Topology Past Qualifying Exam 2

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.17.6%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20nav_menu%20%3D%20mo.nav_menu(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Findex.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Ahome')%7D%20Home%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20orientation%3D%22vertical%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20nav_menu%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Exam%207%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%201%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24A%24%20be%20a%20subset%20of%20a%20topological%20space%20%24X%24%2C%20prove%20that%20%24A%24%20is%20open%20in%20%24X%24%20if%20and%20only%20if%20every%20point%20in%20%24A%24%20has%20a%20neighborhood%20contained%20in%20%24A%24**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%202%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24f%3A%20X%5Cto%20Y%24%20be%20a%20continuous%20bijective%20map%20from%20a%20compact%20topological%20space%20%24X%24%20to%20a%20Hausdorff%20topological%20space%20%24Y%24%2C%20show%20that%20%24f%24%20is%20a%20homeomorphism**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%203%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Prove%20that%20every%20compact%20Hausdorff%20space%20%24X%24%20is%20regular**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20Say%20%24A%20%5Csubseteq%20X%24%20is%20closed%20and%20%24x%24%20is%20a%20point%20in%20%24X%20-%20A%24%2C%20we%20need%20to%20separate%20them%3A%20since%20%24A%24%20is%20closed%20in%20compact%20set%2C%20it%20is%20compact.%20Now%20for%20each%20point%20%24a%24%20in%20%24A%24%20assign%20it%20with%20%24U(a)%24%20such%20that%20%24U(a)%24%20is%20disjoint%20with%20some%20%24U_a(x)%24%2C%20neighborhood%20of%20%24x%24%20(we%20can%20do%20that%20because%20%24X%24%20is%20Hausdorff)%2C%20now%20the%20collection%20%24%5Clbrace%20U(a)%20%5Crbrace%24%20(more%20precisely%20it%20is%20%24U(a)%20%5Ccap%20A%24%2C%20but%20it%20is%20not%20important%20here)%20for%20an%20open%20covering%20for%20%24A%24%20thus%20admit%20a%20finite%20covering.%20Now%20%24%5Cbigcup%5Climits%5EN%20U(a)%24%20and%20%24%5Cbigcap%5Climits%5EN%20U_a(x)%24%20are%20disjoint%20open%20sets%20containing%20%24A%24%20and%20%24x%24%20respectively.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%204%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24(X%2Cd)%24%20be%20a%20metric%20space%2C%20%24A%20%5Csubseteq%20X%24%20and%20%24x%20%5Cin%20X%24%2C%20prove%20that%20the%20point%20%24x%24%20is%20in%20the%20closure%20of%20%24A%24%20if%20and%20only%20if%20there%20is%20a%20sequence%20of%20points%20%24x_n%20%5Cin%20A%24%20that%20converges%20to%20%24x%24**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%205%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24S%5Em%20%5Csubseteq%20%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7Bm%2B1%7D%24%20be%20the%20unit%20sphere%2C%20prove%20if%20%24m%24%20is%20odd%2C%20then%20the%20antipodal%20map%20%24%5Calpha%3A%20S%5Em%20%5Cto%20S%5Em%24%20is%20homotopic%20to%20the%20identity%20map.%20Is%20the%20same%20true%20if%20%24m%24%20is%20even**%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%206%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24H%20%5Csubseteq%20%5Cmathbb%7BR%7D%5E3%24%20be%20the%20hyperboloid%20defined%20by%20%24x%5E2%2By%5E2-z%5E2%20%3D%201%24%2C%20for%20%24a%20%3E%200%24%2C%20let%20%24S_a%20%5Csubseteq%20%5Cmathbb%7BR%7D%5E3%24%20be%20the%20sphere%20%24(x-2)%5E2%2By%5E2%2Bz%5E2%20%3D%20a%24%2C%20for%20what%20values%20of%20%24a%24%20does%20%24S_a%24%20intersect%20%24H%24%20transversally%3F%20For%20each%20value%20of%20%24a%24%20where%20%24S_a%24%20and%20%24H%24%20do%20not%20intersect%20transversally%2C%20what%20does%20the%20intersection%20look%20like**%3F%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20Normal%20vectors%20are%20%24(2x%2C2y%2C-2z)%24%20and%20%24(2(x-2)%2C2y%2C2z)%24%20respectively%2C%20and%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20If%20%240%3Ca%3C1%24%20then%20there%20is%20no%20real%20solution%2C%20i.e.%20no%20intersection%3B%0A%20%20%20%202.%20If%20%24a%20%3D%201%24%20then%20the%20two%20object%20intersect%20at%20one%20point%2C%20namely%20%24(1%2C0%2C0)%24%2C%20calculate%20the%20normal%20vectors%20and%20easy%20to%20see%20they%20do%20not%20intersect%20transversally%3B%0A%20%20%20%203.%20If%20%24a%20%3D%209%24%20then%20the%20two%20object%20intersect%E2%80%A6%20at%20an%20object%20like%20the%20shape%20%248%24%2C%20and%20they%20intersect%20transversally%20except%20for%20the%20point%20%24(-1%2C0%2C0)%24%3B%0A%20%20%20%204.%20Otherwise%20they%20intersect%20transversally.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%207%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24f%3A%20X%5Cto%20Y%24%20be%20a%20smooth%20map%20of%20compact%20smooth%20manifolds%2C%20show%20that%20the%20map%20%24F%3AX%5Cto%20X%5Ctimes%20Y%24%20given%20by%20%24F(x)%20%3D%20(x%2Cf(x))%24%20is%20an%20embedding**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20We%20need%20to%20show%20%24F%24%20is%20an%20immersion%2C%20injective%20and%20proper.%0A%0A%20%20%20%201.%20For%20any%20%24p%24%2C%20%24dF_p%20%3D%20(1%2Cdf_p)%24%20is%20never%20zero%20so%20it%20is%20injective%2C%20i.e.%20%24F%24%20immersion%3B%0A%20%20%20%202.%20If%20%24(x_1%2Cf(x_1))%20%3D%20(x_2%2Cf(x_2))%24%20then%20automatically%20%24x_1%20%3D%20x_2%24%20thus%20%24F%24%20injective%3B%0A%20%20%20%203.%20%24F%24%20is%20a%20continuous%20map%20from%20compact%20%24X%24%20to%20Hausdorff%20%24X%20%5Ctimes%20Y%24%20thus%20it%20is%20proper.%0A%0A%20%20%20%20By%20the%20way%2C%20actually%20we%20do%20not%20need%20to%20require%20%24X%2CY%24%20to%20be%20compact%3A%20consider%20any%20open%20set%20in%20%24X%20%5Ctimes%20Y%24%2C%20since%20we%20have%20the%20product%20topology%20open%20set%20are%20of%20the%20form%20%24U%5Ctimes%20V%24%20where%20%24U%24%20open%20in%20%24X%24%20and%20%24V%24%20open%20in%20%24Y%24%2C%20and%20the%20preimage%20is%20just%20%24U%24%20by%20the%20construction%2C%20now%20if%20%24U%5Ctimes%20V%24%20is%20compact%2C%20then%20it%20is%20closed%20and%20bounded%2C%20so%20%24U%24%20is%20closed%2C%20because%20it%20is%20preimage%20of%20closed%20set%20under%20continuous%20%24F%24%2C%20%24U%24%20is%20bounded%20because%20%24U%20%5Ctimes%20V%24%20is%20bounded.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%208%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Show%20that%20the%20%241%24-form%20%24w%20%3D%20(%5Cfrac%7B-y%7D%7Bx%5E2%2By%5E2%7D)dx%2B(%5Cfrac%7Bx%7D%7Bx%5E2%2By%5E2%7D)dy%24%20on%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%5E2-%5Clbrace%200%20%5Crbrace%24%20is%20closed%20but%20not%20exact**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20To%20calculate%20the%20curl%2C%20rise%20%24F%24%20to%20%24F(x%2Cy%2Cz)%20%3D%20(%5Cfrac%7B-y%7D%7Bx%5E2%2By%5E2%7D%2C%5Cfrac%7Bx%7D%7Bx%5E2%2By%5E2%7D)%24%20and%20calculate%20%24%5Cdet%7B%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20i%26j%26k%5C%5C%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%26%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%20%26%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20z%7D%20%5C%5C%20%5Cfrac%7B-y%7D%7Bx%5E2%2By%5E2%7D%20%26%20%5Cfrac%7Bx%7D%7Bx%5E2%2By%5E2%7D%20%26%200%5Cend%7Bpmatrix%7D%7D%24%2C%20we%20don't%20really%20have%20%24z%24%20here%20and%20the%20calculation%20is%20kind%20of%20simple%2C%20we%20have%20it%20%24%3D%20(0%2C0%2C%5Cfrac%7By%5E2-x%5E2%7D%7B(x%5E2%2By%5E2)%5E2%7D%20-%20%5Cfrac%7By%5E2-x%5E2%7D%7B(x%5E2%2By%5E2)%5E2%7D)%20%3D%20(0%2C0%2C0)%24%20i.e.%20%24F%24%20has%20zero%20curl%3B%0A%20%20%20%202.%20Notice%20that%20if%20we%20take%20a%20%241%24-form%20%24w%20%3D%20%5Cfrac%7B-y%7D%7Bx%5E2%2By%5E2%7Ddx%20%2B%5Cfrac%7Bx%7D%7Bx%5E2%2By%5E2%7Ddy%24%20and%20evaluate%20it%20around%20a%20circle%20%24C%24%20centered%20at%20%240%24%20then%20we%20have%3A%20parameterize%20the%20circle%20with%20%24%5Cgamma%3A%5B0%2C2%5Cpi%5D%20%5Cto%20C%2C%20t%20%5Cto%20(r%5Ccos(t)%2C%20r%5Csin(t))%24%2C%20then%20we%20can%20write%20%24%5Cint_Cw%20%3D%5Cint_0%5E%7B2%5Cpi%7D%5Cgamma%5E%7B*%7Dw%24%20%24%3D%20%5Cint_0%5E%7B2%5Cpi%7D(%5Cfrac%7B-y%7D%7Bx%5E2%2By%5E2%7Dx'(t)%20%2B%20%5Cfrac%7Bx%7D%7Bx%5E2%2By%5E2%7Dy'(t))dt%24%2C%20now%20we%20can%20replace%20every%20%24x%2C%20y%24%20with%20%24r%5Ccos(t)%24%20and%20%24r%5Csin(t)%24%2C%20and%20do%20the%20calculation%3A%20%24%3D%20%5Cint_0%5E%7B2%5Cpi%7D(%5Cfrac%7Br%5E2(%5Csin%5E2(t)%20%2B%20%5Ccos%5E2(t))%7D%7Br%5E2(%5Ccos%5E2(t)%20%2B%20%5Csin%5E2(t))%7D)dt%24%2C%20so%20everything%20in%20the%20fraction%20got%20canceled%20out%2C%20and%20the%20result%20is%20%242%5Cpi%20%5Cne%200%24%2C%20meaning%20that%20the%20vector%20field%20is%20not%20conservative%2C%20and%20gradient%20theorem%20told%20us%20if%20the%20vector%20field%20is%20not%20conservative%20it%20cannot%20be%20gradient%20of%20our%20desired%20function.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Exam%208%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%201%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24(X%2Cd)%24%20be%20a%20metric%20space%2C%20%24A%20%5Csubseteq%20X%24%20and%20%24x%20%5Cin%20X%24%2C%20prove%20that%20a%20point%20%24x%24%20is%20in%20the%20closure%20of%20%24A%24%20if%20and%20only%20if%20there%20is%20a%20sequence%20%24x_n%20%5Cin%20A%24%20which%20converges%20to%20%24x%24**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20If%20%24x%24%20is%20in%20the%20closure%2C%20by%20definition%2C%20%24B(x%2C1)%2C%20B(x%2C1%2F2)%2C%20B(x%2C1%2F3)%2C%20%5Cdots%24%20all%20intersect%20with%20%24A%24%2C%20pick%20a%20point%20in%20each%20%24B(x%2C1%2Fn)%5Ccap%20A%24%20and%20name%20it%20%24x_n%24%2C%20we%20have%20a%20sequence%20%24x_n%20%5Cin%20A%24%20converges%20to%20%24x%24.%0A%0A%20%20%20%20Conversely%2C%20for%20any%20neighborhood%20%24U%24%20of%20%24x%24%2C%20by%20definition%20of%20a%20convergent%20sequence%2C%20there%20are%20infinitely%20many%20%24x_n%20%5Cin%20U%24%2C%20i.e.%20%24U%20%5Ccap%20A%20%5Cne%20%5Cvarnothing%24%2C%20so%20%24x%20%5Cin%20%5Coverline%7BA%7D%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%202%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Prove%20that%20every%20continuous%20map%20%24f%3A%5B0%2C1%5D%20%5Cto%20%5B0%2C1%5D%24%20has%20a%20fixed%20point%2C%20is%20the%20same%20true%20for%20continuous%20maps%20%24(0%2C1)%5Cto%20(0%2C1)%24**%3F%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20%24f%24%20needs%20to%20map%20%24%5Clbrace%200%2C1%20%5Crbrace%24%20to%20somewhere%2C%20if%20%24f(0)%20%3D%200%24%20or%20%24f(1)%20%3D%201%24%20we%20are%20done%2C%20otherwise%20we%20have%20%24f(0)%3E0%24%20and%20%24f(1)%20%3C%201%24.%20If%20we%20define%20%24g(x)%20%3D%20f(x)%20-%20x%24%2C%20then%20%24g(0)%3E0%24%20and%20%24g(1)%3C0%24%2C%20by%20IVT%20we%20have%20some%20%24c%24%20such%20that%20%24g(c)%20%3D%200%24%2C%20which%20means%20%24f(c)%20-%20c%20%3D%200%24.%0A%0A%20%20%20%20No%2C%20just%20use%20something%20like%20%24x%20%5Cmapsto%20x%2F2%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%203%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24%5Cmathbb%7BR%7D_l%24%20be%20the%20real%20line%20with%20the%20lower%20limit%20topology**.%0A%0A%20%20%20%201.%20**Determine%20the%20path%20components%20of%20%24%5Cmathbb%7BR%7D_l%24**%3B%0A%20%20%20%202.%20**Describe%20all%20continuous%20functions%20%24f%3A%5Cmathbb%7BR%7D%20%5Cto%20%5Cmathbb%7BR%7D_l%24**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20For%20any%20%24a%3Cb%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D_l%24%20we%20can%20separate%20them%20with%20%24(-%5Cinfty%2Ca)%20%5Ccup%20%5Bb%2C%5Cinfty)%24%20(it%20does%20not%20work%20in%20the%20standard%20topology%20because%20we%20need%20the%20two%20set%20span%20the%20space)%2C%20so%20%24a%2Cb%24%20are%20not%20even%20in%20same%20connected%20components%2C%20so%20cannot%20in%20path%20components%2C%20i.e.%20path%20components%20are%20single%20points%3B%0A%20%20%20%202.%20Following%20from%20above%2C%20remember%20that%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%24%20is%20connected%2C%20so%20image%20under%20continuous%20function%20need%20to%20be%20connected%2C%20i.e.%20%24f(%5Cmathbb%7BR%7D)%24%20must%20be%20connected%2C%20so%20must%20be%20a%20single%20point%2C%20i.e.%20continuous%20functions%20are%20constant%20functions.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%204%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24f%3A%20X%5Cto%20Y%24%20be%20a%20continuous%20bijection%20of%20a%20compact%20space%20%24X%24%20to%20a%20Hausdorff%20space%20%24Y%24%2C%20show%20that%20%24f%24%20is%20a%20homeomorphism**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20Closed%20in%20%24X%24%20implies%20compact%20in%20%24X%24%20implies%20image%20is%20compact%20implies%20image%20is%20close.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%205%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**For%20which%20values%20of%20%24a%24%20does%20the%20hyperboloid%20%24x%5E2%2By%5E2-z%5E2%20%3D%201%24%20intersect%20the%20sphere%20%24x%5E2%2By%5E2%2Bz%5E2%20%3D%20a%24%20transversally**%3F%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20If%20%24a%3C1%24%20then%20there%20is%20no%20real%20solution%20for%20%24z%24%2C%20so%20no%20intersection%2C%20vacuously%20transversal%3B%0A%20%20%20%202.%20If%20%24a%20%3D1%24%20then%20%24z%20%3D%200%24%2C%20the%20normal%20vector%20of%20the%20two%20objects%20at%20the%20intersection(s)%20coincidence%2C%20so%20they%20do%20not%20span%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%5E3%24%20and%20not%20intersect%20transversally%3B%0A%20%20%20%203.%20If%20%24a%3E1%24%20then%20%24z%20%5Cne%200%24%2C%20intersect%20transversally.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%206%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**The%20orthogonal%20group%20%24O(n)%24%20consists%20of%20all%20%24n%20%5Ctimes%20n%24%20matrices%20%24A%24%20such%20that%20%24AA%5Et%20%3D%20E%24**.%0A%0A%20%20%20%201.%20**Evaluate%20the%20tangent%20space%20to%20%24O(n)%24%20at%20%24E%20%5Cin%20O(n)%24**%3B%0A%20%20%20%202.%20**Prove%20that%20%24O(n)%24%20is%20compact**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20It%20is%20compact%20because%20it%20is%20closed%20(preimage%20of%20%24E%24%20under%20%24A%20%5Cto%20AA%5Et%24)%20and%20bounded%20(Euclidean%20norm%20is%20always%20%24%5Csqrt%7Bn%7D%24).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%207%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24f%3AS%5E2%20%5Cto%20S%5E2%24%20be%20a%20smooth%20map**.%0A%0A%20%20%20%201.%20**Can%20a%20point%20%24q%20%5Cin%20S%5E2%24%20have%20infinitely%20many%20pre-images**%3F%0A%20%20%20%202.%20**Prove%20that%20the%20set%20of%20points%20%24q%20%5Cin%20S%5E2%24%20with%20infinitely%20many%20pre-images%20has%20measure%20zero**%3B%0A%20%20%20%203.%20**Prove%20that%2C%20if%20%24f%24%20is%20not%20surjective%2C%20it%20is%20homotopic%20to%20a%20constant%20map**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20Sure%2C%20think%20about%20a%20constant%20map.%20But%20by%20Stack%20of%20Record%20Theorem%2C%20preimage%20of%20a%20regular%20point%20must%20be%20finite%2C%20i.e.%20such%20%24q%24%20must%20be%20critical%20point%3B%0A%20%20%20%202.%20By%20Sard%2C%20critical%20point%20has%20measure%20zero%3B%0A%20%20%20%203.%20%24f%24%20not%20surjective%20then%20degree%20is%20zero%2C%20constant%20map%20also%20has%20degree%20zero%2C%20by%20Hopf%2C%20they%20are%20homotopic.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%208%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Show%20that%20the%20vector%20field%20on%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%5E2%20-%20%5Clbrace%200%20%5Crbrace%24%20given%20by%20%24F(x%2Cy)%20%3D%20(%5Cfrac%7B-y%7D%7Bx%5E2%2By%5E2%7D%2C%5Cfrac%7Bx%7D%7Bx%5E2%2By%5E2%7D)%24%20has%20zero%20curl%20but%20cannot%20be%20written%20as%20the%20gradient%20of%20any%20smooth%20function%20%24f%3A%5Cmathbb%7BR%7D%5E2-%5Clbrace%200%20%5Crbrace%20%5Cto%20%5Cmathbb%7BR%7D%24**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20To%20calculate%20the%20curl%2C%20rise%20%24F%24%20to%20%24F(x%2Cy%2Cz)%20%3D%20(%5Cfrac%7B-y%7D%7Bx%5E2%2By%5E2%7D%2C%5Cfrac%7Bx%7D%7Bx%5E2%2By%5E2%7D)%24%20and%20calculate%20%24%5Cdet%7B%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20i%26j%26k%5C%5C%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%26%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%20%26%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20z%7D%20%5C%5C%20%5Cfrac%7B-y%7D%7Bx%5E2%2By%5E2%7D%20%26%20%5Cfrac%7Bx%7D%7Bx%5E2%2By%5E2%7D%20%26%200%5Cend%7Bpmatrix%7D%7D%24%2C%20we%20don't%20really%20have%20%24z%24%20here%20and%20the%20calculation%20is%20kind%20of%20simple%2C%20we%20have%20it%20%24%3D%20(0%2C0%2C%5Cfrac%7By%5E2-x%5E2%7D%7B(x%5E2%2By%5E2)%5E2%7D%20-%20%5Cfrac%7By%5E2-x%5E2%7D%7B(x%5E2%2By%5E2)%5E2%7D)%20%3D%20(0%2C0%2C0)%24%20i.e.%20%24F%24%20has%20zero%20curl%3B%0A%20%20%20%202.%20Notice%20that%20if%20we%20take%20a%20%241%24-form%20%24w%20%3D%20%5Cfrac%7B-y%7D%7Bx%5E2%2By%5E2%7Ddx%20%2B%5Cfrac%7Bx%7D%7Bx%5E2%2By%5E2%7Ddy%24%20and%20evaluate%20it%20around%20a%20circle%20%24C%24%20centered%20at%20%240%24%20then%20we%20have%3A%20parameterize%20the%20circle%20with%20%24%5Cgamma%3A%5B0%2C2%5Cpi%5D%20%5Cto%20C%2C%20t%20%5Cto%20(r%5Ccos(t)%2C%20r%5Csin(t))%24%2C%20then%20we%20can%20write%20%24%5Cint_Cw%20%3D%5Cint_0%5E%7B2%5Cpi%7D%5Cgamma%5E%7B*%7Dw%24%20%24%3D%20%5Cint_0%5E%7B2%5Cpi%7D(%5Cfrac%7B-y%7D%7Bx%5E2%2By%5E2%7Dx'(t)%20%2B%20%5Cfrac%7Bx%7D%7Bx%5E2%2By%5E2%7Dy'(t))dt%24%2C%20now%20we%20can%20replace%20every%20%24x%2C%20y%24%20with%20%24r%5Ccos(t)%24%20and%20%24r%5Csin(t)%24%2C%20and%20do%20the%20calculation%3A%20%24%3D%20%5Cint_0%5E%7B2%5Cpi%7D(%5Cfrac%7Br%5E2(%5Csin%5E2(t)%20%2B%20%5Ccos%5E2(t))%7D%7Br%5E2(%5Ccos%5E2(t)%20%2B%20%5Csin%5E2(t))%7D)dt%24%2C%20so%20everything%20in%20the%20fraction%20got%20canceled%20out%2C%20and%20the%20result%20is%20%242%5Cpi%20%5Cne%200%24%2C%20meaning%20that%20the%20vector%20field%20is%20not%20conservative%2C%20and%20gradient%20theorem%20told%20us%20if%20the%20vector%20field%20is%20not%20conservative%20it%20cannot%20be%20gradient%20of%20our%20desired%20function.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Exam%209%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%201%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24X%24%20be%20a%20topological%20space%2C%20prove%20that%20a%20subspace%20%24A%20%5Csubseteq%20X%24%20is%20dense%20if%20and%20only%20if%20its%20complement%20%24X-A%24%20has%20empty%20interior**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%202%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Prove%20that%20every%20continuous%20map%20%24f%3A%5B0%2C1%5D%20%5Cto%20%5B0%2C1%5D%24%20has%20a%20fixed%20point%2C%20is%20the%20same%20true%20for%20continuous%20maps%20%24(0%2C1)%20%5Cto%20(0%2C1)%24**%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%203%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Prove%20that%20every%20compact%20Hausdorff%20space%20%24X%24%20is%20regular**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%204%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Recall%20that%20the%20metric%20space%20%24%5Cell%5E2(%5Cmathbb%7BR%7D)%24%20consists%20of%20all%20sequences%20%24x%20%3D%20%5Clbrace%20x_n%20%5Crbrace%24%20of%20real%20numbers%20such%20that%20%24%5Csum%20x_n%5E2%24%20converges%2C%20with%20metric%20%24d(x%2Cy)%20%3D%20%5Csqrt%7B%5Csum%20(x_n-y_n)%5E2%7D%24.%20Prove%20that%20the%20unit%20ball%20%24B_1(0)%20%5Csubseteq%20%5Cell%5E2(%5Cmathbb%7BR%7D)%24%20given%20by%20%24%5Csum%20x_n%5E2%20%5Cle%201%24%20is%20not%20compact**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20%24B_1(0)%24%20is%20not%20compact%20because%20it%20is%20not%20sequentially%20compact%20(as%20per%20say%2C%20we%20are%20in%20a%20metric%20space)%3A%0A%0A%20%20%20%20Consider%20the%20sequence%20%24x_i%20%3D%20(0%2C%20%5Cdots%2C%200%2C%201%2C%200%2C%20%5Cdots)%24%2C%20%241%24%20at%20the%20%24i%24-th%20position%20and%20all%20other%20%240%24's.%20Since%20%24x_i%24%20is%20eventually%20zero%2C%20it%20indeed%20lies%20in%20%24%5Cell%5E2(%5Cmathbb%7BR%7D)%24.%20However%20this%20sequence%20does%20not%20have%20a%20convergent%20subsequence%20because%20calculate%20the%20distance%20between%20any%20such%20two%20sequences%20gives%20%24d(x_i%2C%20x_j)%20%3D%20%5Csqrt%7B2%7D%24%20(%24i%20%5Cne%20j%24%2C%20of%20course).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%205%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24f%3AX%5Cto%20Y%24%20be%20a%20diffeomorphism%20of%20smooth%20manifolds.%20Show%20that%20for%20every%20%24x%20%5Cin%20X%24%2C%20the%20derivative%20%24df_x%3A%20T_xX%20%5Cto%20T_%7Bf(x)%7DY%24%20is%20an%20isomorphism**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20Let%20%24f%5E%7B-1%7D%24%20be%20the%20inverse%20map%2C%20then%20%24%5Ctext%7Bid%7D%20%3D%20f%5E%7B-1%7D%20%5Ccirc%20f%24%20and%20%24%5Ctext%7Bid%7D%20%3D%20f%20%5Ccirc%20f%5E%7B-1%7D%24%2C%20they%20imply%20that%20%24df%5E%7B-1%7D_%7Bf(x)%7D%5Ccirc%20df_x%20%3D%20d(%5Ctext%7Bid%7D)%20%3D%20%5Ctext%7Bid%7D%24%20and%20%24df_%7Bf%5E%7B-1%7D(y)%7D%5Ccirc%20df%5E%7B-1%7D_y%20%3D%20d(%5Ctext%7Bid%7D)%20%3D%20%5Ctext%7Bid%7D%24.%20Thus%20%24df_x%24%20is%20linear%2C%20one-to-one%20and%20onto%2C%20thus%20an%20isomorphism.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%206%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Prove%20that%20the%20set%20%24X%24%20of%20all%20non-zero%20%242%20%5Ctimes%202%24%20real%20matrices%20%24A%24%20such%20that%20%24AA%5Et%24%20is%20diagonal%20is%20a%20sub-manifold%20of%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%5E4%24%2C%20what%20is%20the%20dimension%20of%20%24X%24%3F%20Is%20%24X%24%20compact**%3F%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20Notice%20that%20such%20matrices%20need%20to%20have%20%24ab%2Bcd%20%3D%200%24%2C%20so%20we%20prove%20that%20%24X%20%3D%20f%5E%7B-1%7D(0)%24%20where%20%24f%3AX%5Cto%20%5Cmathbb%7BR%7D%2C%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20a%26b%5C%5Cc%26d%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Cmapsto%20ab%2Bcd%24%2C%20%240%24%20is%20a%20regular%20value%20and%20we%20are%20done.%20The%20proof%20is%20actually%20easy%2C%20%24df_M(h)%20%3D%20a'%20b%2Bb'%20a%2Bc'%20d%2Bd'%20c%24%20where%20%24M%20%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20a%26b%5C%5Cc%26d%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%24%20is%20in%20%24X%24%20and%20%24h%20%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20a'%26b'%5C%5Cc'%26d'%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%24%20is%20obviously%20surjective%20(i.e.%20it%20can%20map%20to%20any%20value%20in%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%24%2C%20because%20there%20is%20no%20limit%20on%20%24h%24).%20So%20it%20is%20a%20sub-manifold%20of%20dimension%20%243%24.%20%24X%24%20is%20not%20compact%20because%20it%20is%20not%20bounded%3A%20for%20example%2C%20any%20matrix%20with%20the%20form%20%24%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20a%260%5C%5C0%26a%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%24%20is%20in%20%24X%24%20and%20%24a%24%20can%20be%20arbitrarily%20large.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%207%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Prove%20that%20there%20is%20no%20non-vanishing%20vector%20field%20on%20%24S%5E2%24**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20Because%20%242%24%20is%20even.%20The%20logical%20sequence%20is%20this%3A%20%242%24%20is%20even%2C%20implies%20antipodal%20map%20is%20not%20homotopic%20to%20identity%20(because%20the%20degree%20are%20different)%2C%20implies%20there%20no%20non-vanishing%20vector%20field%20on%20it%20(because%20this%20is%20the%20negation%20of%20a%20statement%20we%20proved%3A%20if%20there%20is%20a%20non-vanishing%20vector%20field%2C%20antipodal%20map%20is%20homotopic%20to%20identity).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%208%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24S%20%5Csubseteq%20%5Cmathbb%7BR%7D%5E3%24%20be%20the%20paraboloid%20%24z%20%3D%20x%5E2%2By%5E2%2Cx%5E2%2By%5E2%5Cle%201%24%2C%20oriented%20by%20the%20upward%20normal%20vector%2C%20and%20%24w%20%3D%20dx%5Cwedge(dy%2Bdz)%24%2C%20evaluate%20%24%5Cint_Sw%24**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20Parameterize%20%24S%24%20by%20%24r(x%2Cy)%20%3D%20(x%2Cy%2Cx%5E2%2By%5E2)%24%2C%20then%20%24%5Cint_S%20dx%20%5Cwedge(dy%20%2B%20dz)%24%20%24%3D%20%5Cint%5Cint_U%20dx%20%5Cwedge(dy%20%2B%202xdx%2B2ydy)%24%20%24%3D%20%5Cint%5Cint_U%20dx%5Cwedge%20dy%20%2B%202y%20dx%20%5Cwedge%20dy%24%20%24%3D%20%5Cint%5Cint_U%20(1%2B2y)%20dxdy%24%20%24%3D%20%5Cint_0%5E%7B2%5Cpi%7D%20%5Cint_0%5E1%20(1%2B2r%5Csin(%5Ctheta))rdrd%5Ctheta%24%20%24%3D%5Cint_0%5E%7B2%5Cpi%7D(1%2F2%20%2B%202%2F3%5Csin(%5Ctheta))d%5Ctheta%20%3D%20%5Cpi%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Exam%2010%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%201%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24f%3AX%5Cto%20Y%24%20be%20a%20map%20of%20topological%20spaces%2C%20prove%20that%20%24f%24%20is%20continuous%20if%20and%20only%20if%20for%20every%20%24x%20%5Cin%20X%24%20and%20every%20open%20neighborhood%20%24V(f(x))%5Csubseteq%20Y%24%2C%20there%20exists%20an%20open%20neighborhood%20%24U(x)%20%5Csubseteq%20X%24%20such%20that%20%24f(U(x))%20%5Csubseteq%20V(f(x))%24**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20If%20%24f%24%20is%20continuous%20then%20it%20is%20easy%2C%20because%20preimage%20of%20open%20set%20is%20open%2C%20just%20choose%20that%20set%20as%20the%20%24U%24.%0A%0A%20%20%20%20Conversely%2C%20let%20%24V%24%20be%20an%20arbitrary%20(non-empty)%20open%20set%20in%20%24Y%24%20and%20let%20%24x%20%5Cin%20f%5E%7B-1%7D(V)%24%2C%20then%20%24f(x)%20%5Cin%20V%24%2C%20so%20by%20assumption%20there%20is%20some%20%24U%24%20neighborhood%20of%20%24x%24%20such%20that%20%24f(U)%20%5Csubseteq%20V%24%2C%20so%20%24U%20%5Csubseteq%20f%5E%7B-1%7D(f(U))%20%5Csubseteq%20f%5E%7B-1%7D(V)%24.%20Since%20this%20work%20for%20any%20%24x%24%20in%20the%20preimage%2C%20we%20have%20that%20%24f%5E%7B-1%7D(V)%24%20is%20open%2C%20result%20follows.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%202%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24(X%2Cd)%24%20be%20a%20metric%20space%2C%20prove%20that**%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20**For%20any%20subset%20%24A%20%5Csubseteq%20X%24%2C%20the%20formula%20%24d_A(x)%20%3D%20%5Cinf%5Clbrace%20d(x%2Ca)%20%7C%20a%20%5Cin%20A%20%5Crbrace%24%20defines%20a%20continuous%20function%20%24d_A%3AX%5Cto%20%5Cmathbb%7BR%7D%24**%3B%0A%20%20%20%202.%20%24%5Coverline%7BA%7D%20%3D%20%5Clbrace%20x%20%5Cin%20X%20%7C%20d_A(x)%20%3D%200%20%5Crbrace%24.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20For%20any%20%24x%20%5Cin%20X%24%20and%20%24V%20%5Cni%20d_A(x)%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%24%2C%20there%20exists%20basis%20element%20%24V%20%5Csupseteq%20B_%7B%5Cmathbb%7BR%7D%7D%20%5Cni%20d_A(x)%24%20with%20the%20form%20%24B_%7B%5Cmathbb%7BR%7D%7D%20%3D%20(d_A(x)%20-%20m%2C%20d_A(x)%20%2B%20m)%24.%20Consider%20the%20ball%20%24B_X%20%3D%20B_d(x%2C%20m%2F2)%24%2C%20%24d(B_X)%20%3D%20%5Clbrace%20%5Cinf%7B%5Clbrace%20d(x'%2C%20a)%20%7C%20a%20%5Cin%20A%20%5Crbrace%7D%20%7C%20x'%20%5Cin%20B_X%20%5Crbrace%20%5Cle%20%5Clbrace%20%5Cinf%7B%5Clbrace%20d(x%2C%20x')%20%2B%20d(x%2C%20a)%20%7C%20a%20%5Cin%20A%20%5Crbrace%7D%20%7C%20x'%20%5Cin%20B_X%20%5Crbrace%24%20%24%3D%20%5Clbrace%20%5Cinf%7B%5Clbrace%20d(x%2C%20a)%20%7C%20a%20%5Cin%20A%20%5Crbrace%7D%20%2B%20%5Cinf%7B%5Clbrace%20d(x%2C%20x')%20%7C%20a%20%5Cin%20A%20%5Crbrace%7D%20%7C%20x'%20%5Cin%20B_X%20%5Crbrace%20%5Cle%20d_A(x)%20%2B%20m%2F2%24%3B%20similarly%20%24d(B_X)%20%5Cge%20d_A(x)%20-%20m%2F2%24.%20Thus%20%24B_X%24%20is%20an%20open%20set%20in%20%24X%24%20containing%20%24x%24%20whose%20image%20is%20contained%20in%20open%20set%20containing%20%24d_A(x)%24%2C%20since%20%24x%2C%20V%24%20are%20arbitrary%2C%20%24d_A%24%20is%20continuous%3B%0A%20%20%20%202.%20If%20%24x%20%5Cin%20%5Coverline%7BA%7D%24%2C%20%240%24%20is%20a%20lower%20bound%20for%20any%20metric%20thus%20%24d_A(x)%20%5Cge%200%24.%20Suppose%20%24d_A(x)%20%3E%200%24.%20%24x%20%5Cin%20%5Coverline%7BA%7D%20%5Cimplies%20B%20%3D%20B_d(x%2C%20d_A(x))%24%20is%20a%20basis%20element%20of%20%24(X%2C%20d)%24%20containing%20%24x%24%20and%20it%20must%20intersect%20%24A%24.%20Say%20%24a_0%20%5Cin%20A%20%5Ccap%20B%24%2C%20then%20%24a_0%20%5Cin%20A%24%20and%20by%20definition%20%24a_0%20%5Cin%20B%20%5Cimplies%20d(x%2C%20a_0)%20%3C%20d_A(x)%24%2C%20thus%20%24d_A(x)%24%20is%20not%20the%20%24%5Cinf%24.%20Thus%20%24d_A(x)%20%3D%200%24%3B%0A%20%20%20%20%09If%20%24d_A(x)%20%3D%200%24%3A%20if%20%24x%20%5Cnotin%20%5Coverline%7BA%7D%24%2C%20then%20there%20exists%20basis%20element%20%24B%24%20containing%20%24x%24%20that%20does%20not%20intersect%20%24A%24.%20WLOG%20say%20%24B%20%3D%20B_d(x%2C%20r)%24%20be%20a%20ball%20centered%20at%20%24x%24%20with%20radius%20%24r%20(%3E%200)%24%2C%20then%20we%20have%20%24%5Cforall%20a%20%5Cin%20A%2C%20a%20%5Cnotin%20B%20%5Cimplies%20d(x%2C%20a)%20%5Cge%20r%24.%20Then%20%24r%24%20is%20a%20lower%20bound%20of%20%24d(x%2C%20a)%24%20that%20is%20greater%20than%20%240%24%2C%20thus%20%24d_A(x)%20%5Cge%20r%20%3E%200%24%20which%20is%20a%20contradiction.%20Thus%20%24x%20%5Cin%20%5Coverline%7BA%7D%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%203%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Prove%20that%20a%20compact%20subset%20of%20a%20Hausdorff%20space%20is%20closed**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20It%20is%20very%20similar%20with%20the%20proof%20that%20compact%20Hausdorff%20space%20is%20regular%2Fnormal%3A%20for%20any%20%24x%24%20that%20is%20not%20in%20the%20subset%2C%20use%20compactness%20of%20the%20subset%20to%20find%20a%20neighborhood%20of%20%24x%24%20that%20is%20disjoint%20with%20that%20subset%2C%20since%20this%20work%20for%20all%20%24x%24%2C%20it%20means%20complement%20of%20the%20subset%20is%20open%20thus%20the%20subset%20itself%20is%20closed.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%204%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24X%24%20be%20a%20connected%20normal%20space%2C%20let%20%24A%24%20be%20a%20proper%20closed%20subset%20of%20%24X%24%2C%20show%20that%20there%20is%20a%20continuous%20surjective%20map%20%24f%3A%20X%5Cto%20S%5E1%24%20such%20that%20%24f(a)%20%3D%201%24%20for%20all%20%24a%20%5Cin%20A%24**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20Since%20%24A%24%20is%20proper%2C%20there%20exists%20some%20%24x%20%5Cin%20X-A%24%2C%20clearly%20%24x%24%20and%20%24A%24%20are%20both%20closed%20and%20they%20are%20disjoint%2C%20so%20we%20can%20apply%20the%20Urysohn%20Lemma%20to%20get%20a%20continuous%20%24f%3A%20X%5Cto%20%5B0%2C1%5D%24%2C%20%24f(A)%20%3D%200%24%20and%20%24f(x)%20%3D%201%24.%20Now%20this%20map%20is%20surjective%3A%20because%20if%20some%20%24c%24%20is%20not%20attained%2C%20it%20means%20the%20image%20of%20%24X%24%20under%20%24f%24%20is%20not%20connected%2C%20that%20cannot%20happen.%20Now%2C%20map%20this%20interval%20to%20%24S%5E1%24%20by%20joining%20%240%2C1%24%20together%20at%20the%20point%20%24(0%2C1)%24%2C%20call%20this%20map%20%24g%24%2C%20then%20the%20composition%20%24gf%24%20is%20what%20we%20want%3A%20it%20is%20continuous%20and%20surjective%2C%20and%20%24g(f(A))%20%3D%20g(0)%20%3D%20(0%2C1)%24.%20The%20preimage%20is%20not%20really%20%24A%24%20but%20fortunately%20we%20did%20not%20require%20that.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%205%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**For%20%24x%2Cy%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%5E2-%5Clbrace%200%20%5Crbrace%24%2C%20put%20%24x%5Csim%20y%24%20if%20and%20only%20if%20%24x%24%20and%20%24y%24%20lie%20on%20a%20line%20through%20the%20origin%2C%20show%20that%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%5E2%20-%20%5Clbrace%200%20%5Crbrace%2F%5Csim%24%20with%20the%20quotient%20topology%20is%20homeomorphic%20to%20a%20circle**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20Let%20%24F%3A%5Cmathbb%7BR%7D%5E2%20-%20%5Clbrace%200%20%5Crbrace%20%5Cto%20S%5E1%24%20be%20the%20map%20%24x%20%5Cto%20x%2F%5C%7C%20x%20%5C%7C%24%2C%20since%20we%20took%20%240%24%20out%20this%20map%20is%20continuous%2C%20thus%20by%20the%20universal%20mapping%20property%20of%20quotient%20topology%2C%20we%20have%20that%20the%20map%20%24f%3A%5Cmathbb%7BR%7D%5E2-%5Clbrace%200%20%5Crbrace%2F%5Csim%20%5Cto%20S%5E1%2C%20%5Bx%5D%20%5Cto%20x%2F%5C%7C%20x%5C%7C%24%20is%20continuous.%20It%20is%20also%20not%20hard%20to%20check%20it%20is%20bijection%2C%20and%20a%20bijective%20quotient%20map%20is%20always%20a%20homeomorphism.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%206%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Show%20that%20if%20%24f%3AX%5Cto%20Y%24%20is%20an%20immersion%20of%20smooth%20manifolds%20then%20its%20differential%20%24df%3ATX%5Cto%20TY%24%20is%20also%20an%20immersion**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20By%20Local%20Immersion%20Theorem%20%24f%24%20is%20locally%20given%20by%20%24i%24%2C%20i.e.%20if%20we%20draw%20the%20chart%20here%20%24s%5Ccirc%20f%20%5Ccirc%20r%5E%7B-1%7D%20%3D%20i%24%20so%20that%20%24ds%20%5Ccirc%20df%20%5Ccirc%20(dr%5E%7B-1%7D)%20%3D%20di%20%3D%20i%24%20(%24i%24%20is%20inclusion%20map%2C%20and%20%24di_x%24%20is%20inclusion%20map%20for%20any%20%24x%24%20also)%2C%20i.e.%20%24df%24%20is%20also%20locally%20given%20by%20%24i%24%20so%20it%20is%20an%20immersion.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%207%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Prove%20that%20no%20smooth%20compact%20manifold%20of%20dimension%20%24n%5Cge%201%24%20is%20contractible**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20If%20it%20is%20contractible%20the%20identity%20map%20is%20homotopic%20to%20a%20constant%20map%2C%20but%20their%20mod%20%242%24%20degree%20is%20then%20different%2C%20meaning%20that%20the%20manifold%20itself%20cannot%20be%20smooth%20compact%20manifold.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%208%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24C%24%20be%20a%20simple%20closed%20curve%20in%20the%20%24xy%24-plane%20not%20passing%20through%20the%20origin%2C%20evaluate%20%24%5Coint_c%5Cfrac%7Bxdy-ydx%7D%7Bx%5E2%2By%5E2%7D%24**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20If%20the%20curve%20enclose%20origin%20then%20the%20integral%20is%20either%20%242%5Cpi%24%20or%20%24-2%5Cpi%24%20depends%20on%20the%20orientation%2C%20otherwise%20(by%20Green's%20Theorem)%20it%20is%20zero.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Exam%2011%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%201%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24f%3A%20X%5Cto%20Y%24%20be%20a%20continuous%20bijection%20from%20a%20compact%20topological%20space%20%24X%24%20onto%20a%20Hausdorff%20topological%20space%20%24Y%24%2C%20show%20that%20%24f%24%20is%20a%20homeomorphism**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%202%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**A%20subspace%20%24A%20%5Csubseteq%20%5Cmathbb%7BR%7D%5En%24%20has%20the%20property%20that%20every%20continuous%20function%20%24f%3AA%20%5Cto%20%5Cmathbb%7BR%7D%24%20attains%20its%20maximum%20on%20%24A%24.%20Show%20that%20%24A%24%20is%20compact**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%203%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24Z%24%20be%20a%20topological%20space%20and%20%24Y%20%5Csubseteq%20Z%24%20a%20retract%20of%20%24Z%24%2C%20meaning%20that%20there%20is%20a%20continuous%20map%20%24r%3AZ%5Cto%20Y%24%20such%20that%20%24r(y)%20%3Dy%24%20for%20every%20%24y%20%5Cin%20Y%24.%20Show%20that%20if%20%24Z%24%20is%20Hausdorff%20then%20%24Y%24%20is%20closed%20in%20%24Z%24**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20Let%20%24z%20%5Cin%20Z-Y%24%20and%20that%20%24y%20%3D%20r(z)%20%5Cin%20Y%24%2C%20so%20that%20%24z%20%5Cne%20y%24.%20Since%20we%20are%20in%20a%20Hausdorff%20space%2C%20we%20can%20find%20%24U(z)%2C%20U(y)%24%20disjoint%20open%20set%20containing%20%24z%2Cy%24%20respectively.%20Now%20claim%2C%20the%20set%20%24r%5E%7B-1%7D(U(y)%20%5Ccap%20Y)%20%5Ccap%20U(z)%24%20is%20a%20neighborhood%20of%20%24z%24%20contained%20in%20%24Z-Y%24%3A%20it%20contains%20%24z%24%2C%20because%20%24U(z)%24%20contains%20%24z%24%20and%20image%20of%20%24z%24%20is%20in%20%24U(y)%24%20(and%20of%20course%20in%20%24Y%24)%20thus%20%24z%24%20is%20in%20the%20preimage%3B%20it%20is%20open%20because%20%24U(y)%20%5Ccap%20Y%24%20is%20open%20in%20%24Y%24%20(with%20subspace%20topology)%3B%20it%20is%20disjoint%20from%20%24Y%24%2C%20because%20if%20a%20point%20%24p%24%20in%20%24r%5E%7B-1%7D(U(y)%20%5Ccap%20Y)%20%5Ccap%20U(z)%24%20is%20in%20%24Y%24%2C%20then%20%24r(p)%20%3D%20p%24%20is%20also%20in%20%24Y%24%2C%20in%20particular%20%24r(p)%20%5Cin%20U(z)%24%20(use%20the%20right%20half)%2C%20however%20since%20%24p%24%20also%20in%20%24r%5E%7B-1%7D(U(y)%20%5Ccap%20Y)%24%2C%20it%20means%20%24r(p)%24%20is%20also%20in%20%24U(y)%20%5Ccap%20Y%24%2C%20in%20particular%20in%20%24U(y)%24%2C%20but%20they%20should%20be%20disjoint.%0A%0A%20%20%20%20With%20this%20claim%20proved%2C%20we%20have%20%24Z-Y%24%20open%20so%20%24Y%24%20is%20closed.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%204%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Show%20that%20for%20every%20%24n%5Cge%203%24%20there%20is%20a%20continuous%20surjective%20map%20%24g%3A%20I%20%5Cto%20I%5En%24%2C%20show%20that%20such%20a%20map%20cannot%20be%20smooth**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20Remember%20the%20Peano%20curve%2C%20it%20is%20a%20continuous%20surjective%20map%20%24f%3A%20I%20%5Cto%20I%5E2%24%2C%20compose%20numbers%20of%20Peano%20curve%20together%20we%20have%20a%20continuous%20surjective%20map%20as%20desired.%0A%0A%20%20%20%20There%20cannot%20be%20such%20a%20smooth%20map%2C%20because%20smooth%20map%20maps%20a%20set%20of%20measure%20zero%20to%20a%20set%20of%20measure%20zero.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%205%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Show%20that%20a%20smooth%20manifold%20%24X%24%20is%20path%20connected%20if%20and%20only%20if%20it%20is%20connected**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20If%20it%20is%20path%20connected%2C%20then%20it%20is%20always%20connected.%0A%0A%20%20%20%20Conversely%2C%20fix%20some%20%24x%20%5Cin%20X%24%20and%20let%20%24U%24%20be%20its%20path%20component%2C%20we%20want%20to%20show%20both%20%24U%24%20and%20%24X-U%24%20are%20open%20(so%20that%20since%20%24X%24%20is%20connected%2C%20one%20of%20them%20must%20be%20empty%2C%20but%20it%20cannot%20be%20%24U%24%2C%20because%20%24U%24%20at%20least%20contains%20%24x%24)%3A%0A%0A%20%20%20%20For%20any%20%24x'%20%5Cin%20X%24%2C%20since%20%24X%24%20is%20a%20smooth%20manifold%2C%20it%20is%20locally%20homeomorphic%20to%20an%20open%20ball%20in%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%5En%24%2C%20which%20is%20path-connected%2C%20so%20%24x'%24%20has%20some%20neighborhood%20that%20is%20path-connected%2C%20so%20this%20neighborhood%20lies%20either%20entirely%20in%20%24U%24%20or%20entirely%20in%20%24X-U%24%2C%20this%20proves%20that%20both%20%24U%24%20and%20%24X-U%24%20are%20open.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%206%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24f%3AX%5Cto%20Y%24%20be%20a%20smooth%20map%20of%20compact%20smooth%20manifolds%2C%20show%20that%20the%20map%20%24F%3AX%5Cto%20X%5Ctimes%20Y%24%20given%20by%20%24F(x)%20%3D%20(x%2Cf(x))%24%20is%20an%20embedding**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%207%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24S%5Em%20%5Csubseteq%20%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7Bm%2B1%7D%24%20be%20the%20unit%20sphere%2C%20prove%20that%20the%20antipodal%20map%20%24r%3AS%5E%7B2n%2B1%7D%20%5Cto%20S%5E%7B2n%2B1%7D%2C%20x%5Cmapsto%20-x%24%20is%20homotopic%20to%20the%20identity%20map%2C%20is%20the%20same%20true%20for%20the%20antipodal%20map%20%24r%3AS%5E%7B2n%7D%20%5Cto%20S%5E%7B2n%7D%2C%20x%5Cmapsto%20-x%2C%20n%5Cge%201%24**%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%208%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24C%24%20be%20a%20smoothly%20embedded%20circle%20in%20the%20%24xy%24-plane%20not%20passing%20through%20the%20origin%2C%20evaluate%20%24%5Cint_C%20%5Cfrac%7B(2x%5E3%2B2xy%5E2-2y)dx%2B(2y%5E3%2B2x%5E2y%2B2x)dy%7D%7Bx%5E2%2By%5E2%7D%24**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A