Complex Analysis Qualifying Exam

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.17.6%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20nav_menu%20%3D%20mo.nav_menu(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Findex.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Ahome')%7D%20Home%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20orientation%3D%22vertical%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20nav_menu%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Section%20A%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20Solve%20%242%24%20of%20the%20%243%24%20problems%20below.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%2001%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Evaluate**%20%24%24%5Cint_0%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bt%5E2%2B1%7D%7Bt%5E4%2B1%7Ddt.%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%2002%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Fix%20%24%5Clambda%20%3E%201%24%2C%20and%20let%20%24f(z)%20%3D%20z%2B%20%5Clambda%20-e%5Ez%24.%20Show%20that%20%24f%24%20has%20a%20unique%20zero%20in%20the%20left%20half-plane%20and%20that%20this%20zero%20is%20real**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%2003%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Define**%20%24%24f(z)%20%3D%20%5Cfrac%7Be%5E%7Bz%5E%7B1%2F2%7D%7D%20-%20e%5E%7B-z%5E%7B1%2F2%7D%7D%7D%7B%5Csin(z%5E%7B1%2F2%7D)%7D.%24%24%0A%0A%20%20%20%201.%20**%24f%24%20has%20obvious%20poles%20at%20%24z%20%3D%20n%5E2%5Cpi%5E2%24%2C%20%24n%20%3D%201%2C2%2C%20%5Cdots%24.%20Explain%20why%20%24f%24%20is%20single-valued%20and%20holomorphic%20everywhere%20else**%3B%0A%20%20%20%202.%20**What%20are%20the%20residues%20of%20%24f%24%20at%20the%20poles%3F%20Compute%20%24%5Cint_%7B%5Cpartial%20D(0%2C25)%7Df(z)dz%24**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Section%20B%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20Solve%20%242%24%20of%20the%20%243%24%20problems%20below.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%2004%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24f%20%3D%20u%2Biv%24%20be%20an%20entire%20function**.%0A%0A%20%20%20%201.%20**Suppose%20%24u%5E2(z)%20%5Cge%20v%5E2(z)%24%20for%20all%20%24z%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BC%7D%24.%20Show%20that%20%24f%24%20is%20a%20constant**%3B%0A%20%20%20%202.%20**Suppose%20%24%7Cf(z)%7C%20%5Cle%20A%20%2B%20B%7Cz%7C%5Em%24%20for%20all%20%24z%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BC%7D%24%20and%20some%20positive%20constants%20%24A%2C%20B%2C%20m%24.%20Show%20that%20%24f%24%20is%20a%20polynomial%20of%20degree%20bounded%20by%20%24m%24**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%2005%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24f%3A%20%5Cmathbb%7BD%7D%5Cto%20%5Cmathbb%7BD%7D%24%20be%20a%20holomorphic%20map%20of%20the%20unit%20disk%20to%20itself%2C%20and%20%24f%24%20is%20not%20the%20identity%20map.%20Show%20that%20%24f%24%20can%20have%20at%20most%20one%20fixed%20point**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%2006%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24f%3A%20D%20%5Cto%20%5Cmathbb%7BC%7D%24%20be%20a%20complex-valued%20function%20on%20a%20domain%20%24D%24%2C%20and%20%24g(z)%20%3D%20zf(z)%24.%20Show%20that%20%24f%20%5Cin%20H(D)%24%20if%20and%20only%20if%20both%20%24f%24%20and%20%24g%24%20are%20harmonic**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Section%20C%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20Solve%20%243%24%20of%20the%20%245%24%20problems%20below.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%2007%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24%5COmega%24%20be%20a%20lattice%20in%20%24%5Cmathbb%7BC%7D%24%2C%20%24%5Cmathbb%7BP%7D%24%20its%20period%20parallelogram%2C%20%24P%24%20the%20Weierstrass%20function%20for%20%24%5COmega%24%2C%20and%20%24f%24%20an%20elliptic%20function%20of%20order%20%242%24.%20Fix%20%24z_0%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BP%7D%24%20such%20that%20%24f'(z_0)%20%3D%200%24.%20Then%20%24g(z)%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bf(z%2Bz_0)%20-f(z_0)%7D%24%20has%20a%20pole%20of%20order%20%24%5C_%5C_%5C_%5C_%5C_%5C_%5C_%5C_%5C_%5C_%24%20at%20%24%5C_%5C_%5C_%5C_%5C_%5C_%5C_%5C_%5C_%5C_%24.%20Use%20this%20fact%20to%20show%20that**%20%24%24f(z)%20%3D%20%5Cfrac%7BaP(z-z_0)%2Bb%7D%7BcP(z-z_0)%2Bd%7D%24%24%20**for%20some%20%24a%2C%20b%2C%20c%2C%20d%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BC%7D%24**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%2008%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Consider%20the%20Riemann%20surface%20%24S%24%20of%20the%20algebraic%20function%20given%20by**%20%24%24w%20%3D%20%5Csqrt%7B(%5Csqrt%7Bz%7D%2B1)(%5Csqrt%5B3%5D%7Bz%7D-1)%7D.%24%24%20**What%20are%20the%20branching%20points%20of%20%24S%24%3F%20What%20are%20their%20orders%3F%20What%20is%20the%20genus%20of%20%24S%24%3F%20Sketch%20the%20scheme%20of%20%24S%24**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%2009%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%201.%20**State%20the%20Weierstrass%20Factorization%20Theorem%20for%20entire%20functions**%3B%0A%20%20%20%202.%20**Let%20%24f_1%2C%20f_2%20%5Cin%20H(%5Cmathbb%7BC%7D)%24.%20Produce%20entire%20functions%20%24h%2C%20g_1%2C%20g_2%24%20such%20that%20%24f_1%20%3D%20hg_1%24%2C%20%24f_2%20%3D%20hg_2%24%20and%20%24g_1%2C%20g_2%24%20have%20no%20common%20zeroes**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%2010%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24D%20%3D%20%5Cmathbb%7BD%7D%20%5Csetminus(-1%2C0%5D%24%2C%20and%20%24f(z)%20%3D%20z%5Ei%24.%20How%20do%20you%20make%20%24f(z)%24%20a%20single-valued%20function%20on%20%24D%24%3F%20Is%20it%20possible%20to%20construct%20a%20sequence%20of%20polynomials%20%24P_n%24%20such%20that%20%24%5Clim%5Climits_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7DP_n(z)%20%3D%20z%5Ei%24%20for%20all%20%24z%20%5Cin%20D%24%3F%20Explain%20carefully**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%2011%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Consider%20a%20polynomial%20%24P(z)%20%3D%20a_0%20%2B%20a_1z%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20a_nz%5En%24%2C%20and%20suppose%20that%20%24P%24%20is%20one-to-one%20in%20%24%5Cmathbb%7BD%7D%24.%20Suppose%20also%20that%20%24n%20%3E%201%24%20and%20%24a_1%20%3D%201%24.%20Show%20that%20%24%7Cna_n%7C%5Cle%201%24**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A