Topology Qualifying Exam

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.17.6%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20nav_menu%20%3D%20mo.nav_menu(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Findex.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Ahome')%7D%20Home%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20orientation%3D%22vertical%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20nav_menu%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%201%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7B%5Comega%7D%24%20be%20the%20Cartesian%20product%20of%20countably%20many%20copies%20of%20the%20real%20line%2C%20and%20%24f%3A%20%5Cmathbb%7BR%7D%20%5Cto%20%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7B%5Comega%7D%24%20the%20diagonal%20function%20%24f(x)%20%3D%20(x%2Cx%2C%5Cdots%2Cx%2C%5Cdots)%24**.%0A%0A%20%20%20%201.%20**Is%20%24f%24%20continuous%20with%20respect%20to%20the%20product%20topology%20on%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7B%5Comega%7D%24%3F%20Explain**%3B%0A%20%20%20%202.%20**Is%20%24f%24%20continuous%20with%20respect%20to%20the%20box%20topology%20on%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7B%5Comega%7D%24%3F%20Explain**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%202%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24f_n%3A%20%5Cmathbb%7BR%7D%20%5Cto%20%5Cmathbb%7BR%7D%24%20be%20a%20sequence%20of%20continuous%20functions%20defined%20by%20the%20formula**%20%24%24f_n(x)%20%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%5Csqrt%7Bn%5E2%20-%20x%5E2%7D%2C%26%7Cx%7C%3Cn%2C%5C%5C0%2C%26%7Cx%7C%5Cge%20n.%5Cend%7Bcases%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%201.%20**Show%20that%20the%20sequence%20%24f_n(x)%24%20converges%20point-wise%20and%20find%20its%20limit**%3B%0A%20%20%20%202.%20**Does%20the%20sequence%20%24f_n(x)%24%20converges%20uniformly%3F%20Explain**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%203%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Prove%20or%20disprove%20the%20following%20statements%20with%20brief%20but%20complete%20reasoning**%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20**Any%20infinite%20set%20with%20the%20finite%20complement%20topology%20is%20connected**%3B%0A%20%20%20%202.%20**The%20real%20line%20with%20the%20lower%20limit%20topology%20is%20connected**%3B%0A%20%20%20%203.%20**The%20complement%20of%20the%20central%20circle%20in%20the%20M%C3%B6bius%20band%20is%20connected**%3B%0A%20%20%20%204.%20**The%20union%20of%20the%20graphs%20%24y%20%3D%20e%5Ex%24%20and%20%24y%20%3D%200%24%20in%20the%20coordinate%20%24xy%24-plane%20is%20connected**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%204%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24X%24%20be%20a%20Hausdorff%20topological%20space%20and%20suppose%20that%20you%20are%20given%20a%20nested%20collection**%20%24%24%5Cdots%20%5Csubset%20C_n%20%5Csubset%20C_%7Bn-1%7D%20%5Csubset%20%5Cdots%20%5Csubset%20C_2%20%5Csubset%20C_1%24%24%20**of%20non-empty%20compact%20subspaces%20of%20%24X%24.%20Prove%20that%20the%20intersection**%20%24%24C%20%3D%20%5Cbigcap_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7DC_n%24%24%20**is%20non-empty%20and%20compact**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%205%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Prove%20that%20the%20set%20%24X%20%3D%20%5C%7B(x%2Cy)%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%5E2%7Cx%5E2%20%3D%20y%5E3%5C%7D%24%20is%20not%20a%20smooth%20manifold**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%206%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24S%5E1%24%20be%20the%20unit%20circle%20%24x%5E2%20%2B%20y%5E2%20%3D%201%24%20in%20the%20coordinate%20%24xy%24-plane.%20Find%20all%20the%20critical%20points%20of%20the%20function%20%24f%3A%20S%5E1%20%5Cto%20%5Cmathbb%7BR%7D%24%20given%20by%20the%20formula%20%24f(x%2Cy)%20%3D%20xy%24**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%207%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24X%24%20be%20a%20compact%20smooth%20oriented%20manifold%20with%20boundary.%20Prove%20that%20there%20does%20not%20exist%20a%20smooth%20retraction%20of%20%24X%24%20onto%20its%20boundary%20%24%5Cpartial%20X%24**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%208%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20the%20Euclidean%20space%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%5E4%24%20have%20coordinates%20%24x%2C%20y%2C%20z%24%20and%20%24w%24.%20Integrate%20the%20differential%20%242%24-form**%20%24%24dz%20%5Cwedge%20dw%20%2B%20xzdy%20%5Cwedge%20dw%24%24%20**over%20the%20torus%20%24T%20%5Csubset%20%5Cmathbb%7BR%7D%5E4%24%20given%20by%20the%20equations%20%24x%5E2%20%2B%20y%5E2%20%3D%201%24%20and%20%24z%5E2%20%2B%20w%5E2%20%3D%201%24**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A