Topology Exams

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.17.6%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20nav_menu%20%3D%20mo.nav_menu(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Findex.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Ahome')%7D%20Home%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20orientation%3D%22vertical%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20nav_menu%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Fall%20Semester%20Midterm%20Practice%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%201%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24X%24%20be%20a%20topological%20space.%20Show%20that%20a%20set%20%24A%20%5Csubseteq%20X%24%20is%20open%20if%20and%20only%20if%20each%20%24x%20%5Cin%20A%24%20has%20an%20open%20neighborhood%20%24U(x)%24%20such%20that%20%24U(x)%20%5Csubseteq%20A%24**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%0A%0A%20%20%20%20%24(%5Cimplies)%24%20%24U(x)%20%3D%20A%24%20is%20simply%20such%20an%20%24U%24%3B%0A%0A%20%20%20%20%24(%5Cimpliedby)%24%20Claim%20and%20show%20that%20%24%5Cdisplaystyle%20A%20%3D%20%5Cbigcup%5Climits_%7Bx%20%5Cin%20A%7DU(x)%24%2C%20then%20it%20is%20union%20of%20open%20sets%20thus%20open.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%202%0A%0A%20%20%20%20**If%20%24L%24%20is%20a%20straight%20line%20in%20the%20plane%2C%20describe%20the%20topology%20that%20%24L%24%20inherits%20as%20a%20subspace%20of%20%24%5Cmathbb%7BR%7D_a%20%5Ctimes%20%5Cmathbb%7BR%7D%24%20where%20%24%5Cmathbb%7BR%7D_a%24%20stands%20for%20the%20real%20line%20with%20the%20anti-discrete%20topology**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%0A%0A%20%20%20%20Only%20open%20set%20in%20%24%5Cmathbb%7BR%7D_a%24%20is%20%24%5Cvarnothing%24%20and%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%24.%20In%20case%20of%20%24%5Cvarnothing%24%20then%20the%20topology%20%24L%24%20inherits%20is%20%24%5Cvarnothing%24%3B%20Otherwise%20it%20is%20either%20an%20open%20interval%20or%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%203%0A%0A%20%20%20%20**The%20function%20%24f%3A%20%5Cmathbb%7BR%7D%20%5Crightarrow%20%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7B%5Comega%7D%24%20is%20given%20by%20the%20formula%20%24f(t)%20%3D%20(t%2C%202t%2C%203t%2C%20%5Cdots)%24.%20Prove%20or%20disprove**%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20%24f%24%20**is%20continuous%20if%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7B%5Comega%7D%24%20is%20given%20the%20product%20topology**%3B%0A%20%20%20%202.%20%24f%24%20**is%20continuous%20if%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7B%5Comega%7D%24%20is%20given%20the%20uniform%20topology**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%0A%0A%20%20%20%201.%20Yes%2C%20because%20each%20%24c%20t%24%20is%20continuous%3B%0A%20%20%20%202.%20No%2C%20because%20%24c%20t%24%20is%20unbounded.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%204%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24(X%2C%20d)%24%20be%20a%20metric%20space%2C%20and%20%24a%20%5Cin%20X%24%20a%20fixed%20point.%20Prove%20that%20the%20function%20%24f%3A%20X%20%5Crightarrow%20%5Cmathbb%7BR%7D%24%20given%20by%20%24f(x)%20%3D%20d(x%2C%20a)%24%20is%20continuous**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%0A%0A%20%20%20%20An%20open%20set%20containing%20%24d(x%2C%20a)%24%20has%20the%20form%20%24(d(x%2C%20a)%20-%20r%2C%20d(x%2C%20a)%20%2B%20r)%24%2C%20then%20%24B_d(x%2C%20r%2F2)%24%20is%20open%20in%20%24X%24%20such%20that%20%24f(B_d(x%2C%20r%2F2))%20%5Csubseteq%20(d(x%2C%20a)%20-%20r%2C%20d(x%2C%20a)%20%2B%20r)%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%205%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24(X%2C%20d)%24%20be%20a%20metric%20space%2C%20%24A%20%5Csubseteq%20X%24%20and%20%24x%20%5Cin%20X%24.%20Prove%20that%20%24x%24%20is%20in%20the%20closure%20of%20%24A%24%20if%20and%20only%20if%20there%20is%20a%20sequence%20%24x_n%20%5Cin%20A%24%20which%20converges%20to%20%24x%24**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%0A%0A%20%20%20%20%24(%5Cimplies)%24%20pick%20%24x_i%24%20be%20a%20point%20in%20%24A%20%5Ccap%20B_d(x%2C%201%2Fi)%24%20then%20it%20is%20a%20sequence%20converge%20to%20%24x%24%3B%0A%0A%20%20%20%20%24(%5Cimpliedby)%24%20for%20any%20%24U(x)%24%20by%20definition%20it%20contains%20infinitely%20many%20%24x_n%24's%20that%20is%20in%20%24A%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%206%0A%0A%20%20%20%20**Consider%20the%20sequence%20%24a_n%20%3D%201%2Fn%2C%20n%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BZ%7D_%2B%24%20of%20points%20on%20the%20real%20line%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%24.%20With%20respect%20to%20which%20of%20the%20following%20topologies%20does%20%24a_n%24%20converge%3F%20When%20it%20does%2C%20what%20is%20the%20limit**%3F%0A%0A%20%20%20%201.%20%24%5Cmathbb%7BR%7D_K%24%3B%0A%20%20%20%202.%20%24%5Cmathbb%7BR%7D_l%24%3B%0A%20%20%20%203.%20**The%20finite%20complement%20topology**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%0A%0A%20%20%20%201.%20Not%20converge%2C%20because%20%24K%20%3D%20%5Clbrace%20a_n%20%5Crbrace%24%20is%20simply%20not%20included%20in%20(some)%20open%20sets%20in%20%24%5Cmathbb%7BR%7D_K%24%3B%0A%20%20%20%202.%20Converge%20to%20%240%24%3B%0A%20%20%20%203.%20Converge%20to%20all%20%24r%20%5Cin%20R%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%207%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24X%24%20be%20a%20topological%20space%2C%20and%20suppose%20that%20%24X%24%20is%20Hausdorff**%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20**Prove%20that%20any%20subspace%20%24A%20%5Csubseteq%20X%24%20is%20Hausdorff**%3B%0A%20%20%20%202.%20**Prove%20that%20a%20quotient%20space%20%24X%2F%20%5Csim%24%20need%20not%20to%20be%20Hausdorff**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%0A%0A%20%20%20%201.%20For%20any%20%24x%2C%20y%24%20and%20%24U(x)%2C%20U(y)%24%20disjoint%20open%20sets%20in%20%24X%24%2C%20%24U(x)%20%5Ccap%20A%2C%20U(y)%20%5Ccap%20A%24%20are%20disjoint%20open%20sets%20in%20%24A%24%3B%0A%20%20%20%202.%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%2F%20%5Cmathbb%7BZ%7D%20%5Ccong%20S%5E1%24%20is%20Hausdorff%3B%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%2F%20%5Cmathbb%7BQ%7D%24%20is%20not.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%208%0A%0A%20%20%20%20**Describe%20all%20continuous%20functions%20%24f%3A%20%5Cmathbb%7BR%7D%20%5Crightarrow%20%5Cmathbb%7BR%7D_l%24**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%0A%0A%20%20%20%20%24%5Cmathbb%7BR%7D_l%24%20is%20totally%20disconnect.%20If%20%24f%24%20is%20continuous%20then%20it%20maps%20connected%20space%20to%20connected%20space%20thus%20%24f(%5Cmathbb%7BR%7D)%24%20is%20connected%2C%20thus%20%24f(%5Cmathbb%7BR%7D)%24%20can%20only%20be%20a%20single%20point%2C%20i.e.%20%24f%24%20is%20constant.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%209%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24f%3A%20%5Cmathbb%7BR%7D%20%5Crightarrow%20%5Cmathbb%7BR%7D%24%20be%20a%20continuous%20function%20and%20%24%5CGamma_f%20%3D%20%5Clbrace%20(x%2C%20f(x))%20%5Crbrace%24%20its%20graph.%20Prove%20that%20%24%5CGamma_f%24%20is%20closed%20and%20connected**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%0A%0A%20%20%20%201.%20Closed%3A%20any%20point%20%24(x%2C%20y)%2C%20y%20%5Cne%20f(x)%24%20is%20not%20in%20the%20closure%20of%20%24%5CGamma_f%24%3B%0A%20%20%20%202.%20Connected%3A%20consider%20%24g%3A%20%5Cmathbb%7BR%7D%20%5Crightarrow%20%5Cmathbb%7BR%7D%5E2%24%20given%20by%20%24g(x)%20%3D%20(x%2C%20f(x))%24%20then%20%24g%24%20is%20continuous%20and%20the%20graph%20is%20simply%20the%20image%20of%20%24g%24%20and%20is%20thus%20connected.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Fall%20Semester%20Midterm%20Exam%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%201%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24X%24%20be%20a%20topological%20space%20and%20%24A_%7B%5Calpha%7D%20%5Csubset%20X%24%20a%20family%20of%20subsets.%20Prove%20that**%20%24%24%5Cbigcup_%7B%5Calpha%7D%5Coverline%7BA_%7B%5Calpha%7D%7D%20%5Csubset%20%5Coverline%7B%5Cbigcup_%7B%5Calpha%7DA_%7B%5Calpha%7D%7D%24%24%20**and%20give%20an%20example%20where%20equality%20fails**.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%202%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24X%24%20be%20a%20topological%20space%20and%20let%20%24X%20%5Ctimes%20X%24%20have%20product%20topology.%20Define%20the%20diagonal%20map%20%24%5CDelta%3A%20X%20%5Cto%20X%20%5Ctimes%20X%24%20by%20the%20formula%20%24%5CDelta(x)%20%3D%20(x%2Cx)%24%20for%20%24x%20%5Cin%20X%24**.%0A%0A%20%20%20%201.%20**Prove%20that%20the%20diagonal%20map%20%24%5CDelta%24%20is%20continuous**%3B%0A%20%20%20%202.%20**Prove%20that%20%24X%24%20is%20Hausdorff%20if%20and%20only%20if%20the%20image%20of%20%24%5CDelta%24%20is%20closed**.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%203%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24S%5E1%24%20be%20the%20unit%20circle%20in%20complex%20plane.%20Define%20the%20equivalence%20relation%20on%20%24S%5E1%24%20by%20%24z%20%5Csim%20w%24%20if%20and%20only%20if%20%24z%20%3Dw%24%20or%20%24z%20%3D%20-w%24.%20Prove%20that%20the%20quotient%20space%20%24S%5E1%2F%5Csim%24%20is%20homeomorphic%20to%20%24S%5E1%24**.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%204%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24X%24%20be%20a%20topological%20space%20and%20%24f_n%3A%20X%5Cto%20%5Cmathbb%7BR%7D%24%20a%20sequence%20of%20continuous%20functions.%20Let%20%24x_n%20%5Cin%20X%24%20be%20a%20sequence%20of%20points%20in%20%24X%24%20converging%20to%20%24x%20%5Cin%20X%24.%20Prove%20that%20if%20the%20sequence%20%24(f_n)%24%20converges%20uniformly%20to%20%24f%24%2C%20then%20the%20sequence%20%24(f_n(x_n))%24%20converges%20to%20%24f(x)%24**.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%205%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24X%24%20be%20a%20topological%20space%20and%20%24f%2C%20g%3A%20X%20%5Cto%20%5B0%2C1%5D%24%20continuous%20functions.%20Suppose%20that%20%24X%24%20is%20connected%20and%20%24f%24%20is%20surjective.%20Prove%20that%20there%20must%20be%20a%20point%20%24x%20%5Cin%20X%24%20such%20that%20%24f(x)%20%3D%20g(x)%24**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Fall%20Semester%20Final%20Exam%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%201%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24X%24%20and%20%24Y%24%20be%20metric%20spaces%20and%20%24f%2C%20g%3A%20X%5Cto%20Y%24%20continuous%20maps.%20Suppose%20that%20%24f%20%3D%20g%24%20on%20a%20subset%20%24A%20%5Csubset%20X%24%20which%20is%20dense%20in%20%24X%24.%20Prove%20that%20then%20%24f%20%3Dg%24%20on%20the%20entire%20%24X%24**.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%202%0A%0A%20%20%20%20**Prove%20that%20a%20subspace%20%24A%20%5Csubset%20%5Cmathbb%7BR%7D%5En%24%20is%20compact%20if%20and%20only%20if%20every%20continuous%20function%20%24f%3A%20A%20%5Cto%20%5Cmathbb%7BR%7D%24%20attains%20its%20maximum%20on%20%24A%24**.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%203%0A%0A%20%20%20%20**Prove%20that%20every%20compact%20Hausdorff%20space%20%24X%24%20is%20regular**.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%204%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24%5C%7Bx_n%5C%7D%24%20and%20%24%5C%7By_n%5C%7D%24%20be%20Cauchy%20sequences%20in%20a%20metric%20space%20%24(X%2Cd)%24.%20Prove%20that%20the%20sequence%20of%20real%20numbers%20%24%5C%7Bd(x_n%2Cy_n)%5C%7D%24%20converges**.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%205%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24(X%2Cd)%24%20be%20a%20complete%20metric%20space**.%0A%0A%20%20%20%201.%20**Prove%20that%20if%20%24X%24%20is%20totally%20bounded%20then%20it%20is%20sequentially%20compact**%3B%0A%20%20%20%202.%20**Will%20the%20conclusion%20of%20part%201%20necessarily%20hold%20if%20%24X%24%20is%20bounded%3F%20Justify%20your%20answer**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Spring%20Semester%20Midterm%20Practice%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%201%0A%0A%20%20%20%20**Give%20the%20definition%20of%20a%20smooth%20manifold%2C%20prove%20that%20%24X%20%3D%20%5Clbrace%20(x%2C%20y)%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%5E2%20%5C%7C%20x%20%7C%20%2B%20%7C%20y%20%7C%20%3D%201%20%5Crbrace%24%20is%20not%20a%20smooth%20manifold**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%0A%0A%20%20%20%201.%20%24X%24%20is%20an%20%24n%24-manifold%20if%20for%20any%20%24p%20%5Cin%20X%24%20there%20is%20an%20neighborhood%20of%20%24p%24%2C%20namely%20%24O(p)%24%2C%20diffeomorphic%20to%20some%20open%20set%20%24U%20%5Csubseteq%20%5Cmathbb%7BR%7D%5En%24%3B%0A%20%20%20%202.%20If%20one%20want%20to%20define%20%24dr%24%20at%20the%20vertices%2C%20since%20the%20direction%20approaching%20from%20different%20sides%20are%20different%2C%20one%20must%20have%20%24r'%20%3D%200%24%2C%20but%20then%20it%20cannot%20be%20a%20diffeomorphism.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%202%0A%0A%20%20%20%20**Give%20an%20example%20of%20a%20smooth%20homeomorphism%20between%20smooth%20manifold%20which%20is%20not%20a%20diffeomorphism**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%0A%0A%20%20%20%20%24f(x)%20%3D%20x%5E3%24%20is%20such%20an%20example%2C%20the%20idea%20is%20the%20same%20as%20above%2C%20at%20zero%20we%20have%20%24f'%20%3D%200%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%203%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24f%3A%20%5Cmathbb%7BR%7D%5E2%20%5Cto%20%5Cmathbb%7BR%7D%5E2%24%20be%20given%20by%20%24f(x%2C%20y)%20%3D%20(x%2Cy-y%5E2-x%5E2)%24**.%0A%0A%20%20%20%201.%20**Prove%20that%20%24f%24%20is%20a%20local%20diffeomorphism%20at%20the%20origin**%3B%0A%20%20%20%202.%20**Find%20a%20local%20inverse%20for%20%24f%24%20at%20the%20origin**%3B%0A%20%20%20%203.%20**Find%20a%20point%20%24p%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%5E2%24%20such%20that%20%24f%24%20is%20not%20a%20local%20diffeomorphism%20at%20%24p%24**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%0A%0A%20%20%20%201.%20%24x%20%5Cmapsto%20x%24%20is%20clearly%20a%20smooth%20bijection%20with%20smooth%20inverse%3B%20for%20%24y%24%2C%20essentially%20we%20want%20to%20prove%20%24y%20-%20y%5E2%24%20is%20injective%3A%20we%20solve%20for%20%24y_0%20-%20y_0%5E2%20%3D%20y_1%20-%20y_1%5E2%24%20then%20either%20%24y_0%20%3D%20y_1%24%20or%20%24y_0%20%3D%201-y_1%24%2C%20take%20a%20small%20interval%2C%20for%20example%2C%20%24x%2C%20y%20%3C%201%2F2%24%2C%20then%20%24y%20-%20y%5E2%24%20is%20injective%20(Or%20more%20easily%20we%20may%20use%20Inverse%20Function%20Theorem%20here%2C%20but%20I%20do%20prefer%20the%20above%20one%2C%20as%20I%20think%20it%20has%20a%20more%20smooth%20connection%20with%20the%20next%20sub-question)%3B%0A%20%20%20%202.%20The%20first%20coordinate%20works%20trivially%3B%20the%20second%20coordinate%2C%20we%20want%20to%20find%20the%20inverse%20of%20%24z%20%3D%20y%20-%20y%5E2%20-%20x%5E2%24%2C%20i.e.%20to%20get%20%24y%20%3D%20g(z)%24%2C%20viewing%20%24x%24%20as%20a%20constant.%20Remember%20we%20have%20that%20%24y%3C1%2F2%24%20and%20realize%20that%20essentially%20we%20are%20solve%20an%20quadratic%20equation%20here%2C%20so%20that%20%24y%20%3D%20%5Cfrac%7B1%5Cpm%5Csqrt%7B1-4(x%5E2%2Bz)%7D%7D%7B2%7D%24%2C%20since%20%24y%20%3C%201%2F2%24%20we%20take%20%24-%24%20here%3B%0A%20%20%20%203.%20By%20above%2C%20we%20can%20notice%20that%20%241%2F2%24%20is%20a%20(the)%20critical%20point%20(of%20the%20parabola)%2C%20so%20take%20%24p%20%3D%20(0%2C1%2F2)%24%20then%20%24f%24%20is%20not%20a%20local%20diffeomorphism%20(not%20bijective)%20at%20%24p%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%204%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24X%24%20consists%20of%20all%20%242%5Ctimes%202%24%20real%20matrices%20%24A%24%20such%20that%20%24%5Cdet%7BA%7D%20%3D%201%24%20and%20%24AA%5ET%24%20is%20diagonal**.%0A%0A%20%20%20%201.%20**Describe%20%24X%24%20as%20the%20solution%20set%20of%20two%20equations%20in%20four%20variables**%3B%0A%20%20%20%202.%20**Show%20that%20%24X%24%20is%20a%20manifold%2C%20what%20is%20its%20dimension**%3F%0A%20%20%20%203.%20**Calculate%20the%20tangent%20space%20to%20%24X%24%20at%20the%20identity%20matrix%20%24E%24**%3B%0A%20%20%20%204.%20**Is%20%24X%24%20a%20Lie%20group%20with%20respect%20to%20the%20usual%20matrix%20multiplication**%3F%0A%0A%20%20%20%20Idea%0A%0A%20%20%20%201.%20Let%20%24A%20%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20a%26b%5C%5Cc%26d%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%24%20then%20by%20%24%5Cdet%7BA%7D%20%3D%201%24%20we%20have%20%24ad-bc%20%3D%201%24%20and%20by%20%24AA%5ET%20%3D%200%24%20we%20have%20%24ac%2Bbd%20%3D%200%24%3B%0A%20%20%20%202.%20Consider%20the%20function%20%24f%3A%5Cmathbb%7BR%7D%5E4%20%5Cto%20%5Cmathbb%7BR%7D%5E2%2C%20(a%2Cb%2Cc%2Cd)%20%5Cmapsto%20(ad-bc%2Cac%2Bbd)%24%2C%20we%20want%20to%20show%20that%20%24(1%2C0)%24%20is%20a%20regular%20value.%20So%20we%20need%20to%20calculate%20%24df_M(N)%24%20where%20%24M%20%5Cin%20X%24%20and%20%24N%24%20is%20some%20arbitrary%20%242%20%5Ctimes%202%24%20matrix%2C%20by%20definition%20this%20equals%20%24%5Clim%5Climits_%7Bt%20%5Cto%200%7D%5Cfrac%7Bf(M%2BtN)%20-%20f(M)%7D%7Bt%7D%24%2C%20expand%20everything%2C%20remember%20that%20%24f(M)%20%3D%20(1%2C0)%24%2C%20and%20it%20is%20not%20hard%20to%20get%20the%20limit%20equals%20%24(aD%2BdA-cB-bC%2C%20aC%2BcA%2BbD%2BdB)%24%20(where%20%24M%20%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20A%26B%5C%5CC%26D%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%2C%20N%20%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20a%26b%5C%5Cc%26d%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%24)%2C%20for%20fixed%20%24A%2CB%2CC%2CD%24%20and%20arbitrary%20%24a%2Cb%2Cc%2Cd%24%20this%20is%20surjective%2C%20thus%20by%20preimage%20theorem%20%24X%24%20is%20manifold%20of%20dimension%20%244-2%3D%202%24%3B%0A%20%20%20%203.%20For%20%24E%24%2C%20%24A%2C%20D%20%3D%201%2C%20B%2CC%20%3D%200%24%20thus%20the%20derivative%20becomes%20%24(a%2Bd%2C%20b%2Bc)%24%2C%20and%20the%20tangent%20space%20equals%20%24%5Cker%7Bdf_E%7D%20%3D%20%5Clbrace%20a%2Cb%2Cc%2Cd%20%7C%20a%2Bd%20%3D%200%2C%20b%2Bc%20%3D%200%5Crbrace%24%3B%0A%20%20%20%204.%20Essentially%20we%20need%20to%20check%20if%20multiplication%20is%20internal%2C%20and%20%24A%5E%7B-1%7D%24%20is%20in%20the%20set%2C%20because%20everything%20else%20inherit%20from%20the%20fact%20that%20we%20are%20using%20usual%20multiplication%20as%20the%20operation%3A%20if%20%24A%2C%20B%20%5Cin%20X%24%20then%20%24%5Cdet%7BAB%7D%20%3D%20%5Cdet%7BA%7D%5Cdet%7BB%7D%20%3D%201%24%20and%20%24AB(AB)%5ET%20%3D%20ABB%5ETA%5ET%24%2C%20expand%20this%20and%20one%20should%20see%20that%20the%20the%20off-diagonal%20terms%20may%20not%20be%20zeroes%2C%20so%20the%20set%20with%20matrix%20multiplication%20does%20not%20form%20a%20group.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%205%0A%0A%20%20%20%20**Prove%20that%20any%20submersion%20%24f%3A%20X%20%5Cto%20Y%24%20of%20smooth%20manifolds%20is%20an%20open%20map**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%0A%0A%20%20%20%20By%20local%20submersion%20theorem%20%24f%24%20is%20(locally)%20equivalent%20with%20projection%20map%2C%20which%20is%20open%3A%20%24%5Cpi%3A%20X%20%5Ctimes%20Y%20%5Cto%20X%24%20be%20the%20projection%20map%2C%20any%20open%20set%20in%20%24X%20%5Ctimes%20Y%24%20has%20by%20definition%20the%20form%20%24%5Ccup%20(U%20%5Ctimes%20V)%24%20where%20%24U%2C%20V%24%20open%20in%20%24X%2C%20Y%24%20respectively%2C%20then%20%24%5Cpi(%5Ccup%20(U%20%5Ctimes%20V))%20%3D%20%5Ccup%20(%5Cpi(U%20%5Ctimes%20V))%20%3D%20%5Ccup%20U%24%20is%20open.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%206%0A%0A%20%20%20%20**What%20does%20it%20mean%20that%20a%20manifold%20is%20contractible%3F%20Show%20that%20any%20contractible%20manifold%20is%20connected**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%0A%0A%20%20%20%201.%20%24X%24%20is%20contractible%20if%20%24%5Ctext%7Bid%7D%3AX%5Cto%20X%24%20is%20homotopic%20to%20a%20constant%20map%20%24c%3A%20X%5Cto%20X%2C%20x%20%5Cto%20c%24.%20%24X%24%20is%20contractible%20if%20and%20only%20if%20all%20smooth%20map%20from%20an%20arbitrary%20manifold%20%24Y%24%20to%20%24X%24%20are%20homotopic%3B%0A%20%20%20%202.%20For%20any%20%24x%20%5Cin%20X%24%2C%20by%20definition%20there%20is%20a%20homotopy%20%24F(x%2Ct)%24%20where%20%24F(x%2C0)%20%3D%20%5Ctext%7Bid%7D(x)%20%3D%20x%24%20and%20%24F(x%2C1)%20%3D%20c%24%2C%20i.e.%20there%20is%20a%20(smooth)%20path%20from%20%24x%24%20to%20%24c%24.%20For%20any%20%24x%2C%20y%24%2C%20find%20the%20path%20from%20%24x%24%20to%20%24c%24%20and%20%24y%24%20to%20%24c%24%2C%20connect%20them%20together%20we%20have%20a%20path%20from%20%24x%24%20to%20%24y%24%2C%20thus%20%24X%24%20is%20(path-)%20connected.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%207%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24X%24%20be%20a%20smooth%20manifold%20of%20dimension%20%24n%24%2C%20prove%20that%20any%20smooth%20map%20%24f%3AX%20%5Cto%20S%5Em%24%20such%20that%20%24n%20%3C%20m%24%20is%20homotopic%20to%20a%20constant%20map**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%0A%0A%20%20%20%20By%20(mini-)%20Sard%2C%20%24f(X)%24%20has%20measure%20zero%20in%20%24S%5Em%24%20thus%20we%20have%20some%20%24%5Clbrace%20x%20%5Crbrace%20%5Cnotin%20S%5Em%24%2C%20consider%20the%20stereographic%20projection%20%24g%3A%20S%5Em%20-%20%5Clbrace%20x%20%5Crbrace%20%5Cto%20%5Cmathbb%7BR%7D%5Em%24%20and%20that%20%24g%20%5Ccirc%20f%3AX%5Cto%20S%5Em-%5Clbrace%20x%20%5Crbrace%20%5Cto%20%5Cmathbb%7BR%7D%5Em%24%2C%20since%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%5Em%24%20is%20contractible%20%24g%5Ccirc%20f%24%20is%20homotopy%20to%20any%20smooth%20map%20%24r%3A%20X%20%5Cto%20%5Cmathbb%7BR%7D%5Em%24%2C%20in%20particular%20%24c%3A%20X%20%5Cto%20%5Cmathbb%7BR%7D%5Em%2C%20x%20%5Cto%20c%24.%20Compose%20%24g%20%5Ccirc%20f%24%20with%20%24g%5E%7B-1%7D%24%20and%20we%20are%20done.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%208%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24TX%24%20be%20the%20tangent%20bundle%20to%20a%20smooth%20compact%20manifold%20%24X%24%2C%20prove%20that%20the%20map%20%24f%3A%20X%20%5Cto%20TX%24%20given%20by%20the%20formula%20%24f(x)%20%3D%20(x%2C%200)%24%20is%20an%20embedding**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%0A%0A%20%20%20%20Choose%20local%20parametrization%20%24%24%5Cbegin%7BCD%7DO(p)%20%40%3Ef%3E%3E%20O(p)%20%5Ctimes%20%5Cmathbb%7BR%7D%5En%20%5C%5C%40ArAA%20%40AAsA%20%5C%5C%20U%20%40%3Eh%3E%3E%20U%20%5Ctimes%20%5Cmathbb%7BR%7D%5En%20%5Cend%7BCD%7D%24%24%20where%20%24s(u%2Cv)%20%3D%20(r(u)%2C%20dr_u(v))%24%2C%20then%20%24h(u)%20%3D%20(u%2C%200)%24%2C%20hence%20%24h%24%20is%20an%20immersion%2C%20thus%20so%20is%20%24f%24.%20Since%20%24f%24%20is%20injective%20and%20%24X%24%20is%20compact%2C%20%24f%24%20is%20an%20embedding.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%209%0A%0A%20%20%20%201.%20**Give%20the%20definition%20of%20a%20manifold%20with%20boundary**%3B%0A%20%20%20%202.%20**Let%20%24X%24%20be%20compact%20manifold%20with%20boundary%2C%20show%20that%20its%20boundary%20%24%5Cpartial%20X%24%20is%20compact**%3B%0A%20%20%20%203.%20**Find%20an%20example%20in%20which%20%24%5Cpartial%20X%24%20is%20compact%20and%20%24X%24%20is%20not**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%0A%0A%20%20%20%201.%20%24X%24%20is%20an%20%24n%24-manifold%20if%20for%20any%20%24p%20%5Cin%20X%24%20there%20is%20an%20neighborhood%20of%20%24p%24%2C%20namely%20%24O(p)%24%2C%20diffeomorphic%20to%20some%20open%20set%20%24U%20%5Csubseteq%20%5Cmathbb%7BR%7D%5En_%2B%24%3B%0A%20%20%20%202.%20We%20know%20that%20%24%5Cpartial%20X%24%20is%20closed%3B%20if%20%24X%24%20is%20compact%20then%20%24X%24%20is%20bounded%2C%20thus%20clearly%20so%20does%20%24%5Cpartial%20X%24%2C%20thus%20%24%5Cpartial%20X%24%20is%20closed%20and%20bounded%20in%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%5En%24%20thus%20compact%3B%0A%20%20%20%203.%20%24%5B0%2C1)%24%20where%20%24%5Cpartial%20X%20%3D%20%5Clbrace%200%20%5Crbrace%24%20is%20finite%20thus%20compact%3B%20half%20open%20interval%20is%20clearly%20not%20compact.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%2010%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24f%3A%20S%5E2%20%5Cto%20%5Cmathbb%7BR%7D%5E2%24%20be%20a%20smooth%20map%20an%20%24y%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%5E2%24%20its%20regular%20value%2C%20prove%20that%20the%20number%20of%20points%20in%20%24f%5E%7B-1%7D(y)%24%20is%20even**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%0A%0A%20%20%20%20Since%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%5E2%24%20is%20not%20compact%20but%20%24f(S%5E2)%24%20must%20be%20compact%2C%20%24f%24%20is%20not%20surjective%2C%20thus%20%24%5C%23%20f%5E%7B-1%7D(y)%20%3D%200%24%20mod%20%242%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%2011%0A%0A%20%20%20%20**Show%20that%20there%20is%20a%20complex%20number%20%24z%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BC%7D%24%20such%20that%20%24z%5E2%20%3D%20(1%2Biz)e%5E%7B-%7C%20z%20%7C%5E2%7D%24**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%0A%0A%20%20%20%20Can%20be%20solved%20with%20Rouch%C3%A9's%20Theorem.%0A%0A%20%20%20%20Professor%20said%20that%20the%20intention%20was%20to%20have%20%24z%5E3%24%20instead%20of%20%24z%5E2%24%2C%20in%20that%20case%2C%20the%20degree%20mod%20%242%24%20being%20%241%24%20implies%20the%20result.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%2012%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24S%5En%20%5Csubseteq%20%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7Bn%2B1%7D%24%20be%20the%20unit%20sphere%20%24%7C%20x%20%7C%20%3D%201%24%20and%20%24f%3A%20S%5En%20%5Cto%20S%5En%24%20a%20smooth%20map%20such%20that%20%24f(-x)%20%3D%20f(x)%24%2C%20show%20that%20%24%5Cdeg_2%7Bf%7D%20%3D%200%24%20mod%20%242%24**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%0A%0A%20%20%20%20If%20%24f%24%20is%20not%20surjective%20then%20automatically%20%24%5Cdeg_2%7Bf%7D%20%3D%200%24%2C%20otherwise%20if%20%24x%20%5Cin%20f%5E%7B-1%7D(q)%24%20then%20by%20assumption%20%24-x%24%20is%20also%20in%20%24f%5E%7B-1%7D(q)%24%2C%20%24x%20%5Cne%20-x%24%20unless%20%24x%20%3D%200%24%2C%20but%20%240%20%5Cnotin%20S%5En%24.%20Thus%20preimage%20of%20%24q%24%20always%20come%20in%20pairs%2C%20i.e.%20the%20number%20of%20them%20%24%3D%200%24%20mod%20%242%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Spring%20Semester%20Midterm%20Exam%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%201%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24X%24%20and%20%24Y%24%20be%20smooth%20manifolds%2C%20not%20necessarily%20compact%2C%20and%20%24f%3A%20X%20%5Cto%20Y%24%20a%20smooth%20map.%20Prove%20that%20the%20map%20%24F%3AX%5Cto%20X%20%5Ctimes%20Y%24%20given%20by%20%24F(x)%20%3D%20(x%2Cf(x))%24%20is%20an%20embedding%20whose%20image%20is%20the%20graph%20of%20%24f%24**.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%202%0A%0A%20%20%20%20**The%20orthogonal%20group%20%24O(n)%20%5Csubset%20M_n(%5Cmathbb%7BR%7D)%24%20consists%20of%20all%20real%20%24n%20%5Ctimes%20n%24%20matrices%20%24A%24%20such%20that%20%24AA%5ET%20%3D%20E%24%2C%20where%20%24E%24%20is%20the%20identity%20matrix**.%0A%0A%20%20%20%201.%20**Prove%20that%20%24O(n)%24%20is%20a%20group**%3B%0A%20%20%20%202.%20**Prove%20that%20%24O(n)%24%20is%20a%20smooth%20manifold%20and%20find%20its%20dimension**%3B%0A%20%20%20%203.%20**Calculate%20the%20tangent%20space%20%24T_AO(n)%20%5Csubset%20M_n(%5Cmathbb%7BR%7D)%24%20for%20an%20arbitrary%20%24A%20%5Cin%20O(n)%24**%3B%0A%20%20%20%204.%20**Prove%20that%20%24O(n)%24%20is%20compact**%3B%0A%20%20%20%205.%20**Prove%20that%20%24O(n)%24%20is%20not%20connected**.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%203%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24f%2C%20g%3A%20S%5En%20%5Cto%20S%5En%24%20be%20smooth%20maps%20such%20that%20%24g(x)%20%5Cne%20-f(x)%24%20for%20any%20%24x%20%5Cin%20S%5En%24.%20Prove%20that%20%24f%24%20and%20%24g%24%20are%20homotopic**.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%204%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24W%24%20be%20a%20compact%20connected%20%24(n%2B1)%24-manifold%20with%20boundary%20%24%5Cpartial%20W%20%3D%20X%20%5Ccup%20Y%24%20consisting%20of%20two%20path%20components%2C%20%24X%24%20and%20%24Y%24.%20Prove%20that%2C%20for%20any%20smooth%20map%20%24F%3A%20W%20%5Cto%20Z%24%20to%20a%20connected%20%24n%24-manifold%20%24Z%24%2C%20the%20maps%20obtained%20by%20restricting%20%24F%24%20to%20the%20boundary%20components%20%24X%24%20and%20%24Y%24%20have%20the%20same%20%24%5Cpmod%7B2%7D%24%20degree**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Spring%20Semester%20Final%20Exam%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%201%0A%0A%20%20%20%20**Find%20the%20critical%20values%20of%20the%20smooth%20function%20%24f%3A%20%5Cmathbb%7BR%7D%5E2%20%5Cto%20%5Cmathbb%7BR%7D%24%20given%20by%20the%20formula**%20%24%24f(x%2Cy%2Cz)%20%3D%20x%5E3%2Bxy%2By%5E3%2B1.%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%202%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24C%20%5Csubset%20%5Cmathbb%7BR%7D%5E3%24%20be%20the%20cylinder%20%24x%5E2%20%2B%20y%5E2%20%3D%201%24.%20Determine%20if%20the%20following%20vector%20fields%20are%20tangent%20to%20%24C%24**%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20**%24F%20%3D%20(x%5E2-1)i%20%2B%20xyj%20%2B%20xzk%24**%3B%0A%20%20%20%202.%20**%24F%20%3D%20xi%20%2B%20yj%20%2B%202xz%5E2k%24**.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%203%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24f%2Cg%3A%20S%5En%20%5Cto%20S%5En%24%20be%20smooth%20functions.%20Prove%20that%20if%20%24%7C%5Cdeg(f)%7C%20%5Cne%20%7C%5Cdeg(g)%7C%24%20then%20there%20exists%20a%20point%20%24x%20%5Cin%20S%5En%24%20such%20that%20the%20vectors%20%24f(x)%24%20and%20%24g(x)%24%20are%20orthogonal%20to%20each%20other.%20*Hint%3A%20try%20the%20straight%20line%20homotopy%20%24(1-t)%5Ccdot%20f(x)%20%2B%20t%5Ccdot%20g(x)%2C%20t%20%5Cin%20%5B0%2C1%5D%24***.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%204%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24M%20%5Csubset%20%5Cmathbb%7BR%7D%5E3%24%20be%20an%20embedded%20%242%24-manifold%20bounding%20a%20compact%20region%20in%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%5E3%24.%20Orient%20%24M%24%20outward.%20Suppose%20that%20%24M%24%20intersects%20the%20coordinate%20%24xy%24-plane%20transversally%20in%20the%20curve%20%24x%5E2%20%2B%20y%5E2%20%3D%202%24%2C%20and%20denote%20by%20%24M_1%24%20the%20portion%20of%20%24M%24%20above%20the%20%24xy%24-plane.%20Let**%20%24%24w%20%3D%20(x%5E2%20%2B%20y%5E2)dx%20%5Cwedge%20dy%20%2B%20x%5E2ydy%5Cwedge%20dz%2B%20xy%5E2dx%20%5Cwedge%20dz.%24%24%0A%0A%20%20%20%201.%20**Evaluate%20%24dw%24**%3B%0A%20%20%20%202.%20**Use%20Stokes'%20Theorem%20to%20evaluate%20%24%5Cint_%7BM_1%7Dw%24**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A