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Compute%20the%20low-row%20index%20for%20each%20column%20in%20the%20matrix.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20low-row%20index%20of%20a%20column%20is%20the%20row%20index%20of%20the%20last%20'1'%20in%20that%20column.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20If%20a%20column%20is%20entirely%20zero%2C%20its%20low-row%20index%20is%20-1.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Args%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20matrix%3A%20A%20boundary%20matrix.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Returns%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20A%20list%20of%20low-row%20indices%20for%20each%20column.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rows%2C%20cols%20%3D%20matrix.shape%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20low_row_indices%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Loop%20over%20each%20column%20to%20find%20the%20last%20occurrence%20of%20'1'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20col%20in%20range(cols)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20indices%20%3D%20np.where(matrix%5B%3A%2C%20col%5D%20%3D%3D%201)%5B0%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20len(indices)%20%3E%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20low_row_indices.append(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20indices%5B-1%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%20%20%23%20Last%20occurrence%20of%20'1'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20low_row_indices.append(-1)%20%20%23%20No%20'1'%20in%20the%20column%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20low_row_indices%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20def%20reduce_columns(matrix)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Perform%20column%20reduction%20on%20the%20matrix%20using%20mod%202%20arithmetic.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20goal%20is%20to%20make%20the%20low-row%20indices%20unique%20by%20adding%20columns%20(mod%202)%20to%20remove%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20redundant%20columns%20with%20the%20same%20low-row%20index.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Args%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20matrix%3A%20The%20incidence%20matrix%20to%20be%20reduced.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Returns%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20reduced%20matrix.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rows%2C%20cols%20%3D%20matrix.shape%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20def%20check_unique_without_negatives(lst)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Check%20if%20the%20low-row%20indices%20are%20unique%2C%20ignoring%20-1%20values%20(empty%20columns).%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Args%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20lst%3A%20List%20of%20low-row%20indices.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Returns%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20bool%3A%20True%20if%20all%20indices%20(excluding%20-1)%20are%20unique%2C%20False%20otherwise.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20filtered_lst%20%3D%20%5Bx%20for%20x%20in%20lst%20if%20x%20!%3D%20-1%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20len(filtered_lst)%20%3D%3D%20len(set(filtered_lst))%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Perform%20reduction%20until%20the%20low-row%20indices%20are%20unique%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20while%20True%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20low_row_indices%20%3D%20calculate_low_row_indices(matrix)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20check_unique_without_negatives(low_row_indices)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20matrix%20%20%23%20Matrix%20is%20reduced%20if%20all%20low-row%20indices%20are%20unique%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20seen%20%3D%20%7B%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20col%20in%20range(cols)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20low_row%20%3D%20low_row_indices%5Bcol%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20low_row%20%3D%3D%20-1%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20continue%20%20%23%20Skip%20zero%20columns%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20low_row%20not%20in%20seen%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20seen%5Blow_row%5D%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20col%20%20%23%20Store%20the%20first%20column%20with%20this%20low-row%20index%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20If%20two%20columns%20share%20the%20same%20low-row%20index%2C%20add%20them%20(mod%202)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20first_col%20%3D%20seen%5Blow_row%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20matrix%5B%3A%2C%20col%5D%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20matrix%5B%3A%2C%20col%5D%20%2B%20matrix%5B%3A%2C%20first_col%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%20%25%202%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20reduced_incidence_matrices%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20remove_list%20%3D%20%5B%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Perform%20column%20reduction%20starting%20from%20the%20highest%20dimension's%20incidence%20matrix%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20incidence_matrix%20in%20self.incidence_matrices%5B%3A%3A-1%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Ignore%20columns%20marked%20for%20removal%20by%20zeroing%20them%20out%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20incidence_matrix%5B%3A%2C%20remove_list%5D%20%3D%200%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20incidence_matrix%20%3D%20reduce_columns(incidence_matrix)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20reduced_incidence_matrices.insert(0%2C%20incidence_matrix)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Calculate%20low-row%20indices%20and%20mark%20columns%20for%20removal%20in%20subsequent%20matrices%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20low_row_indices%20%3D%20calculate_low_row_indices(incidence_matrix)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20remove_list%20%3D%20%5Bindex%20for%20index%20in%20low_row_indices%20if%20index%20!%3D%20-1%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20reduced_incidence_matrices%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20def%20_finite_persistence_pairs(self)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Computes%20the%20finite%20persistence%20pairs%20using%20the%20reduced%20incidence%20matrices.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20A%20finite%20persistence%20pair%20corresponds%20to%20a%20birth%20and%20death%20of%20a%20topological%20feature%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(such%20as%20a%20connected%20component%20or%20a%20hole)%20in%20the%20simplicial%20complex.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Returns%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20A%20list%20of%20finite%20persistence%20pairs%20for%20each%20dimension.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20finite_persistence_pairs%20%3D%20%5B%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Iterate%20over%20each%20reduced%20incidence%20matrix%20(for%20each%20dimension)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20dimension%20in%20range(len(self.reduced_incidence_matrices))%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20k_persistence_pairs%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20reduced_incidence_matrix%20%3D%20self.reduced_incidence_matrices%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dimension%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rows%2C%20cols%20%3D%20reduced_incidence_matrix.shape%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Find%20persistence%20pairs%20from%20the%20reduced%20matrix%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20col%20in%20range(cols)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Check%20if%20the%20column%20represents%20the%20death%20of%20a%20topological%20feature%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20indices%20%3D%20np.where(reduced_incidence_matrix%5B%3A%2C%20col%5D%20%3D%3D%201)%5B0%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20len(indices)%20%3E%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20last_row%20%3D%20indices%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%20%20%23%20The%20low-row%20index%20indicates%20where%20the%20feature%20dies%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20birth_simplex_index%20%3D%20self.all_simplices.index(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.dim_simplices%5Bdimension%5D%5Blast_row%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20death_simplex_index%20%3D%20self.all_simplices.index(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.dim_simplices%5Bdimension%20%2B%201%5D%5Bcol%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20k_persistence_pairs.append(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(birth_simplex_index%2C%20death_simplex_index)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20finite_persistence_pairs.append(k_persistence_pairs)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20finite_persistence_pairs%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20def%20_infinite_persistence_pairs(self)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Computes%20the%20infinite%20persistence%20pairs.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20An%20infinite%20persistence%20pair%20corresponds%20to%20a%20feature%20that%20is%20born%20but%20never%20dies%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(such%20as%20a%20connected%20component%20or%20cycle%20that%20persists%20throughout%20the%20entire%20complex).%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Returns%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20A%20list%20of%20infinite%20persistence%20pairs%20for%20each%20dimension.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Collect%20simplices%20that%20are%20paired%20(i.e.%2C%20they%20die%20at%20some%20point)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20paired_simplices%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20num%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20sublist%20in%20self.finite_persistence_pairs%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20tup%20in%20sublist%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20num%20in%20tup%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20all_simplices%20%3D%20set(range(len(self.all_simplices)))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Infinite%20persistence%20corresponds%20to%20simplices%20that%20are%20never%20paired%20with%20a%20death%20simplex%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20infinite_persistence_pairs%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(simplex%2C%20np.inf)%20for%20simplex%20in%20all_simplices%20-%20paired_simplices%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20sorted(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pair%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20pair%20in%20infinite_persistence_pairs%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20len(self.all_simplices%5Bpair%5B0%5D%5D)%20%3D%3D%20i%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20i%20in%20range(1%2C%20self.dimension%20%2B%202)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20def%20_homology(self)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Computes%20the%20homology%20groups%20from%20the%20infinite%20persistence%20pairs.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20A%20homology%20group%20describes%20the%20topological%20features%20that%20persist%20in%20the%20complex%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20such%20as%20connected%20components%20(H0)%2C%20loops%20(H1)%2C%20and%20voids%20(H2).%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Returns%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20A%20list%20where%20each%20entry%20corresponds%20to%20the%20rank%20of%20the%20homology%20group%20for%20each%20dimension.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20homology%20%3D%20%5B0%5D%20*%20(self.dimension%20%2B%201)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Flatten%20the%20list%20of%20infinite%20persistence%20pairs%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20infinite_persistence_pairs%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20tup%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20sublist%20in%20self.infinite_persistence_pairs%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20tup%20in%20sublist%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Count%20the%20number%20of%20infinite%20persistence%20pairs%20in%20each%20dimension%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20infinite_persistence_pair%20in%20infinite_persistence_pairs%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20simplex%20%3D%20self.all_simplices%5Binfinite_persistence_pair%5B0%5D%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dimension%20%3D%20len(simplex)%20-%201%20%20%23%20The%20dimension%20of%20the%20simplex%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20homology%5Bdimension%5D%20%2B%3D%201%20%20%23%20Increment%20the%20count%20for%20this%20dimension%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20homology%0A%20%20%20%20return%20(SimplicialComplex%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(la%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20def%20safe_null_space(A%2C%20rcond%3D1e-12)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20A%20%3D%20np.asarray(A%2C%20dtype%3Dfloat%2C%20order%3D%22C%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20m%2C%20n%20%3D%20A.shape%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20m%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Null%20space%20of%20a%200%C3%97n%20matrix%20is%20all%20of%20R%5En%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20np.eye(n)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Null%20space%20of%20an%20m%C3%970%20matrix%20is%20%7B0%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20np.zeros((0%2C%200))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Use%20a%20more%20forgiving%20LAPACK%20driver%20for%20edge%20shapes%0A%20%20%20%20%20%20%20%20u%2C%20s%2C%20vh%20%3D%20la.svd(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20A%2C%20full_matrices%3DTrue%2C%20lapack_driver%3D%22gesvd%22%2C%20check_finite%3DFalse%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tol%20%3D%20(s.max()%20if%20s.size%20else%200.0)%20*%20rcond%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%20%3D%20(s%20%3E%20tol).sum()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20vh%5Br%3A%5D.T%20%20%23%20columns%20span%20the%20null%20space%0A%20%20%20%20return%20(safe_null_space%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np%2C%20safe_null_space)%3A%0A%20%20%20%20class%20ChainComplex%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20def%20__init__(self%2C%20simplicial_complex)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Initialize%20a%20chain%20complex%20from%20a%20simplicial%20complex.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20A%20chain%20complex%20is%20a%20sequence%20of%20vector%20spaces%20(or%20groups)%20connected%20by%20boundary%20operators.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20chain%20complex%20allows%20us%20to%20compute%20homology%20using%20boundary%20maps.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Args%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20simplicial_complex%3A%20An%20instance%20of%20the%20SimplicialComplex%20class.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.simplicial_complex%20%3D%20simplicial_complex%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Compute%20the%20boundary%20operators%20for%20the%20chain%20complex%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.boundary_ops%20%3D%20self._compute_boundary_ops()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Compute%20homology%20using%20the%20boundary%20operators%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.homology%20%3D%20self._compute_homology()%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20def%20_compute_boundary_ops(self)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Compute%20the%20boundary%20operators%20(boundary%20matrices)%20for%20each%20dimension%20of%20the%20simplicial%20complex.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Boundary%20operators%20map%20k-chains%20to%20(k-1)-chains%2C%20and%20the%20kernel%20and%20image%20of%20these%20operators%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20are%20used%20to%20compute%20homology%20groups.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Returns%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20A%20list%20of%20boundary%20matrices%20for%20each%20dimension.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dim_simplices%20%3D%20self.simplicial_complex.dim_simplices%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20boundary_ops%20%3D%20%5B%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Build%20boundary%20operators%20for%20each%20dimension%20(except%20the%20last%20one)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20k_simplices%2C%20kp1_simplices%20in%20zip(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dim_simplices%2C%20dim_simplices%5B1%3A%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20matrix%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20For%20each%20(k%2B1)-simplex%2C%20compute%20its%20boundary%20(k-simplices)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20simplex%20in%20kp1_simplices%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20faces%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20simplex%5B%3Ai%5D%20%2B%20simplex%5Bi%20%2B%201%20%3A%5D%20for%20i%20in%20range(len(simplex))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Create%20a%20row%20for%20each%20face%20in%20the%20k-simplices%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20matrix.append(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20simplex%20in%20faces%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20and%20faces.index(simplex)%20%25%202%20%3D%3D%200%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%20-1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20simplex%20in%20faces%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%200%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20simplex%20in%20k_simplices%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20boundary_ops.append(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.array(matrix).T%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%20%20%23%20Transpose%20the%20matrix%20to%20align%20with%20the%20chain%20maps%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20boundary_ops%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20def%20_compute_homology(self)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Compute%20the%20homology%20groups%20using%20the%20boundary%20operators.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20homology%20groups%20are%20computed%20as%20H_k%20%3D%20Ker(%E2%88%82_k)%20%2F%20Im(%E2%88%82_(k%2B1))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20where%20%E2%88%82_k%20is%20the%20boundary%20operator%20on%20k-chains.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Returns%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20A%20list%20of%20homology%20group%20ranks%20for%20each%20dimension.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20boundary_ops%20%3D%20self.boundary_ops.copy()%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Add%20zero%20maps%20at%20the%20end%20to%20handle%20boundary%20maps%20between%20the%20highest%20and%20lowest%20dimensions%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20boundary_ops%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mm%20%3D%20boundary_ops%5B-1%5D.shape%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%20%20%23%20Number%20of%20columns%20in%20the%20last%20boundary%20matrix%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20boundary_ops.append(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.ones((mm%2C%200))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%20%20%23%20Zero%20map%20from%20top-dimensional%20chains%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20boundary_ops%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20nn%20%3D%20boundary_ops%5B0%5D.shape%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%200%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%20%20%23%20Number%20of%20rows%20in%20the%20first%20boundary%20matrix%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20boundary_ops.insert(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%200%2C%20np.ones((0%2C%20nn))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%20%20%23%20Zero%20map%20from%200-chains%20to%20-1-chains%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20homology_groups%20%3D%20%5B%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Compute%20the%20homology%20for%20each%20dimension%20using%20null%20space%20and%20image%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20k_boundary_ops%2C%20kp1_boundary_ops%20in%20zip(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20boundary_ops%2C%20boundary_ops%5B1%3A%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Kernel%20(null%20space)%20of%20the%20boundary%20operator%20%E2%88%82_k%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20kappa%20%3D%20safe_null_space(k_boundary_ops)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Compute%20the%20image%20of%20%E2%88%82_(k%2B1)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20psi%2C%20_%2C%20_%2C%20_%20%3D%20np.linalg.lstsq(kappa%2C%20kp1_boundary_ops%2C%20rcond%3DNone)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Cokernel%20of%20the%20image%20(null%20space%20of%20the%20transpose)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ksi%20%3D%20safe_null_space(psi.T)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20homology_groups.append(np.dot(kappa%2C%20ksi))%20%20%23%20Homology%20group%20H_k%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Return%20the%20rank%20(number%20of%20generators)%20of%20each%20homology%20group%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%5Bgroup.shape%5B1%5D%20for%20group%20in%20homology_groups%5D%0A%20%20%20%20return%20(ChainComplex%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Persistence%20Diagrams%0A%0A%20%20%20%20The%20power%20of%20TDA%20lies%20in%20studying%20filtrations%3A%20instead%20of%20computing%20homology%20at%20a%20single%20scale%2C%20we%20analyze%20how%20homological%20features%20evolve%20across%20scales.%0A%0A%20%20%20%20A%20filtration%20is%20a%20nested%20sequence%20of%20complexes%3A%20%24%24K_0%20%5Csubseteq%20K_1%20%5Csubseteq%20%5Cdots%20%5Csubseteq%20K_n%24%24%20As%20the%20scale%20increases%2C%20new%20features%20appear%20(birth)%20and%20old%20features%20disappear%20(death).%20The%20persistence%20diagram%20records%20this%20as%20a%20multiset%20of%20points%20%24(b_i%2C%20d_i)%24%20in%20the%20plane.%20Each%20point%20represents%20a%20topological%20feature%20born%20at%20scale%20%24b_i%24%20and%20dying%20at%20%24d_i%24.%0A%0A%20%20%20%20In%20this%20notebook%2C%20we%20construct%20and%20visualize%20persistence%20diagrams%20manually.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Bottleneck%20Distance%0A%0A%20%20%20%20Persistence%20diagrams%20provide%20a%20natural%20way%20to%20compare%20datasets.%20The%20bottleneck%20distance%20measures%20similarity%20between%20two%20persistence%20diagrams%20by%20finding%20an%20optimal%20matching%20between%20their%20points.%0A%0A%20%20%20%20Roughly%20speaking%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20If%20two%20diagrams%20are%20similar%2C%20their%20bottleneck%20distance%20is%20small%3B%0A%20%20%20%20-%20If%20two%20datasets%20have%20very%20different%20topological%20structures%2C%20the%20bottleneck%20distance%20will%20be%20large.%0A%0A%20%20%20%20We%20compute%20bottleneck%20distances%20directly%20from%20point%20sets%20representing%20persistence%20diagrams.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(math%2C%20nx)%3A%0A%20%20%20%20def%20bottleneck_distance(persistence_1%2C%20persistence_2)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Computes%20the%20bottleneck%20distance%20between%20two%20persistence%20diagrams.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20bottleneck%20distance%20is%20the%20maximum%20distance%20any%20persistence%20pair%20from%20one%20diagram%0A%20%20%20%20%20%20%20%20must%20move%20to%20match%20a%20persistence%20pair%20in%20the%20other%20diagram.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Args%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20persistence_1%3A%20The%20first%20persistence%20diagram%20(list%20of%20lists%20of%20pairs).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20persistence_2%3A%20The%20second%20persistence%20diagram%20(list%20of%20lists%20of%20pairs).%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Returns%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20bottleneck%20distance%20between%20the%20two%20persistence%20diagrams.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Flatten%20the%20list%20of%20persistence%20pairs%0A%20%20%20%20%20%20%20%20persistence_1%20%3D%20%5Btup%20for%20sublist%20in%20persistence_1%20for%20tup%20in%20sublist%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20persistence_2%20%3D%20%5Btup%20for%20sublist%20in%20persistence_2%20for%20tup%20in%20sublist%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Compute%20the%20closest%20points%20to%20the%20diagonal%20y%20%3D%20x%20for%20each%20diagram%0A%20%20%20%20%20%20%20%20closest_points_1%20%3D%20%5B((x%20%2B%20y)%20%2F%202%2C%20(x%20%2B%20y)%20%2F%202)%20for%20x%2C%20y%20in%20persistence_1%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20closest_points_2%20%3D%20%5B((x%20%2B%20y)%20%2F%202%2C%20(x%20%2B%20y)%20%2F%202)%20for%20x%2C%20y%20in%20persistence_2%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Combine%20persistence_1%20with%20the%20closest%20points%20from%20persistence_2%20and%20vice%20versa%0A%20%20%20%20%20%20%20%20persistence_1%20%2B%3D%20closest_points_2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20persistence_2%20%2B%3D%20closest_points_1%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Compute%20all%20possible%20pairwise%20distances%20between%20points%20in%20persistence_1%20and%20persistence_2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20distances%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20math.sqrt((x2%20-%20x1)%20**%202%20%2B%20(y2%20-%20y1)%20**%202)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20(x1%2C%20y1)%20in%20persistence_1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20(x2%2C%20y2)%20in%20persistence_2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Sort%20distances%20to%20prepare%20for%20the%20bottleneck%20distance%20computation%0A%20%20%20%20%20%20%20%20sorted_distances%20%3D%20sorted(distances)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Bottleneck%20distance%20computation%20(binary%20search)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lower_bound%20%3D%200%0A%20%20%20%20%20%20%20%20upper_bound%20%3D%20len(sorted_distances)%20-%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20while%20lower_bound%20%3C%20upper_bound%20-%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20index%20%3D%20(lower_bound%20%2B%20upper_bound)%20%2F%2F%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20threshold%20%3D%20sorted_distances%5Bindex%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Build%20a%20bipartite%20graph%20connecting%20persistence%20pairs%20within%20the%20threshold%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20G%20%3D%20nx.Graph()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20G.add_nodes_from(persistence_1%2C%20bipartite%3D0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20G.add_nodes_from(persistence_2%2C%20bipartite%3D1)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Add%20edges%20based%20on%20distances%20between%20points%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20x1%2C%20y1%20in%20persistence_1%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20x2%2C%20y2%20in%20persistence_2%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20distance%20%3D%20max(abs(x2%20-%20x1)%2C%20abs(y2%20-%20y1))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20distance%20%3C%3D%20threshold%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20G.add_edge((x1%2C%20y1)%2C%20(x2%2C%20y2))%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Check%20if%20there%20is%20a%20complete%20matching%20in%20the%20bipartite%20graph%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20matching%20%3D%20nx.algorithms.matching.maximal_matching(G)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20If%20we%20have%20a%20complete%20matching%2C%20reduce%20the%20upper%20bound%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20len(matching)%20%3D%3D%20len(persistence_1)%20%3D%3D%20len(persistence_2)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20upper_bound%20%3D%20index%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20lower_bound%20%3D%20index%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Return%20the%20bottleneck%20distance%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20sorted_distances%5Bindex%5D%0A%20%20%20%20return%20(bottleneck_distance%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Persistence%20Diagram%20Visualization%0A%0A%20%20%20%20We%20visualize%20the%20persistence%20diagrams%20as%20scatter%20plots%20of%20birth%20vs.%20death%20pairs%2C%20to%20better%20illustrate%20how%20topological%20features%20evolve%20across%20the%20filtration.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(plt)%3A%0A%20%20%20%20def%20plot_persistence_diagram_single_dimension(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20simplicial_complex%2C%20dimension%2C%20size_plot%3D10%0A%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Plots%20the%20persistence%20diagram%20for%20a%20single%20dimension%20of%20a%20simplicial%20complex.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20A%20persistence%20diagram%20visually%20represents%20the%20birth%20and%20death%20of%20topological%20features%0A%20%20%20%20%20%20%20%20in%20a%20given%20dimension.%20Points%20above%20the%20diagonal%20represent%20finite%20persistence%2C%20while%20points%0A%20%20%20%20%20%20%20%20at%20infinity%20(on%20the%20dashed%20line)%20represent%20infinite%20persistence.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Args%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20simplicial_complex%3A%20An%20instance%20of%20the%20SimplicialComplex%20class.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dimension%3A%20The%20dimension%20for%20which%20to%20plot%20the%20persistence%20diagram.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20size_plot%3A%20The%20size%20of%20the%20plot%20(default%20is%2010).%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Raises%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ValueError%3A%20If%20the%20given%20dimension%20exceeds%20the%20maximum%20dimension%20of%20the%20simplicial%20complex.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Check%20if%20the%20dimension%20is%20valid%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20dimension%20%3E%20simplicial_complex.dimension%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(%22Invalid%20dimension.%22)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Extract%20finite%20and%20infinite%20persistence%20pairs%0A%20%20%20%20%20%20%20%20finite_persistence_pairs%20%3D%20simplicial_complex.finite_persistence_pairs%0A%20%20%20%20%20%20%20%20infinite_persistence_pairs%20%3D%20simplicial_complex.infinite_persistence_pairs%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Compute%20an%20upper%20bound%20for%20the%20plot%20axes%0A%20%20%20%20%20%20%20%20top_level%20%3D%20max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20int(len(simplicial_complex.all_simplices)%20*%201.1)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20len(simplicial_complex.all_simplices)%20%2B%20size_plot%20%2F%2010%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Adjust%20infinite%20persistence%20pairs%20for%20plotting%0A%20%20%20%20%20%20%20%20infinite_persistence_pairs%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B(x%2C%20top_level)%20for%20(x%2C%20y)%20in%20sublist%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20sublist%20in%20infinite_persistence_pairs%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Create%20a%20scatter%20plot%20for%20the%20persistence%20diagram%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.figure(figsize%3D(size_plot%2C%20size_plot))%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Plot%20infinite%20persistence%20pairs%20(in%20red)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20infinite_persistence_pairs%20%3D%20infinite_persistence_pairs%5Bdimension%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20infinite_persistence_pairs%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x_infinite%2C%20y_infinite%20%3D%20zip(*infinite_persistence_pairs)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20plt.scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x_infinite%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y_infinite%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22red%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Infinite%20Persistence%20Pairs%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Plot%20finite%20persistence%20pairs%20(in%20blue)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20dimension%20%3C%20simplicial_complex.dimension%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20finite_persistence_pairs%20%3D%20finite_persistence_pairs%5Bdimension%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20finite_persistence_pairs%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x_finite%2C%20y_finite%20%3D%20zip(*finite_persistence_pairs)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20plt.scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x_finite%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y_finite%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22blue%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Finite%20Persistence%20Pairs%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Plot%20the%20diagonal%20(birth%20%3D%20death)%20for%20reference%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.plot(%5B0%2C%20top_level%5D%2C%20%5B0%2C%20top_level%5D%2C%20color%3D%22green%22%2C%20label%3D%22Diagonal%22)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Add%20a%20dashed%20horizontal%20line%20representing%20infinity%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.axhline(y%3Dtop_level%2C%20color%3D%22purple%22%2C%20linestyle%3D%22--%22%2C%20label%3D%22Infinity%22)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Set%20plot%20limits%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.xlim(0%2C%20top_level)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.ylim(0%2C%20top_level%20%2B%20size_plot%20%2F%2010)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Add%20labels%20and%20title%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.xlabel(%22Birth%22%2C%20fontsize%3Dsize_plot%20*%201.4)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.ylabel(%22Death%22%2C%20fontsize%3Dsize_plot%20*%201.4)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.title(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22Persistence%20Diagram%20of%20Dimension%20%7Bdimension%7D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3Dsize_plot%20*%201.8%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.legend()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.grid(True)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Display%20the%20plot%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.show()%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%0A%0A%20%20%20%20def%20plot_persistence_diagram_all_dimension(simplicial_complex%2C%20size_plot%3D10)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Plots%20the%20persistence%20diagram%20for%20all%20dimensions%20of%20a%20simplicial%20complex.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20In%20this%20plot%2C%20each%20point%20represents%20a%20persistence%20pair%20from%20any%20dimension.%20Points%20above%0A%20%20%20%20%20%20%20%20the%20diagonal%20represent%20finite%20persistence%2C%20while%20points%20at%20infinity%20are%20placed%20on%20a%20dashed%20line.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Args%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20simplicial_complex%3A%20An%20instance%20of%20the%20SimplicialComplex%20class.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20size_plot%3A%20The%20size%20of%20the%20plot%20(default%20is%2010).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Extract%20finite%20and%20infinite%20persistence%20pairs%0A%20%20%20%20%20%20%20%20finite_persistence_pairs%20%3D%20simplicial_complex.finite_persistence_pairs%0A%20%20%20%20%20%20%20%20infinite_persistence_pairs%20%3D%20simplicial_complex.infinite_persistence_pairs%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Compute%20an%20upper%20bound%20for%20the%20plot%20axes%0A%20%20%20%20%20%20%20%20top_level%20%3D%20max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20int(len(simplicial_complex.all_simplices)%20*%201.1)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20len(simplicial_complex.all_simplices)%20%2B%20size_plot%20%2F%2010%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Adjust%20infinite%20persistence%20pairs%20for%20plotting%0A%20%20%20%20%20%20%20%20infinite_persistence_pairs%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B(x%2C%20top_level)%20for%20(x%2C%20y)%20in%20sublist%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20sublist%20in%20infinite_persistence_pairs%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Create%20a%20scatter%20plot%20for%20the%20persistence%20diagram%20of%20all%20dimensions%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.figure(figsize%3D(size_plot%2C%20size_plot))%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Loop%20through%20each%20dimension%20and%20plot%20both%20finite%20and%20infinite%20persistence%20pairs%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20dimension%20in%20range(simplicial_complex.dimension%20%2B%201)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Plot%20infinite%20persistence%20pairs%20(red%20text%20for%20infinite%20persistence)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20k_infinite_persistence_pairs%20%3D%20infinite_persistence_pairs%5Bdimension%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20x%2C%20y%20in%20k_infinite_persistence_pairs%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20plt.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%2C%20y%2C%20str(dimension)%2C%20fontsize%3Dsize_plot%20*%201.4%2C%20color%3D%22red%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Plot%20finite%20persistence%20pairs%20(blue%20text%20for%20finite%20persistence)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20dimension%20%3C%20simplicial_complex.dimension%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20k_finite_persistence_pairs%20%3D%20finite_persistence_pairs%5Bdimension%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20x%2C%20y%20in%20k_finite_persistence_pairs%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20plt.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20str(dimension)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3Dsize_plot%20*%201.4%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22blue%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Plot%20the%20diagonal%20(birth%20%3D%20death)%20for%20reference%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B0%2C%20top_level%20-%20size_plot%20%2F%2020%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B0%2C%20top_level%20-%20size_plot%20%2F%2020%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22green%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Diagonal%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Add%20a%20dashed%20horizontal%20line%20representing%20infinity%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.axhline(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dtop_level%20-%20size_plot%20%2F%2020%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22purple%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20linestyle%3D%22--%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Infinity%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Set%20plot%20limits%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.xlim(0%2C%20top_level%20-%20size_plot%20%2F%2020)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.ylim(0%2C%20top_level%20%2B%20size_plot%20%2F%2010)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Add%20labels%20and%20title%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.xlabel(%22Birth%22%2C%20fontsize%3Dsize_plot%20*%201.4)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.ylabel(%22Death%22%2C%20fontsize%3Dsize_plot%20*%201.4)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.title(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Persistence%20Diagram%20of%20All%20Dimensions%22%2C%20fontsize%3Dsize_plot%20*%201.8%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.legend()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.grid(True)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Display%20the%20plot%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.show()%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plot_persistence_diagram_all_dimension%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plot_persistence_diagram_single_dimension%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Example%0A%0A%20%20%20%20In%20this%20example%2C%20we%20construct%20two%20simplicial%20complexes%20manually.%0A%0A%20%20%20%20The%20first%20simplicial%20complex%20is%20built%20on%20%247%24%20vertices%20labeled%20%240%24%20through%20%246%24.%20It%20contains%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20All%20%240%24-simplices%20(individual%20vertices)%3B%0A%20%20%20%20-%20All%20possible%20%241%24-simplices%20(edges)%20connecting%20pairs%20of%20these%20vertices%3B%0A%20%20%20%20-%20A%20collection%20of%20%242%24-simplices%20(triangles)%20formed%20by%20certain%20triples%20of%20vertices.%0A%0A%20%20%20%20This%20complex%20is%20designed%20to%20contain%20many%20triangles%2C%20but%20not%20all%20possible%20ones%2C%20so%20that%20nontrivial%20%241%24-dimensional%20homology%20may%20appear.%0A%0A%20%20%20%20The%20second%20simplicial%20complex%20is%20smaller%2C%20defined%20on%20only%20%244%24%20vertices%20labeled%20%240%24%20through%20%243%24.%20It%20includes%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20All%20%240%24-simplices%20for%20these%20vertices.%0A%20%20%20%20-%20Several%20%241%24-simplices%20forming%20connections%20between%20them.%0A%20%20%20%20-%20Two%20%242%24-simplices%3A%20%24(1%2C2%2C3)%24%20and%20%24(0%2C1%2C2)%24.%0A%0A%20%20%20%20The%20second%20complex%20resembles%20two%20overlapping%20triangles%20glued%20along%20a%20shared%20edge%2C%20which%20produces%20a%20different%20homological%20structure%20compared%20to%20the%20first%20complex.%0A%0A%20%20%20%20We%20compute%20homology%20for%20both%20complexes%20using%20two%20different%20methods%3A%20directly%20via%20chain%20complexes%20(using%20%60ChainComplex%60)%20and%20via%20persistence%20pairs%20(using%20%60SimplicialComplex%60).%20Finally%2C%20we%20compute%20the%20bottleneck%20distance%20between%20their%20persistence%20diagrams%20to%20compare%20the%20topological%20summaries%20of%20the%20two%20complexes.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20ChainComplex%2C%0A%20%20%20%20SimplicialComplex%2C%0A%20%20%20%20bottleneck_distance%2C%0A%20%20%20%20plot_persistence_diagram_all_dimension%2C%0A%20%20%20%20plot_persistence_diagram_single_dimension%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20all_simplices_1%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(0%2C)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(1%2C)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(2%2C)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(3%2C)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(4%2C)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(5%2C)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(6%2C)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(0%2C%201)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(0%2C%202)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(0%2C%203)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(0%2C%204)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(0%2C%205)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(0%2C%206)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(1%2C%202)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(1%2C%203)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(1%2C%204)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(1%2C%205)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(1%2C%206)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(2%2C%203)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(2%2C%204)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(2%2C%205)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(2%2C%206)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(3%2C%204)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(3%2C%205)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(3%2C%206)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(4%2C%205)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(4%2C%206)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(5%2C%206)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(0%2C%201%2C%203)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(0%2C%201%2C%205)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(0%2C%202%2C%203)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(0%2C%202%2C%206)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(0%2C%204%2C%205)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(0%2C%204%2C%206)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(1%2C%202%2C%204)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(1%2C%202%2C%206)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(1%2C%203%2C%204)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(1%2C%205%2C%206)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(2%2C%203%2C%205)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(2%2C%204%2C%205)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(3%2C%204%2C%206)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(3%2C%205%2C%206)%2C%0A%20%20%20%20%5D%0A%0A%20%20%20%20sc_1%20%3D%20SimplicialComplex(all_simplices_1)%0A%20%20%20%20sc_1.process_complex()%0A%20%20%20%20cc_1%20%3D%20ChainComplex(sc_1)%0A%20%20%20%20print(f%22%3D%3DHomology%20of%20the%20First%20Simplicial%20Complex%3D%3D%22)%0A%20%20%20%20print(f%22Compute%20using%20chain%20complex%3A%20%20%20%20%7Bcc_1.homology%7D%22)%0A%20%20%20%20print(f%22Compute%20using%20persistence%20pair%3A%20%7Bsc_1.homology%7D%22)%0A%0A%20%20%20%20all_simplices_2%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(0%2C)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(1%2C)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(2%2C)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(3%2C)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(0%2C%202)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(0%2C%201)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(2%2C%203)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(1%2C%203)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(1%2C%202)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(1%2C%202%2C%203)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(0%2C%201%2C%202)%2C%0A%20%20%20%20%5D%0A%0A%20%20%20%20sc_2%20%3D%20SimplicialComplex(all_simplices_2)%0A%20%20%20%20sc_2.process_complex()%0A%20%20%20%20cc_2%20%3D%20ChainComplex(sc_2)%0A%20%20%20%20print(f%22%3D%3DHomology%20of%20the%20Second%20Simplicial%20Complex%3D%3D%22)%0A%20%20%20%20print(f%22Compute%20using%20chain%20complex%3A%20%20%20%20%7Bcc_2.homology%7D%22)%0A%20%20%20%20print(f%22Compute%20using%20persistence%20pair%3A%20%7Bsc_2.homology%7D%22)%0A%0A%20%20%20%20print(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22The%20bottleneck%20distance%20between%20the%20two%20persistence%20diagrams%20is%20%7Bbottleneck_distance(sc_1.finite_persistence_pairs%2C%20sc_2.finite_persistence_pairs)%7D.%22%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20print(f%22%3D%3DPersistence%20Diagram%20of%20the%20First%20Simplicial%20Complex%3D%3D%22)%0A%0A%20%20%20%20plot_persistence_diagram_single_dimension(sc_1%2C%200)%0A%20%20%20%20plot_persistence_diagram_all_dimension(sc_1)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Filtrations%20in%20Context%0A%0A%20%20%20%20Although%20we%20compute%20persistence%20diagrams%20here%2C%20this%20notebook%20operates%20mainly%20on%20fixed%20simplicial%20complexes.%20In%20full-scale%20TDA%2C%20filtrations%20are%20essential.%0A%0A%20%20%20%20-%20Instead%20of%20a%20single%20complex%2C%20one%20builds%20a%20family%20of%20complexes%20across%20multiple%20scales%3B%0A%20%20%20%20-%20Vietoris-Rips%2C%20%C4%8Cech%2C%20Alpha%2C%20and%20Witness%20filtrations%20are%20common%20depending%20on%20the%20application%3B%0A%20%20%20%20-%20Zigzag%20filtrations%20allow%20for%20non-monotonic%20data%20where%20simplices%20may%20appear%20and%20disappear.%0A%0A%20%20%20%20The%20persistent%20homology%20pipeline%20extracts%20stable%20topological%20summaries%20across%20these%20filtrations.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A