Mathematical Analysis Qualifying Exam

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.17.6%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20nav_menu%20%3D%20mo.nav_menu(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Findex.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Ahome')%7D%20Home%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20orientation%3D%22vertical%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20nav_menu%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%2001%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%201.%20**State%20the%20one%20dimensional%20Intermediate%20Value%20Theorem**%3B%0A%20%20%20%202.%20**State%20the%20corresponding%20result%20in%20higher%20dimensions%2C%20giving%20carefully%20the%20definitions%20of%20the%20concepts%20involved%3A%20e.g.%20connected%20sets%2C%20etc**.%3B%0A%20%20%20%203.%20**Explain%20why%20does%20part%202%20imply%20part%201**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%2002%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Define%20the%20boundary%20%24%5Cpartial%20A%24%20of%20%24A%20%5Csubset%20%5Cmathbb%7BR%7D%5En%24%20to%20be%20the%20set%20of%20points%20%24y%24%20such%20that%20for%20any%20%24r%20%3E%200%24%2C%20the%20intersection%20of%20any%20ball%20%24B(y%2Cr)%24%20with%20both%20%24A%24%20and%20%24A%5Ec%24%20is%20not%20empty.%20Show%20that%20%24%5Cpartial%20A%24%20is%20a%20closed%20set**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%2003%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Show%20that%20if%20%24a_n%20%5Cto%20a%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%24%2C%20then%20%24%5Clim%5Climits_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7Dq_n%20%3D%20a%24%20where%20%24q_n%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D(a_1%2B%5Cdots%20%2B%20a_n)%24.%20Is%20it%20true%20that%20if%20%24q_n%20%5Cto%20a%24%2C%20then%20%24a_n%20%5Cto%20a%24**%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%2004%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24g(t)%20%3D%20t%5E2%5Csin(%5Cfrac%7B1%7D%7Bt%7D)%24%2C%20%24t%20%5Cne%200%24%20and%20%24g(0)%20%3D%200%24**.%0A%0A%20%20%20%201.%20**Show%20that%20%24g%24%20is%20differentiable%20and%20the%20derivative%20is%20not%20continuous.%20Find%20%24g'(0)%24**%3B%0A%20%20%20%202.%20**Define%20%24F%3A%20%5Cmathbb%7BR%7D%5E2%20%5Cto%20%5Cmathbb%7BR%7D%24%2C%20%24F(x)%20%3D%20g(%5C%7C%20x%20%5C%7C)%24.%20Show%20that%20%24F%24%20has%20total%20derivative%20everywhere%2C%20including%20at%20%24(0%2C0)%24**%3B%0A%20%20%20%203.%20**Are%20the%20partial%20derivatives%20continuous**%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%2005%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let**%20%24%24f(x)%20%3D%20%5Csum%5Climits_%7Bk%20%3D%201%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D(%5Cfrac%7Bx%7D%7Bx%2B4%7D)%5En.%24%24%0A%0A%20%20%20%201.%20**Determine%20the%20exact%20set%20of%20%24x%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%24%20such%20that%20%24f(x)%24%20converges**%3B%0A%20%20%20%202.%20**When%20%24x%20%3E%200%24%2C%20calculate%20%24f(x)%24%2C%20justifying%20your%20steps**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%2006%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24f_n%3A%5B0%2C1%5D%20%5Cto%20%5Cmathbb%7BR%7D%24%20be%20continuous%2C%20equal%20to%20zero%20on%20%24%5C%7B0%5C%7D%20%5Ccup%20%5B%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%2C1%5D%24%2C%20%24f_n(%5Cfrac%7B1%7D%7B2n%7D)%20%3D%202n%24%20and%20linear%20on%20%24%5B0%2C%5Cfrac%7B1%7D%7B2n%7D%5D%24%20and%20%24%5B%5Cfrac%7B1%7D%7B2n%7D%2C%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%5D%24**.%0A%0A%20%20%20%201.%20**Show%20that%20%24f_n(x)%24%20converges%20point-wise%20to%20a%20continuous%20function**%3B%0A%20%20%20%202.%20**Show%20that%20the%20integrals%20of%20%24f_n%24%20do%20not%20converge%20to%20the%20integral%20of%20the%20limit**%3B%0A%20%20%20%203.%20**Does%20%24f_n%24%20converge%20uniformly**%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%2007%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Assume%20%24f%3A%20%5Cmathbb%7BR%7D%5Cto%20%5Cmathbb%7BR%7D%24%20has%20a%20uniformly%20continuous%20derivative.%20Then**%20%24%24U(x)%20%3D%20%5Cint_0%5E1f(tx)dt%24%24%20**is%20well-defined%20on%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%24.%20Determine%20%24U'(x)%24%20by%20using%20the%20definition%20of%20the%20derivative%20and%20carefully%20justifying%20your%20steps**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%2008%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24(a_n)%24%20be%20a%20sequence%20of%20positive%20numbers%20such%20that%20%24%5Csum%5Climits_%7Bn%20%3D%200%7D%5E%7B%5Cinfty%7Da_n%24%20diverges.%20Show%20that**%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20**%24f(x)%20%3D%20%5Csum%5Climits_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bx%5Ena_n%7D%7B1%2Ba_n%7D%24%20converges%20on%20%24(-1%2C%201)%24%20and%20the%20convergence%20is%20uniform%20on%20compact%20subsets%20of%20%24(-1%2C1)%24**%3B%0A%20%20%20%202.%20**%24%5Csum%5Climits_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Ba_n%7D%7B1%2Ba_n%7D%20%3D%20%5Cinfty%24**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%2009%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**On%20%24A%20%3D%20%5C%7B(x%2Cy)%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%5E2%7C(x%2By)%20%5Cle%20(x%2By)%5E2%5C%7D%24%2C%20define**%20%24%24f(x%2Cy)%20%3D%20x%5E2%20-%20xy%20%2B%20y%5E2%20-%202x.%24%24%0A%0A%20%20%20%201.%20**Show%20that%20%24A%24%20is%20closed%20but%20not%20compact**%3B%0A%20%20%20%202.%20**Justify%20that%20%24f%24%20achieves%20its%20absolute%20minimum%20on%20%24A%24**%3B%0A%20%20%20%203.%20**Find%20the%20local%20critical%20points%20where%20%24%5Cnabla%20f(x%2Cy)%20%3D%20(0%2C0)%24**%3B%0A%20%20%20%204.%20**What%20is%20the%20absolute%20minimum%3F%20Which%20values%20must%20be%20considered**%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%2010%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let**%20%24%24(x%2Cy%2Cz)%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%5E3%2C%20F(x%2Cy%2Cz)%20%3D%20(yz%2Cxz%2Cxy).%24%24%0A%0A%20%20%20%201.%20**Determine%20the%20points%20where%20%24F%24%20has%20a%20local%20continuous%20inverse%20%24G(u%2Cv%2Cw)%24**%3B%0A%20%20%20%202.%20**Calculate%20the%20total%20derivative%20of%20%24G%24%20at%20%24(1%2C1%2C1)%24%20with%20the%20formula%20in%20the%20Inverse%20Function%20Theorem**%3B%0A%20%20%20%203.%20**Calculate%20the%20inverse%20function%20directly%2C%20i.e.%20solve%20%24(u%2Cv%2Cw)%20%3D%20F(x%2Cy%2Cz)%24%20for%20%24(x%2Cy%2Cz)%24**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A