Topology Past Qualifying Exam 1

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.17.6%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20nav_menu%20%3D%20mo.nav_menu(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Findex.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Ahome')%7D%20Home%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20orientation%3D%22vertical%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20nav_menu%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Exam%201%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%201%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24X%24%20be%20a%20topological%20space%2C%20prove%20that%20%24A%20%5Csubseteq%20X%24%20is%20open%20if%20and%20only%20if%20each%20point%20of%20%24A%24%20has%20an%20open%20neighborhood%20contained%20in%20%24A%24**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20If%20%24A%24%20is%20open%2C%20for%20any%20%24a%20%5Cin%20A%24%2C%20%24A%24%20is%20a%20open%20neighborhood%20of%20%24a%24%20contained%20in%20%24A%24.%0A%0A%20%20%20%20Conversely%2C%20say%20for%20each%20%24a%24%20we%20can%20find%20%24U(a)%24%20open%20neighborhood%20of%20%24a%24%20contained%20in%20%24A%24%2C%20then%20claim%20that%20%24A%20%3D%20%5Ccup%20U(a)%24%3A%20for%20any%20%24a%20%5Cin%20A%24%2C%20clearly%20it%20is%20in%20the%20union%3B%20for%20any%20%24a%20%5Cin%20%5Ccup%20U(a)%24%2C%20it%20is%20in%20some%20%24U(a)%24%2C%20but%20we%20define%20it%20to%20be%20contained%20in%20%24A%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%202%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Prove%20that%20the%20following%20two%20statements%20about%20a%20subspace%20%24A%20%5Csubseteq%20%5Cmathbb%7BR%7D%5En%24%20are%20equivalent**%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20**%24A%24%20is%20compact**%3B%0A%20%20%20%202.%20**Every%20continuous%20function%20%24f%3A%20A%20%5Cto%20%5Cmathbb%7BR%7D%24%20attains%20its%20maximum%20on%20%24A%24**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20If%20%24A%24%20is%20compact%2C%20then%20%24f(A)%24%20is%20compact%2C%20now%20%24f(A)%24%20is%20bounded%20implies%20that%20the%20there%20is%20a%20upper%20bounded%2C%20%24f(A)%24%20is%20closed%20implies%20that%20the%20value%20can%20be%20achieved.%0A%0A%20%20%20%20If%20every%20continuous%20function%20%24f%3A%20A%20%5Cto%20%5Cmathbb%7BR%7D%24%20attains%20its%20maximum%20on%20%24A%24%2C%20then%20in%20particular%20then%20function%20%24f(a)%20%3D%20d(0%2Ca)%24%20attains%20its%20maximum%2C%20that%20%24A%24%20is%20bounded%3B%20now%2C%20suppose%20%24A%24%20is%20not%20closed%2C%20meaning%20that%20there%20is%20a%20limit%20point%20%24a%24%20of%20%24A%24%20but%20it%20is%20not%20in%20%24A%24%2C%20then%20the%20function%20%24f(x)%20%3D%20d(a%2Cx)%24%20is%20never%20%240%24%20on%20%24A%24%2C%20thus%20%24g(x)%20%3D%201%2Ff(x)%24%20is%20well-defined%20and%20continuous%20thus%20attains%20maximum%20%24M%24%2C%20meaning%20that%20%24f(x)%24%20achieve%20minimum%20%241%2FM%24%2C%20but%20that%20means%20%24a%24%20is%20not%20a%20limit%20point%20anyway.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%203%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24A_1%2C%20A_2%2C%20%5Cdots%24%20be%20a%20sequence%20of%20connected%20subspace%20of%20a%20topological%20space%20%24X%24%20such%20that%20%24A_n%20%5Ccap%20A_%7Bn%2B1%7D%24%20is%20non-empty%20for%20all%20%24n%24%2C%20prove%20that%20the%20union%20%24%5Ccup%20A_n%24%20is%20connected**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20%24A_1%20%5Ccap%20A_2%24%20is%20not%20empty%20thus%20%24A_1%20%5Ccup%20A_2%24%20is%20connected%3B%20see%20%24A_1%20%5Ccup%20A_2%24%20as%20one%20connected%20set%2C%20and%20notice%20that%20%24A_2%20%5Csubseteq%20A_1%20%5Ccup%20A_2%24%20thus%20%24(A_1%20%5Ccup%20A_2)%20%5Ccap%20A_3%24%20is%20not%20empty%2C%20thus%20%24A_1%20%5Ccup%20A_2%20%5Ccup%20A_3%24%20is%20connected%2C%20continue%20inductively%20we%20have%20the%20desired%20statement.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%204%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Recall%20that%20%24%5Cell%5E2%24%20is%20the%20metric%20space%20of%20all%20infinite%20sequences%20%24x%20%3D%20(x_1%2Cx_2%2C%5Cdots)%24%20of%20real%20numbers%20such%20that%20the%20series%20%24%5Csum%20x_n%5E2%24%20converges%2C%20with%20the%20metric%20%24d(x%2Cy)%20%3D%20%5Csqrt%7B%5Csum%5Climits(x_n%20-%20y_n)%5E2%7D%24.%20Let%20%24A%20%5Csubseteq%20%5Cell%5E2%24%20consists%20of%20all%20sequences%20%24x%24%20that%20are%20eventually%20zero%2C%20meaning%20that%20%24x_n%20%3D%200%24%20for%20all%20but%20finitely%20many%20%24n%24**.%0A%0A%20%20%20%201.%20**Prove%20that%20%24A%24%20is%20dense%20in%20%24%5Cell%5E2%24**%3B%0A%20%20%20%202.%20**Use%20part%201%20to%20prove%20that%20%24%5Cell%5E2%24%20is%20a%20separable%20topological%20space**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20For%20any%20%24x%20%5Cin%20%5Cell%5E2%24%20and%20any%20%24r%24%20such%20that%20%24B(x%2Cr)%24%20is%20an%20arbitrary%20(small)%20basis%20element%20centered%20at%20%24x%24%2C%20%24x%24%20by%20definition%20has%20the%20property%20that%20%24%5Csum%20x_n%5E2%24%20converges%2C%20say%20the%20limit%20is%20%24m%24%2C%20then%20by%20definition%20of%20a%20convergent%20series%20it%20means%20that%20there%20exists%20%24N%24%20such%20that%20%24%7C%20%5Csum%5Climits%5EN%20x_n%5E2%20-%20m%20%7C%20%3C%20r%5E2%24%2C%20meaning%20that%20%24%5Csum%5Climits_N%5E%7B%5Cinfty%7D%20x_n%5E2%20%3C%20r%5E2%24%2C%20but%20then%20the%20distance%20between%20%24x%24%20and%20%24a%20%3D%20(x_1%2Cx_2%2C%20%5Cdots%2C%20x_N%2C%200%2C0%2C%5Cdots)%20%5Cin%20A%24%20is%20defined%20as%20%24%3D%20%5Csqrt%7Bx_%7BN%2B1%7D%5E2%2B%5Cdots%7D%20%3C%20%5Csqrt%7Br%5E2%7D%20%3D%20r%24%3B%0A%20%20%20%202.%20If%20%24A%24%20is%20countable%20then%20we%20are%20done%2C%20this%20is%20not%20the%20case%2C%20nevertheless%2C%20%24A'%20%5Csubseteq%20A%24%20with%20rational%20terms%20is%20countable%20(countably%20union%20of%20countable%20is%20countable)%2C%20and%20it%20is%20also%20dense%20in%20%24%5Cell%5E2%24%20because%20%24%5Cmathbb%7BQ%7D%24%20is%20dense%20in%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%205%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Prove%20that%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%5Ek%24%20and%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%5El%24%20are%20not%20diffeomorphic%20unless%20%24k%20%3D%20l%24**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20Suppose%20they%20are%20diffeomorphic%2C%20then%20%24Df_a%3A%20%5Cmathbb%7BR%7D%5Ek%20%5Cto%20%5Cmathbb%7BR%7D%5El%24%20is%20an%20isomorphism%20of%20vector%20spaces%20(over%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%24%2C%20of%20course)%2C%20it%20could%20only%20happen%20when%20%24k%20%3D%20l%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%206%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Prove%20that%20the%20%242%24-sphere%20%24S%5E2%24%20does%20not%20retract%20onto%20its%20equator%20%24S%5E1%20%5Csubseteq%20S%5E2%24%2C%20that%20is%2C%20there%20is%20no%20smooth%20map%20%24r%3A%20S%5E2%20%5Cto%20S%5E1%24%20whose%20restriction%20to%20%24S%5E1%24%20is%20the%20identity**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20If%20there%20is%20such%20%24r%24%2C%20restrict%20it%20to%20the%20northern%20hemisphere%20(and%20%24S%5E1%24)%20is%20still%20smooth%2C%20however%20now%20it%20becomes%20a%20smooth%20map%20from%20%24X%20%5Cto%20%5Cpartial%20X%24%20with%20restriction%20on%20the%20boundary%20is%20the%20identity%2C%20we%20proved%20that%20this%20cannot%20happen.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%207%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24w%20%3D%20(3%2B2xy)dx%20%2B%20(x%5E2-3y%5E2)dy%24%20be%20a%20%241%24-form%20on%20the%20%24xy%24-plane**.%0A%0A%20%20%20%201.%20**Is%20%24w%24%20closed**%3F%0A%20%20%20%202.%20**Is%20%24w%24%20exact**%3F%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20%24dw%20%3D%20(2ydx%20%2B%202xdy)%5Cwedge%20dx%20%2B%20(2xdx%20-6y%20dy)%20%5Cwedge%20dy%20%3D%200%24%20thus%20it%20is%20closed%3B%0A%20%20%20%202.%20Yes%2C%20consider%20the%20%240%24-form%20%24%5Ctheta%20%3D%20x%5E2y-y%5E3%2B3x%24%2C%20then%20%24d%5Ctheta%20%3D%20w%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%208%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24f_0%2C%20f_1%3A%20X%5Cto%20Y%24%20be%20homotopic%20maps%20between%20compact%20oriented%20manifolds%20of%20dimension%20%24n%24.%20Prove%20that%20for%20all%20closed%20%24n%24-forms%20%24w%24%20on%20%24X%24%2C%20we%20have%20that%20%24%5Cint_X%20f_0%5E%7B*%7Dw%20%3D%20%5Cint_X%20f_1%5E%7B*%7Dw%24**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20Say%20the%20homotopy%20is%20%24F%3AX%5Ctimes%20%5B0%2C1%5D%20%5Cto%20Y%24.%20By%20assumption%20%24F%24%20is%20smooth%20on%20%24X%20%5Ctimes%20%5Clbrace%200%2C1%20%5Crbrace%24%20and%20is%20defined%20on%20%24X%20%5Ctimes%20%5B0%2C1%5D%24%2C%20%24w%24%20is%20closed%2C%20thus%20%24%5Cint_%7BX%5Ctimes%20%5Clbrace%200%2C1%20%5Crbrace%7DF%5E%7B*%7Dw%24%20%24%3D%20%5Cint_%7BX%20%5Ctimes%20%5B0%2C1%5D%7DdF%5E%7B*%7Dw%24%20%24%3D%20%5Cint_%7BX%20%5Ctimes%20%5B0%2C1%5D%7DF%5E%7B*%7Ddw%20%3D%200%24%2C%20on%20the%20other%20hand%20it%20also%20equals%20%24%5Cint_%7B-X%5Ctimes%5Clbrace%200%20%5Crbrace%7DF%5E%7B*%7Dw%20%2B%20%5Cint_%7BX%20%5Ctimes%20%5Clbrace%200%20%5Crbrace%7DF%5E%7B*%7Dw%24%20%24%3D%20-%5Cint_%7BX%5Ctimes%5Clbrace%200%20%5Crbrace%7DF%5E%7B*%7Dw%20%2B%20%5Cint_%7BX%20%5Ctimes%20%5Clbrace%200%20%5Crbrace%7DF%5E%7B*%7Dw%24%2C%20but%20those%20are%20exactly%20%24%5Cint_X%20f_0%5E%7B*%7Dw%24%20and%20%24%5Cint_X%20f_1%5E%7B*%7Dw%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Exam%202%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%201%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24X%24%20and%20%24Y%24%20be%20topological%20spaces%20and%20%24f%3A%20X%20%5Cto%20Y%24%20a%20map%20which%20is%20continuous%20and%20bijective**.%0A%0A%20%20%20%201.%20**Give%20an%20example%20showing%20that%20%24f%24%20need%20not%20be%20a%20homeomorphism**%3B%0A%20%20%20%202.%20**Prove%20that%20%24f%24%20must%20be%20a%20homeomorphism%20under%20the%20additional%20assumption%20that%20%24X%24%20is%20compact%20and%20%24Y%24%20is%20Hausdorff**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20The%20identity%20map%20between%20%243%24-element%20sets%20with%20suitable%20topology%20on%20them%20to%20make%20the%20function%20continuous%20but%20not%20open%20is%20enough%20to%20be%20an%20example%3B%0A%20%20%20%202.%20Let%20us%20show%20the%20map%20is%20closed%3A%20for%20any%20%24C%20%5Csubseteq%20X%24%20be%20closed%3A%20closed%20subset%20of%20compact%20set%20is%20compact%2C%20thus%20%24C%24%20is%20also%20compact%2C%20image%20of%20compact%20set%20under%20continuous%20function%20is%20compact%2C%20so%20%24f(C)%24%20is%20compact%2C%20and%20finally%20compact%20subset%20of%20Hausdorff%20space%20is%20closed%2C%20thus%20%24f(C)%24%20is%20closed.%20This%20shows%20%24f%5E%7B-1%7D%24%20is%20also%20continuous.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%202%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24X%24%20be%20a%20non-empty%20compact%20topological%20space**.%0A%0A%20%20%20%201.%20**Give%20an%20outline%20of%20the%20proof%20of%20the%20extreme%20value%20theorem**%3B%0A%20%20%20%202.%20**Part%201%20presumes%20that%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%24%20has%20the%20Euclidean%20topology%2C%20is%20the%20statement%20also%20true%20if%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%24%20has%20the%20finite%20complement%20topology**%3F%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20The%20image%20of%20compact%20set%20under%20continuous%20function%20is%20compact%2C%20which%20means%20bounded%20and%20closed%20in%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%24%2C%20now%2C%20boundedness%20implies%20that%20%24f(X)%24%20must%20have%20certain%20upper%20and%20lower%20bounds%2C%20namely%20%24%5Csup%5Climits%7Bf(x)%7D%24%20and%20%24%5Cinf%7Bf(x)%7D%24%2C%20in%20metric%20space%20they%20are%20essentially%20limit%20points%2C%20so%20closed-ness%20implies%20that%20they%20must%20be%20attainable%3B%0A%20%20%20%202.%20Not%20really%20-%20for%20a%20counterexample%20just%20think%20about%20%24f%3A%20%5B0%2C1%5D%20%5Cto%20%5Cmathbb%7BR%7D%24%2C%20where%20%24t%20%5Cmapsto%20%5Ctan(%5Cpi(-0.5%2Bt))%24%20if%20%24t%20%5Cin%20(0%2C1)%24%20and%20assign%20%24t%24%20arbitrary%20value%20if%20%24t%20%5Cin%20%5Clbrace%200%2C1%20%5Crbrace%24%2C%20%24%5B0%2C1%5D%24%20is%20given%20the%20standard%20topology%20and%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%24%20given%20the%20finite%20complement%20topology%2C%20this%20function%20is%20continuous%2C%20because%20the%20only%20closed%20sets%20in%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%24%20is%20now%20finite%20sets%20(and%20trivial%20ones)%2C%20so%20its%20preimage%20is%20of%20course%20finite%20(or%20empty%20set%20and%20the%20whole%20%24%5B0%2C1%5D%24)%2C%20thus%20closed.%20However%20extreme%20values%20are%20not%20attained%20at%20any%20given%20point.%0A%20%20%20%20%09The%20argument%20we%20used%20in%20part%201%20basically%20fails%20at%20the%20very%20beginning%2C%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%24%20equipped%20with%20finite%20complement%20topology%20is%20not%20even%20metrizable%20(not%20Hausdorff)%2C%20so%20we%20cannot%20talk%20about%20boundedness.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%203%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24%5Clbrace%20x_n%20%5Crbrace%24%20and%20%24%5Clbrace%20y_n%20%5Crbrace%24%20be%20Cauchy%20sequences%20in%20a%20metric%20space%20%24(X%2Cd)%24%2C%20prove%20that%20the%20sequence%20of%20real%20numbers%20%24%5Clbrace%20d(x_n%2Cy_n)%20%5Crbrace%24%20converges**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20By%20assumption%2C%20for%20any%20%24%5Cvarepsilon%20%3E%200%24%20there%20exists%20%24N%24%20such%20that%20%24d(x_%7Bn_1%7D%2Cx_%7Bn_2%7D)%20%3C%20%5Cvarepsilon%24%20for%20any%20%24n_1%2Cn_2%20%3E%20N%24%2C%20and%20there%20exists%20%24M%24%20such%20that%20%24d(y_%7Bm_1%7D%2Cy_%7Bm_2%7D)%20%3C%20%5Cvarepsilon%24%20for%20any%20%24m_1%2Cm_2%20%3E%20M%24.%20Combine%20them%20and%20use%20%24T%20%3D%20%5Cmax%7B(N%2CM)%7D%24%2C%20for%20any%20(fixed)%20%24%5Cvarepsilon%20%3E%200%24%20there%20exists%20%24T%24%20such%20that%20%24d(x_n%2Cx_m)%20%3C%20%5Cvarepsilon%24%20and%20%24d(y_n%2Cy_m)%3C%5Cvarepsilon%24%20for%20any%20%24n%2Cm%3ET%24.%0A%0A%20%20%20%20Now%20for%20any%20%24%5Cvarepsilon%3E0%24%2C%20find%20the%20above%20%24T%24%2C%20and%20fix%20any%20%24m%3ET%24%20(so%20that%20now%20%24d(x_m%2Cy_m)%24%20is%20a%20known%20number)%2C%20then%20for%20any%20%24n%3ET%24%3A%20%24d(x_n%2Cy_n)%5Cle%20d(x_n%2Cx_m)%2Bd(x_m%2Cy_m)%2Bd(y_m%2Cy_n)%20%3C%202%5Cvarepsilon%2Bd(x_m%2Cy_m)%24%2C%20similarly%20%24d(x_n%2Cy_n)%20%3E%20d(x_m%2Cy_m)-2%5Cvarepsilon%24%2C%20and%20we%20have%20convergence.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%204%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Prove%20that%20the%20union%20of%20the%20two%20coordinate%20axes%20in%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%5E2%24%20is%20not%20a%20manifold**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20Denote%20this%20object%20as%20%24T%24%3A%0A%0A%20%20%20%20One%20approach%20is%20to%20say%20that%20at%20any%20point%20other%20than%20the%20origin%2C%20locally%20%24T%24%20is%20diffeomorphic%20to%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%24%2C%20but%20that%20is%20certainly%20not%20true%20at%20the%20origin.%0A%0A%20%20%20%20Or%20we%20can%20say%20that%20at%20the%20origin%2C%20taking%20derivative%20from%20different%20directions%20leads%20to%20vector%20from%20different%20directions%2C%20forcing%20%24r'%20%3D%200%24%2C%20but%20then%20it%20cannot%20be%20a%20diffeomorphism.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%205%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**The%20special%20orthogonal%20group%20%24SO(n)%2C%20n%5Cge%201%24%2C%20consists%20of%20all%20real%20%24n%5Ctimes%20n%24%20matrices%20%24A%24%20such%20that%20%24A%20A%5Et%20%3D%20E%24%20and%20%24%5Cdet%7BA%7D%20%3D%201%24.%20Prove%20that%20%24SO(n)%24%20is%20a%20smooth%20manifold%2C%20and%20determine%20its%20dimension**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20%24SO(n)%24%20is%20a%20subgroup%20of%20%24O(n)%24%2C%20which%20is%20a%20manifold%20of%20dimension%20%24n(n-1)%2F2%24.%20Also%20remember%20that%20%24%5Cdet%24%20send%20%24O(n)%24%20to%20%24%5Clbrace%20%5Cpm%201%20%5Crbrace%24%20and%20%24%5Clbrace%201%20%5Crbrace%24%20is%20open%2C%20we%20have%20that%20%24SO(n)%24%20is%20open%20(preimage%20of%20open%20is%20open)%2C%20thus%20it%20is%20sub-manifold%2C%20and%20the%20dimension%20is%20the%20same.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%206%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Prove%20that%20there%20is%20no%20such%20manifold%20%24Y%24%20such%20that%20the%20sphere%20%24S%5En%24%20of%20dimension%20%24n%20%5Cge%202%24%20is%20diffeomorphic%20to%20%24S%5E1%20%5Ctimes%20Y%24**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20If%20so%2C%20then%20%24S%5En%20%5Ccong%20S%5E1%20%5Ctimes%20Y%20%5Cto%20S%5E1%20%5Ctimes%20%5Clbrace%20y%20%5Crbrace%24%20(natural%20projection%2C%20smooth)%20%24%5Ccong%20S%5E1%24%20is%20a%20smooth%20map%20from%20%24S%5En%20%5Cto%20S%5E1%24%20that%20fixes%20%24S%5E1%24.%20This%20is%20not%20possible.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%207%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24S%5En%2C%20n%20%5Cge%201%24%20be%20the%20unit%20sphere%20in%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7Bn%2B1%7D%24%20given%20by%20%24%5C%7C%20x%20%5C%7C%20%3D%201%24.%20Suppose%20that%20%24f%3A%20S%5En%20%5Cto%20S%5En%24%20is%20a%20smooth%20map%20such%20that%20the%20position%20vector%20of%20%24x%20%5Cin%20S%5En%24%20and%20the%20position%20vector%20of%20%24f(x)%20%5Cin%20S%5En%24%20are%20perpendicular%20to%20each%20other%20for%20all%20%24x%20%5Cin%20S%5En%24%2C%20prove%20that%20%24f%24%20is%20homotopic%20to%20the%20identity%20map%20of%20%24S%5En%24%2C%20show%20that%20such%20an%20%24f%24%20exists%20if%20and%20only%20if%20%24n%24%20is%20odd**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20Since%20%24f%24%20has%20codomain%20%24S%5En%24%2C%20%24F(x%2Ct)%20%3D%20%5Cfrac%7Bxt%2Bf(x)(1-t)%7D%7B%5C%7C%20xt%2Bf(x)(1-t)%20%5C%7C%7D%24%20gives%20us%20the%20desired%20homotopy%20(denominator%20is%20never%20zero%20because%20%24x%24%20and%20%24f(x)%24%20are%20perpendicular%2C%20in%20particular%20not%20on%20the%20same%20line).%0A%0A%20%20%20%20Now%20note%20that%20in%20particular%20%24f%24%20is%20a%20non-vanishing%20vector%20field%2C%20thus%20it%20does%20not%20exists%20if%20%24n%24%20is%20even%3B%20if%20%24n%20%3D%202k-1%24%20is%20odd%2C%20then%20%24f(x_1%2C%5Cdots%2Cx_%7B2k%7D)%20%3D%20(-x_2%2Cx_1%2C-x_4%2Cx_3%2C%5Cdots%2C-x_%7B2k%7D%2Cx_%7B2k-1%7D)%24%20which%20clearly%20always%20lie%20on%20%24S%5E%7B2k-1%7D%24%20gives%20the%20desired%20vector%20field.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%208%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24X%20%5Csubseteq%20%5Cmathbb%7BR%7D%5E3%24%20be%20a%20compact%20connected%20orientable%20surface%20without%20boundary%2C%20and%20let%20%24%5Comega%20%5Cin%20%5COmega%5E1(X)%24%2C%20prove%20that%20%24d%5Comega%24%20must%20vanish%20at%20some%20point%20of%20%24X%24**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20This%20is%20the%20first%20two%20steps%20in%20the%20proof%20of%20Stokes'%20Theorem%2C%20basically%20we%20want%20to%20show%20that%20%24%5Cint_X%20dw%20%3D%200%24%2C%20see%20here.%0A%0A%20%20%20%20Let%20%24%5Clbrace%20O_%7B%5Calpha%7D%20%5Crbrace%24%20be%20an%20open%20covering%20of%20%24X%24%20by%20open%20sets%20parameterized%20by%20%24r_%7B%5Calpha%7D%3A%20U_%7B%5Calpha%7D%20%5Cto%20O_%7B%5Calpha%7D%24%2C%20%24U_%7B%5Calpha%7D%20%5Csubseteq%20%5Cmathbb%7BR%7D%5En%24%2C%20and%20let%20%24%5Clambda_%7B%5Calpha%7D%3A%20X%20%5Cto%20%5Cmathbb%7BR%7D%24%20be%20a%20partition%20of%20unity%20subordinate%20to%20%24%5Clbrace%20O_%7B%5Calpha%7D%20%5Crbrace%24.%20Write%20%24%5Cint_X%20dw%20%3D%20%5Cint_X%20d(%5Csum%20%5Clambda_%7B%5Calpha%7D)w%20%3D%20%5Csum%5Climits_%7B%5Calpha%7D%20%5Cint_X%20d(%5Clambda_%7B%5Calpha%7Dw)%24.%0A%0A%20%20%20%20Let%20%24U%20%5Csubseteq%20%5Cmathbb%7BR%7D%5E2%24%20be%20open%20and%20%24w%20%5Cin%20%5COmega%5E1(U)%24%20have%20compact%20support%20in%20%24U%24%2C%20then%20we%20need%20to%20prove%20that%20%24%5Cint_Udw%20%3D%200%24.%20Write%20%24w%20%3D%20a_1(x)dx%5E2%20%2B%20a_2(x)dx%5E1%24%2C%20then%20%24dw%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20a_1%7D%7B%5Cpartial%20x%5E1%7D%20dx%5E1%20%5Cwedge%20dx%5E2%20%2B%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20a_2%7D%7B%5Cpartial%20x%5E2%7D%20dx%5E1%20%5Cwedge%20dx%5E2%24.%20Interpret%3A%20%24%5Cint_U%20dw%20%3D%20%5Cint_%7B%5Cmathbb%7BR%7D%5E2%7Ddw%24%20%24%3D%20%5Cint_%7B%5Cmathbb%7BR%7D%5E2%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20a_1%7D%7B%5Cpartial%20x%5E1%7D%20dx%5E1%20dx%5E2%20%2B%20%5Cint_%7B%5Cmathbb%7BR%7D%5E2%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20a_2%7D%7B%5Cpartial%20x%5E2%7D%20dx%5E1%20dx%5E2%24.%20For%20any%20%24i%24%2C%20interpret%20the%20%24i%24-th%20term%20first%20with%20respect%20to%20%24x%5Ei%24%20to%20obtain%20%24%3D%20%5Cint_%7B%5Cmathbb%7BR%7D%7D(%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20a_1%7D%7B%5Cpartial%20x%5E1%7Ddx%5E1)dx%5E2%20%2B%20%5Cint_%7B%5Cmathbb%7BR%7D%7D(%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20a_2%7D%7B%5Cpartial%20x%5E2%7Ddx%5E2)dx%5E1%24%20%24%3D%20%5Cint_%7B%5Cmathbb%7BR%7D%7Da_1(x%5E1%2C%20x%5E2)%20%7C_%7Bx%5E1%20%3D%20-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7Ddx%5E2%20%2B%20%5Cint_%7B%5Cmathbb%7BR%7D%7Da_2(x%5E1%2C%20x%5E2)%20%7C_%7Bx%5E2%20%3D%20-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7Ddx%5E1%20%3D%200%20%2B%200%24%20because%20%24w%24%20has%20compact%20support%20(in%20particular%20%24%5Cpm%20%5Cinfty%24%20is%20not%20in%20the%20support%2C%20i.e.%20valuation%20at%20%24%5Cpm%20%5Cinfty%24%20is%20zero).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Exam%203%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%201%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24A%24%20be%20a%20subset%20of%20a%20topological%20space%20%24X%24%2C%20prove%20that%20%24A%24%20is%20open%20in%20%24X%24%20if%20and%20only%20if%20every%20point%20in%20%24A%24%20has%20a%20neighborhood%20contained%20in%20%24A%24**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%202%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7B%5Comega%7D%24%20be%20the%20countably%20infinite%20product%20of%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%24%20with%20itself**.%0A%0A%20%20%20%201.%20**Define%20both%20the%20product%20topology%20and%20the%20box%20topology%20on%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7B%5Comega%7D%24**%3B%0A%20%20%20%202.%20**Consider%20the%20function%20%24f%3A%20%5Cmathbb%7BR%7D%20%5Cto%20%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7B%5Comega%7D%24%20given%20by%20%24f(t)%20%3D%20(t%2Ct%2C%5Cdots)%24%2C%20prove%20that%20%24f%24%20is%20continuous%20when%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7B%5Comega%7D%24%20is%20given%20the%20product%20topology%20but%20not%20when%20given%20the%20box%20topology**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20Box%20topology%20is%20constructed%20by%20basis%20element%20of%20the%20form%20%24%5Cprod%5Climits%20U_i%24%2C%20where%20%24U_i%20%3D%20(a_i%2Cb_i)%24%20is%20of%20the%20form%20of%20open%20interval%20in%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%24%3B%20Product%20topology%20is%20constructed%20in%20a%20similar%20way%2C%20however%2C%20all%20but%20finitely%20many%20%24U_i%20%3D%20%5Cmathbb%7BR%7D%24%20itself%3B%0A%20%20%20%202.%20In%20product%20topology%2C%20consider%20an%20arbitrary%20basis%20element%20%24V%20%3D%20%5Cprod%5Climits%20U_i%20%3D%20%5Cprod%5Climits%5EN%20(a_i%2Cb_i)%20%5Ctimes%20%5Cprod%5Climits%20%5Cmathbb%7BR%7D%24%2C%20we%20want%20to%20show%20the%20preimage%20of%20this%20is%20open%3A%20intersection%20of%20finite%20open%20sets%20is%20open%2C%20so%20%24%5Ccap%20(a_i%2Cb_i)%20%3D%20U%24%20open%2C%20easy%20to%20see%20the%20preimage%20of%20%24V%24%20is%20%24U%24%2C%20and%20we%20are%20done.%0A%0A%20%20%20%20In%20box%20topology%2C%20however%2C%20consider%20%24V%20%3D%20(-1%2C1)%20%5Ctimes%20(-1%2F2%2C1%2F2)%20%5Ctimes%20%5Cdots%24%20then%20we%20should%20see%20that%20no%20matter%20how%20small%20%24%5Cdelta%24%20we%20choose%2C%20%24f(-%5Cdelta%2C%5Cdelta)%24%20is%20not%20contained%20in%20%24V%24%20thus%20the%20map%20is%20not%20continuous.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%203%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%201.%20**Define%20both%20the%20terms%20connected%20and%20path%20connected**%3B%0A%20%20%20%202.%20**Prove%20or%20give%20a%20counterexample%3A%20a%20path%20connected%20topological%20space%20is%20connected**%3B%0A%20%20%20%203.%20**Prove%20or%20give%20a%20counterexample%3A%20if%20%24A%20%5Csubseteq%20X%24%20is%20a%20path%20connected%20subset%20of%20a%20topological%20space%2C%20then%20its%20closure%20%24%5Coverline%7BA%7D%24%20is%20path%20connected**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20Connected%3A%20no%20separation%3B%20Path%20connected%3A%20any%20two%20points%20admit%20a%20path%3B%0A%20%20%20%202.%20Suppose%20%24X%20%3D%20U%20%5Ccup%20V%24%20is%20a%20separation%2C%20choose%20%24x_0%20%5Cin%20U%2C%20x_1%20%5Cin%20V%24%20and%20consider%20a%20path%20%24%5Cgamma%3A%20%5B0%2C%201%5D%20%5Crightarrow%20X%24%20such%20that%20%24%5Cgamma(0)%20%3D%20x_0%24%20and%20%24%5Cgamma(1)%20%3D%20x_1%24%2C%20then%20%24%5B0%2C%201%5D%20%3D%20%5Cgamma%5E%7B-1%7D(X)%20%3D%20%5Cgamma%5E%7B-1%7D(U)%20%5Ccup%20%5Cgamma%5E%7B-1%7D(V)%24%20is%20a%20separation%20of%20%24%5B0%2C%201%5D%24%2C%20which%20is%20a%20contradiction%3B%0A%20%20%20%203.%20Counterexample%3A%20the%20topologist's%20sine%20curve%20%24S%20%3D%20%5Clbrace%20(x%2C%20%5Csin(%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D))%20%7C%200%20%3C%20x%20%5Cle%201%20%5Crbrace%24%2C%20%24S%24%20is%20path%20connected%20but%20%24%5Coverline%7BS%7D%24%20is%20not%20path%20connected%3A%0A%20%20%20%20%091.%20%24S%24%20is%20image%20of%20an%20interval%20under%20a%20continuous%20function%20thus%20path%20connected%3B%0A%20%20%20%20%092.%20Suppose%20%24f(t)%20%3D%20(a(t)%2Cb(t))%24%20is%20a%20path%20connecting%20%24(0%2C0)%24%20and%20%24(1%2F%5Cpi%2C0)%24%2C%20in%20particular%2C%20it%20is%20continuous%2C%20then%20by%20intermediate%20value%20theorem%20there%20is%20%240%3Ct_1%3C1%24%20so%20that%20%24a(t_1)%20%3D%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%5Cpi%7D%24%2C%20notice%20in%20this%20case%20%24b(t_1)%20%3D%20-1%24.%20Similarly%20there%20is%20%240%3Ct_2%3Ct_1%24%20so%20that%20%24a(t_2)%20%3D%20%5Cfrac%7B2%7D%7B5%5Cpi%7D%24%2C%20notice%20in%20this%20case%20%24b(t_2)%20%3D%201%24.%20Continue%20inductively%20we%20have%20a%20sequence%20%24t_n%24.%20Now%20%24t_n%24%20is%20convergent%2C%20because%20it%20is%20bounded%20and%20monotone%20(in%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%24).%20By%20the%20continuity%20theorem%20in%20metric%20space%20we%20must%20have%20%24f(t_n)%24%20convergent%2C%20but%20this%20is%20not%20true%2C%20because%20%24b(t_n)%24%20does%20not%20converge.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%204%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Prove%20that%20a%20closed%20subspace%20of%20a%20compact%20space%20is%20compact**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20Say%20%24A%20%5Csubseteq%20X%24%20is%20a%20closed%20subspace%20of%20a%20compact%20space.%20Want%20to%20show%20%24A%24%20is%20compact.%20Let%20%24%5Ccup%20U_i%24%20be%20an%20arbitrary%20open%20covering%20of%20%24A%24%2C%20then%20%24(%5Ccup%20U_i)%20%5Ccup%20(X-A)%24%20is%20an%20open%20covering%20for%20%24X%24%2C%20which%20must%20admit%20finite%20sub-covering%2C%20remove%20%24(X-A)%24%20from%20that%20sub-covering%20and%20we%20get%20a%20finite%20sub-covering%20for%20%24A%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%205%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24f%3A%20X%5Cto%20%5Cmathbb%7BR%7D%24%20be%20a%20smooth%20function%20on%20a%20smooth%2C%20compact%2C%20boundary-less%20manifold%20%24X%24.%20Suppose%20%240%24%20is%20a%20regular%20value%2C%20prove%20that%20%24f%5E%7B-1%7D(0)%24%20is%20diffeomorphic%20to%20the%20boundary%20of%20some%20smooth%20compact%20manifold%20%24W%24**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20What%20we%20want%20to%20say%20here%20is%20that%20%24%5Clbrace%20p%20%7C%20f(p)%20%5Cle%200%20%5Crbrace%24%20is%20a%20manifold%20with%20boundary%20%24f%5E%7B-1%7D(0)%24.%0A%0A%20%20%20%20The%20'compact'%20part%20is%20easy%2C%20preimage%20of%20closed%20set%20is%20closed%2C%20and%20closed%20subset%20of%20compact%20set%20is%20compact.%0A%0A%20%20%20%20The%20set%20of%20points%20%24p%20%5Cin%20X%24%20where%20%24f(p)%3C0%24%20is%20open%20(preimage%20of%20%24(-%5Cinfty%2C%200)%24)%20in%20%24X%24%20thus%20is%20a%20manifold.%20For%20each%20%24p%20%5Cin%20X%24%20such%20that%20%24f(p)%20%3D%200%24%2C%20by%20the%20local%20submersion%20theorem%2C%20every%20%24p%20%5Cin%20f%5E%7B-1%7D(0)%24%20has%20a%20neighborhood%20with%20local%20coordinates%20%24x_1%2C%20%5Cdots%2C%20x_n%24%20such%20that%20%24f%5E%7B-1%7D(0)%24%20is%20given%20by%20%24x_n%20%3D%200%24.%20The%20part%20of%20this%20neighborhood%20given%20by%20%24f(x)%20%5Cle%200%24%20(equivalently%20%24x_n%20%5Cle%200%24)%20is%20homeomorphic%20to%20an%20open%20set%20in%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%5En_%2B%24%20of%20the%20second%20type.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%206%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24X%24%20be%20a%20compact%20smooth%20manifold%2C%20%24Y%24%20be%20smooth%20manifold%2C%20and%20%24Z%24%20be%20a%20closed%20smooth%20sub-manifold%20of%20%24Y%24**.%0A%0A%20%20%20%201.%20**Define%20what%20it%20means%20for%20the%20smooth%20function%20%24f%3A%20X%20%5Cto%20Y%24%20to%20be%20transversal%20to%20%24Z%24**%3B%0A%20%20%20%202.%20**Define%20what%20it%20means%20for%20the%20two%20smooth%20functions%20%24f_0%2Cf_1%3A%20X%5Cto%20Y%24%20to%20be%20homotopic**%3B%0A%20%20%20%203.%20**Show%20if%20%24f_0%2Cf_1%3A%20X%5Cto%20Y%24%20are%20homotopic%20and%20both%20transversal%20to%20%24Z%24%2C%20then%20%24I_2(f_0%2CZ)%20%3D%20I_2(f_1%2CZ)%24%2C%20i.e.%20their%20mod%20%242%24%20intersection%20numbers%20with%20%24Z%24%20are%20equal**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20We%20say%20that%20%24f%24%20is%20transversal%20to%20%24Z%24%20if%20%24%5Cforall%20p%20%5Cin%20f%5E%7B-1%7D(Z)%24%2C%20%24df_p(T_pX)%20%2B%20T_%7Bf(p)%7DZ%20%3D%20T_%7Bf(p)%7DY%24%3B%0A%20%20%20%202.%20We%20say%20that%20they%20are%20homotopic%20if%20there%20is%20a%20smooth%20map%20%24F%3A%20X%20%5Ctimes%20%5B0%2C1%5D%20%5Cto%20Y%24%20such%20that%20%24F(x%2C0)%20%3D%20f_0(x)%24%20and%20%24F(x%2C1)%20%3D%20f_1(x)%24%3B%0A%20%20%20%203.%20Let%20%24F%3A%20X%20%5Ctimes%20%5B0%2C1%5D%20%5Cto%20Y%24%20be%20the%20homotopy%20between%20%24f_0%24%20and%20%24f_1%24.%20By%20Extension%20Theorem%20we%20may%20assume%20%24F%24%20is%20transversal%20to%20%24Z%24.%20Then%20%24F%5E%7B-1%7D(Z)%24%20is%20a%20%241%24-dimension%20sub-manifold%20of%20%24X%20%5Ctimes%20%5B0%2C1%5D%24%20(because%20in%20the%20definition%20of%20mod%20%242%24%20intersection%20number%20we%20explicitly%20ask%20%24%5Cdim%7BX%7D%20%2B%20%5Cdim%7BZ%7D%20%3D%20%5Cdim%7BY%7D%24%2C%20so%20now%20%24%5Cdim%7BX%5Ctimes%20%5B0%2C1%5D%7D%20%2B%20%5Cdim%7BZ%7D%20-%20%5Cdim%7BY%7D%24%20must%20be%20%241%24)%20and%20its%20boundary%20is%20%24%5Cpartial%20F%5E%7B-1%7D(Z)%20%3D%20F%5E%7B-1%7D(Z)%20%5Ccap%20%5Cpartial%20(X%20%5Ctimes%20%5B0%2C1%5D)%20%3D%20f_0%5E%7B-1%7D(Z)%20%5Ctimes%20%5Clbrace%200%20%5Crbrace%20%5Ccup%20f_1%5E%7B-1%7D(Z)%20%5Ctimes%20%5Clbrace%201%20%5Crbrace%24%2C%20but%20we%20know%20that%20a%20%241%24-manifold%20always%20have%20even%20number%20of%20points%20on%20the%20boundary%2C%20thus%20we%20have%20the%20desired%20statement.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%207%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24r%20%3D%20%5Csqrt%7Bx%5E2%2By%5E2%7D%24%2C%20for%20each%20non-negative%20integer%20%24n%24%2C%20determine%20whether%20the%20%241%24-form%20%24w_n%20%3D%20%5Cfrac%7B-ydx%20%2B%20xdy%7D%7Br%5En%7D%24%20defined%20on%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%5E2-%5Clbrace%20(0%2C0)%20%5Crbrace%24%20is%20closed%20or%20exact**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20%24n%20%3D%200%24%2C%20then%20%24w_0%20%3D-ydx%2Bxdy%24%2C%20%24dw_0%20%3D%20-dy%5Cwedge%20dx%20%2B%20dx%20%5Cwedge%20dy%20%3D%202dx%20%5Cwedge%20dy%24%20is%20not%20closed%2C%20so%20it%20cannot%20be%20exact%2C%20so%20it%20is%20neither%20closed%20nor%20exact%3B%0A%0A%20%20%20%20%24n%20%3D%201%24%2C%20then%20%24w_1%20%3D%20%5Cfrac%7B-y%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E2%2By%5E2%7D%7Ddx%20%2B%20%5Cfrac%7Bx%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E2%2By%5E2%7D%7Ddy%24%2C%20%24dw_1%20%3D%20%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B(x%5E2%2By%5E2)%5E%7B3%2F2%7D%7Ddx%20%5Cwedge%20dy%20%2B%20%5Cfrac%7By%5E2%7D%7B(x%5E2%2By%5E2)%5E%7B3%2F2%7D%7Ddx%20%5Cwedge%20dy%24%20is%20not%20closed%20nor%20exact%3B%0A%0A%20%20%20%20%24n%20%3D%202%24%2C%20then%20%24w_2%20%3D%20%5Cfrac%7B-y%7D%7Bx%5E2%2By%5E2%7Ddx%20%2B%20%5Cfrac%7Bx%7D%7Bx%5E2%2By%5E2%7Ddy%24%2C%20one%20can%20check%20%24dw_2%20%3D%200%24%2C%20see%20homework%20to%20see%20it%20is%20not%20exact%3B%0A%0A%20%20%20%20%24n%20%3D%203%24%2C%20not%20closed%20so%20not%20exact%3B%0A%0A%20%20%20%20%24n%20%3D%204%24%2C%20not%20closed%20so%20not%20exact%3B%0A%0A%20%20%20%20%24%5Cdots%24%0A%0A%20%20%20%20i.e.%20only%20when%20%24n%20%3D%202%24%20it%20is%20closed%20but%20not%20exact%2C%20otherwise%20it%20is%20neither%20closed%20nor%20exact.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Exam%204%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%201%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24X%24%20be%20a%20topological%20space.%20Prove%20that%20a%20subspace%20%24A%20%5Csubseteq%20X%24%20is%20dense%20if%20and%20only%20if%20its%20complement%20has%20empty%20interior**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20%24A%24%20is%20dense%2C%20then%20in%20particular%20any%20%24x%20%5Cin%20X-A%24%2C%20any%20neighborhood%20of%20%24x%24%20intersect%20with%20%24A%24%2C%20in%20other%20word%2C%20not%20entirely%20lying%20in%20%24X-A%24%2C%20thus%20no%20%24x%24%20is%20in%20the%20interior%2C%20i.e.%20interior%20of%20%24X-A%24%20is%20empty.%20This%20argument%20also%20work%20the%20other%20way%20round.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%202%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24(X%2Cd)%24%20be%20a%20compact%20metric%20space%20with%20continuous%20contraction%20%24f%3A%20X%20%5Cto%20X%24%20(%24f%24%20is%20a%20contraction%20if%20there%20exists%20a%20number%20%24a%20%3C%201%24%20such%20that%20%24d(f(x)%2Cf(y))%20%3C%20ad(x%2Cy)%24%20for%20any%20distinct%20%24x%2Cy%20%5Cin%20X%24)%2C%20show%20that%20there%20exists%20a%20unique%20point%20%24x%20%5Cin%20X%24%20such%20that%20%24f(x)%20%3D%20x%24**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20Denote%20%24f%5E1%20%3D%20f%24%20and%20%24f%5E%7Bn%20%2B%201%7D%20%3D%20f%20%5Ccirc%20f%5En%24.%20Consider%20the%20intersection%20%24A%24%20of%20the%20sets%20%24A_n%20%3D%20f%5En(X)%24.%0A%0A%20%20%20%20%24A_1%20%3D%20f(X)%24%20is%20image%20of%20compact%20space%20under%20continuous%20map%20thus%20compact%2C%20and%20it%20is%20subspace%20of%20a%20Hausdorff%20(metric)%20space%20thus%20closed.%20By%20a%20regular%20induction%20step%2C%20it%20is%20easy%20to%20see%20that%20%24A_n%20%3D%20f%5En(X)%24%20is%20compact%20and%20closed%20for%20all%20%24n%24.%0A%0A%20%20%20%20Suppose%20%24x%20%5Cin%20A%24%20then%20%24x%20%5Cin%20A_n%24%20for%20all%20%24n%24%2C%20thus%20%24f(x)%20%5Cin%20A_n%24%20for%20all%20%24n%20%3E%201%24%2C%20but%20%24f(x)%24%20is%20naturally%20contained%20in%20%24A_1%20%3D%20f(X)%24%2C%20thus%20%24f(x)%20%5Cin%20A_n%24%20for%20all%20%24n%24%20thus%20%24f(x)%20%5Cin%20A%24.%20Thus%20%24f(A)%20%5Csubseteq%20A%24.%0A%0A%20%20%20%20Naturally%20%24f%5E%7Bn%2B1%7D(X)%20%5Csubseteq%20f%5En(X)%24%20for%20all%20%24n%24%20because%20the%20domain%20and%20codomain%20are%20both%20%24X%24%2C%20each%20of%20them%20would%20be%20non-empty%2C%20thus%20their%20intersection%20%24A%24%20(of%20a%20sequence%20of%20nested%20nonempty%20compact%20sets%20in%20a%20compact%20space)%20is%20non-empty.%0A%0A%20%20%20%20Now%20suppose%20%24f%24%20is%20a%20contraction%2C%20then%20%24d(f%5En(x)%2C%20f%5En(y))%20%5Cle%20%5Calpha%20d(f%5E%7Bn-1%7D(x)%2C%20f%5E%7Bn-1%7D(y))%20%5Cle%20%5Calpha%5E2%20d(f%5E%7Bn-2%7D(x)%2C%20f%5E%7Bn-2%7D(y))%20%5Cle%20%5Cdots%20%5Crightarrow%200%24%20for%20some%20%24%5Calpha%20%3C%201%24%2C%20thus%20%24A%24%20can%20have%20only%20one%20point%20%24a%24%2C%20since%20%24f(A)%24%20is%20non-empty%20it%20must%20also%20be%20that%20exact%20point%2C%20i.e.%20it%20is%20the%20fixed%20point.%0A%0A%20%20%20%20To%20show%20this%20is%20the%20only%20fixed%20point%3A%20suppose%20%24x%2C%20y%24%20are%20both%20fixed%20point%2C%20then%20%24d(f(x)%2C%20f(y))%20%3D%20d(x%2C%20y)%20%5Cle%20%5Calpha%20d(x%2C%20y)%20%3C%20d(x%2C%20y)%24%20which%20is%20impossible.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%203%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24f%3A%20X%20%5Cto%20Y%24%20be%20a%20function%20between%20topological%20spaces.%20Prove%20that%20%24f%24%20is%20continuous%20if%20and%20only%20if%20%24f(%5Coverline%7BA%7D)%20%5Csubseteq%20%5Coverline%7Bf(A)%7D%24%20for%20any%20subset%20%24A%20%5Csubseteq%20X%24**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20Suppose%20%24f%24%20is%20continuous%20and%20%24A%20%5Csubseteq%20X%24%2C%20then%20%24A%20%5Csubseteq%20f%5E%7B-1%7D(f(A))%24%20%24%5Csubseteq%20f%5E%7B-1%7D(%5Coverline%7Bf(A)%7D)%24%2C%20now%20preimage%20of%20closed%20set%20must%20be%20closed%2C%20so%20%24f%5E%7B-1%7D(%5Coverline%7Bf(A)%7D)%24%20is%20closed%2C%20so%20it%20equals%20to%20its%20closure%2C%20that%20means%20%24%5Coverline%7BA%7D%20%5Csubseteq%20f%5E%7B-1%7D(%5Coverline%7Bf(A)%7D)%24%20as%20well.%20Apply%20%24f%24%20both%20side%20we%20have%20%24f(%5Coverline%7BA%7D)%20%5Csubseteq%20f(f%5E%7B-1%7D(%5Coverline%7Bf(A)%7D))%20%5Csubseteq%20%5Coverline%7Bf(A)%7D%24%3B%0A%0A%20%20%20%20Conversely%2C%20we%20want%20to%20show%20preimage%20of%20closed%20set%20is%20always%20closed.%20Suppose%20%24B%24%20is%20closed%20in%20%24Y%24%20so%20that%20%24%5Coverline%7BB%7D%20%3D%20B%24%2C%20then%20%24f(%5Coverline%7Bf%5E%7B-1%7D(B)%7D)%24%20(now%20use%20the%20assumption)%20%24%5Csubseteq%20%5Coverline%7Bf(f%5E%7B-1%7D(B))%7D%20%5Csubseteq%20%5Coverline%7BB%7D%20%3D%20B%24.%20In%20particular%20%24f(%5Coverline%7Bf%5E%7B-1%7D(B)%7D)%20%5Csubseteq%20B%24%2C%20apply%20%24f%5E%7B-1%7D%24%20each%20side%20we%20have%20%24%5Coverline%7Bf%5E%7B-1%7D(B)%7D%20%5Csubseteq%20f%5E%7B-1%7D(f(%5Coverline%7Bf%5E%7B-1%7D(B)%7D))%20%5Csubseteq%20f%5E%7B-1%7D(B)%24%2C%20but%20naturally%20%24f%5E%7B-1%7D(B)%20%5Csubseteq%20%5Coverline%7Bf%5E%7B-1%7D(B)%7D%24%2C%20so%20we%20have%20equality%2C%20as%20thus%20%24f%5E%7B-1%7D(B)%24%20is%20closed.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%204%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Prove%20the%20Intermediate%20Value%20Theorem%3A%20Let%20%24f%3A%20X%20%5Cto%20Y%24%20be%20a%20continuous%20map%20of%20the%20connected%20space%20%24X%24%20to%20the%20ordered%20set%20%24Y%24%20in%20the%20order%20topology.%20If%20%24a%24%20and%20%24b%24%20are%20two%20points%20of%20%24X%24%20and%20%24r%24%20is%20a%20point%20of%20%24Y%24%20between%20%24f(a)%24%20and%20%24f(b)%24%2C%20then%20there%20exists%20a%20point%20%24c%20%5Cin%20X%24%20such%20that%20%24f(c)%20%3D%20r%24**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20If%20certain%20%24r%24%20is%20not%20attainable%2C%20then%20consider%20%24A%20%3D%20%5Clbrace%20y%20%5Cin%20f(X)%20%7C%20y%3Cr%20%5Crbrace%24%20and%20%24B%20%3D%20%5Clbrace%20y%20%5Cin%20f(X)%20%7C%20y%20%3E%20r%20%5Crbrace%24%3A%20by%20construction%20they%20are%20non-empty%20(containing%20%24f(a)%2C%20f(b)%24%20respectively)%3B%20they%20are%20disjoint%2C%20because%20an%20element%20in%20such%20%24Y%24%20cannot%20both%20less%20than%20%24r%24%20and%20larger%20than%20%24r%24%3B%20they%20are%20open%20because%20for%20example%20we%20can%20write%20%24A%20%3D%20f(X)%20%5Ccap%20(-%5Cinfty%2Cr)%24.%20So%20%24A%2CB%24%20form%20a%20separation%20for%20%24f(X)%24%2C%20which%20is%20a%20contradiction%20because%20image%20of%20connected%20space%20under%20continuous%20map%20should%20be%20connected.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%205%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Prove%20the%20graph%20of%20%24f(x%2Cy)%20%3D%20%5Csqrt%7Bx%5E2%2By%5E2%7D%24%20is%20homeomorphic%20but%20not%20diffeomorphic%20to%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%5E2%24**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20Homeomorphism%3A%20just%20use%20the%20natural%20projection%20%24(x%2Cy%2C%5Csqrt%7Bx%5E2%2By%5E2%7D)%20%5Cmapsto%20(x%2Cy)%24%20and%20the%20inverse%20%24(x%2Cy)%20%5Cmapsto%20(x%2Cy%2C%5Csqrt%7Bx%5E2%2By%5E2%7D)%24%2C%20they%20are%20both%20obviously%20continuous%20and%20bijective%3B%0A%0A%20%20%20%20At%20%24(0%2C0)%24%20locally%20the%20graph%20looks%20like%20a%20cone%2C%20that%20leads%20to%20a%20problem%2C%20because%20either%20it%20is%20not%20differentiable%20there%2C%20or%20the%20derivative%20is%20%240%24%2C%20either%20way%20it%20cannot%20be%20a%20smooth%20manifold.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%206%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**For%20which%20values%20of%20%24r%3E0%24%20does%20%24H%20%3D%20%5Clbrace%20x%5E2%2By%5E2-z%5E2-w%5E2%20%3D%201%20%5Crbrace%20%5Csubseteq%20%5Cmathbb%7BR%7D%5E4%24%20transversally%20intersect%20%24S%5E3_r%20%5Csubseteq%20%5Cmathbb%7BR%7D%5E4%24%2C%20the%20%243%24-sphere%20of%20radius%20%24r%24%20centered%20at%20the%20origin**%3F%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20Let%20us%20try%20to%20solve%20for%20%24x%2Cy%2Cz%2Cw%24%2C%20it%20is%20not%20hard%20to%20get%20from%20the%20assumptions%20that%20%24%5Cfrac%7Br%5E2-1%7D%7B2%7D%20%3D%20z%5E2%2Bw%5E2%24%20and%20%24%5Cfrac%7Br%5E2%2B1%7D%7B2%7D%20%3D%20x%5E2%2By%5E2%24%2C%20so%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20If%20%240%3Cr%3C1%24%20then%20there%20is%20no%20real%20solution%20for%20%24z%24%20and%20%24w%24%2C%20thus%20the%20two%20objects%20do%20not%20have%20an%20intersection%2C%20so%20they%20are%20(vacuously)%20transversal%20at%20any%20points%3B%0A%0A%20%20%20%202.%20If%20%24r%20%3D%201%24%2C%20then%20%24z%20%3D%20w%20%3D0%24%20and%20%24x%5E2%2By%5E2%20%3D%201%24%2C%20i.e.%20the%20intersection%20is%20the%20%24S%5E1%20%5Csubseteq%20%5Cmathbb%7BR%7D%5E4%24.%20At%20any%20of%20such%20point%20the%20normal%20vector%20for%20the%20two%20objects%20are%20both%20%24(2x%2C2y%2C0%2C0)%24%2C%20so%20they%20are%20linearly%20dependent%2C%20and%20causing%20that%20they%20do%20not%20transversally%20intersect%20there%3B%0A%0A%20%20%20%203.%20If%20%24r%20%3E%201%24%2C%20the%20two%20objects%20intersect%20at%20those%20points%20where%20%24%5Cfrac%7Br%5E2-1%7D%7B2%7D%20%3D%20z%5E2%2Bw%5E2%24%20and%20%24%5Cfrac%7Br%5E2%2B1%7D%7B2%7D%20%3D%20x%5E2%2By%5E2%24%2C%20by%20above%20argument%2C%20they%20intersect%20transversally%20there.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%207%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24X%24%20be%20a%20smooth%2C%20compact%2C%20boundary-less%20%24n%24-manifold%20and%20%24f%3A%20X%5Cto%20%5Cmathbb%7BR%7D%5En%24%20be%20a%20smooth%20map%2C%20prove%20that%20%24f%24%20must%20have%20a%20critical%20point**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20Let%20%24%5Cpi%3A%20%5Cmathbb%7BR%7D%5En%20%5Cto%20%5Cmathbb%7BR%7D%24%20be%20a%20canonical%20projection%20send%20the%20vector%20to%2C%20say%2C%20the%20first%20coordinate.%20Now%20%24%5Cpi(f)%24%20is%20a%20real%20function%20on%20a%20compact%20set%2C%20thus%20it%20must%20have%20a%20critical%20point%20%24p%24.%20Also%20that%20%24f%24%20and%20%24%5Cpi%24%20are%20both%20smooth%2C%20so%20we%20have%20to%20be%20able%20to%20differentiate%20%24%5Cpi(f)%24%20at%20%24p%24%2C%20use%20the%20Chain%20Rule%20we%20have%2C%20%24(%5Cpi%20%5Ccirc%20f)'_p%20%3D%20%5Cpi'_%7Bf(p)%7D%20%5Ccirc%20f'_p%24.%20Now%20remember%20that%20the%20definition%20of%20a%20critical%20point%2C%20that%20is%20at%20that%20point%20the%20derivative%20is%20not%20surjective.%20But%20%24%5Cpi'_%7Bf(p)%7D%24%20is%20always%20surjective%2C%20so%20if%20%24f'_p%24%20is%20surjective%2C%20we%20would%20have%20%24(%5Cpi%20%5Ccirc%20f)'_p%24%20be%20surjective%2C%20but%20that%20is%20not%20the%20case%20because%20%24p%24%20is%20a%20critical%20point%20for%20%24%5Cpi%20f%24%2C%20thus%20%24f'_p%24%20is%20not%20surjective%2C%20which%20is%20equivalent%20with%20that%20%24p%24%20is%20also%20a%20critical%20point%20for%20%24f%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%208%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Consider%20the%20%242%24-form%20%24%5Comega%20%3D%20zdx%20%5Cwedge%20dy%24%20on%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%5E3%24**.%0A%0A%20%20%20%201.%20**Is%20%24%5Comega%24%20exact**%3F%0A%20%20%20%202.%20**Let%20%24M%24%20be%20the%20paraboloid%20%24z-x%5E2-y%5E2%20%3D%201%24%20in%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%5E3%24%2C%20is%20the%20restriction%20of%20%24%5Comega%24%20to%20%24M%24%20exact**%3F%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20%24dw%20%3D%201dz%20%5Cwedge%20dx%20%5Cwedge%20dy%20%3D%20dx%5Cwedge%20dy%20%5Cwedge%20dz%20%5Cne%200%24%20so%20it%20is%20not%20closed%2C%20nor%20exact%3B%0A%20%20%20%202.%20In%20this%20case%20we%20can%20rewrite%20%24w%20%3D%20(1%2Bx%5E2%2By%5E2)dx%5Cwedge%20dy%24%2C%20and%20that%20is%20equal%20to%20%24d((x%5E3%2F3%2Bx%2Bxy%5E2)dy)%24%2C%20so%20it%20is%20exact.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Exam%205%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%201%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24X%24%20and%20%24Y%24%20be%20metric%20spaces%2C%20and%20%24f%2Cg%20%3A%20X%5Cto%20Y%24%20be%20continuous.%20Suppose%20that%20%24f%20%3D%20g%24%20on%20a%20subset%20%24A%20%5Csubseteq%20X%24%20which%20is%20dense%20in%20%24X%24%2C%20prove%20that%20%24f%20%3D%20g%24%20on%20the%20entire%20%24X%24**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20Suppose%20not%2C%20it%20means%20%24f(x)%20%5Cne%20g(x)%24%20for%20some%20%24x%24.%20Since%20%24Y%24%20is%20a%20metric%20space%20we%20can%20find%20%24U_f%2CU_g%24%20neighborhood%20of%20%24f(x)%24%20and%20%24g(x)%24%20respectively%20that%20are%20disjoint.%20%24f%5E%7B-1%7D(U_f)%24%20and%20%24g%5E%7B-1%7D(U_g)%24%20are%20open%2C%20and%20they%20both%20contain%20%24x%24%2C%20so%20their%20intersection%20%24V%20%3D%20f%5E%7B-1%7D(U_f)%5Ccap%20g%5E%7B-1%7D(U_g)%24%20is%20also%20a%20neighborhood%20of%20%24x%24.%20Now%20use%20the%20fact%20that%20%24A%24%20is%20dense%2C%20it%20means%20%24V%24%20intersects%20%24A%24%20at%20some%20%24x'%24%2C%20but%20for%20this%20%24x'%24%20by%20our%20construction%2C%20%24f(x')%20%5Cin%20U_f%24%20and%20%24g(x')%20%5Cin%20U_g%24%20so%20they%20are%20not%20equal%2C%20so%20%24f%20%5Cne%20g%24%20even%20on%20%24A%24%2C%20gives%20a%20contradiction.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%202%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Recall%20that%20a%20subspace%20%24A%24%20of%20a%20topological%20space%20%24X%24%20is%20called%20a%20retract%20of%20%24X%24%20if%20there%20is%20a%20continuous%20map%20%24r%3A%20X%5Cto%20A%24%20such%20that%20%24r%5Ccirc%20i%20%3D%201%24%20where%20%24i%3A%20A%20%5Cto%20X%24%20is%20the%20inclusion%20map.%20Prove%20that%20%24%5Clbrace%200%2C1%20%5Crbrace%24%20is%20not%20a%20retract%20of%20%24%5B0%2C1%5D%24**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20In%20particular%20we%20want%20a%20surjective%20continuous%20map%20%24r%3A%5B0%2C1%5D%20%5Cto%20%5Clbrace%200%2C1%20%5Crbrace%24%2C%20which%20is%20impossible%20because%20image%20of%20connected%20set%20under%20continuous%20map%20is%20connected%2C%20yet%20%24%5Clbrace%200%2C1%20%5Crbrace%24%20is%20not.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%203%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24X%24%20be%20a%20Hausdorff%20topological%20space%2C%20and%20%24A%2CB%20%5Csubseteq%20X%24%20its%20compact%20subspaces%2C%20prove%20that%20%24A%20%5Ccap%20B%24%20is%20compact**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20%24A%2CB%24%20compact%20in%20Hausdorff%20%24X%24%20so%20%24A%2CB%24%20closed%2C%20so%20%24A%20%5Ccap%20B%24%20closed%20in%20%24X%24%2C%20so%20%24A%20%5Ccap%20B%20%3D%20(A%20%5Ccap%20B)%20%5Ccap%20A%24%20is%20closed%20in%20%24A%24%20with%20subspace%20topology%2C%20and%20closed%20subset%20of%20compact%20space%20is%20compact.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%204%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24(X%2Cd)%24%20be%20a%20metric%20space.%20Recall%20that%20a%20map%20%24f%3A%20X%20%5Cto%20X%24%20is%20called%20a%20contraction%20of%20%24X%24%20if%20there%20is%20a%20number%20%24c%3C1%24%20such%20that%20%24d(f(x)%2Cf(y))%5Cle%20cd(x%2Cy)%24%20for%20all%20%24x%2Cy%5Cin%20X%24.%20Prove%20that%20if%20%24f%24%20is%20a%20contraction%20of%20a%20complete%20metric%20space%20%24X%24%20then%20there%20is%20a%20unique%20point%20%24x%20%5Cin%20X%24%20such%20that%20%24f(x)%20%3D%20x%24**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20Define%20%24f%5E1%20%3D%20f%24%20and%20%24f%5E%7Bn%20%2B%201%7D%20%3D%20f%20%5Ccirc%20f%5En%24.%20Consider%20the%20intersection%20%24A%24%20of%20the%20sets%20%24A_n%20%3D%20f%5En(X)%24.%0A%0A%20%20%20%20%24A_1%20%3D%20f(X)%24%20is%20image%20of%20compact%20space%20under%20continuous%20map%20thus%20compact%2C%20and%20it%20is%20subspace%20of%20a%20Hausdorff%20(metric)%20space%20thus%20closed.%20By%20a%20regular%20induction%20step%2C%20it%20is%20easy%20to%20see%20that%20%24A_n%20%3D%20f%5En(X)%24%20is%20compact%20and%20closed%20for%20all%20%24n%24.%0A%0A%20%20%20%20Suppose%20%24x%20%5Cin%20A%24%20then%20%24x%20%5Cin%20A_n%24%20for%20all%20%24n%24%2C%20thus%20%24f(x)%20%5Cin%20A_n%24%20for%20all%20%24n%20%3E%201%24%2C%20but%20%24f(x)%24%20is%20naturally%20contained%20in%20%24A_1%20%3D%20f(X)%24%2C%20thus%20%24f(x)%20%5Cin%20A_n%24%20for%20all%20%24n%24%20thus%20%24f(x)%20%5Cin%20A%24.%20Thus%20%24f(A)%20%5Csubseteq%20A%24.%0A%0A%20%20%20%20Similarly%20we%20can%20see%20that%20%24f%5E%7Bn%2B1%7D(X)%20%5Csubseteq%20f%5En(X)%24%20for%20all%20%24n%24%2C%20each%20of%20them%20would%20be%20non-empty%2C%20thus%20their%20intersection%20%24A%24%20(whose%20diameter%20goes%20to%20%240%24)%20is%20non-empty%20(this%20is%20a%20property%20for%20complete%20metric%20space).%0A%0A%20%20%20%20Now%20suppose%20%24f%24%20is%20a%20contraction%2C%20then%20%24d(f%5En(x)%2C%20f%5En(y))%20%5Cle%20%5Calpha%20d(f%5E%7Bn-1%7D(x)%2C%20f%5E%7Bn-1%7D(y))%20%5Cle%20%5Calpha%5E2%20d(f%5E%7Bn-2%7D(x)%2C%20f%5E%7Bn-2%7D(y))%20%5Cle%20%5Cdots%20%5Crightarrow%200%24%20for%20some%20%24%5Calpha%20%3C%201%24%2C%20thus%20%24A%24%20can%20have%20only%20one%20point%20%24a%24%2C%20since%20%24f(A)%24%20is%20non-empty%20it%20must%20also%20be%20that%20exact%20point%2C%20i.e.%20it%20is%20the%20fixed%20point.%0A%0A%20%20%20%20To%20show%20this%20is%20the%20only%20fixed%20point%3A%20suppose%20%24x%2C%20y%24%20are%20both%20fixed%20point%2C%20then%20%24d(f(x)%2C%20f(y))%20%3D%20d(x%2C%20y)%20%5Cle%20%5Calpha%20d(x%2C%20y)%20%3C%20d(x%2C%20y)%24%20which%20is%20impossible.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%205%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24f%3A%20X%5Cto%20Y%24%20be%20a%20smooth%20map%20of%20compact%20manifolds%20of%20the%20same%20dimension%2C%20and%20%24q%20%5Cin%20Y%24%20is%20a%20regular%20value%20of%20%24f%24%2C%20prove%20that%20%24f%5E%7B-1%7D(q)%24%20is%20finite**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20By%20definition%20of%20a%20regular%20value%2C%20for%20each%20%24x%20%5Cin%20f%5E%7B-1%7D(y)%24%2C%20%24f%24%20is%20a%20submersion%20at%20%24x%24%3B%20since%20%24%5Cdim%7BX%7D%20%3D%20%5Cdim%7BY%7D%24%2C%20%24f%24%20is%20locally%20given%20by%20the%20identity%20map%2C%20thus%20%24f%24%20is%20a%20local%20diffeomorphism%20at%20%24x%24.%20On%20the%20other%20hand%2C%20suppose%20%24f%5E%7B-1%7D(y)%20%5Csubseteq%20X%24%20is%20infinite%2C%20then%20by%20(limit-point)%20compactness%20of%20%24X%24%2C%20it%20has%20a%20limit%20point%20%24x%24%2C%20and%20%24x%20%5Cin%20f%5E%7B-1%7D(y)%24%20because%20%24f%5E%7B-1%7D(y)%24%20is%20closed.%0A%0A%20%20%20%20But%20then%2C%20%24f%24%20cannot%20even%20be%20injective%20near%20%24x%24%20(every%20neighborhood%20contains%20another%20%24x'%24%20in%20the%20preimage%20of%20%24y%24)%2C%20hence%20not%20a%20local%20diffeomorphism%2C%20a%20contradiction%2C%20thus%20we%20have%20%24f%5E%7B-1%7D(y)%24%20must%20be%20finite.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%206%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Prove%20that%20all%20contractible%20manifolds%20are%20simply%20connected.%20Give%20an%20example%20which%20shows%20the%20converse%20is%20not%20true**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20Since%20%24S%5E1%24%20itself%20is%20a%20manifold%2C%20let%20%24g%3A%20S%5E1%20%5Cto%20X%24%20be%20an%20arbitrary%20map%20and%20%24f%3A%20S%5E1%20%5Cto%20X%24%20be%20a%20constant%20map%2C%20since%20%24X%24%20is%20contractible%20%24g%24%20and%20%24f%24%20are%20homotopic.%0A%0A%20%20%20%20%24X%24%20is%20connected%3A%20say%20we%20have%20the%20homotopy%20%24F(x%2Ct)%24%20between%20%24%5Ctext%7Bid%7D%24%20to%20a%20constant%20map%20%24f(x)%20%3D%20c%24%2C%20for%20any%20fixed%20%24x%24%20this%20gives%20us%20a%20continuous%20(smooth%2C%20but%20we%20don't%20really%20need%20it)%20map%20%24g_x(t)%20%3D%20F(x%2Ct)%24%20where%20%24g_x(0)%20%3D%20x%24%20and%20%24g_x(1)%20%3D%20c%24.%20Now%20for%20any%20%24x%2C%20y%20%5Cin%20X%24%2C%20find%20the%20map%20%24g_x%24%20and%20%24g_y%24%20and%20combine%20them%20to%20%24g(t)%20%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20g_x(2t)%2C%200%5Cle%20t%5Cle%201%2F2%5C%5Cg_y(2%20-%202t)%2C%201%2F2%20%5Cle%20t%20%5Cle%201%20%5Cend%7Bcases%7D%24.%20This%20is%20a%20continuous%20map%20with%20%24g(0)%20%3D%20x%24%20and%20%24g(1)%20%3D%20y%24%2C%20since%20%24x%2Cy%24%20arbitrary%2C%20we%20have%20%24X%24%20is%20path-connected%20thus%20connected.%0A%0A%20%20%20%20By%20definition%2C%20%24X%24%20with%20the%20above%20two%20properties%20is%20simply%20connected.%0A%0A%20%20%20%20The%20converse%20is%20false%2C%20for%20example%2C%20%24S%5E2%24%20is%20simply%20connected%20but%20not%20contractible.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%207%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24S%5En%24%20be%20the%20unit%20sphere%20in%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7Bn%2B1%7D%24%20given%20by%20%24%7C%20x%20%7C%20%3D%201%24%2C%20compute%20the%20degree%20of%20the%20antipodal%20map%20%24f%3A%20S%5En%20%5Cto%20S%5En%24%20defined%20as%20%24x%20%5Cmapsto%20-x%24**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20It%20consists%20of%20%24n%2B1%24%20reflections%2C%20each%20of%20which%20has%20degree%20%24-1%24%2C%20so%20the%20antipodal%20map%20has%20degree%20%241%24%20if%20%24n%24%20odd%20and%20%24-1%24%20if%20%24n%24%20even.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%208%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Use%20Stokes'%20Theorem%20to%20evaluate%20the%20integral%3A%20%24%5Cint_C%203x%5E2ydx%20%2B%20x%5E3dy%20%2B%203xydz%24%20where%20%24C%24%20is%20the%20curve%20of%20intersection%20of%20the%20saddle%20%24z%20%3D%20x%5E2-y%5E2%24%20with%20the%20cylinder%20%24x%5E2%2By%5E2%20%3D%201%24%20oriented%20clock-wise%20as%20viewed%20from%20the%20top%20of%20the%20%24z%24-axis**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20Calculate%20%24dw%24%20first%2C%20%24dw%20%3D%203x%5E2dy%5Cwedge%20dx%2B3x%5E2dx%5Cwedge%20dy%2B3y%20dx%5Cwedge%20dz%20%2B3xdy%20%5Cwedge%20dz%24%20%24%3D%203y%20dx%5Cwedge%20dz%20%2B3xdy%20%5Cwedge%20dz%24%20(so%20basically%20%24curl%7B%5Coverline%7BF%7D%7D%20%3D%20(3x%2C-3y%2C0)%24%20here).%0A%0A%20%20%20%20Now%20parameterize%20the%20curve%20as%20%24x%20%3D%20r%5Ccos(t)%2C%20y%20%3D%20r%5Csin(t)%24%20so%20that%20%24z%20%3D%20x%5E2-y%5E2%20%3D%20r%5E2(%5Ccos%5E2(t)%20-%20%5Csin%5E2(t))%20%3D%20r%5E2%5Ccos(2t)%24%2C%20i.e.%20we%20have%20the%20parametrization%20%24%5Cvarphi(r%2C%20t)%20%3D%20(r%5Ccos(t)%2Cr%5Csin(t)%2Cr%5E2%5Ccos(2t))%24%2C%20so%20we%20have%20%24%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Cvarphi%7D%7B%5Cpartial%20r%7D%20%3D%20(%5Ccos(t)%2C%5Csin(t)%2C2r%5Ccos(2t))%24%20and%20%24%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Cvarphi%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%20%3D%20(-r%5Csin(t)%2Cr%5Ccos(t)%2C-2r%5E2%5Csin(2t))%24%2C%20take%20the%20cross%20product%20gives%20us%20the%20normal%20vector%20on%20the%20surface%20we%20want%20to%20integrate%3A%20%24n%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Cvarphi%7D%7B%5Cpartial%20r%7D%5Ctimes%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Cvarphi%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%24%20%24%3D%20(-2r%5E2%5Csin(t)%5Csin(2t)-2r%5E2%5Ccos(2t)%5Ccos(t)%2C%24%20%24-2r%5E2%5Ccos(2t)%5Csin(t)-2r%5E2%5Ccos(t)%5Csin(2t)%2Cr)%24%20(and%20noticing%20here%20the%20direction%20of%20the%20normal%20vector%20is%20wrong%2C%20we%20will%20need%20to%20use%20%24-n%24).%0A%0A%20%20%20%20Now%20the%20calculation%3A%20%24%5Cint_Cw%20%3D%20%5Cint_0%5E%7B2%5Cpi%7D%5Cint_0%5E1%20(3r%5Ccos(t)%2C-3r%5Csin(t)%2C%200)%5Ccdot%20(-n)%20drdt%24%20%24%3D%20%5Cint_0%5E%7B2%5Cpi%7D%5Cint_0%5E1%206r%5E3%20drdt%20%3D%203%5Cpi%24.%0A%0A%20%20%20%20A%20revise%3A%0A%0A%20%20%20%20After%20we%20applied%20Stokes'%20Theorem%2C%20use%20parametrization%20like%20%24(x%2Cy%2Cx%5E2-y%5E2)%24%20will%20save%20us%20a%20lot%20of%20energy%3A%0A%0A%20%20%20%20Consider%20the%20surface%20%24C'%24%20be%20the%20part%20of%20the%20saddle%20such%20that%20%24x%5E2%2By%5E2%5Cle%201%24.%20Parameterize%20%24C'%24%20by%20%24r(x%2Cy)%20%3D%20(x%2Cy%2Cx%5E2-y%5E2)%24%2C%20%24x%5E2%2By%5E2%20%5Cle%201%24%2C%20by%20Stokes'%20Theorem%2C%20%24%5Cint_C%20w%20%3D%20%5Cint_%7BC'%7Ddw%24%20%24%3D%20%5Cint_%7BC'%7D3y%20dx%5Cwedge%20dz%20%2B3xdy%20%5Cwedge%20dz%24%20%24%3D%20%5Cint%20%5Cint_U%203y%20dx%5Cwedge%20(2xdx-2ydy)%20%2B3xdy%20%5Cwedge%20(2xdx-2ydy)%24%20%24%3D%20%5Cint%20%5Cint_U%20-6y%5E2%20dx%5Cwedge%20dy%20-%206x%5E2%20dx%20%5Cwedge%20dy%24%20%24%3D%20%5Cint_0%5E%7B2%5Cpi%7D%20%5Cint_0%5E1%20-6r%5E3%20drd%5Ctheta%24%20%24%3D-3%5Cpi%24%2C%20notice%20we%20orient%20in%20a%20different%20way%20so%20final%20answer%20should%20be%20%243%5Cpi%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Exam%206%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%201%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Given%20a%20set%20%24X%24%2C%20let%20%24%5Ctau%24%20be%20the%20collection%20of%20all%20subsets%20%24U%24%20of%20%24X%24%20such%20that%20%24X-U%24%20is%20either%20finite%20or%20all%20of%20%24X%24%2C%20show%20that%20%24%5Ctau%24%20is%20a%20topology%20on%20%24X%24**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20This%20is%20the%20finite%20complement%20topology%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20%24%5Cvarnothing%2C%20X%24%20are%20in%20%24%5Ctau%24%3B%0A%20%20%20%202.%20Let%20%24U_1%2CU_2%20%5Cin%20%5Ctau%24%2C%20then%20%24X%20-%20(U_1%20%5Ccap%20U_2)%20%3D%20(X-U_1)%20%5Ccup%20(X-U_2)%24%2C%20finite%20union%20finite%20is%20finite%2C%20so%20%24U_1%20%5Ccap%20U_2%20%5Cin%20%5Ctau%24%3B%0A%20%20%20%203.%20Let%20%24U_i%20%5Cin%20%5Ctau%24%2C%20then%20%24X-%20%5Ccup%20U_i%20%3D%20%5Ccap%20(X-U_i)%24%2C%20intersection%20of%20finite%20sets%20is%20finite%2C%20so%20%24%5Ccup%20U_i%20%5Cin%20%5Ctau%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%202%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Prove%20or%20give%20a%20counterexample%2C%20a%20continuous%20bijective%20map%20from%20one%20topological%20space%20to%20another%20is%20a%20homeomorphism**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20No%2C%20use%20a%20continuous%20bijection%20that%20is%20not%20open.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%203%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**A%20subspace%20%24A%20%5Csubseteq%20%5Cmathbb%7BR%7D%5En%24%20has%20the%20property%20that%20every%20continuous%20function%20%24f%3A%20A%20%5Cto%20%5Cmathbb%7BR%7D%24%20attains%20its%20maximum%20on%20%24A%24%2C%20show%20that%20%24A%24%20must%20be%20compact**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20%24A%24%20is%20bounded%3A%20use%20the%20fact%20that%20%24f(a)%20%3D%20d(0%2Ca)%24%20attains%20maximum%3B%0A%20%20%20%202.%20%24A%24%20is%20closed%3A%20suppose%20not%20and%20%24a%24%20being%20a%20limit%20point%20of%20%24A%24%20that%20is%20not%20in%20%24A%24%2C%20consider%20%24f(x)%20%3D%20d(x%2Ca)%24%2C%20it%20will%20never%20be%20zero%2C%20so%20%24g(x)%20%3D%201%2Ff(x)%24%20is%20continuous%20and%20well%20defined%2C%20so%20it%20attains%20maximum%2C%20so%20%24f%24%20attains%20minimum%20that%20is%20not%20zero%2C%20but%20that%20implies%20%24a%24%20is%20not%20a%20limit%20point.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%204%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**For%20points%20%24x%2Cy%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%5E2%20-%20%5Clbrace%200%20%5Crbrace%24%20impose%20%24x%20%5Csim%20y%24%20if%20and%20only%20if%20%24x%24%20and%20%24y%24%20lie%20on%20the%20same%20line%20through%20the%20origin%20of%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%5E2%24%2C%20show%20that%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%5E2-%5Clbrace%200%20%5Crbrace%2F%5Csim%20%5Ccong%20S%5E1%24**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20Let%20%24F%3A%5Cmathbb%7BR%7D%5E2%20-%20%5Clbrace%200%20%5Crbrace%20%5Cto%20S%5E1%24%20be%20the%20map%20%24x%20%5Cto%20x%2F%5C%7C%20x%20%5C%7C%24%2C%20since%20we%20took%20%240%24%20out%20this%20map%20is%20continuous%2C%20thus%20by%20the%20universal%20mapping%20property%20of%20quotient%20topology%2C%20we%20have%20that%20the%20map%20%24f%3A%5Cmathbb%7BR%7D%5E2-%5Clbrace%200%20%5Crbrace%2F%5Csim%20%5Cto%20S%5E1%2C%20%5Bx%5D%20%5Cto%20x%2F%5C%7C%20x%5C%7C%24%20is%20continuous.%20It%20is%20also%20not%20hard%20to%20check%20it%20is%20bijection%2C%20and%20a%20bijective%20quotient%20map%20is%20always%20a%20homeomorphism.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%205%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Prove%20or%20give%20a%20counterexample%2C%20a%20smooth%20homeomorphism%20from%20one%20smooth%20manifold%20to%20another%20is%20a%20diffeomorphism**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20Use%20%24f%3A%5Cmathbb%7BR%7D%20%5Cto%20%5Cmathbb%7BR%7D%2C%20x%5Cmapsto%20x%5E3%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%206%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Prove%20that%20the%20set%20%24X%24%20of%20all%20non-zero%20%242%20%5Ctimes%202%24%20matrices%20%24A%24%20such%20that%20%24AA%5Et%24%20is%20diagonal%20is%20a%20sub-manifold%20of%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%5E4%20%3D%20M_%7B2%20%5Ctimes%202%7D(%5Cmathbb%7BR%7D)%24%2C%20what%20is%20the%20dimension%20of%20%24X%24%3F%20Is%20%24X%24%20compact**%3F%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20Notice%20that%20such%20matrices%20need%20to%20have%20%24ab%2Bcd%20%3D%200%24%2C%20so%20we%20prove%20that%20%24X%20%3D%20f%5E%7B-1%7D(0)%24%20where%20%24f%3AX%5Cto%20%5Cmathbb%7BR%7D%2C%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20a%26b%5C%5Cc%26d%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Cmapsto%20ab%2Bcd%24%2C%20%240%24%20is%20a%20regular%20value%20and%20we%20are%20done.%20The%20proof%20is%20actually%20easy%2C%20%24df_M(h)%20%3D%20a'%20b%2Bb'%20a%2Bc'%20d%2Bd'%20c%24%20where%20%24M%20%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20a%26b%5C%5Cc%26d%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%24%20is%20in%20%24X%24%20and%20%24h%20%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20a'%26b'%5C%5Cc'%26d'%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%24%20is%20obviously%20surjective%20(i.e.%20it%20can%20map%20to%20any%20value%20in%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%24%2C%20because%20there%20is%20no%20limit%20on%20%24h%24).%20So%20it%20is%20a%20sub-manifold%20of%20dimension%20%243%24.%20%24X%24%20is%20not%20compact%20because%20it%20is%20not%20bounded%3A%20for%20example%2C%20any%20matrix%20with%20the%20form%20%24%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20a%260%5C%5C0%26a%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%24%20is%20in%20%24X%24%20and%20%24a%24%20can%20be%20arbitrarily%20large.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%207%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Prove%20there%20is%20no%20non-vanishing%20vector%20field%20on%20the%20sphere%20%24S%5E2%24.%20On%20what%20connected%2C%20closed%2C%20compact%2C%20orientable%20surfaces%20does%20a%20non-vanishing%20vector%20field%20exist%3F%20What%20about%20for%20surfaces%20with%20boundary**%3F%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20If%20such%20vector%20field%20exists%2C%20the%20antipodal%20map%20on%20%24S%5E2%24%20would%20be%20homotopic%20to%20the%20identity%20map%20on%20%24S%5E2%24%20but%20that%20is%20not%20true.%0A%0A%20%20%20%20If%20the%20Euler%20Characteristic%20of%20a%20manifold%20is%20zero%20then%20it%20admits%20a%20non-vanishing%20vector%20field%2C%20for%20exam%20sake%20let%20me%20jump%20it%20here.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%208%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Suppose%20%24Z_0%24%20and%20%24Z_1%24%20are%20compact%2C%20cobordant%2C%20%24p%24-dimensional%20smooth%20sub-manifolds%20of%20a%20smooth%20manifold%20%24X%24%2C%20prove%20that%20%24%5Cint_%7BZ_0%7Dw%20%3D%20%5Cint_%7BZ_1%7Dw%24%20for%20every%20closed%20%24p%24-form%20%24w%24%20on%20%24X%24**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%3A%0A%0A%20%20%20%20We%20did%20not%20really%20study%20cobordant%20in%20the%20course%20so%20I%20guess%20this%20should%20not%20be%20in%20our%20exam%2C%20nevertheless%2C%20here%20we%20go%2C%20first%20a%20definition%3A%0A%0A%20%20%20%20Two%20manifolds%20of%20the%20same%20dimension%20are%20cobordant%20if%20their%20disjoint%20union%20is%20the%20boundary%20of%20a%20compact%20manifold%20one%20dimension%20higher.%0A%0A%20%20%20%20Since%20they%20are%20cobordant%2C%20%24%5Cint_%7BZ_0%20-%20Z_1%7Dw%20%3D%20%5Cint_X%20dw%24%2C%20but%20%24w%24%20is%20closed%2C%20so%20%24%3D%200%24%2C%20and%20we%20have%20the%20desired%20statement.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A