Real Analysis Practice

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.17.6%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20nav_menu%20%3D%20mo.nav_menu(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Findex.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Ahome')%7D%20Home%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20orientation%3D%22vertical%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20nav_menu%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%2001%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24f%3A%20%5Cmathbb%7BR%7D%20%5Cto%20%5Cmathbb%7BR%7D%24%20be%20a%20Lebesgue%20measurable%20function%2C%20%24%5Cint_a%5Eb%20f%20dm%20%3D%200%24%20for%20all%20%24a%5Cle%20b%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BQ%7D%24%2C%20prove%20that%20%24f%20%3D%200%24%20a.e**..%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20Any%20open%20or%20closed%20set%20%24U%24%20in%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%24%20can%20be%20written%20as%20a%20countable%20union%20of%20disjoint%20rational%20segments%20%24R_i%24%2C%20thus%20%24%5Cint_U%20f%20dm%20%3D%20%5Csum_i%20%5Cint_%7BR_i%7Dfdm%20%3D%20%5Csum_i%200%20%3D%200%24.%20Thus%20%24%5Cint_Bfdm%20%3D%200%24%20for%20all%20bounded%20Borel%20sets%20%24B%24.%20It%20is%20known%20that%20any%20Lebesgue%20measurable%20set%20is%20a%20union%20of%20a%20Borel%20measurable%20set%20and%20a%20set%20of%20Lebesgue%20measure%20zero%20(this%20is%20easy%20to%20prove%3A%20remember%20Lebesgue%20measure%20is%20inner%20regular%2C%20so%20any%20Lebesgue%20measurable%20set%20can%20be%20approximated%20by%20a%20sequence%20of%20closed%20(compact)%20sets%2C%20whose%20union%20is%20by%20definition%20Borel%2C%20and%20the%20complement%20is%20of%20Lebesgue%20measure%20zero)%2C%20thus%20%24%5Cint_Lfdm%20%3D%20%5Cint_Bfdm%20%2B%20%5Cint_0%20fdm%20%3D%200%24%20for%20any%20bounded%20Lebesgue%20measurable%20set.%20In%20particular%2C%20the%20sets%20%24E_%7B%2Bn%7D%20%3D%20%5Clbrace%20x%20%7C%20f(x)%20%3E%200%20%5Crbrace%20%5Ccap%20%5B-n%2C%20n%5D%24%20and%20%24E_%7B-n%7D%20%3D%20%5Clbrace%20x%20%7C%20f(x)%20%3C0%20%5Crbrace%20%5Ccap%20%5B-n%2Cn%5D%24%20are%20bounded%20Lebesgue%20measurable%20for%20all%20%24n%24%2C%20thus%20%24%5Cint_%7BE_%7B%2Bn%7D%7Df%20dm%20%3D%200%24%20for%20all%20%24n%24%2C%20which%20implies%20%24m(E_%7B%2Bn%7D)%20%3D%200%24%20thus%20%24m%20%5Clbrace%20f%3E0%20%5Crbrace%20%3D%200%24and%20similarly%20%24m%5Clbrace%20f%3C0%20%5Crbrace%20%3D%200%24%2C%20thus%20%24f%20%3D%200%24%20a.e..%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%2002%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24X%24%20be%20the%20vector%20space%20of%20all%20real%20polynomials%20in%20one%20variable%20%24x%24.%20Prove%20of%20disprove%20that%20there%20exists%20a%20norm%20on%20%24X%24%20making%20%24X%24%20into%20a%20Banach%20space**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20We'll%20disprove%20this%20statement.%20Clearly%20%24X%24%20has%20a%20countable%20basis%20(%24x%5E0%2C%20x%5E1%2C%20x%5E2%2C%5Cdots%24)%3B%20we%20will%20show%20that%20no%20normed%20linear%20space%20with%20countable%20basis%20is%20complete.%0A%0A%20%20%20%20Denote%20%24X_n%24%20be%20the%20subspace%20of%20%24X%24%20spanned%20by%20%24x%5E0%2Cx%5E1%2C%5Cdots%2Cx%5En%24.%20Each%20%24X_n%24%20is%20of%20finite-dimension%2C%20thus%20is%20complete%2C%20thus%20is%20closed.%20By%20definition%20of%20basis%2C%20each%20%24X_n%24%20is%20proper%20subspace%20of%20%24X%24%2C%20thus%20has%20empty%20interior%20(otherwise%20it%20contains%20an%20open%20ball%2C%20thus%20contains%20the%20entire%20space).%20In%20particular%2C%20%24X_n%24%20is%20nowhere%20dense.%20Thus%20%24X%20%3D%20%5Cbigcup%5Climits_%7Bn%20%3D%201%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20X_n%24%20is%20a%20countable%20union%20of%20nowhere%20dense%20subsets%2C%20thus%20%24X%24%20is%20not%20complete%20by%20Baire.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%2003%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24f%24%20be%20a%20non-decreasing%20function%20on%20%24%5B0%2C1%5D%24**.%0A%0A%20%20%20%201.%20**Prove%20that%20%24%5Cint_0%5E1f'(x)dx%20%5Cle%20f(1)%20-%20f(0)%24**%3B%0A%20%20%20%202.%20**Let%20%24%5Clbrace%20f_n%20%5Crbrace%24%20be%20a%20sequence%20of%20non-decreasing%20functions%20on%20%24%5B0%2C1%5D%24%20such%20that%20the%20series%20%24F(x)%20%3D%20%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7Df_n(x)%24%20converges%20for%20all%20%24x%20%5Cin%20%5B0%2C1%5D%24%2C%20prove%20that%20%24F'(x)%20%3D%20%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7Df'(x)%24%20a.e**..%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%201.%20Extend%20the%20definition%20of%20%24f%24%20by%20setting%20%24f(x)%20%3D%20f(1)%24%20for%20all%20%24x%20%3E%201%24.%20Since%20%24f%24%20is%20non-decreasing%2C%20it%20is%20differentiable%20a.e.%2C%20thus%20we%20have%20%24f'(x)%20%3D%20%5Clim_%7Bh%20%5Cto%200%5E%2B%7D%5Cfrac%7Bf(x%2Bh)-f(x)%7D%7Bh%7D%24%20for%20almost%20all%20%24x%24.%20We%20have%3A%20%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%5Cint_0%5E1f'(x)dx%20%26%3D%20%5Cint_0%5E1%5Clim%20%5Cfrac%7Bf(x%2Bh)-f(x)%7D%7Bh%7Ddx%20%5C%5C%20%26%5Cle%20%5Climinf%20%5Cint_0%5E1%5Cfrac%7Bf(x%2Bh)-f(x)%7D%7Bh%7Ddx%20%26%5Ctext%7B(Fatou's%20Lemma)%7D%20%5C%5C%20%26%3D%5Climinf(%5Cfrac%7B1%7D%7Bh%7D%5Cint_h%5E%7B1%2Bh%7Df(x)dx%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bh%7D%5Cint_0%5E1f(x)dx)%20%5C%5C%20%26%3D%5Climinf(%5Cunderbrace%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bh%7D%5Cint_1%5E%7B1%2Bh%7Df(x)dx%7D_%7B%3Df(1)%7D%20-%20%5Cunderbrace%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bh%7D%5Cint_0%5Ehf(x)dx%7D_%7B%5Cge%20f(0)%7D)%20%5C%5C%20%26%5Cle%20f(1)%20-%20f(0).%5Cend%7Baligned%7D%24%24%0A%20%20%20%202.%20Since%20each%20%24f_n%24%20is%20non-decreasing%2C%20%24F%24%20is%20non-decreasing%20thus%20differentiable%20a.e..%20Let%20%24r_N(x)%20%3D%20%5Csum_%7Bn%3DN%2B1%7D%5E%7B%5Cinfty%7Df_n(x)%24%20be%20the%20remainder%20of%20partial%20sum%2C%20then%20%24r_N%24%20is%20also%20non-decreasing%20thus%20differentiable%20a.e.%2C%20thus%20we%20can%20write%20%24F'(x)%20%3D%20%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5ENf'_n(x)%20%2B%20r'_N(x)%24%20for%20%24x%24%20where%20all%20these%20functions%20are%20differentiable%2C%20which%20is%20viable%20a.e..%20We%20will%20show%20that%20%24r'_N(x)%20%5Cto%200%24%20a.e.%20as%20%24N%20%5Cto%20%5Cinfty%24.%20Notice%20that%20for%20almost%20all%20%24x%24%2C%20%24r'_N(x)%20-%20r'_%7BN%2B1%7D(x)%20%3D%20f'_N(x)%20%5Cge%200%24%20because%20derivative%20of%20non-decreasing%20function%20is%20non-negative.%20Thus%20for%20almost%20all%20%24x%24%2C%20%24%5Clbrace%20r'_N(x)%20%5Crbrace%24%20is%20a%20non-increasing%20sequence%20(index%20on%20%24N%24)%3B%20it%20is%20also%20bounded%20below%20by%20%240%24%2C%20thus%20the%20sequence%20converges%20and%20the%20limit%20is%20also%20non-negative%20(because%20all%20terms%20are%20non-negative).%20Monotone%20Convergence%20Theorem%20applies%2C%20we%20have%20that%20%24%5Cint_0%5E1%20%5Clim%20r'_N(x)dx%20%3D%20%5Clim%20%5Cint_0%5E1%20r'_N(x)dx%24%2C%20which%20by%20part%201%20is%20less%20than%20%24%5Clim(r_N(1)%20-%20r_N(0))%24%2C%20which%20is%20%240%24%20because%20%24F%24%20converges%20everywhere.%20Since%20%24%5Clim%20r'_N(x)%24%20is%20a%20non-negative%20function%20which%20integrates%20to%20%240%24%2C%20it%20is%20zero%20a.e..%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%2004%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24I_%7B0%2C0%7D%20%3D%20%5B0%2C1%5D%24%3B%20for%20%24n%20%5Cge%200%24%20and%20%240%20%5Cle%20j%20%5Cle%202%5En-1%24%2C%20let%20%24I_%7Bn%2Cj%7D%20%3D%20%5Bj2%5E%7B-n%7D%2C(j%2B1)2%5E%7B-n%7D%5D%24.%20For%20%24f%20%5Cin%20L%5E1(%5B0%2C1%5D)%24%2C%20define%20%24E_nf%20%3D%20%5Csum%5Climits_%7Bj%3D0%7D%5E%7B2%5En-1%7D(2%5En%5Cint_%7BI_%7Bn%2Cj%7D%7Df(t)dt)%5Cchi_%7BI_%7Bn%2Cj%7D%7D%24.%20Prove%20that%20%24E_nf%20%5Cto%20f%24%20a.e.%20on%20%24%5B0%2C1%5D%24**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20Realize%20that%20for%20each%20%24x%20%5Cin%20%5B0%2C1%5D%24%20and%20a%20fixed%20%2C%20%24E_nf%24%20is%20the%20sum%20of%20over%20the%20intervals%20%24I_%7Bn%2Cj%7D%24%20where%20%24x%24%20lies%20in%20(there%20are%20at%20most%20%242%24%20of%20them)%2C%20we%20can%20write%20%24E_nf(x)%20%3D%20%5Csum%5Climits_%7Bj%2C%20x%5Cin%20I_%7Bn%2Cj%7D%7D%5Cunderbrace%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bm(I_%7Bn%2Cj%7D)%7D%7D_%7B%3D2%5En%7D%5Cint_%7BI_%7Bn%2Cj%7D%7Df(t)dt%24.%20Since%20such%20family%20of%20intervals%20clearly%20shrinks%20nicely%20to%20%24x%24%2C%20thus%20the%20result%20is%20immediate%20by%20a%20theorem%20in%20chapter%207.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%2005%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24H%24%20be%20a%20Hilbert%20space%20with%20the%20scalar%20product%20of%20%24x%24%20and%20denoted%20by%20%24(x%2Cy)%24%20and%20let%20%24A%2C%20B%3AH%20%5Cto%20H%24%20be%20linear%20operators%20such%20that%20%24(Bx%2Cy)%20%3D%20(x%2CAy)%24%20for%20all%20%24x%2C%20y%24.%20Prove%20that%20%24A%2C%20B%24%20are%20bounded**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20Any%20Hilbert%20space%20is%20Banach%20space.%20Suppose%20%24B%24%20is%20not%20bounded%2C%20then%20we%20can%20find%20a%20sequence%20%24x_n%20%5Cin%20H%24%20such%20that%20%24%5C%7C%20x_n%20%5C%7C%20%3D%201%24%20but%20%24%5C%7C%20Bx_n%20%5C%7C%20%3E%20n%24%20for%20each%20.%20By%20Banach-Steinhaus%2C%20there%20is%20some%20%24y%20%5Cin%20H%24%20such%20that%20%24%5Csup%5Climits_n%20%7C%20(Bx_n%2C%20y)%7C%20%3D%20%5Cinfty%24%2C%20thus%20%24%5Csup%5Climits_n%20%7C%20(x_n%2CAy)%20%7C%20%3D%20%5Cinfty%24%2C%20but%20this%20is%20impossible%20because%20%24%7C%20(x_n%2C%20Ay)%20%7C%20%5Cle%5C%7C%20x_n%20%5C%7C%20%5C%7C%20Ay%20%5C%7C%20%3D%20%5C%7C%20Ay%20%5C%7C%24%20which%20is%20a%20fixed%20number%20(this%20has%20nothing%20to%20do%20with%20%24A%24%20being%20bounded%20or%20not)%2C%20thus%20%24B%24%20must%20be%20bounded.%20Similarly%20we%20can%20get%20%24A%24%20is%20bounded.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%2006%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**%24%5Cell%5E%7B%5Cinfty%7D(%5Cmathbb%7BN%7D)%24%20is%20a%20Banach%20space%20with%20respect%20to%20the%20norm%20%24%5C%7C%20x%20%5C%7C_%7B%5Cinfty%7D%20%3D%20%5Csup_n%7C%20x_n%20%7C%24**.%0A%0A%20%20%20%201.%20**Prove%20that%20there%20exists%20a%20continuous%20linear%20functional%20%24%5Cvarphi%24%20on%20%24%5Cell%5E%7B%5Cinfty%7D(%5Cmathbb%7BN%7D)%24%20such%20that%20%24%5Cvarphi(x)%20%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7Dx_n%24%20whenever%20the%20limit%20exists**%3B%0A%20%20%20%202.%20**Prove%20that%20%24%5Cvarphi%24%20is%20not%20unique**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%201.%20The%20set%20%24C%24%20of%20all%20sequences%20in%20%24%5Cell%5E%7B%5Cinfty%7D(%5Cmathbb%7BN%7D)%24%20for%20which%20the%20limit%20exists%20is%20a%20proper%20subspace%20of%20%24%5Cell%5E%7B%5Cinfty%7D(%5Cmathbb%7BN%7D)%24%2C%20and%20the%20operator%20%24L%24%20on%20%24C%24%20that%20sends%20a%20sequence%20to%20its%20limit%20is%20linear.%20%24L%24%20is%20bounded%20because%20the%20limit%20of%20a%20sequence%20can%20be%20no%20more%20than%20its%20supremum%2C%20which%20in%20%24%5Cell%5E%7B%5Cinfty%7D(%5Cmathbb%7BN%7D)%24%20is%20just%20the%20norm%20of%20the%20sequence.%20Thus%20by%20Hahn-Banach%20we%20can%20extend%20to%20a%20continuous%20(bounded)%20linear%20functional%20on%20%24%5Cell%5E%7B%5Cinfty%7D(%5Cmathbb%7BN%7D)%24%2C%20this%20is%20a%20%24%5Cvarphi%24%20we%20wanted%3B%0A%20%20%20%202.%20Let%20%24z%24%20be%20the%20sequence%20given%20by%20%24z_n%20%3D%20(-1)%5En%24%20(any%20sequence%20that%20is%20not%20in%20%24C%24%20works).%20Let%20%24D%24%20be%20the%20subspace%20spanned%20by%20%24C%24%20and%20%24z%24%3B%20%24D%24%20is%20apparently%20proper.%20We%20can%20extend%20%24L%24%20to%20a%20bounded%20linear%20functional%20%24L'%24%20on%20%24D%24%20by%20choosing%20a%20value%20for%20%24L'(z)%24%2C%20then%20extend%20%24L'%24%20to%20%24%5Cell%5E%7B%5Cinfty%7D(%5Cmathbb%7BN%7D)%24%20by%20Hahn-Banach.%20Any%20two%20different%20choices%20of%20%24L'(z)%24%20give%20different%20%24%5Cvarphi%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%2007%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24X%24%20be%20a%20Banach%20space%20and%20%24X%5E%7B*%7D%24%20be%20its%20dual.%20Prove%20that%20if%20%24X%5E%7B*%7D%24%20is%20separable%20then%20%24X%24%20is%20separable**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20Let%20%24%5Clbrace%20f_n%20%5Crbrace%24%2C%20%24n%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BN%7D%24%20be%20a%20countable%20dense%20subset%20of%20%24X%5E%7B*%7D%24.%20For%20each%20%24n%24%2C%20pick%20%24x_n%20%5Cin%20X%24%20with%20%24%5C%7C%20x_n%20%5C%7C%20%3D%201%24%20and%20%24%5C%7C%20f_n(x_n)%20%5C%7C%20%3E%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5C%7C%20f_n%20%5C%7C%24.%20Let%20%24M%24%20be%20the%20span%20of%20%24%5Clbrace%20x_n%20%5Crbrace%24.%20We%20will%20show%20%24M%24%20is%20dense%20in%20%24X%24.%20Suppose%20not%2C%20then%20there%20is%20%24y%20%5Cin%20X%24%20and%20%24y%20%5Cnotin%20%5Coverline%7BM%7D%24%2C%20then%20by%20Hahn-Banach%2C%20there%20is%20a%20linear%20functional%20%24f%20%5Cin%20X%5E%7B*%7D%24%20such%20that%20%24f%20%3D%200%24%20on%20%24%5Coverline%7BM%7D%24%20but%20%24f(y)%20%5Cne%200%24.%20Since%20%24%5Clbrace%20f_n%20%5Crbrace%24%20is%20dense%20in%20%24X%5E%7B*%7D%24%2C%20there%20is%20a%20sub-collection%20%24%5Clbrace%20f_%7Bn_k%7D%20%5Crbrace%24%2C%20viewed%20as%20a%20sequence%2C%20converges%20to%20%24f%24.%20Now%20%24%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%7C%20f_%7Bn_k%7D%20%5C%7C%20%3C%20%5C%7C%20f_%7Bn_k%7D(x_%7Bn_k%7D)%20%5C%7C%20%3D%20%5C%7C%20f_%7Bn_k%7D(x_%7Bn_k%7D)%20-%20%5Cunderbrace%7Bf(x_%7Bn_k%7D)%7D_%7B%3D0%7D%5C%7C%20%5Cle%20%5C%7C%20f_%7Bn_k%7D%20-%20f%20%5C%7C%20%5Cto%200%24%2C%20thus%20%24%5C%7C%20f_%7Bn_k%7D%20%5C%7C%20%5Cto%200%24%2C%20thus%20%24f_%7Bn_k%7D%20%5Cto%200%24%2C%20but%20%24f_%7Bn_k%7D%20%5Cto%20f%24%20and%20%24f%20%5Cne%200%24%2C%20so%20we%20have%20a%20contradiction.%0A%0A%20%20%20%20So%20we%20have%20%24M%24%20is%20dense%20in%20%24X%24.%20Let%20%24S%24%20be%20the%20subset%20of%20%24M%24%20with%20all%20coefficients%20of%20%24x_n%24%20being%20rational%2C%20then%20%24S%24%20is%20a%20dense%20subset%20of%20%24M%24%20thus%20a%20dense%20subset%20of%20%24X%24%2C%20thus%20%24X%24%20is%20separable.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%2008%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Suppose%20%24f%24%20is%20a%20continuous%20function%20on%20%24%5B0%2C2%5Cpi%5D%24%20with%20Fourier%20series%20expansion%20%24f(x)%20%3D%20%5Csum%5Climits_%7Bn%20%3D%20-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7Da_ne%5E%7Binx%7D%24%20such%20that%20%24%5Csum%20%7C%20n%20a_n%20%7C%20%5Cle%201%24.%20Prove%20that%20%24f%24%20is%20continuously%20differentiable**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20Denote%20%24S_n%24%20to%20be%20partial%20sum%20of%20%24%5Csum%5Climits_%7Bn%20%3D%20-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7Da_ne%5E%7Binx%7D%24%2C%20then%20%24S'_n(x)%20%3D%20%5Csum%5Climits_%7Bk%3D%20-n%7D%5Enika_ke%5E%7Bikx%7D%24%2C%20then%20for%20%24n%20%5Cne%20m%24%2C%20we%20have%20%24%7C%20S_n'(x)%20-%20S_m'(x)%20%7C%20%3D%20%7C%20%5Csum%5Climits_%7Bm%2B1%20%5Cle%20%7C%20k%20%7C%20%5Cle%20n%7D%20ika_ke%5E%7Bikx%7D%7C%24%20%24%5Cle%20%5Csum%20%7C%20ika_ke%5E%7Bikx%7D%20%7C%24%20%24%3D%5Csum%20%7C%20k%20a_k%20%7C%24%2C%20which%2C%20if%20we%20take%20%24n%2Cm%24%20sufficiently%20large%20enough%2C%20can%20be%20taken%20to%20be%20%24%3C%20%5Cvarepsilon%24%20for%20any%20fixed%20%24%5Cvarepsilon%20%3E%200%24%20(because%20%24%5Csum%5Climits_%7Bn%20%3D%20-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%7C%20n%20a_n%20%7C%20%5Cle%201%20%3C%20%5Cinfty%24%20so%20the%20terms%20goes%20to%20zero).%20Thus%20%24S_n'(x)%24%20is%20a%20Cauchy%20sequence%2C%20thus%20convergent%20(because%20the%20space%20%24%5Cmathbb%7BC%7D%24%20is%20complete)%2C%20and%20the%20convergence%20is%20uniform%2C%20because%20in%20the%20above%20inequality%20the%20%24%5Cvarepsilon%24%20does%20not%20depends%20on%20%24x%24%2C%20it%20only%20depends%20on%20the%20sequence%20%24a_n%24.%20Thus%20%24f'(x)%20%3D%20%5Clim%20S'_n(x)%20%3D%20(%5Clim%20S_n(x))'%20%3D%20(f(x))'%24%20and%20thus%20%24f%24%20is%20differentiable.%20Also%20uniform%20limit%20of%20continuous%20function%20is%20continuous%2C%20thus%20the%20derivative%20of%20%24f%24%20is%20continuous.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%2009%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Suppose%20that%20%24%5Clbrace%20%5Cvarphi_n%20%5Crbrace%24%20is%20an%20orthonormal%20sequence%20in%20a%20complex%20Hilbert%20space%20%24H%24%2C%20prove%20that%20the%20set%20of%20sums%20of%20the%20form%20%24S%20%3D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%5Calpha_i%5Cvarphi_i%24%20is%20dense%20in%20%24H%24%20if%20and%20only%20if%20%24f%20%5Cin%20H%24%20and%20%24(f%2C%20%5Cvarphi_n)%20%3D%200%24%20for%20all%20%24n%24%20implies%20that%20%24f%20%3D%200%24**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20(%24%5Cimplies%24)%20Suppose%20%24S%24%20is%20dense%20in%20%24H%24%20and%20%24(f%2C%20%5Cvarphi_n)%20%3D%200%24%20for%20all%20%24n%24.%20Since%20%24S%24%20is%20dense%2C%20we%20can%20pick%20%24f_n%24%20to%20be%20a%20sequence%20in%20%24S%24%20such%20that%20%24f_n%20%5Cto%20f%24%2C%20then%20%24%5C%7C%20f%20%5C%7C%5E2%20%3D%20(f%2Cf)%20%3D%20%5Clim(f%2Cf_n)%20%3D%200%24%2C%20which%20means%20%24f%20%3D%200%24%3B%0A%0A%20%20%20%20(%24%5Cimpliedby%24)%20By%20assumption%20it%20is%20not%20hard%20to%20see%20the%20only%20element%20in%20%24S%5E%7B%5Cperp%7D%24%20is%20%240%24%2C%20thus%20%24S%24%20is%20dense.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%2010%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Suppose%20%24X%24%20is%20a%20measurable%20space%20with%20positive%20measure%20%24%5Cmu%24%20such%20that%20%24%5Cmu(X)%20%3D%201%24.%20Suppose%20%24f%24%20is%20a%20complex%20measurable%20function%20on%20%24X%24.%20Prove%20that%20%24%5C%7C%20f%20%5C%7C_r%20%5Cle%20%5C%7C%20f%20%5C%7C_s%24%20for%20%240%20%3C%20r%20%3C%20s%20%5Cle%20%5Cinfty%24**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20Suppose%20first%20%241%5Cle%20r%20%3C%20s%20%5Cle%20%5Cinfty%24%2C%20then%20%24s%2Fr%20%3E%201%24.%20Let%20%24t%24%20be%20the%20conjugate%20exponent%20of%20%24s%2Fr%24%2C%20then%20by%20Holder's%20inequality%20(applied%20to%20%24%7C%20f%20%7C%5Er%20%5Ccdot%201%24)%20we%20have%20%24%7C%20f%7C%5Er%20%5C%7C_1%20%5Cle%24%20%24%7C%20f%20%7C%5Er%20%5C%7C_%7Bs%2Fr%7D%5Ccdot%5C%7C%201%20%5C%7C_t%20%3D%24%20%24%7C%20f%20%7C%5Er%20%5C%7C_%7Bs%2Fr%7D%24.%20That%20is%20to%20say%20%24%5Cint%20%7C%20f%20%7C%5Er%20d%5Cmu%20%5Cle%20(%5Cint%20%7C%20f%20%7C%5E%7Br%5Ccdot%20s%2Fr%7Dd%5Cmu)%5E%7Br%2Fs%7D%24%2C%20take%20%24r%24-th%20root%20and%20we%20have%20%24%5C%7C%20f%20%5C%7C_r%20%5Cle%20%5C%7C%20f%20%5C%7C_s%24.%0A%0A%20%20%20%20Suppose%20then%20%240%20%3C%20r%20%3C%20s%20%5Cle%201%24%2C%20then%20%241%20%5Cle%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bs%7D%20%3C%20%5Cfrac%7B1%7D%7Br%7D%20%3C%20%5Cinfty%24%2C%20then%20%24%5Cfrac%7B1%2Fr%7D%7B1%2Fs%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bs%7D%7Br%7D%20%3E%201%24.%20Let%20again%20%24t%24%20be%20the%20conjugate%20exponent%20of%20%24s%2Fr%24%2C%20the%20rest%20is%20similar.%20Combine%20the%20two%20parts%20together%20and%20we%20have%20the%20desired%20result.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%2011%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%201.%20**Suppose%20%24%5Cmu(%5COmega)%20%3D%201%24%20and%20%24f%2Cg%24%20are%20positive%20measurable%20functions%20on%20%24%5COmega%24%20such%20that%20%24fg%20%5Cge%201%24.%20Show%20that%20%24%5Cint_%7B%5COmega%7Df%20d%5Cmu%20%5Ccdot%20%5Cint_%7B%5COmega%7Dg%20d%5Cmu%20%5Cge%201%24**%3B%0A%20%20%20%202.%20**Suppose%20%24h%3A%20%5COmega%5Cto%20%5B0%2C%5Cinfty%5D%24%20is%20measurable.%20Let%20%24A%20%3D%20%5Cint_%7B%5COmega%7Dhd%5Cmu%24%2C%20prove%20that%20%24%5Csqrt%7B1%2BA%5E2%7D%20%5Cle%20%5Cint_%7B%5COmega%7D%5Csqrt%7B1%2Bh%5E2%7Dd%5Cmu%20%5Cle%201%20%2B%20A%24**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%201.%20%24%5Csqrt%7Bf%7D%2C%5Csqrt%7Bg%7D%24%20are%20also%20positive%20measurable%20functions%20and%20%24%5Csqrt%7Bfg%7D%20%5Cge%201%24.%20By%20Holder's%20inequality%2C%20%24p%20%3D%20q%20%3D%202%24%2C%20%24%5Cint%20%5Csqrt%7Bfg%7Dd%5Cmu%20%5Cle%20%5Cint%20(%5Csqrt%7Bf%7D%5E2d%5Cmu)%5E%7B1%2F2%7D%20%5Ccdot%20%5Cint%20(%5Csqrt%7Bg%7D%5E2d%5Cmu)%5E%7B1%2F2%7D%24.%20LHS%20is%20greater%20than%20or%20equal%20to%20%241%24%2C%20take%20square%20both%20sides%20and%20we%20have%20desired%20inequality%3B%0A%20%20%20%202.%20Consider%20the%20function%20%24x%20%5Cmapsto%20%5Csqrt%7B1%2Bx%5E2%7D%24%2C%20we%20will%20show%20it%20is%20convex%3A%20the%20derivative%20is%20%24x(1%2Bx%5E2)%5E%7B-1%2F2%7D%24%20and%20the%20second%20derivative%20is%20%24(1%2Bx%5E2)%5E%7B-3%2F2%7D%24%2C%20which%20is%20always%20positive%2C%20so%20we%20have%20convexity.%20Now%20by%20Jensen's%20inequality%2C%20%24%5Cvarphi%20%5Cint%20h%20d%5Cmu%20%5Cle%20%5Cint%20%5Cvarphi%20%5Ccirc%20h%20d%5Cmu%24%20we%20have%20the%20first%20half.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20For%20the%20second%20half%2C%20write%20%241%2BA%20%3D%201%20%2B%20%5Cint_%7B%5COmega%7Dhd%5Cmu%20%3D%20%5Cint_%7B%5COmega%7D%201%2B%20h%20d%5Cmu%24.%20Notice%20now%20%241%2Bh%5E2%20%5Cle%20(1%2Bh)%5E2%24%20%24%5Cimplies%20%5Csqrt%7B1%2Bh%5E2%7D%20%5Cle%201%2Bh%24%20if%20%24h%20%5Cge%200%24%2C%20which%20gives%20the%20other%20half.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%2012%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24L%3AX%20%5Cto%20Y%24%20be%20a%20linear%20map%20from%20one%20Banach%20space%20to%20another.%20Suppose%20%24f%20%5Ccirc%20L%20%3A%20X%20%5Cto%20%5Cmathbb%7BC%7D%24%20is%20bounded%20for%20each%20bounded%20linear%20functional%20%24f%24%20on%20%24Y%24%2C%20show%20that%20%24L%24%20is%20bounded**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20Suppose%20%24L%24%20is%20unbounded%2C%20then%20there%20exists%20a%20sequence%20%24x_n%24%2C%20all%20with%20norm%20%241%24%2C%20and%20%24%5C%7C%20L%20x_n%20%5C%7C%20%5Cge%20n%24%20for%20each%20%24n%24.%20For%20each%20%24n%24%2C%20%24x_n%24%20is%20of%20course%20not%20%240%24%20so%20%24Lx_n%24%20is%20not%20%240%24%2C%20so%20we%20can%20find%20a%20bounded%20linear%20functional%20%24f_n%24%20on%20%24Y%24%20with%20norm%20%241%24%20and%20%24f_n(Lx_n)%20%3D%20%5C%7C%20Lx_n%20%5C%7C%24.%20Use%20Banach-Steinhaus%20applied%20to%20%24f_n%20%5Ccirc%20L%24%2C%20the%20theorem%20says%20either%20there%20is%20some%20%24M%20%3C%20%5Cinfty%24%20with%20%24%5C%7C%20f_n%5Ccirc%20L%20%5C%7C%20%5Cle%20M%24%20for%20all%20%24n%24%2C%20or%20%24%5Csup%5Climits_%7Bn%7D%5C%7C%20(f_n%20%5Ccirc%20L)x%5C%7C%20%3D%20%5Cinfty%24%20for%20all%20%24x%24%20in%20some%20dense%20%24G_%7B%5Cdelta%7D%24%20of%20%24X%24.%20By%20our%20construction%20we%20have%20%24%5C%7C%20f_n%5Ccirc%20L%20%5C%7C%20%5Cge%20%5C%7C%20Lx_n%20%5C%7C%24%20which%20is%20assumed%20to%20be%20unbounded%2C%20so%20we%20do%20not%20have%20such%20%24M%24%2C%20so%20we%20must%20have%20the%20other%20situation.%20However%2C%20%24%5C%7C%20(f_n%20%5Ccirc%20L)x%20%5C%7C%20%5Cle%20%5C%7C%20f_n%20%5C%7C%20%5C%7C%20Lx%20%5C%7C%20%3D%20%5C%7C%20Lx%20%5C%7C%24%20is%20a%20fixed%20number%20(with%20respect%20to%20%24n%24)%2C%20so%20we%20have%20a%20contradiction.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%2013%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Suppose%20%24f%3A%5B0%2C1%5D%20%5Cto%20%5Cmathbb%7BR%7D%24%20is%20continuous%20with%20%24f(0)%20%3D%200%24%20and%20%24f'(0)%24%20existing%20as%20a%20number.%20Prove%20that%20%24x%5E%7B-3%2F2%7Df(x)%20%5Cin%20L%5E1(%5B0%2C1%5D)%24**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20By%20assumption%20we%20know%20%24f'(0)%20%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bh%20%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%7Bf(h)%7D%7Bh%7D%24%20exists%2C%20so%20by%20definition%20of%20limit%2C%20we%20can%20find%20%24%5Cdelta%20%3E%200%24%20so%20that%20%24%7C%5Cfrac%7Bf(h)%7D%7Bh%7D%20%7C%20%3C%201%24%20whenever%20%240%20%5Cle%20h%20%3C%20%5Cdelta%24.%20Then%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Baligned%7D%5Cint_0%5E1%7C%20x%5E%7B-3%2F2%7Df(x)%20%7C%20dx%20%26%20%3D%20%5Cint_0%5E%7B%5Cdelta%7D%7C%20x%5E%7B-3%2F2%7Df(x)%20%7C%20dx%20%2B%20%5Cint_%7B%5Cdelta%7D%5E1%20%7C%20x%5E%7B-3%2F2%7Df(x)%20%7C%20dx%20%5C%5C%20%26%3D%20%5Cint_0%5E%7B%5Cdelta%7D%7C%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E%7B1%2F2%7D%7D%20%5C%7C%20%5Cfrac%7Bf(x)%7D%7Bx%7D%20%7C%20dx%20%2B%20%5Cint_%7B%5Cdelta%7D%5E1%20%7C%20x%5E%7B-3%2F2%7Df(x)%20%7C%20dx%20%5Cend%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20The%20first%20part%20is%20finite%20by%20above%20and%20the%20fact%20that%20integrate%20of%20%24%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5Ep%7D%24%2C%20%24p%3C1%24%20is%20finite%20over%20%24%5B0%2C%5Cdelta%5D%24.%20The%20second%20part%20is%20obviously%20finite%20(remember%20continuous%20map%20that%20is%20well-defined%20on%20compact%20set%20is%20bounded).%20So%20the%20sum%20is%20finite%20and%20the%20function%20is%20in%20%24L%5E1%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%2014%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Suppose%20%241%3Cp%20%3C%20%5Cinfty%24%2C%20%24q%24%20be%20its%20exponent%20conjugate%2C%20%24%5Calpha%20%3D%201%2Fq%24.%20Prove%20that%20if%20%24f%24%20is%20absolutely%20continuous%20on%20%24%5Ba%2Cb%5D%24%20and%20%24f'%20%5Cin%20L%5Ep(%5Ba%2Cb%5D)%24%2C%20then%20%24f%20%5Cin%20%5Ctext%7BLip%7D~%5Calpha%24**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20By%20assumption%20we%20have%20%24f'%20%5Cin%20L%5E1%24%20and%20%24f(x)%20-%20f(a)%20%3D%20%5Cint_a%5Ex%20f'(t)dt%24%20for%20all%20%24x%20%5Cin%20%5Ba%2C%20b%5D%24.%20For%20any%20%24x%20%5Cne%20y%20%5Cin%20%5Ba%2C%20b%5D%24%2C%20write%20%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%7C%20f(x)%20-%20f(y)%20%7C%20%26%3D%20%7C%20%5Cint_y%5Ex%20f'(t)dt%20%7C%20%5Cle%20%5Cint_y%5Ex%20%7C%20f'(t)%7C%20dt%20%5C%5C%20%26%20%5Cle%20(%5Cint_y%5Ex%20%7C%20f'(t)%7C%5Epdt)%5E%7B1%2Fp%7D%20%5Cunderbrace%7B(%5Cint_y%5Ex1dt)%5E%7B1%2Fq%7D%7D_%7B%3D%20%7C%20x%20-%20y%20%7C%5E%7B1%2Fq%7D%7D%20%5C%5C%20%5Cfrac%7B%7C%20f(x)%20-%20f(y)%20%7C%7D%7B%7C%20x-y%20%7C%5E%7B1%2Fq%7D%7D%26%5Cle%20(%5Cint_y%5Ex%20%7C%20f'(t)%7C%5Epdt)%5E%7B1%2Fp%7D%20%3D%20%5C%7C%20f'%20%5C%7C_p%20%3C%20%5Cinfty%5Cend%7Baligned%7D%24%24%20Take%20supremum%20over%20all%20pairs%20%24x%5Cne%20y%24%20both%20sides%2C%20the%20RHS%20is%20a%20constant%2C%20so%20we%20get%20%24%5Csup_%7Bx%5Cne%20y%7D%20%5Cfrac%7B%7C%20f(x)%20-%20f(y)%20%7C%7D%7B%7C%20x-y%20%7C%5E%7B1%2Fq%7D%7D%20%3C%20%5Cinfty%24%20and%20that%20is%20exactly%20the%20definition%20of%20%24%5Ctext%7BLip%7D~%5Calpha%24%20function.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%2015%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Set%20%24%5Cvarphi(t)%20%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D1-%5Ccos(t)%2C%260%20%5Cle%20t%20%5Cle%202%5Cpi%2C%20%5C%5C%200%2C%20%26%5Ctext%7Botherwise.%7D%20%5Cend%7Bcases%7D%24%20For%20%24-%5Cinfty%20%3C%20x%20%3C%20%5Cinfty%24%2C%20set%20%24f(x)%20%3D%201%24%2C%20%24g(x)%20%3D%20%5Cvarphi'(x)%24%2C%20%24h(x)%20%3D%20%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5Ex%5Cvarphi(t)dt%24.%20Verify%20the%20following**%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20**%24(f*%20g)(x)%20%3D%200%24**%3B%0A%20%20%20%202.%20**%24(g%20*%20h)(x)%20%3D%20(%5Cvarphi%20*%20%5Cvarphi)(x)%20%3E%200%24%20for%20%24x%20%5Cin%20(0%2C4%5Cpi)%24**%3B%0A%20%20%20%203.%20**%24(f%20*%20g)*%20h%20%5Cequiv%200%24%20whereas%20%24f*(g*%20h)%20%5Cequiv%20k%20%3E%200%24.%20Why%20they%20are%20not%20equal**%3F%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20An%20easy%20calculation%20gives%20that%20%24g(x)%20%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%5Csin(x)%2C%260%20%5Cle%20x%20%5Cle%202%5Cpi%2C%20%5C%5C%200%2C%20%26%5Ctext%7Botherwise%7D%20%5Cend%7Bcases%7D%24%20and%20it%20is%20continuous.%20By%20definition%2C%20%24%24(f*%20g)(x)%20%3D%20%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7Df(x-y)g(y)dy%20%3D%20%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dg(y)dy%20%3D%200%24%24%20because%20%24f%20%5Cequiv%201%24%20and%20sine%20curve%20over%20%24%5B0%2C2%5Cpi%5D%24%20is%20symmetric.%20%24%24(%5Cvarphi%20*%20%5Cvarphi)(x)%20%3D%20%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cvarphi(x-y)%5Cvarphi(y)dy.%24%24%20Since%20%24%5Ccos(t)%20%5Cle%201%24%2C%20%241-%5Ccos(t)%5Cge%200%24%2C%20thus%20the%20only%20possibility%20that%20%24(%5Cvarphi%20*%20%5Cvarphi)(x)%20%3D%200%24%20is%20when%20the%20function%20in%20the%20integrant%20is%20constant%20zero%2C%20which%20happens%20if%20and%20only%20if%20%24x-y%24%20and%20%24y%24%2C%20%24y%20%5Cin%20%5B0%2C2%5Cpi%5D%24%20has%20intersection%20of%20measure%20zero%2C%20which%20happens%20if%20and%20only%20if%20%24x%20%5Cle%200%24%20or%20%24x%20%5Cge%204%5Cpi%24.%20Also%20%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D(g%20*%20h)(x)%20%26%3D%20%5Cint_0%5E%7B2%5Cpi%7D%5Cvarphi'(y)h(x-y)dy%20%5C%5C%26%3D%5Cvarphi(2%5Cpi)h(x-2%5Cpi)-%20%5Cvarphi(0)h(x-0)%20%2B%20%5Cint_0%5E%7B2%5Cpi%7D%5Cvarphi(y)h'(x-y)dy%20%5C%5C%20%26%3D%20(%5Cvarphi%20*%20%5Cvarphi)(x)%5Cend%7Baligned%7D%24%24%20(when%20we%20do%20this%20we%20need%20to%20verify%20if%20%24h%24%20and%20%24%5Cvarphi%24%20are%20AC%2C%20but%20here%20it%20is%20obvious%2C%20continuous%20function%20on%20compact%20set%20is%20AC).%20The%20third%20assertion%20is%20now%20obvious.%20It's%20not%20associative%20because%20%24f%24%20is%20not%20%24L%5E1%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%2016%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Suppose%20%24f%24%2C%20%24f'%24%20and%20%24f''%20%5Cin%20L%5E1%24%2C%20%24f%2C%20f'%24%20are%20absolutely%20continuous%20on%20any%20bounded%20subset%20of%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%24%2C%20and%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%20%5Cpm%5Cinfty%7Df(x)%20%3D%200%20%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20%5Cpm%20%5Cinfty%7Df'(x)%24.%20Show%20that%20if%20%24g%20%3D%20f''%24%2C%20then%20%24%5Chat%7Bg%7D(t)%20%3D%20-t%5E2%5Chat%7Bf%7D(t)%24**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20By%20the%20assumption%2C%20integral%20by%20part%20applies%2C%20we%20have%3A%20%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%20%5Chat%7Bg%7D(t)%20%26%3D%20%5Cint%20g(x)e%5E%7B-ixt%7Ddx%20%3D%20%5Cint%20f''(x)e%5E%7B-ixt%7Ddx%20%5C%5C%20%26%3D%20f'(x)e%5E%7B-ixt%7D%20%7C_%7Bx%3D-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20%2B%20%5Cint-itf'(x)e%5E%7B-ixt%7Ddx%20%5C%5C%20%26%3D%20%5Cint-itf'(x)e%5E%7B-ixt%7Ddx%20%5C%5C%20%26%3D-itf(x)e%5E%7B-ixt%7D%7C_%7Bx%3D-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20%2B%20%5Cint-t%5E2f(x)e%5E%7B-ixt%7Ddx%20%5C%5C%20%26%3D%20%5Cint-t%5E2f(x)e%5E%7B-ixt%7Ddx%20%3D%20-t%5E2%5Chat%7Bf%7D(t)%2C%5Cend%7Baligned%7D%24%24%20as%20desired.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A