Complex Analysis Homework 1

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.17.6%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20nav_menu%20%3D%20mo.nav_menu(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Findex.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Ahome')%7D%20Home%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20orientation%3D%22vertical%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20nav_menu%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Fall%20Semester%20Homework%201%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%204%0A%0A%20%20%20%20**Solve%20the%20quadratic%20equation%20%24z%5E2%20%2B%20(%5Calpha%20%2B%20i%20%5Cbeta)z%20%2B%20%5Cgamma%20%2B%20i%5Cdelta%20%3D%200%24**.%0A%0A%20%20%20%20Solution%0A%0A%20%20%20%20Rewrite%20the%20equation%20as%20following%3A%20%24%24z%5E2%20%2B%20(%5Calpha%20%2B%20i%20%5Cbeta)%20z%20%2B%20(%5Cfrac%7B%5Calpha%20%2B%20i%20%5Cbeta%7D%7B2%7D)%5E2%20-%20(%5Cfrac%7B%5Calpha%20%2B%20i%20%5Cbeta%7D%7B2%7D)%5E2%20%2B%20%5Cgamma%20%2B%20i%20%5Cdelta%20%3D%200%24%24%20(i.e.%20we%20complete%20the%20square).%20Move%20things%20around%20we%20get%20%24%24(z%20%2B%20%5Cfrac%7B%5Calpha%20%2B%20i%20%5Cbeta%7D%7B2%7D)%5E2%20%3D%20%20(%5Cfrac%7B%5Calpha%20%2B%20i%20%5Cbeta%7D%7B2%7D)%5E2%20-%20%5Cgamma%20-%20i%20%5Cdelta.%24%24%0A%20%20%20%20Now%20the%20RHS%2C%20although%20complicated%2C%20must%20be%20a%20complex%20number%20-%20it%20could%20be%20just%20%240%24%20or%20complex%20number%20with%20only%20real%20or%20imaginary%20part.%20In%20any%20cases%2C%20we%20can%20calculate%20it%20without%20too%20much%20difficulty.%0A%0A%20%20%20%20During%20the%20class%20we%20learnt%20that%20we%20can%20take%20square%20root%20of%20any%20complex%20number.%20Suppose%20we%20do%20the%20calculation%20and%20get%20that%20%24x%20%2B%20i%20y%24%20and%20%24-x%20-%20iy%24%20to%20be%20the%20two%20square%20roots%20of%20the%20RHS%20of%20above%20equation%2C%20then%20since%20any%20complex%20number%20has%20exactly%20two%20(not%20necessarily%20distinct%20since%20the%20RHS%20could%20be%20zero)%20complex%20roots%2C%20we%20must%20have%20that%20%24z%20%2B%20%5Cfrac%7B%5Calpha%20%2B%20i%5Cbeta%7D%7B2%7D%20%3D%20x%2B%20i%20y%24%20or%20%24z%20%2B%20%5Cfrac%7B%5Calpha%20%2B%20i%20%5Cbeta%7D%7B2%7D%20%3D%20-x%20-%20iy%24%2C%20move%20%24%5Cfrac%7B%5Calpha%20%2B%20i%20%5Cbeta%7D%7B2%7D%24%20to%20the%20right%20and%20we%20have%20the%20solutions%20for%20%24z%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%201%0A%0A%20%20%20%20**Show%20that%20the%20system%20of%20all%20matrices%20of%20the%20special%20form%20%24%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%5Calpha%20%26%20%5Cbeta%20%5C%5C%20-%5Cbeta%20%26%20%5Calpha%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%24%2C%20combined%20by%20matrix%20addition%20and%20matrix%20multiplication%2C%20is%20isomorphic%20to%20the%20field%20of%20complex%20numbers**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20Denote%20the%20space%20of%20all%20such%20matrices%20as%20%24X%24%2C%20define%20%24f%3A%20X%20%5Cto%20%5Cmathbb%7BC%7D%24%20by%20%24%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%5Calpha%20%26%20%5Cbeta%20%5C%5C%20-%5Cbeta%20%26%20%5Calpha%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20%5Cmapsto%20%5Calpha%20%2B%20i%20%5Cbeta%24.%20We%20need%20to%20show%20that%20%24X%24%20is%20a%20field%2C%20%24f%24%20is%20a%20field%20homomorphism%2C%20and%20%24f%24%20is%20a%20bijection%20(assume%20from%20class%20we%20already%20know%20%24%5Cmathbb%7BC%7D%24%20is%20a%20field)%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20%24X%24%20is%20a%20field%3A%0A%20%20%20%20%091.%20Associativity%3A%20this%20is%20because%20matrix%20addition%20and%20multiplication%20are%20associative%3B%0A%20%20%20%20%092.%20Commutative%3A%20for%20addition%2C%20this%20is%20because%20matrix%20addition%20is%20commutative%3B%20for%20multiplication%2C%20we%20can%20check%20%24%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%5Calpha%20%26%20%5Cbeta%20%5C%5C%20-%5Cbeta%20%26%20%5Calpha%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20%5Ccdot%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%5Cgamma%20%26%20%5Cdelta%20%5C%5C%20-%5Cdelta%20%26%20%5Cgamma%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%24%20%24%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%5Calpha%5Cgamma%20-%20%5Cbeta%5Cdelta%20%26%20%5Cbeta%5Cgamma%20%2B%20%5Calpha%20%5Cdelta%20%5C%5C%20-%5Cbeta%5Cgamma%20-%20%5Calpha%5Cdelta%20%26%20%5Calpha%5Cgamma%20-%20%5Cbeta%5Cdelta%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%24%20%24%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%5Cgamma%20%26%20%5Cdelta%20%5C%5C%20-%5Cdelta%20%26%20%5Cgamma%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20%5Ccdot%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%5Calpha%20%26%20%5Cbeta%20%5C%5C%20-%5Cbeta%20%26%20%5Calpha%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%24%3B%0A%20%20%20%20%093.%20The%20addition%20identity%20and%20multiplication%20identity%20are%20%24%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%200%20%26%200%20%5C%5C%200%20%26%200%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%24%20and%20%24%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%201%20%26%200%20%5C%5C%200%20%26%201%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%24%20respectively%3B%0A%20%20%20%20%094.%20For%20any%20%24%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%5Calpha%20%26%20%5Cbeta%20%5C%5C%20-%5Cbeta%20%26%20%5Calpha%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%24%2C%20its%20additive%20inverse%20is%20%24%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20-%5Calpha%20%26%20-%5Cbeta%20%5C%5C%20%5Cbeta%20%26%20-%5Calpha%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%24%20which%20is%20easily%20seen%20lies%20inside%20%24X%24%3B%0A%20%20%20%20%095.%20For%20any%20%24%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%5Calpha%20%26%20%5Cbeta%20%5C%5C%20-%5Cbeta%20%26%20%5Calpha%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%24%20that%20is%20not%20the%20addition%20identity%2C%20its%20multiplicative%20inverse%20is%20%24%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%5Cfrac%7B%5Calpha%7D%7B%5Calpha%5E2%20%2B%20%5Cbeta%5E2%7D%20%26%20%5Cfrac%7B-%5Cbeta%7D%7B%5Calpha%5E2%20%2B%20%5Cbeta%5E2%7D%20%5C%5C%20%5Cfrac%7B%5Cbeta%20%7D%7B%5Calpha%5E2%20%2B%20%5Cbeta%5E2%7D%20%26%20%5Cfrac%7B%5Calpha%20%7D%7B%5Calpha%5E2%20%2B%20%5Cbeta%5E2%7D%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%24%3B%0A%20%20%20%20%096.%20Distributivity%3A%20this%20is%20because%20matrix%20addition%20and%20multiplication%20are%20distributive%3B%0A%20%20%20%202.%20%24f%24%20is%20a%20field%20homomorphism%3A%0A%20%20%20%20%091.%20%24f(%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%5Calpha%20%26%20%5Cbeta%20%5C%5C%20-%5Cbeta%20%26%20%5Calpha%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20%2B%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%5Cgamma%20%26%20%5Cdelta%20%5C%5C%20-%5Cdelta%20%26%20%5Cgamma%20%5Cend%7Bpmatrix%7D)%24%20%24%3D%20f(%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%5Calpha%2B%5Cgamma%20%26%20%5Cbeta%20%2B%20%5Cdelta%20%5C%5C%20-%5Cbeta%20-%20%5Cdelta%20%26%20%5Calpha%20%2B%20%5Cgamma%5Cend%7Bpmatrix%7D)%24%20%24%3D%20%5Calpha%20%2B%20%5Cgamma%20%2B%20i(%5Cbeta%20%2B%20%5Cdelta)%24%20%24%3D%20(%5Calpha%20%2B%20i%5Cbeta)%20%2B%20(%5Cgamma%20%2B%20i%20%5Cdelta)%24%20%24%3D%20f(%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%5Calpha%20%26%20%5Cbeta%20%5C%5C%20-%5Cbeta%20%26%20%5Calpha%20%5Cend%7Bpmatrix%7D)%20%2B%20f(%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%5Cgamma%20%26%20%5Cdelta%20%5C%5C%20-%5Cdelta%20%26%20%5Cgamma%20%5Cend%7Bpmatrix%7D)%24%3B%0A%20%20%20%20%092.%20%24f(%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%5Calpha%20%26%20%5Cbeta%20%5C%5C%20-%5Cbeta%20%26%20%5Calpha%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20%5Ccdot%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%5Cgamma%20%26%20%5Cdelta%20%5C%5C%20-%5Cdelta%20%26%20%5Cgamma%20%5Cend%7Bpmatrix%7D)%24%20%24%3D%20f(%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%5Calpha%5Cgamma%20-%20%5Cbeta%5Cdelta%20%26%20%5Cbeta%5Cgamma%20%2B%20%5Calpha%20%5Cdelta%20%5C%5C%20-%5Cbeta%5Cgamma%20-%20%5Calpha%5Cdelta%20%26%20%5Calpha%5Cgamma%20-%20%5Cbeta%5Cdelta%20%5Cend%7Bpmatrix%7D)%24%20%24%3D%20%5Calpha%5Cgamma%20-%20%5Cbeta%5Cdelta%20%2B%20i(%5Cbeta%5Cgamma%20%2B%20%5Calpha%5Cdelta)%24%20%24%3D(%5Calpha%20%2B%20i%5Cbeta)(%5Cgamma%20%2B%20i%20%5Cdelta)%24%20%24%3Df(%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%5Calpha%20%26%20%5Cbeta%20%5C%5C%20-%5Cbeta%20%26%20%5Calpha%20%5Cend%7Bpmatrix%7D)%20%5Ccdot%20f(%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%5Cgamma%20%26%20%5Cdelta%20%5C%5C%20-%5Cdelta%20%26%20%5Cgamma%20%5Cend%7Bpmatrix%7D)%24%3B%0A%20%20%20%20%093.%20%24f(%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%201%260%20%5C%5C%200%261%5Cend%7Bpmatrix%7D)%20%3D%201%24%3B%0A%20%20%20%203.%20%24f%24%20is%20a%20bijection%3A%0A%20%20%20%20%091.%20Any%20field%20homomorphism%20is%20injective%3B%0A%20%20%20%20%092.%20Surjectivity%20is%20also%20obvious%2C%20for%20any%20%24%5Calpha%20%2B%20i%20%5Cbeta%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BC%7D%24%2C%20%24%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%5Calpha%20%26%20%5Cbeta%20%5C%5C%20-%5Cbeta%20%26%20%5Calpha%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20%5Cin%20X%24%20is%20the%20preimage.%0A%0A%20%20%20%20That%20proves%20the%20desired%20statement.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%203%0A%0A%20%20%20%20**Prove%20that%20%24%7C%20%5Cfrac%7Ba-b%7D%7B1-%5Coverline%7Ba%7Db%7D%20%7C%20%3D%201%24%20if%20either%20%24%7C%20a%20%7C%20%3D%201%24%20or%20%24%7C%20b%20%7C%20%3D%201%24.%20What%20exception%20must%20be%20made%20if%20%24%7C%20a%20%7C%20%3D%20%7C%20b%20%7C%20%3D%201%24**%3F%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20If%20%24%7C%20a%20%7C%20%3D%201%24%2C%20then%20%241%20%3D%20a%5Coverline%7Ba%7D%24%2C%20so%20we%20have%20%24%7C%20%5Cfrac%7Ba-b%7D%7B1%20-%20%5Coverline%7Ba%7Db%7D%20%7C%24%20%24%3D%7C%20%5Cfrac%7Ba%20-%20b%7D%7Ba%5Coverline%7Ba%7D%20-%20%5Coverline%7Ba%7Db%7D%20%7C%24%20%24%3D%20%7C%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Coverline%7B%5Calpha%7D%7D%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7Ba-b%7D%7Ba-b%7D%20%7C%24%20%24%3D%20%7C%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Coverline%7B%5Calpha%7D%7D%20%7C%20%5Ccdot%20%7C%20%5Cfrac%7Ba-b%7D%7Ba-b%7D%20%7C%24%20%24%3D%201%20%5Ccdot%201%20%3D%201%24.%0A%0A%20%20%20%20If%20%24%7C%20b%20%7C%20%3D%201%24%2C%20then%20%241%20%3D%20b%20%5Coverline%7Bb%7D%24%2C%20so%20we%20have%20%24%7C%20%5Cfrac%7Ba-b%7D%7B1%20-%20%5Coverline%7Ba%7Db%7D%20%7C%24%20%24%3D%20%7C%20%5Cfrac%7Ba%20-%20b%7D%7Bb%5Coverline%7Bb%7D%20-%20%5Coverline%7Ba%7Db%7D%20%7C%24%20%24%3D%20%7C%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bb%7D%20%7C%20%5Ccdot%20%7C%20%5Cfrac%7Ba-b%7D%7B%5Coverline%7Bb%7D%20-%20%5Coverline%7Ba%7D%7D%20%7C%24.%20Now%20notice%20that%20if%20%24a%20%3D%20a_r%20%2B%20i%20a_i%24%20and%20%24b%20%3D%20b_r%20%2B%20ib_i%24%2C%20then%20%24a%20-%20b%20%3D%20(a_r%20-%20b_r)%20%2B%20i(a_i%20-%20b_i)%24%20whereas%20%24%5Coverline%7Bb%7D%20-%20%5Coverline%7Ba%7D%24%20%24%3D%20b_r%20-%20i%20b_i%20-%20(a_r%20-%20ia_i)%24%20%24%3D(b_r%20-%20a_r)%20%2B%20i(a_i%20-%20b_i)%24%20so%20their%20modulus%20are%20the%20same%2C%20so%20%24%7C%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bb%7D%20%7C%20%5Ccdot%20%7C%20%5Cfrac%7Ba-b%7D%7B%5Coverline%7Bb%7D%20-%20%5Coverline%7Ba%7D%7D%20%7C%20%3D%201%20%5Ccdot%201%20%3D%201%24%20as%20well.%0A%0A%20%20%20%20In%20the%20case%20of%20%24%7C%20a%20%7C%20%3D%20%7C%20b%20%7C%20%3D%201%24%2C%20we%20must%20except%20the%20case%20that%20makes%20the%20denominator%20of%20the%20expression%2C%20i.e.%20%241%20-%20%5Coverline%7Ba%7Db%24%2C%20to%20be%20zero%2C%20so%20we%20need%20to%20except%20the%20case%20that%20%24%5Coverline%7Ba%7Db%20%3D%201%24.%20Since%20%24%7C%20a%20%7C%20%3D%201%20%5CRightarrow%20%5Coverline%7Ba%7Da%20%3D%201%24%2C%20this%20means%20%24b%20%3D%20a%24%20because%20multiplicative%20inverse%20is%20unique.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Fall%20Semester%20Homework%202%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%201%0A%0A%20%20%20%20**Prove%20that%20%24%7C%20%5Cfrac%7Ba%20-%20b%7D%7B1%20-%20%5Coverline%7Ba%7Db%7D%20%7C%20%3C%201%24%20if%20%24%7C%20a%20%7C%20%3C%201%24%20and%20%24%7C%20b%20%7C%20%3C%201%24**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20We%20will%20prove%20a%20stronger%20statement%20as%20follow%3A%20%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%7C%20%5Cfrac%7Ba%20-%20b%7D%7B1%20-%20%5Coverline%7Ba%7Db%7D%20%7C%20%3C%26%201%20%5C%5C%20%7C%20%5Cfrac%7Ba%20-%20b%7D%7B1%20-%20%5Coverline%7Ba%7Db%7D%20%7C%5E2%20%3C%26%201%20%5C%5C%20%5Cfrac%7B%7C%20a%20-%20b%20%7C%5E2%7D%7B%7C%201%20-%20%5Coverline%7Ba%7Db%20%7C%5E2%7D%20%3C%26%201%20%5C%5C%20%7C%20a%20-%20b%20%7C%5E2%20%3C%26%20%7C%201%20-%20%5Coverline%7Ba%7Db%20%7C%5E2%20%5C%5C%20(a%20-%20b)(%5Coverline%7Ba%7D%20-%20%5Coverline%7Bb%7D)%20%3C%26%20(1%20-%20%5Coverline%7Ba%7Db)(1%20-%20a%5Coverline%7Bb%7D)%20%5C%5C%20a%5Coverline%7Ba%7D%20%2B%20b%20%5Coverline%7Bb%7D%20-%20a%20%5Coverline%7Bb%7D%20-%20b%5Coverline%7Ba%7D%20%3C%26%201%20%2B%20ab%5Coverline%7Bab%7D%20-%20%5Coverline%7Ba%7Db%20-%20a%20%5Coverline%7Bb%7D%20%5C%5C%20a%5Coverline%7Ba%7D%20%2B%20b%20%5Coverline%7Bb%7D%20%3C%26%201%20%2B%20ab%5Coverline%7Bab%7D%20%5C%5C%200%20%3C%26%20(1%20-%20a%20%5Coverline%7Ba%7D)(1%20-%20b%20%5Coverline%7Bb%7D)%20%5C%5C%200%20%3C%26%20(1%20-%20%7C%20a%20%7C%5E2)(1%20-%20%7C%20b%20%7C%5E2).%5Cend%7Baligned%7D%24%24%20It%20follows%20that%20%24%7C%20%5Cfrac%7Ba%20-%20b%7D%7B1%20-%20%5Coverline%7Ba%7Db%7D%20%7C%20%3C%201%24%20if%20and%20only%20if%20both%20%24%7C%20a%20%7C%24%20and%20%24%7C%20b%20%7C%24%20are%20strictly%20greater%20than%20or%20less%20than%20%241%24%2C%20in%20particular%20the%20statement%20in%20the%20problem%20is%20proved.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%202%0A%0A%20%20%20%20**Prove%20that%20the%20points%20%24a_1%2C%20a_2%2C%20a_3%24%20are%20vertices%20of%20an%20equilateral%20triangle%20if%20and%20only%20if%20%24a_1%5E2%20%2B%20a_2%5E2%20%2B%20a_3%5E2%20%3D%20a_1a_2%20%2B%20a_2a_3%20%2B%20a_3a_1%24**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20(%24%5CLongrightarrow%24)%20Proved%20during%20class.%0A%0A%20%20%20%20(%24%5CLongleftarrow%24)%20Rewrite%20the%20equation%20to%20get%20that%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20%24a_1%5E2%20-a_1a_2%20-%20a_1a_3%20%2B%20a_2a_3%20%3D%20-a_2%5E2%20-%20a_3%5E2%20%2B%202a_2a_3%24%20which%20is%20equivalent%20with%20that%20%24(a_1%20-%20a_2)(a_1%20-%20a_3)%20%3D%20(a_3%20-%20a_2)(a_2%20-%20a_3)%24%2C%20or%20%24%5Cfrac%7Ba_1%20-%20a_2%7D%7Ba_3%20-%20a_2%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Ba_2%20-%20a_3%7D%7Ba_1%20-%20a_3%7D%24.%20The%20later%20has%20a%20geometric%20meaning%20that%20the%20angle%20%24%5Cangle%20a_1a_2a_3%24%20is%20the%20same%20as%20%24%5Cangle%20a_1a_3a_2%24%3B%0A%20%20%20%202.%20Now%20do%20the%20similar%20thing%20again%20but%2C%20say%2C%20interchange%20%24a_1%24%20and%20%24a_3%24%2C%20we%20then%20get%20the%20angle%20%24%5Cangle%20a_1a_2a_3%24%20is%20the%20same%20as%20%24%5Cangle%20a_3a_1a_2%24.%0A%0A%20%20%20%20Thus%20all%20three%20of%20the%20angle%20of%20the%20triangle%20are%20the%20same%2C%20that%20is%20the%20triangle%20is%20equilateral.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%201%0A%0A%20%20%20%20**Express%20%24%5Ccos(3%5Cvarphi)%24%2C%20%24%5Ccos(4%5Cvarphi)%24%20and%20%24%5Csin(5%20%5Cvarphi)%24%20in%20terms%20of%20%24%5Ccos(%5Cvarphi)%24%20and%20%24%5Csin(%5Cvarphi)%24**.%0A%0A%20%20%20%20Solution%0A%0A%20%20%20%20If%20%24z%20%3D%20%5Ccos(%5Cvarphi)%20%2B%20i%20%5Csin(%5Cvarphi)%24%2C%20we%20know%20that%20%24z%5E3%20%3D%20%5Ccos(3%5Cvarphi)%20%2B%20i%20%5Csin(3%5Cvarphi)%24%2C%20from%20the%20property%20of%20conjugation%20we%20know%20thus%20%24(%5Coverline%7Bz%7D)%5E3%20%3D%20%5Coverline%7B(z%5E3)%7D%24%20%24%3D%20%5Ccos(3%5Cvarphi)%20-%20i%5Csin(3%5Cvarphi)%24%2C%20add%20them%20together%20we%20get%20%24(%5Ccos(%5Cvarphi)%20%2B%20i%5Csin(%5Cvarphi))%5E3%20%2B%20(%5Ccos(%5Cvarphi)%20-%20i%20%5Csin(%5Cvarphi))%5E3%20%3D%202%5Ccos(3%5Cvarphi)%24%2C%20and%20thus%20%24%5Cfrac%7B(%5Ccos(%5Cvarphi)%20%2B%20i%5Csin(%5Cvarphi))%5E3%20%2B%20(%5Ccos(%5Cvarphi)%20-%20i%20%5Csin(%5Cvarphi))%5E3%7D%7B2%7D%24%20%24%3D%20%5Ccos(3%5Cvarphi)%24.%20Similarly%2C%20%24%5Cfrac%7B(%5Ccos(%5Cvarphi)%20%2B%20i%5Csin(%5Cvarphi))%5E4%20%2B%20(%5Ccos(%5Cvarphi)%20-%20i%20%5Csin(%5Cvarphi))%5E4%7D%7B2%7D%24%20%24%3D%20%5Ccos(4%5Cvarphi)%24.%20For%20sine%2C%20we%20take%20subtraction%20to%20get%20the%20imaginary%20part%2C%20that%20is%20%24%5Cfrac%7B(%5Ccos(%5Cvarphi)%20%2B%20i%5Csin(%5Cvarphi))%5E5%20-%20(%5Ccos(%5Cvarphi)%20-%20i%20%5Csin(%5Cvarphi))%5E5%7D%7B2i%7D%20%3D%20%5Csin(5%5Cvarphi)%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%204%0A%0A%20%20%20%20**If%20%24w%24%20is%20given%20by%20%24w%20%3D%20%5Ccos(%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7Bn%7D)%20%2B%20i%20%5Csin(%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7Bn%7D)%24%2C%20prove%20that%20%241%20%2B%20w%5Eh%20%2B%20w%5E%7B2h%7D%20%2B%20%5Ccdots%20%2B%20w%5E%7B(n-1)h%7D%20%3D%200%24%20for%20any%20integer%20%24h%24%20which%20is%20not%20a%20multiple%20of%20%24n%24**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20Denote%20the%20sum%20%241%20%2B%20w%5Eh%20%2B%20w%5E%7B2h%7D%20%2B%20%5Ccdots%20%2B%20w%5E%7B(n-1)h%7D%24%20as%20%24W%24%2C%20then%20we%20have%20%24w%5Eh%20%5Ccdot%20W%20%3D%20w%5Eh%20%2B%20w%5E%7B2h%7D%20%2B%20%5Ccdots%20%2B%20w%5E%7Bnh%7D%24.%20Notice%20now%20%24w%5E%7Bnh%7D%20%3D%20%5Ccos(%5Cfrac%7B2%5Cpi%20n%20h%7D%7Bn%7D)%20%2B%20i%20%5Csin(%5Cfrac%7B2%5Cpi%20n%20h%7D%7Bn%7D)%24%20%24%3D%201%24%2C%20thus%20we%20can%20continue%20to%20write%20%24w%5Eh%20%5Ccdot%20W%20%3D%20w%5Eh%20%2B%20w%5E%7B2h%7D%20%2B%20%5Ccdots%20%2Bw%5E%7B(n-1)h%7D%20%2B%201%24%20which%20is%20again%20%24W%24.%0A%0A%20%20%20%20In%20short%2C%20%24w%5Eh%20%5Ccdot%20W%20%3D%20W%24.%20Since%20%24%5Cmathbb%7BC%7D%24%20is%20a%20field%2C%20it%20follows%20that%20either%20%24w%5Eh%20%3D%201%24%20or%20%24W%20%3D%200%24.%20Since%20%24h%24%20is%20not%20a%20multiple%20of%20%24n%24%2C%20%24w%5E%7Bh%7D%20%3D%20%5Ccos(%5Cfrac%7B2%5Cpi%20h%7D%7Bn%7D)%20%2B%20i%20%5Csin(%5Cfrac%7B2%5Cpi%20h%7D%7Bn%7D)%24%20%24%5Cne%20%5Ccos(2%5Cpi)%20%2B%20i%20%5Csin(2%5Cpi)%20%3D%201%24%2C%20thus%20we%20must%20have%20the%20summation%20equals%20%240%24%20as%20desired.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Fall%20Semester%20Homework%203%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%201%0A%0A%20%20%20%20**Show%20that%20%24z%24%20and%20%24z'%24%20correspond%20to%20diametrically%20opposite%20points%20on%20the%20Riemann%20sphere%20if%20and%20only%20if%20%24z%20%5Coverline%7Bz'%7D%20%3D%20-1%24**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20(%24%5Cimplies%24)%20Suppose%20%24w%2C%20w'%24%20are%20antipodal%20points%2C%20%24z%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BC%7D%24%20corresponds%20to%20%24w%24%20and%20%24z'%24%20corresponds%20to%20%24w'%24.%20Then%20geometrically%20%24w%24%20and%20%24w'%24%20lie%20on%20a%20great%20circle%20that%20passes%20both%20north%20and%20south%20pole.%20Take%20that%20interception%20plane%2C%20we%20get%20the%20following%20graph%3A%0A%0A%20%20%20%20%3Cimg%20src%3D%22public%2FPasted%20image%2020220912011518.png%22%20width%3D%22600%22%20%2F%3E%0A%0A%20%20%20%20Since%20the%20line%20segment%20%24ww'%24%20is%20a%20diameter%20of%20the%20circle%2C%20%24%5Cangle%20wNw'%20%3D%2090%5E%7B%5Ccirc%7D%24.%20Thus%20the%20Pythagorean%20Theorem%20tells%20us%20(length%20of)%20%24ON%5E2%20%3D%20Oz%20%5Ccdot%20Oz'%24%2C%20which%20in%20our%20case%20means%20%241%20%3D%20%7C%20z%20%7C%20%5Ccdot%20%7C%20z'%20%7C%24.%20In%20particular%2C%20we%20must%20have%20%24%7C%20z%5Coverline%7Bz'%7D%20%7C%20%3D%201%24.%0A%0A%20%20%20%20Now%20imagine%20to%20'look%20down%20from%20north%20pole'%3A%0A%0A%20%20%20%20%3Cimg%20src%3D%22public%2FPasted%20image%2020220912012153.png%22%20width%3D%22600%22%20%2F%3E%0A%0A%20%20%20%20We%20shall%20see%20that%20the%20line%20connecting%20%24zz'%24%20passes%20the%20origin%2C%20which%20in%20particular%20means%20%24%5Carg%7Bz%7D%20%3D%20%5Carg%7Bz'%7D%20%2B%20%5Cpi%24.%20Thus%20%24%5Carg%7Bz%5Coverline%7Bz'%7D%7D%20%3D%20%5Carg%7Bz%7D%20%2B%20%5Carg%7B%5Coverline%7Bz'%7D%7D%24%20%24%3D%5Carg%7Bz%7D%20-%20(%5Carg%7Bz%7D%20-%20%5Cpi)%20%3D%20%5Cpi%24.%0A%0A%20%20%20%20Put%20them%20together%2C%20we%20have%20that%20the%20magnitude%20of%20%24z%5Coverline%7Bz'%7D%24%20is%20%241%24%20and%20the%20argument%20of%20%24z%5Coverline%7Bz'%7D%24%20is%20%24%5Cpi%24%2C%20these%20information%20define%20one%20complex%20number%2C%20which%20is%20%24-1%24%2C%20as%20desired.%0A%0A%20%20%20%20(%24%5Cimpliedby%24)%20The%20argument%20also%20works%20conversely.%20If%20%24z%5Coverline%7Bz'%7D%20%3D%20-1%24%20and%20suppose%20%24%5Carg%7Bz%7D%20%3D%20%5Carg%7Bz'%7D%20%2B%20%5Ctheta%24%2C%20we%20have%20%24%5Carg%7Bz%5Coverline%7Bz'%7D%7D%20%3D%20%5Cpi%24%20which%20implies%20%24%5Ctheta%20%3D%20%5Cpi%24%2C%20i.e.%20%24z%2C%20z'%24%20lie%20on%20a%20line%20that%20passes%20through%20the%20origin%2C%20thus%20%24w%24%20and%20%24w'%24%20lie%20on%20a%20great%20circle%20that%20passes%20through%20both%20north%20and%20south%20pole.%20Now%20apply%20the%20converse%20of%20the%20Pythagorean%20Theorem%20which%20is%20also%20true%2C%20we%20get%20that%20(using%20the%20same%20notation%20as%20in%20above%20graph)%20%24%5Cangle%20wNw'%20%3D%2090%5E%7B%5Ccirc%7D%24%20which%20implies%20%24w%24%20and%20%24w'%24%20lie%20on%20a%20diameter%2C%20which%20means%20they%20are%20antipodal%20points.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Fall%20Semester%20Homework%204%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%202%0A%0A%20%20%20%20**Verify%20Cauchy-Riemann's%20equations%20for%20the%20functions%20%24z%5E2%24%20and%20%24z%5E3%24**.%0A%0A%20%20%20%20Solution%0A%0A%20%20%20%20Write%20%24z%20%3D%20x%20%2B%20iy%24%20then%20%24f(z)%20%3D%20z%5E2%24%20can%20be%20rewrite%20as%20%24f(x%2Biy)%20%3D%20(x%5E2-y%5E2)%20%2B%20i%202xy%24%2C%20or%20%24f(x%2Biy)%20%3D%20u(x%2Cy)%20%2B%20iv(x%2Cy)%24%20for%20%24u(x%2C%20y)%20%3D%20x%5E2%20-%20y%5E2%24%20and%20%24v(x%2C%20y)%20%3D%202%20xy%24.%20Thus%20%24%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20%3D%202x%24%2C%20%24%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%20%3D%20-2y%24%2C%20%24%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20%3D%202y%24%20and%20%24%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%20%3D%202x%24.%20Thus%20it%20is%20true%20that%20%24%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%24%20and%20%24%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%20%3D%20-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20Similarly%2C%20%24f(z)%20%3D%20z%5E3%24%20can%20be%20rewrite%20as%20%24f(x%20%2B%20iy)%20%3D%20u(x%2C%20y)%20%2B%20iv(x%2Cy)%24%20where%20%24u(x%2Cy)%20%3D%20x%5E3-3xy%5E2%24%20and%20%24v(x%2Cy)%20%3D%203x%5E2y%20-%20y%5E3%24.%20Thus%20%24%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20%3D%203x%5E2-3y%5E2%24%2C%20%24%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%20%3D%20-6xy%24%2C%20%24%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20%3D%206xy%24%20and%20%24%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%20%3D%203x%5E2%20-%203y%5E2%24.%20Thus%20it%20is%20true%20that%20%24%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%24%20and%20%24%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%20%3D%20-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20So%20in%20both%20cases%2C%20the%20CR-equations%20are%20satisfied.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%203%0A%0A%20%20%20%20**Find%20the%20most%20general%20harmonic%20polynomial%20of%20the%20form%20%24ax%5E3%20%2B%20bx%5E2y%20%2B%20cxy%5E2%20%2B%20dy%5E3%24.%20Determine%20the%20conjugate%20harmonic%20function%20and%20the%20corresponding%20analytic%20function%20by%20integration%20and%20by%20the%20formal%20method**.%0A%0A%20%20%20%20Solution%0A%0A%20%20%20%20Call%20this%20polynomial%20%24u(x%2C%20y)%24%2C%20then%20we%20need%20to%20satisfy%20%24%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%5E2%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%5E2%7D%20%3D%200%24%2C%20that%20is%2C%20%246ax%20%2B%202by%20%2B%202cx%20%2B%206dy%20%3D%200%24.%20Since%20%24x%2C%20y%24%20are%20independent%20variable%2C%20this%20equation%20is%20achieved%20if%20and%20only%20if%20%243a%20%3D%20-c%24%20and%20%24b%20%3D%20-3d%24.%20I.e.%20%24u(x%2Cy)%20%3D%20ax%5E3%20-%203dx%5E2y%20-%203axy%5E2%20%2B%20dy%5E3%24.%0A%0A%20%20%20%20We%20can%20calculate%20%24%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20%3D%203ax%5E2%20%2B%202bxy%20%2B%20cy%5E2%24%20and%20%24%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%20%3D%20bx%5E2%20%2B%202cxy%20%2B%203dy%5E2%24.%20Since%20the%20conjugate%20harmonic%20function%2C%20call%20it%20%24v(x%2Cy)%24%2C%20needs%20to%20satisfy%20the%20Cauchy-Riemann%20Equations%20with%20%24u%24%2C%20we%20have%20that%20%24%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20%3D%20-%20bx%5E2%20-%202cxy%20-%203dy%5E2%24%20and%20%24%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%20%3D%203ax%5E2%20%2B%202bxy%20%2B%20cy%5E2%24.%20Take%20integral%20with%20respect%20to%20%24x%24%20we%20can%20get%20%24-%5Cfrac%7Bb%7D%7B3%7Dx%5E3%20-%20cx%5E2y%20-%203dxy%5E2%20%2B%20e%24%20for%20some%20constant%20%24e%24%2C%20and%20take%20integral%20with%20respect%20to%20%24y%24%20we%20can%20get%20%243ax%5E2y%20%2B%20bxy%5E2%20%2B%20%5Cfrac%7Bc%7D%7B3%7Dy%5E3%20%2B%20e'%24%20for%20some%20constant%20%24e'%24.%20Put%20them%20together%20we%20have%20that%20%24v(x%2Cy)%20%3D%20-%5Cfrac%7Bb%7D%7B3%7Dx%5E3%20-%20cx%5E2y%20-%203dxy%5E2%20%2B%20%5Cfrac%7Bc%7D%7B3%7Dy%5E3%20%2B%20e%24%2C%20or%20%24v(x%2Cy)%20%3D%20dx%5E3%20%2B%203ax%5E2y%20-%203dxy%5E2%20-%20ay%5E3%20%2B%20e%24%20for%20some%20constant%20%24e%24.%0A%0A%20%20%20%20By%20the%20formal%20method%2C%20still%20call%20the%20conjugate%20%24v%24%2C%20and%20the%20analytic%20function%20being%20%24f(z)%24%20(whose%20real%20part%20is%20%24u%24).%20Then%20we%20have%20%24f(z)%24%20%24%3D%202u(%5Cfrac%7Bz%7D%7B2%7D%2C%5Cfrac%7Bz%7D%7B2i%7D)%20-%20u(0%2C0)%24%20%24%3D2(a%5Cfrac%7Bz%5E3%7D%7B8%7D%20%2B%20b%5Cfrac%7Bz%5E2%7D%7B4%7D%5Cfrac%7Bz%7D%7B2i%7D%20%2B%20c%5Cfrac%7Bz%7D%7B2%7D%5Cfrac%7Bz%5E2%7D%7B-4%7D%20%2B%20d%5Cfrac%7Bz%5E3%7D%7B-8i%7D)%24%20%24%3Da%5Cfrac%7Bz%5E3%7D%7B4%7D%20%2B%20b%5Cfrac%7Bz%5E3%7D%7B4i%7D%20-%20c%5Cfrac%7Bz%5E3%7D%7B4%7D%20-%20d%5Cfrac%7Bz%5E3%7D%7B4i%7D%24%20%24%3D%5Cfrac%7B(a-i%20b-c%2Bi%20d)%7D%7B4%7D(x%5E3%20%2B%20i3x%5E2y%20-%203xy%5E2%20-%20iy%5E3)%24%2C%20replace%20%24c%20%3D%20-3a%24%20and%20%24b%20%3D%20-3d%24%20we%20get%20%24%3D(a%2Bi%20d)(x%5E3%20%2B%20i3x%5E2y%20-%203xy%5E2%20-%20iy%5E3)%24.%20Expand%20it%2C%20we%20get%20the%20real%20part%20is%20%24ax%5E3%20-%203axy%5E2%20-%203dx%5E2y%20%2B%20dy%5E3%24%20which%20is%20indeed%20%24u%24.%20The%20conjugate%20harmonic%20function%20%24v%24%20is%20the%20imaginary%20part%2C%20which%20is%20%24dx%5E3%20%2B%203ax%5E2y%20-%203dxy%5E2%20-%20ay%5E3%24%20and%20it%20is%20consistent%20with%20the%20above%20calculation%20(up%20to%20a%20constant).%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%204%0A%0A%20%20%20%20**Show%20that%20an%20analytic%20function%20cannot%20have%20a%20constant%20absolute%20value%20without%20reducing%20to%20a%20constant**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20Suppose%20%24f%20%3D%20u%20%2B%20iv%24%2C%20then%20%24%7C%20f%20%7C%5E2%20%3D%20(u%20%2B%20iv)(u%20-%20iv)%20%3D%20(u%20u%20%2B%20v%20v)%20%2B%20i(-u%20v%20%2B%20u%20v)%20%3D%20u%5E2%20%2B%20v%5E2%24.%20It%20is%20a%20constant%20by%20assumption.%0A%0A%20%20%20%20Take%20the%20derivative%20of%20%24u%5E2%20%2B%20v%5E2%20%3D%24%20constant%20with%20respect%20to%20%24x%2C%20y%24%20both%20side%2C%20then%3A%20%24%5Cbegin%7Bcases%7D%20u_xu%2Bv_xv%20%3D%200%20%5C%5C%20u_y%20u%20%2B%20v_y%20v%20%3D%200%20%5Cend%7Bcases%7D.%24%20Since%20%24f%24%20is%20analytic%2C%20it%20has%20to%20satisfy%20the%20Cauchy-Riemann%20Equation%2C%20thus%20we%20can%20rewrite%20the%20above%20two%20equations%20as%3A%20%24%5Cbegin%7Bcases%7D%20u_x%20u%20-%20u_y%20v%20%3D%200%20%5C%5C%20u_xv%2Bu_yu%20%3D%200%20%5Cend%7Bcases%7D.%24%20Which%20can%20be%20viewed%20as%3A%20%24%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20u%20%26%20-v%20%5C%5C%20v%20%26%20u%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20u_x%20%5C%5C%20u_y%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%200%20%5C%5C%200%20%5Cend%7Bpmatrix%7D.%24%20Noticing%20%24det(%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20u%20%26%20-v%20%5C%5C%20v%20%26%20u%20%5Cend%7Bpmatrix%7D)%20%3D%20u%5E2%20%2B%20v%5E2%24.%0A%0A%20%20%20%20If%20%24u%5E2%20%2B%20v%5E2%20%3D%200%24%20then%20both%20%24u%2C%20v%24%20have%20to%20be%20%240%24%2C%20thus%20%24f%20%3D%200%24%20is%20constant.%20Otherwise%20the%20matrix%20has%20non-zero%20determinant%2C%20then%20the%20two%20vectors%20%24(u%2C%20v)%24%20and%20%24(-v%2C%20u)%24%20are%20linearly%20independent%2C%20which%20by%20definition%20means%20%24u_x%2C%20u_y%24%20are%20both%20zero%2C%20thus%20%24u_x%2C%20u_y%2C%20v_x%2C%20v_y%24%20all%20zero%2C%20thus%20both%20%24u%2C%20v%24%20are%20constant%2C%20thus%20%24f%24%20is%20a%20constant.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%205%0A%0A%20%20%20%20**Prove%20rigorously%20that%20the%20functions%20%24f(z)%24%20and%20%24%5Coverline%7Bf(%5Coverline%7Bz%7D)%7D%24%20are%20simultaneously%20analytic**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20Suppose%20%24f(z)%24%20is%20analytic%20(that%20is%20%24f'(z)%20%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bh%20%5Cto%200%7D%5Cfrac%7Bf(z%2Bh)%20-%20f(z)%7D%7Bh%7D%24%20exists)%2C%20we%20want%20to%20show%20%24(%5Coverline%7Bf(%5Coverline%7Bz%7D)%7D)'%24%20exists.%20We%20have%3A%20%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%20(%5Coverline%7Bf(%5Coverline%7Bz%7D)%7D)'%20%3A%3D%26%20%5Clim%5Climits_%7Bh%20%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%7B%5Coverline%7Bf(%5Coverline%7Bz%2Bh%7D)%7D%20-%20%5Coverline%7Bf(%5Coverline%7Bz%7D)%7D%7D%7Bh%7D%20%5C%5C%20%3D%26%20%5Clim%5Climits_%7Bh%20%5Cto%200%7D%5Cfrac%7B%5Coverline%7Bf(%5Coverline%7Bz%7D%2B%5Coverline%7Bh%7D)%20-%20f(%5Coverline%7Bz%7D)%7D%7D%7Bh%7D%20%5C%5C%20%3D%26%20%5Clim%5Climits_%7Bh%20%5Cto%200%7D%5Coverline%7B%5Cleft(%5Cfrac%7Bf(%5Coverline%7Bz%7D%2B%5Coverline%7Bh%7D)%20-%20f(%5Coverline%7Bz%7D)%7D%7B%5Coverline%7Bh%7D%7D%5Cright)%7D%20%5C%5C%20%3D%26%20%5Coverline%7B%5Cleft(%5Clim%5Climits_%7Bh%20%5Cto%200%7D%5Cfrac%7Bf(%5Coverline%7Bz%7D%2B%5Coverline%7Bh%7D)%20-%20f(%5Coverline%7Bz%7D)%7D%7B%5Coverline%7Bh%7D%7D%5Cright)%7D.%5Cend%7Baligned%7D%24%24%20(Each%20step%20is%20due%20to%20some%20basic%20properties%20of%20complex%20conjugate)%0A%0A%20%20%20%20The%20last%20expression%20can%20be%20viewed%20as%20%24%5Coverline%7Bf'(%5Coverline%7Bz%7D)%7D%24%2C%20which%20is%20assumed%20to%20exist%2C%20thus%20%24(%5Coverline%7Bf(%5Coverline%7Bz%7D)%7D)'%24%20exists%20which%20means%20%24%5Coverline%7Bf(%5Coverline%7Bz%7D)%7D%24%20is%20analytic.%20Notice%20now%20if%20%24g(z)%20%3D%20%5Coverline%7Bf(%5Coverline%7Bz%7D)%7D%24%2C%20then%20%24%5Coverline%7Bg(%5Coverline%7Bz%7D)%7D%20%3D%20f(z)%24%2C%20thus%20the%20converse%20that%20%24%5Coverline%7Bf(%5Coverline%7Bz%7D)%7D%24%20is%20analytic%20implies%20%24f(z)%24%20is%20analytic%20is%20also%20proven.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Fall%20Semester%20Homework%205%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%201%0A%0A%20%20%20%20**Expand%20%24(1-z)%5E%7B-m%7D%24%2C%20%24m%24%20a%20positive%20integer%2C%20in%20powers%20of%20%24z%24**.%0A%0A%20%20%20%20Solution%0A%0A%20%20%20%20Consider%20%24f(z)%20%3D%20(1-z)%5E%7B-m%7D%24%2C%20we%20know%20from%20Abel's%20Theorem%20that%20the%20expansion%20%24f(z)%20%3D%20%5Csum%20a_nz%5En%24%20is%20of%20form%20%24%24f(z)%20%3D%20%5Csum%20%5Cfrac%7Bf%5E%7B(n)%7D(0)%7D%7Bn!%7Dz%5En.%24%24%20Notice%20now%20that%20for%20%24f(z)%20%3D%20(1-z)%5E%7B-m%7D%24%2C%20we%20have%20%24f'(z)%20%3D%20-m(1-z)%5E%7B-m-1%7D%5Ccdot(-1)%24%20%24%3Dm(1-z)%5E%7B-m-1%7D%24%2C%20%24f''(z)%20%3D%20m(m%2B1)(1-z)%5E%7B-m-2%7D%24%2C%20and%20so%20on.%20In%20general%20we%20have%20%24f%5E%7B(n)%7D(z)%20%3D%20m(m%2B1)%5Ccdots(m%2Bn-1)(1-z)%5E%7B-m-n%7D%24%2C%20or%20we%20can%20write%20%24f%5E%7B(n)%7D(z)%20%3D%20%5Cfrac%7B(m%2Bn-1)!%7D%7B(m-1)!%7D(1-z)%5E%7B-m-n%7D%24%20thus%20%24f%5E%7B(n)%7D(0)%20%3D%20%5Cfrac%7B(m%2Bn-1)!%7D%7B(m-1)!%7D%24.%20This%20works%20for%20any%20%24n%20%5Cge%201%24.%20For%20the%20first%20coefficient%2C%20it%20is%20not%20hard%20to%20direct%20calculate%20%24f(0)%20%3D%201%24.%0A%0A%20%20%20%20Substitute%20the%20above%20information%20to%20%24f(z)%20%3D%20%5Csum%5Climits_%7Bn%20%3D%200%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7Bf%5E%7B(n)%7D(0)%7D%7Bn!%7Dz%5En%24%2C%20we%20get%20%24f(z)%20%3D%201%20%2B%20%5Csum%5Climits_%7Bn%20%3D%201%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7B(m%2Bn-1)!%7D%7B(m-1)!n!%7Dz%5En%24.%20Notice%20this%20is%20of%20the%20form%20of%20binomial%20coefficients%2C%20so%20we%20can%20also%20write%20it%20as%3A%20%24f(z)%20%3D%201%20%2B%20%5Csum%5Climits_%7Bn%20%3D%201%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7Dm%2Bn-1%5C%5Cn%20%5Cend%7Bpmatrix%7Dz%5En%24%20and%20we%20have%20the%20desired%20expansion.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%203%0A%0A%20%20%20%20**Find%20the%20radius%20of%20convergence%20of%20the%20following%20power%20series%3A%20%24%5Csum%20n%5Epz%5En%2C%20%5Csum%20%5Cfrac%7Bz%5En%7D%7Bn!%7D%2C%20%5Csum%20n!z%5En%2C%20%5Csum%20q%5E%7Bn%5E2%7Dz%5En~(%7C%20q%20%7C%20%3C%201)%2C%20%5Csum%20z%5E%7Bn!%7D.%24**%0A%0A%20%20%20%20Solution%0A%0A%20%20%20%20So%20we%20will%20be%20evaluating%20some%20%24%5Climsup%24.%0A%0A%20%20%20%20For%20the%20first%20one%2C%20since%20we%20know%20%24%5Climsup%20%5Csqrt%5Bn%5D%7B%7C%20n%20%7C%7D%20%3D%201%24%2C%20we%20must%20have%20%24%5Climsup%20%5Csqrt%5Bn%5D%7B%7C%20n%5Ep%20%7C%7D%24%20%24%3D%20%5Cleft(%5Climsup%20%5Csqrt%5Bn%5D%7B%7C%20n%20%7C%7D%20%5Cright)%5Ep%20%3D%201%5Ep%20%3D%201%24%20as%20well%2C%20so%20the%20radius%20of%20convergence%20is%20%241%2F1%20%3D%201%24%20for%20any%20%24p%24.%0A%0A%20%20%20%20For%20the%20second%20and%20third%20one%2C%20notice%20%24n!%20%3D%20n(n-1)%5Ccdots%202%20%5Ccdot%201%24%20thus%20at%20least%20%24%5Clfloor%20%5Cfrac%7Bn%7D%7B2%7D%20%5Crfloor%24%20terms%20are%20greater%20than%20%24%5Clfloor%20%5Cfrac%7Bn%7D%7B2%7D%20%5Crfloor%24%20(or%20simply%20remove%20the%20floors)%2C%20thus%20%24n!%20%3E%20(%5Cfrac%7Bn%7D%7B2%7D)%5E%7B%5Cfrac%7Bn%7D%7B2%7D%7D%24%20thus%20%24%5Climsup%20%5Csqrt%5Bn%5D%7Bn!%7D%24%20%24%5Cge%20(%5Cfrac%7Bn%7D%7B2%7D)%5E%7B1%2F2%7D%20%5Cto%20%5Cinfty%24%20and%20similarly%20%24%5Cfrac%7B1%7D%7Bn!%7D%20%3C%20(%5Cfrac%7B2%7D%7Bn%7D)%5E%7B%5Cfrac%7Bn%7D%7B2%7D%7D%24%20thus%20%24%5Climsup%20%5Csqrt%5Bn%5D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bn!%7D%7D%24%20%24%5Cle%20(%5Cfrac%7B2%7D%7Bn%7D)%5E%7B1%2F2%7D%20%5Cto%200%24.%20It%20follows%20that%2C%20by%20taking%20the%20reciprocal%2C%20that%20radius%20of%20convergence%20for%20%24%5Csum%20%5Cfrac%7Bz%5En%7D%7Bn!%7D%24%20is%20infinity%2C%20and%20the%20radius%20of%20convergence%20for%20%24%5Csum%20n!z%5En%24%20is%20%240%24.%0A%0A%20%20%20%20For%20the%20forth%20one%2C%20evaluate%20%24%5Climsup%20%5Csqrt%5Bn%5D%7B%7C%20q%5E%7Bn%5E2%7D%20%7C%7D%24%20%24%3D%20%5Climsup%20%7C%20q%20%7C%5En%20%3D%200%24%20for%20%24q%20%3C%201%24%2C%20thus%20the%20radius%20of%20convergence%20is%20infinity.%0A%0A%20%20%20%20For%20the%20last%20one%2C%20rewrite%20the%20series%20as%20%24%5Csum%20z%5E%7Bn!%7D%20%3D%20%5Csum%20a_nz%5En%24%20where%20%24a_n%20%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%201%2C%26%20n%20%3D%20m!%5Ctext%7B%20for%20some%20%7Dm%20%5C%5C%200%2C%26%20%5Ctext%7B%20otherwise%7D%5Cend%7Bcases%7D%24%2C%20then%20it%20is%20rather%20clear%20that%20the%20radius%20of%20convergence%20is%20%24%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Climsup%20%5Csqrt%5Bn%5D%7Ba_n%7D%7D%24%20%24%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Clim%201%7D%20%3D%201%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%204%0A%0A%20%20%20%20**If%20%24%5Csum%20a_nz%5En%24%20has%20radius%20of%20convergence%20%24R%24%2C%20what%20is%20the%20radius%20of%20convergence%20of%20%24%5Csum%20a_nz%5E%7B2n%7D%24%3F%20Of%20%24%5Csum%20a_n%5E2z_n%24**%3F%0A%0A%20%20%20%20Solution%0A%0A%20%20%20%20By%20assumption%20we%20have%20%24%5Climsup%5Climits_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%20%5Csqrt%5Bn%5D%7B%7C%20a_n%20%7C%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7BR%7D%24.%20Write%20%24%5Csum%20a_nz%5E%7B2n%7D%24%20%24%3D%20%5Csum%20b_nz%5En%24%20where%20%24b_n%20%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20a_%7Bn%2F2%7D%2C%26n%5Ctext%7B%20even%7D%5C%5C0%2C%26n%5Ctext%7B%20odd%7D%5Cend%7Bcases%7D%24.%20Then%20it's%20radius%20of%20convergence%20is%20by%20definition%20%24R'%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Climsup%20%5Csqrt%5Bn%5D%7B%7C%20b_n%20%7C%7D%7D%24%20%24%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Climsup%20%5Csqrt%5Bn%5D%7B%7C%20a_%7Bn%2F2%7D%20%7C%7D%7D%24%20%24%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Climsup_m%20%5Csqrt%5B2m%5D%7B%7C%20a_m%20%7C%7D%7D%24%20%24%3D%5Cleft(%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Climsup%20%5Csqrt%5Bm%5D%7B%7C%20a_m%20%7C%7D%7D%20%5Cright)%5E%7B1%2F2%7D%24%20%24%3D%20R%5E%7B1%2F2%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20Similarly%2C%20the%20radius%20of%20convergence%20for%20the%20second%20series%20is%20%24R''%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Climsup%20%5Csqrt%5Bn%5D%7B%7C%20a_n%5E2%20%7C%7D%7D%24%20%24%3D%20%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Climsup%20%5Csqrt%5Bn%5D%7B%7C%20a_n%20%7C%7D%7D%5Cright)%5E2%24%20%24%3D%20R%5E2%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%206%0A%0A%20%20%20%20**If%20%24%5Csum%20a_nz%5En%24%20and%20%24%5Csum%20b_nz%5En%24%20have%20radii%20of%20convergence%20%24R_1%24%20and%20%24R_2%24%2C%20show%20that%20the%20radius%20of%20convergence%20of%20%24%5Csum%20a_nb_nz%5En%24%20is%20at%20least%20%24R_1R_2%24**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20Denote%20the%20radius%20of%20convergence%20of%20%24%5Csum%20a_nb_nz%5En%24%20to%20be%20%24R%24.%0A%0A%20%20%20%20By%20basic%20property%20of%20%24%5Climsup%24%2C%20we%20have%20%24%5Climsup%20%5Csqrt%5Bn%5D%7B%7C%20a_nb_n%20%7C%7D%24%20%24%3D%20%5Climsup%20(%5Csqrt%5Bn%5D%7B%7C%20a_n%7C%7D%20%5Csqrt%5Bn%5D%7B%7C%20b_n%20%7C%7D)%24%20%24%5Cle%20%5Climsup%20%5Csqrt%5Bn%5D%7B%7C%20a_n%20%7C%7D%5Ccdot%5Climsup%20%5Csqrt%5Bn%5D%7B%7C%20b_n%20%7C%7D%24.%20In%20other%20words%2C%20%24%5Cfrac%7B1%7D%7BR%7D%20%5Cle%20%5Cfrac%7B1%7D%7BR_1%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7BR_2%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7BR_1R_2%7D%24%20which%20implies%20%24R%20%5Cge%20R_1R_2%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Fall%20Semester%20Homework%206%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%201%0A%0A%20%20%20%20**Find%20the%20values%20of%20%24%5Csin(i)%2C%20%5Ccos(i)%2C%20%5Ctan(1%2Bi)%24**.%0A%0A%20%20%20%20Solution%0A%0A%20%20%20%20By%20definition%2C%20%24%5Csin(i)%20%3D%20%5Cfrac%7Be%5E%7Bii%7D%20-%20e%5E%7B-ii%7D%7D%7B2i%7D%24%20%24%3D%20%5Cfrac%7Be%5E%7B-1%7D-e%5E1%7D%7B2i%7D%24%20%24%3D%20%5Cfrac%7Bi%7D%7B2%7D(e%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7Be%7D)%24.%20Similarly%2C%20%24%5Ccos(i)%20%3D%20%5Cfrac%7Be%5E%7Bii%7D%20%2B%20e%5E%7B-ii%7D%7D%7B2%7D%24%20%24%3D%20%5Cfrac%7Be%5E%7B-1%7D%2B%20e%5E1%7D%7B2%7D%24%20%24%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D(%5Cfrac%7B1%7D%7Be%7D%2Be)%24.%0A%0A%20%20%20%20Thus%20%24%5Csin(1%2Bi)%24%20%24%3D%20%5Ccos(1)%5Ccdot%5Csin(i)%20%2B%20%5Csin(1)%5Ccdot%5Ccos(i)%24%20%24%3D%20%5Ccos(1)%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7Bi%7D%7B2%7D(e%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7Be%7D)%20%2B%20%5Csin(1)%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D(%5Cfrac%7B1%7D%7Be%7D%2Be)%24%2C%20and%20%24%5Ccos(1%2Bi)%24%20%24%3D%20%5Ccos(1)%5Ccdot%5Ccos(i)%20-%20%5Csin(1)%5Ccdot%5Csin(i)%24%20%24%3D%20%5Ccos(1)%5Ccdot%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D(%5Cfrac%7B1%7D%7Be%7D%2Be)%20-%20%5Csin(1)%5Ccdot%5Cfrac%7Bi%7D%7B2%7D(e%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7Be%7D)%24%2C%20so%20%24%5Ctan(1%2Bi)%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Ccos(1)%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7Bi%7D%7B2%7D(e%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7Be%7D)%20%2B%20%5Csin(1)%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D(%5Cfrac%7B1%7D%7Be%7D%2Be)%7D%7B%5Ccos(1)%5Ccdot%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D(%5Cfrac%7B1%7D%7Be%7D%2Be)%20-%20%5Csin(1)%5Ccdot%5Cfrac%7Bi%7D%7B2%7D(e%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7Be%7D)%7D%24%20%24%3D%5Cfrac%7B%5Ccos(1)%20%5Ccdot%20i(e%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7Be%7D)%20%2B%20%5Csin(1)%20%5Ccdot%20(%5Cfrac%7B1%7D%7Be%7D%2Be)%7D%7B%5Ccos(1)%5Ccdot(%5Cfrac%7B1%7D%7Be%7D%2Be)%20-%20%5Csin(1)%5Ccdot%20i(e%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7Be%7D)%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%202%0A%0A%20%20%20%20**The%20hyperbolic%20cosine%20and%20sine%20are%20defined%20by%20%24%5Ccosh(z)%20%3D%20%5Cfrac%7Be%5Ez%20%2B%20e%5E%7B-z%7D%7D%7B2%7D%24%2C%20%24%5Csinh(z)%20%3D%20%5Cfrac%7Be%5Ez%20-%20e%5E%7B-z%7D%7D%7B2%7D%24.%20Express%20them%20through%20%24%5Ccos(iz)%2C%20%5Csin(iz)%24.%20Derive%20the%20addition%20formulas%20and%20formulas%20for%20%24%5Ccosh(2z)%2C%20%5Csinh(2z)%24**.%0A%0A%20%20%20%20Solution%0A%0A%20%20%20%20By%20definition%2C%20%24%5Ccos(iz)%20%3D%20%5Cfrac%7Be%5E%7Biiz%7D%20%2B%20e%5E%7B-iiz%7D%7D%7B2%7D%24%20%24%3D%20%5Cfrac%7Be%5E%7B-z%7D%2Be%5E%7Bz%7D%7D%7B2%7D%24%2C%20so%20it%20is%20the%20same%20as%20%24%5Ccosh(z)%24%2C%20i.e.%20%24%5Ccosh(z)%20%3D%20%5Ccos(iz)%24.%20Similarly%2C%20%24%5Csin(iz)%20%3D%20%5Cfrac%7Be%5E%7Biiz%7D%20-%20e%5E%7B-iiz%7D%7D%7B2i%7D%24%20%24%3D%20%5Cfrac%7Be%5E%7B-z%7D%20-%20e%5Ez%7D%7B2i%7D%24%20%24%3D%5Cfrac%7B(e%5Ez%20-%20e%5E%7Bz%7D)%5Ccdot%20-1%7D%7B2i%7D%24%20%24%3D%20%5Cfrac%7Be%5Ez%20-%20e%5E%7B-z%7D%7D%7B2%7D%5Ccdot%20i%24%20thus%20%24%5Csin(iz)%20%3D%20i%5Csinh(z)%24%2C%20or%20%24%5Csinh(z)%20%3D%20-i%5Csin(iz)%24.%0A%0A%20%20%20%20From%20above%2C%20we%20have%20%24%5Ccosh(a%2Bb)%24%20%24%3D%20%5Ccos(i(a%2Bb))%20%3D%20%5Ccos(ia%20%2B%20ib)%24%20%24%3D%20%5Ccos(ia)%5Ccos(ib)%20-%20%5Csin(ia)%5Csin(ib)%24%20%24%3D%20%3D%20%5Ccos(ia)%5Ccos(ib)%20%2B%20i%5Csin(ia)i%5Csin(ib)%24%20%24%3D%5Ccosh(a)%5Ccosh(b)%2B%5Csinh(a)%5Csinh(b)%24%2C%20using%20the%20results%20above.%20Similarly%2C%20we%20have%20%24%5Csinh(a%2Bb)%24%20%24%3D%20-i%5Csin(i(a%2Bb))%24%20%24%3D%20-i(%5Ccos(ia)%5Csin(ib)%20%2B%20%5Csin(ia)%5Ccos(ib))%24%20%24%3D%20-i%5Csin(ib)%5Ccos(ia)%20-%20i%5Csin(ia)%5Ccos(ib)%24%20%24%3D%20%5Csinh(b)%5Ccosh(a)%20%2B%20%5Csinh(a)%5Ccosh(b)%24.%0A%0A%20%20%20%20In%20particular%2C%20take%20%24a%20%3D%20b%20%3D%20z%24%2C%20we%20get%20%24%5Ccosh(2z)%20%3D%20%5Ccosh%5E2(z)%20%2B%20%5Csinh%5E2(z)%24%2C%20and%20%24%5Csinh(2z)%20%3D%202%5Csinh(z)%5Ccosh(z)%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%203%0A%0A%20%20%20%20**Find%20the%20values%20of%20%24e%5Ez%24%20for%20%24z%20%3D%20-%5Cfrac%7B%5Cpi%20i%7D%7B2%7D%2C%20%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%5Cpi%20i%2C%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Cpi%20i%24**.%0A%0A%20%20%20%20Solution%0A%0A%20%20%20%20%24e%5E%7B-%5Cfrac%7B%5Cpi%20i%7D%7B2%7D%7D%24%20is%20the%20complex%20number%20written%20in%20%24re%5E%7Bi%5Ctheta%7D%24%20form%20with%20radius%20%241%24%20and%20%24%5Ctheta%20%3D%20-%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%24%20which%20is%20%24-90%24%20in%20degree%2C%20look%20at%20the%20complex%20plane%2C%20this%20corresponds%20to%20the%20point%20%24(0%2C-1)%24%2C%20or%20%24-i%24%20as%20the%20complex%20number.%20Similarly%2C%20%24e%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%5Cpi%20i%7D%24%20corresponds%20to%20the%20vector%20with%20length%20%241%24%20and%20angle%20%24%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%5Cpi%24%20which%20is%20%24135%24%20in%20degree%2C%20so%20it%20corresponds%20to%20the%20complex%20number%20%24-%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%20%2B%20i%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%24.%20Finally%2C%20%24e%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%5Cpi%20i%7D%24%20has%20length%20%241%24%20and%20angle%20%24120%24%20in%20degree%2C%20so%20it%20corresponds%20to%20%24-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2Bi%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B2%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%204%0A%0A%20%20%20%20**For%20what%20values%20of%20%24z%24%20is%20%24e%5Ez%24%20equal%20to%20%242%24%2C%20%24-1%24%2C%20%24i%24%2C%20%24-i%2F2%24%2C%20%24-1-i%24%2C%20%241%2B2i%24**%3F%0A%0A%20%20%20%20Solution%0A%0A%20%20%20%201.%20Write%20%24z%20%3D%20x%20%2B%20iy%24%2C%20then%20%24e%5E%7Bx%2Biy%7D%20%3D%202%24%20is%20equivalent%20with%20%24e%5Ex%20%3D%202%24%20and%20%24e%5E%7Biy%7D%20%3D%201%24%2C%20so%20%24x%20%3D%20%5Clog%7B2%7D%24%20and%20%24y%20%3D%200%2B2%20n%20%5Cpi%24%2C%20i.e.%20%24z%20%3D%20%5Clog%7B2%7D%20%2B%202n%5Cpi%20i%24%20for%20any%20integer%20%24n%24%3B%0A%20%20%20%202.%20Similarly%2C%20for%20%24e%5E%7Bx%2Biy%7D%20%3D%20-1%24%20we%20get%20%24e%5Ex%20%3D%201%24%20(so%20%24x%20%3D%200%24)%20and%20%24e%5E%7Biy%7D%20%3D%20-1%24%2C%20so%20%24y%20%3D%20%5Cpi%20%2B%202n%5Cpi%24%2C%20i.e.%20%24z%20%3D%20(%5Cpi%20%2B%202n%5Cpi)i%24%20for%20any%20%24n%24%3B%0A%20%20%20%203.%20For%20%24e%5E%7Bx%20%2B%20iy%7D%20%3D%20i%24%2C%20we%20have%20%24e%5Ex%20%3D%201%24%20so%20%24x%20%3D%200%24%2C%20and%20%24e%5E%7Biy%7D%20%3D%20i%24%20so%20%24y%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%20%20%2B%202n%20%5Cpi%24%2C%20so%20%24z%20%3D%20(%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%20%20%2B%202n%20%5Cpi)i%24%3B%0A%20%20%20%204.%20For%20%24e%5E%7Bx%20%2B%20iy%7D%20%3D%20-i%2F2%24%2C%20we%20have%20%24e%5Ex%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%24%20and%20%24e%5E%7Biy%7D%20%3D%20-i%24%2C%20so%20%24x%20%3D%20%5Clog%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%20%3D%20-%5Clog%7B2%7D%24%20and%20%24y%20%3D%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%5Cpi%20%2B%202n%20%5Cpi%24%2C%20so%20%24z%20%3D%20-%5Clog%7B2%7D%20%2B%20(%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%5Cpi%20%2B%202n%20%5Cpi)i%24%3B%0A%20%20%20%205.%20For%20%24e%5E%7Bx%20%2B%20iy%7D%20%3D%20-1-i%24%2C%20we%20have%20%24e%5Ex%20%3D%20%5Csqrt%7B2%7D%24%20and%20%24e%5E%7Biy%7D%20%3D%20-%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%20-%20i%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%24%2C%20so%20%24x%20%3D%20%5Clog%7B2%5E%7B1%2F2%7D%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Clog%7B2%7D%24%20and%20%24y%20%3D%20%5Cfrac%7B5%7D%7B4%7D%5Cpi%20%2B%202n%5Cpi%24%2C%20so%20%24z%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Clog%7B2%7D%20%2B%20(%5Cfrac%7B5%7D%7B4%7D%5Cpi%20%2B2n%5Cpi)i%24%3B%0A%20%20%20%206.%20For%20%24e%5E%7Bx%20%2B%20iy%7D%20%3D%201%2B2i%24%2C%20we%20have%20%24e%5Ex%20%3D%20%5Csqrt%7B5%7D%24%20and%20the%20radius%20between%20%24i%20%2B%202i%24%20and%20%24x%24-xis%20is%20%24%5Ctan%5E%7B-1%7D%7B2%7D%24%2C%20so%20%24x%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Clog%7B5%7D%24%20and%20%24y%20%3D%20%5Ctan%5E%7B-1%7D%7B2%7D%20%2B%202n%20%5Cpi%24%2C%20so%20%24z%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Clog%7B5%7D%20%2B%20(%5Ctan%5E%7B-1%7D%7B2%7D%2B%202n%20%5Cpi)i%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%206%0A%0A%20%20%20%20**Determine%20all%20values%20of%20%242%5Ei%2C%20i%5Ei%2C%20(-1)%5E%7B2i%7D%24**.%0A%0A%20%20%20%20Solution%0A%0A%20%20%20%201.%20By%20definition%2C%20%242%5Ei%20%3D%20e%5E%7Bi%5Clog%7B2%7D%7D%24%2C%20where%20%24%5Clog%7B2%7D%20%3D%20%5Clog%7B2%7D%20%2B%202n%5Cpi%20i%24%2C%20so%20%242%5Ei%20%3D%20e%5E%7Bi%5Clog%7B2%7D-2n%5Cpi%7D%24%20%24%3De%5E%7Bi%5Clog%7B2%7D%7D%2Fe%5E%7B2n%5Cpi%7D%24%20for%20any%20%24n%24%3B%0A%20%20%20%202.%20Similarly%2C%20%24i%5Ei%20%3D%20e%5E%7Bi%20%5Clog%7Bi%7D%7D%24.%20Now%20%24%5Clog%7Bi%7D%20%3D%20%5Clog%7B1%7D%20%2B%20(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cpi%20%2B%202n%5Cpi)i%24%20%24%3D(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cpi%20%2B%202n%5Cpi)i%24.%20So%20%24i%5Ei%20%3D%20e%5E%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cpi%20-%202n%5Cpi%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Be%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cpi%7De%5E%7B2n%5Cpi%7D%7D%24%20for%20any%20%24n%24%3B%0A%20%20%20%203.%20Similarly%2C%20%24(-1)%5E%7B2i%7D%20%3D%20e%5E%7B2i%5Clog%7B-1%7D%7D%24%2C%20where%20%24%5Clog%7B-1%7D%20%3D%20%5Clog%7B1%7D%20%2B%20(%5Cpi%20%2B%202n%5Cpi)i%24%20%24%3D%20(%5Cpi%20%2B%202n%20%5Cpi)i%24%2C%20so%20%24(-1)%5E%7B2i%7D%20%3D%20e%5E%7B-2%5Cpi%20-4n%5Cpi%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Be%5E%7B2%5Cpi%7De%5E%7B4n%5Cpi%7D%7D%24%20for%20any%20%24n%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Fall%20Semester%20Homework%207%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%201%0A%0A%20%20%20%20**Prove%20that%20the%20reflection%20%24z%20%5Cto%20%5Coverline%7Bz%7D%24%20is%20not%20a%20linear%20transformation**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20If%20the%20map%2C%20call%20it%20%24f%24%2C%20is%20linear%20then%20it%20needs%20to%20satisfy%20that%20%24f(wz)%20%3D%20wf(z)%24.%20But%20%24f(wz)%20%3D%20%5Coverline%7Bwz%7D%24%20%24%3D%20%5Coverline%7Bw%7D%20%5Ccdot%20%5Coverline%7Bz%7D%24%20%24%3D%20%5Coverline%7Bw%7D%20f(z)%24%20which%20does%20not%20equal%20to%20%24wf(z)%24%20in%20general%20(if%20%24w%24%20is%20not%20real).%20Thus%20%24f%24%20is%20not%20linear.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%202%0A%0A%20%20%20%20**If%20%24T_1z%20%3D%20%5Cfrac%7Bz%2B2%7D%7Bz%2B3%7D%24%20and%20%24T_2z%20%3D%20%5Cfrac%7Bz%7D%7Bz%2B1%7D%24%2C%20find%20%24T_1T_2z%2C%20T_2T_1z%24%20and%20%24T_1%5E%7B-1%7DT_2z%24**.%0A%0A%20%20%20%20Solution%0A%0A%20%20%20%20The%20inverse%20of%20%24T_1%24%20is%20given%20as%20%24T_1%5E%7B-1%7Dz%20%3D%20%5Cfrac%7B3z%20-%202%7D%7B-z%20%2B%201%7D%24.%20%24T_1%24%20can%20be%20expressed%20in%20a%20matrix%20as%20%24A_1%20%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%201%262%5C%5C1%263%5Cend%7Bpmatrix%7D%24%2C%20%24T_2%24%20as%20%24A_2%20%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%201%260%5C%5C1%261%5Cend%7Bpmatrix%7D%24%2C%20and%20%24T_1%5E%7B-1%7D%24%20as%20%24A_3%20%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%203%26-2%5C%5C-1%261%5Cend%7Bpmatrix%7D%24.%20Thus%20%24T_1T_2%24%20can%20be%20expressed%20in%20matrix%20as%20%24A_1A_2%20%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%203%262%5C%5C4%263%5Cend%7Bpmatrix%7D%24%2C%20%24T_2T_1%24%20as%20%24%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%201%262%5C%5C2%265%5Cend%7Bpmatrix%7D%24%2C%20and%20%24T_1%5E%7B-1%7DT_2%24%20as%20%24%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%201%26-2%5C%5C0%261%5Cend%7Bpmatrix%7D%24.%20Thus%20%24T_1T_2z%20%3D%20%5Cfrac%7B3z%2B2%7D%7B4z%2B3%7D%24%2C%20%24T_2T_1z%20%3D%20%5Cfrac%7Bz%2B2%7D%7B2z%2B5%7D%24%2C%20and%20%24T_1%5E%7B-1%7DT_2z%20%3D%20z%20-%202%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%201%0A%0A%20%20%20%20**Find%20the%20linear%20transformation%20which%20carries%20%240%2C%20i%2C%20-i%24%20into%20%241%2C%20-1%2C%200%24**.%0A%0A%20%20%20%20Solution%0A%0A%20%20%20%20Call%20%24z_1%20%3D%20i%24%2C%20%24z_2%20%3D%200%24%20and%20%24z_3%20%3D%20-i%24.%20We%20know%20that%20the%20linear%20transformation%20%24Sz%20%3D%20%5Cfrac%7Bz%20-%20z_3%7D%7Bz%20-%20z_4%7D%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7Bz_2%20-%20z_4%7D%7Bz_2%20-%20z_3%7D%24%20maps%20%240%20%3D%20z_2%24%20to%20%241%24%2C%20%24-i%20%3D%20z_3%24%20to%20%240%24%2C%20%24z_4%24%20to%20%24%5Cinfty%24%2C%20and%20%24z_1%24%20to%20%24%5Cfrac%7Bz_1%20-%20z_3%7D%7Bz_1%20-%20z_4%7D%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7Bz_2%20-%20z_4%7D%7Bz_2%20-%20z_3%7D%24.%20So%20it%20maps%20%24i%24%20to%20%24%5Cfrac%7Bi%20%2B%20i%7D%7Bi%20-%20z_4%7D%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B0%20-%20z_4%7D%7B0%20%2B%20i%7D%20%3D%20-1%24%2C%20thus%20%24%5Cfrac%7B-2z_4%7D%7Bi-z_4%7D%20%3D%20-1%24%2C%20thus%20%24z_4%20%3D%20%5Cfrac%7Bi%7D%7B3%7D%24.%20Thus%20the%20map%20is%20%24Sz%20%3D%20%5Cfrac%7Bz%20%2B%20i%7D%7Bz%20-%20%5Cfrac%7Bi%7D%7B3%7D%7D%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B0%20-%20%5Cfrac%7Bi%7D%7B3%7D%7D%7B0%20%2B%20i%7D%24%20%24%3D%20%5Cfrac%7B-z-i%7D%7B3z%20-%203i%7D%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Spring%20Semester%20Homework%201%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%201%204.2.2%0A%0A%20%20%20%20**Compute**%20%24%24%5Cint_%7B%7Cz%7C%20%3D%201%7D%5Cfrac%7Be%5Ez%7D%7Bz%7Ddz.%24%24%0A%0A%20%20%20%20Solution%0A%0A%20%20%20%20Consider%20%24f(z)%20%3D%20e%5Ez%24%2C%20then%20%24f(0)%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%20i%7D%5Cint_%7B%7Cz%7C%20%3D%201%7D%20%5Cfrac%7Be%5Ez%7D%7Bz%7Ddz%24%20thus%20the%20integral%20equals%20%242%5Cpi%20i%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%202%204.2.2%0A%0A%20%20%20%20**Compute**%20%24%24%5Cint_%7B%7Cz%7C%20%3D%202%7D%5Cfrac%7Bdz%7D%7Bz%5E2%2B1%7D%24%24%20**by%20decomposition%20of%20the%20integrand%20in%20partial%20fractions**.%0A%0A%20%20%20%20Solution%0A%0A%20%20%20%20Write%20%24%5Cint_%7B%7Cz%7C%20%3D%202%7D%5Cfrac%7Bdz%7D%7Bz%5E2%2B1%7D%24%20%24%3D%20%5Cfrac%7Bi%7D%7B2%7D%20%5Cint%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bz%2Bi%7Ddz%20-%20%5Cfrac%7Bi%7D%7B2%7D%5Cint%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bz-i%7Ddz%24.%20Now%20let%20%24f(z)%20%3D%201%24%2C%20by%20the%20integral%20formula%20we%20get%20the%20first%20integral%20equals%20%242%5Cpi%20i%24%20and%20so%20does%20the%20second%20one%2C%20so%20they%20combine%20to%20give%20%24%5Cint_%7B%7Cz%7C%20%3D%202%7D%5Cfrac%7Bdz%7D%7Bz%5E2%2B1%7D%3D0%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Spring%20Semester%20Homework%202%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%201%204.2.3%0A%0A%20%20%20%20**Compute**%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20%24%5Cint_%7B%7C%20z%20%7C%20%3D%201%7De%5Ezz%5E%7B-n%7Ddz%24%3B%0A%20%20%20%202.%20%24%5Cint_%7B%7C%20z%20%7C%20%3D%202%7D%20z%5En(1-z)%5Em%20dz%24%3B%0A%20%20%20%203.%20**%24%5Cint_%7B%7C%20z%20%7C%20%3D%20%5Crho%7D%20%7Cz-a%7C%5E%7B-4%7D%7Cdz%7C%24%20(%24%7C%20a%20%7C%20%5Cne%20%5Crho%24)**.%0A%0A%20%20%20%20Solution%0A%0A%20%20%20%201.%20We%20have%20a%20singularity%20at%20%240%24.%20Consider%20%24f(z)%20%3D%20e%5Ez%24%2C%20then%20we%20know%20(equation%2024%20on%20book)%20%24f%5E%7B(n-1)%7D(0)%20%3D%20%5Cfrac%7B(n-1)!%7D%7B2%5Cpi%20i%7D%20%5Cint_%7B%7Cz%7C%20%3D%201%7D%5Cfrac%7Be%5Ez%7D%7Bz%5En%7Ddz%24%20so%20%24%5Cint_%7B%7Cz%20%7C%20%3D%201%7De%5Ezz%5E%7B-n%7Ddz%20%3D%20f%5E%7B(n-1)%7D(0)%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B2%5Cpi%20i%7D%7B(n-1)!%7D%24%20%24%3D%20%5Cfrac%7B2%5Cpi%20i%7D%7B(n-1)!%7D%24%3B%0A%20%20%20%202.%20We%20need%20to%20exam%20different%20cases%20of%20%24n%24%20and%20%24m%24%3B%0A%20%20%20%20%091.%20If%20they%20are%20both%20non-negative%2C%20then%20the%20integrand%20is%20entire%20thus%20the%20integral%20equals%20%240%24%3B%0A%20%20%20%20%092.%20If%20%24n%24%20is%20non-negative%20but%20%24m%24%20is%20negative%2C%20then%20we%20have%20a%20singularity%20at%20%241%24.%20Consider%20%24f(z)%20%3D%20z%5En(-1)%5E%7B-m%7D%24%2C%20then%20%24f%5E%7B(-m-1)%7D(1)%20%3D%20%5Cfrac%7B(-m-1)!%7D%7B2%5Cpi%20i%7D%20%5Cint_%7B%7Cz%20%7C%20%3D%202%7D%20%5Cfrac%7Bz%5En(-1)%5E%7B-m%7D%7D%7B(z-1)%5E%7B-m%7D%7Ddz%24.%20Since%20%24f%5E%7B(-m-1)%7D(1)%20%3D%20n%5Ccdot%20(n-1)%20%5Ccdots%20(n%2Bm%2B2)%20(-1)%5E%7B-m%7D%24%2C%20we%20get%20that%20%24%5Cint_%7B%7Cz%7C%20%3D%202%7D%20z%5En(1-z)%5Emdz%20%3D%20-2%5Cpi%20i%20%5Cfrac%7Bn%5Ccdot%20(n-1)%20%5Ccdots%20(n%2Bm%2B2)%7D%7B(-m-1)!%7D%24%20or%20%24-2%5Cpi%20i%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20n%5C%5C-m-1%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%24%3B%0A%20%20%20%20%093.%20If%20%24n%24%20is%20negative%20but%20%24m%24%20is%20non-negative%2C%20consider%20%24f(z)%20%3D%20(1-z)%5Em%24%2C%20then%20with%20a%20similar%20calculation%20we%20get%20%24f%5E%7B(-n-1)%7D(0)%20%3D%20(-1)%5E%7B-n-1%7D%5Cbegin%7Bpmatrix%7Dm%5C%5C-n-1%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%24%2C%20thus%20%24%5Cint_%7B%7Cz%7C%20%3D%202%7Dz%5En(1-z)%5Emdz%20%3D%20(-1)%5E%7B-n-1%7D2%5Cpi%20i%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20m%20%5C%5C%20-n-1%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%24%3B%0A%20%20%20%20%094.%20If%20both%20%24n%24%20and%20%24m%24%20are%20negative%20number.%20We%20may%20separate%20%24%7Cz%7C%20%3D%202%24%20to%20two%20parts%2C%20one%20contains%20%240%24%20and%20one%20contains%20%241%24%20(oriented%20in%20same%20direction%20in%20the%20sense%20of%20Goursat's%20Theorem).%20Then%20the%20contour%20contains%20%240%24%20would%20not%20have%20%241%24%20as%20singularity%2C%20so%20we%20can%20use%20the%20above%20formula%20to%20calculate%20the%20integral%20on%20that%20contour%3B%20similar%20for%20the%20other%20one.%20Add%20them%20together%2C%20we%20get%20that%20%24%5Cint_%7B%7Cz%7C%20%3D%202%7Dz%5En(1-z)%5Emdz%24%20%24%3D2%5Cpi%20i(-%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20n%5C%5C-m-1%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20%2B%20(-1)%5E%7B-n-1%7D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20m%20%5C%5C%20-n-1%20%5Cend%7Bpmatrix%7D)%24.%20Expand%20the%20binomial%20coefficients%20and%20we%20shall%20see%20they%20all%20get%20cancelled%20out%2C%20and%20we%20get%20that%20the%20integral%20equals%20%240%24%3B%0A%20%20%20%203.%20Assume%20%24%5Crho%20%5Cne%200%24%20otherwise%20it's%20trivial%2C%20again%20we%20need%20different%20case%3A%0A%20%20%20%20%091.%20If%20%24a%20%3D%200%24%2C%20then%20%24%5Cint_%7B%7Cz%20%7C%20%3D%20%5Crho%7D%7Cz%7C%5E%7B-4%7D%7Cdz%7C%24%20%24%3D%5Cint_0%5E%7B2%5Cpi%7D%5Cfrac%7B%7Ci%5Crho%20e%5E%7Bit%7D%7C%7D%7B%7C%5Crho%20e%5E%7Bit%7D%7C%5E4%7Ddt%24%20%24%3D%202%5Cpi%5Ccdot%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Crho%5E3%7D%24%3B%0A%20%20%20%20%092.%20Otherwise%2C%20notice%20on%20%24%7Cz%7C%20%3D%20%5Crho%24%20we%20have%20%24z%5Coverline%7Bz%7D%20%3D%20%5Crho%5E2%24%20thus%20we%20may%20write%3A%20%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%5Cint_%7B%7Cz%7C%20%3D%20%5Crho%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%7Cz-a%7C%5E4%7D%7Cdz%7C%26%3D%5Cint%5Cfrac%7B1%7D%7B(z-a)%5E2(%5Coverline%7Bz%7D-%5Coverline%7Ba%7D)%5E2%7D%7Cdz%7C%5C%5C%26%3D%5Cint%5Cfrac%7B1%7D%7B(z-a)%5E2(%5Cfrac%7B%5Crho%5E2%7D%7Bz%7D-%5Coverline%7Ba%7D)%5E2%7D%5Cfrac%7B-i%5Crho%7D%7Bz%7Ddz%5C%5C%26%3D-i%5Crho%5Cint%5Cfrac%7Bz%7D%7B(%5Coverline%7Ba%7Dz-%5Crho%5E2)%5E2(z-a)%5E2%7Ddz.%5Cend%7Baligned%7D%24%24%0A%20%20%20%20%09%091.%20Now%2C%20suppose%20%24a%24%20is%20inside%20%24%7Cz%7C%20%3D%20%5Crho%24%2C%20then%20we%20can%20take%20%24f%20%3D%20%5Cfrac%7Bz%7D%7B(%5Coverline%7Ba%7Dz-%5Crho%5E2)%5E2%7D%24%20(no%20singularity%20inside%20the%20circle)%2C%20then%20the%20original%20integral%20equals%20%24-i%5Crho%20f'(a)%202%5Cpi%20i%24%20%24%3Df'(a)2%5Crho%5Cpi%24%20%24%3D2%5Crho%5Cpi%5Cfrac%7B%5Coverline%7Ba%7Da%2B%5Crho%5E2%7D%7B(%5Crho%5E2-%5Coverline%7Ba%7Da)%5E3%7D%24%3B%0A%20%20%20%20%09%092.%20Suppose%20%24a%24%20is%20outside%20%24%7Cz%7C%20%3D%20%5Crho%24%2C%20then%20write%20the%20integral%20%24%3D%20%5Cfrac%7B-i%5Crho%7D%7B%5Coverline%7Ba%7D%5E2%7D%5Cint%5Cfrac%7Bz%7D%7B(z-%5Crho%5E2%2F%5Coverline%7Ba%7D)%5E2(z-a)%5E2%7Ddz%24%20then%20%24%5Crho%5E2%2F%5Coverline%7Ba%7D%24%20is%20inside%20the%20circle%2C%20and%20thus%20by%20the%20Cauchy's%20formula%20(take%20%24f%20%3D%20%5Cfrac%7Bz%7D%7B(z-a)%5E2%7D%24)%20we%20get%20the%20integral%20equals%20%24-%5Cfrac%7Bi%5Crho%7D%7B%5Coverline%7Ba%7D%5E2%7Df'(%5Cfrac%7B%5Crho%5E2%7D%7B%5Coverline%7Ba%7D%7D)2%5Cpi%20i%24%20%24%3D%20-2%5Crho%5Cpi%5Cfrac%7Ba%2B%5Cfrac%7B%5Crho%5E2%7D%7B%5Coverline%7Ba%7D%7D%7D%7B(%5Cfrac%7B%5Crho%5E2%7D%7B%5Coverline%7Ba%7D%7D-a)%5E3%5Coverline%7Ba%7D%5E2%7D%24%20%24%3D-2%5Crho%5Cpi%5Cfrac%7Ba%5Coverline%7Ba%7D%2B%5Crho%5E2%7D%7B(%5Crho%5E2-a%5Coverline%7Ba%7D)%5E3%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%202%204.2.3%0A%0A%20%20%20%20**Prove%20that%20a%20function%20which%20is%20analytic%20in%20the%20whole%20plane%20and%20satisfies%20an%20inequality%20%24%7C%20f(z)%20%7C%20%3C%20%7Cz%20%7C%5En%24%20for%20some%20%24n%24%20and%20all%20sufficiently%20large%20%24%7Cz%7C%24%20reduces%20to%20a%20polynomial**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20Let%20%24a%24%20be%20an%20arbitrary%20number%20on%20the%20plane.%20Let%20%24C%24%20be%20the%20circle%20with%20radius%20%24r%24%20so%20that%20it%20bounds%20%24a%24.%0A%0A%20%20%20%20We%20know%20that%20%24f%5E%7B(k)%7D(a)%20%3D%20%5Cfrac%7Bk!%7D%7B2%5Cpi%20i%7D%20%5Cint_C%20%5Cfrac%7Bf(z)%7D%7B(z-a)%5E%7Bk%2B1%7D%7Ddz%24.%20For%20the%20numerator%20we%20have%20%24%7C%20f(z)%20%7C%20%3C%20r%5En%24.%20For%20the%20denominator%2C%20by%20taking%20%24r%24%20large%20enough%20(so%20the%20circle%20is%20far%20away%20enough%20from%20%24a%24)%2C%20we%20can%20assume%20the%20denominator%20to%20be%20bounded%20below%20by%20%24(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dr)%5E%7Bk%2B1%7D%24.%20Thus%20%24%7Cf%5E%7B(k)%7D(a)%7C%20%5Cle%20%5Cfrac%7Bk!2%5Cpi%20r%7D%7B2%5Cpi%7D%20%5Cfrac%7Br%5En%7D%7B(r%2F2)%5E%7Bk%2B1%7D%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20Now%2C%20take%20%24k%20%3E%20n%2B1%24%2C%20we%20see%20%24%7C%20f%5E%7B(k)%7D(a)%20%7C%20%5Cle%20%5Cfrac%7Bm%7D%7Br%5E%7Bk-n-1%7D%7D%24%20for%20certain%20constant%20%24m%24%2C%20thus%20%24%7C%20f%5E%7B(k)%7D(a)%20%7C%20%3D%200%24%20because%20we%20can%20take%20arbitrary%20large%20%24r%24.%20That%20is%2C%20%24f%24%20is%20a%20function%20with%20certain%20%24k%24-h%20(and%20all%20above)%20derivative%20being%20%240%24%2C%20which%20means%20%24f%24%20must%20be%20a%20polynomial.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Spring%20Semester%20Homework%203%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%201%204.3.2%0A%0A%20%20%20%20**If%20%24f(z)%24%20and%20%24g(z)%24%20have%20the%20algebraic%20orders%20%24h%24%20and%20%24k%24%20at%20%24z%20%3D%20a%24%2C%20show%20that%20%24fg%24%20has%20the%20order%20%24h%2Bk%24%2C%20%24f%2Fg%24%20the%20order%20%24h-k%24%2C%20and%20%24f%2Bg%24%20an%20order%20which%20does%20not%20exceed%20%24%5Cmax(h%2Ck)%24**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20By%20definition%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20%24%5Clim%5Climits_%7Bz%20%5Cto%20a%7D%7Cz-a%7C%5E%7B%5Calpha%7D%7Cf(z)%7C%20%3D%200%24%20for%20%24%5Calpha%3Eh%24%3B%0A%20%20%20%202.%20%24%5Clim%5Climits_%7Bz%20%5Cto%20a%7D%7Cz-a%7C%5E%7B%5Calpha%7D%7Cf(z)%7C%20%3D%20%5Cinfty%24%20for%20%24%5Calpha%3Ch%24%3B%0A%20%20%20%203.%20%24%5Clim%5Climits_%7Bz%20%5Cto%20a%7D%7Cz-a%7C%5E%7B%5Cbeta%7D%7Cg(z)%7C%20%3D%200%24%20for%20%24%5Cbeta%3Eg%24%3B%0A%20%20%20%204.%20%24%5Clim%5Climits_%7Bz%20%5Cto%20a%7D%7Cz-a%7C%5E%7B%5Cbeta%7D%7Cg(z)%7C%20%3D%20%5Cinfty%24%20for%20%24%5Cbeta%3Cg%24.%0A%0A%20%20%20%20Then%20(because%20of%20the%20naturality%20of%20modules%20and%20limit%20operation)%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20If%20%24%5Cgamma%20%3E%20h%2Bg%24%2C%20then%20%24%5Clim%5Climits_%7Bz%20%5Cto%20a%7D%7Cz-a%7C%5E%7B%5Cgamma%7D%7Cf(z)g(z)%7C%24%20%24%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bz%5Cto%20a%7D%7Cz-a%7C%5E%7B%5Cgamma_1%7D%7Cz-a%7C%5E%7B%5Cgamma_2%7D%7Cf(z)%5C%7Cg(z)%7C%20%3D%200%24%20%24%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bz%5Cto%20a%7D(%7Cz-a%7C%5E%7B%5Cgamma_1%7D%7Cf(z)%7C)%5Ccdot%5Clim%5Climits_%7Bz%5Cto%20a%7D(%7Cz-a%7C%5E%7B%5Cgamma_2%7D%7Cg(z)%7C)%20%3D%200%5Ccdot%200%20%3D%200%24%20for%20%24%5Cgamma_1%2B%5Cgamma_2%20%3D%20%5Cgamma%24%20and%20%24%5Cgamma_1%3Eh%24%2C%20%24%5Cgamma_2%20%3E%20g%24%3B%0A%20%20%20%202.%20If%20%24%5Cgamma%20%3C%20h%2Bg%24%2C%20similarly%20write%20%24%5Cgamma%3D%5Cgamma_1%20%2B%20%5Cgamma_2%24%20with%20%24%5Cgamma_1%20%3C%20h%24%20and%20%24%5Cgamma_2%20%3C%20g%24%2C%20we%20get%20%24%5Clim%5Climits_%7Bz%20%5Cto%20a%7D%7Cz-a%7C%5E%7B%5Cgamma%7D%7Cf(z)g(z)%7C%20%3D%20%5Cinfty%5Ccdot%5Cinfty%20%3D%20%5Cinfty%24%3B%0A%20%20%20%203.%20If%20%24%5Cgamma%20%3E%20h-g%24%2C%20write%20%24%5Cgamma%20%3D%20%5Cgamma_1%20-%20%5Cgamma_2%24%20with%20%24%5Cgamma_1%20%3E%20h%24%20and%20%24%5Cgamma_2%20%3E%20g%24%2C%20we%20get%20%24%5Clim%5Climits_%7Bz%20%5Cto%20a%7D%7Cz-a%7C%5E%7B%5Cgamma%7D%7Cf(z)%2Fg(z)%7C%20%3D%200%5Ccdot%200%20%3D%200%24%3B%0A%20%20%20%204.%20If%20%24%5Cgamma%20%3C%20h-g%24%2C%20write%20%24%5Cgamma%20%3D%20%5Cgamma_1%20-%20%5Cgamma_2%24%20with%20%24%5Cgamma_1%20%3C%20h%24%20and%20%24%5Cgamma_2%20%3C%20g%24%2C%20we%20get%20%24%5Clim%5Climits_%7Bz%20%5Cto%20a%7D%7Cz-a%7C%5E%7B%5Cgamma%7D%7Cf(z)%2Fg(z)%7C%20%3D%20%5Cinfty%5Ccdot%5Cinfty%20%3D%20%5Cinfty%24.%0A%0A%20%20%20%20Thus%20%24fg%2C%20f%2Fg%24%20have%20orders%20%24h%2Bk%2C%20h-k%24.%0A%0A%20%20%20%20Suppose%20for%20contradiction%20that%20order%20of%20%24f%2Bg%24%2C%20denoted%20as%20%24l%24%2C%20is%20larger%20than%20%24%5Cmax(h%2Ck)%24%2C%20then%20we%20can%20pick%20%24%5Cgamma%24%20that%20is%20larger%20than%20both%20%24h%2C%20k%24%20but%20less%20than%20%24l%24%2C%20we%20get%20that%20%24%5Clim%5Climits_%7Bz%5Cto%20a%7D%7Cz-a%7C%5E%7B%5Cgamma%7D%7Cf(z)%20%2B%20g(z)%7C%20%5Cle%24%20%24%5Clim%5Climits_%7Bz%5Cto%20a%7D%7Cz-a%7C%5E%7B%5Cgamma%7D%7Cf(z)%7C%24%20%24%2B%20%5Clim%5Climits_%7Bz%5Cto%20a%7D%7Cz-a%7C%5E%7B%5Cgamma%7D%7Cg(z)%7C%24%20%24%3D%200%20%2B%200%20%3D%200%24%20(by%20triangle%20inequality)%2C%20which%20contradict%20that%20%24l%24%20being%20the%20order%20-%20this%20limit%20should%20be%20%24%5Cinfty%24%20as%20%24%5Cgamma%20%3C%20l%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%202%204.3.2%0A%0A%20%20%20%20**Show%20that%20a%20function%20which%20is%20analytic%20in%20the%20whole%20plane%20and%20has%20a%20non-essential%20singularity%20at%20%24%5Cinfty%24%20reduces%20to%20a%20polynomial**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20Call%20this%20function%20%24f%24%2C%20it%20has%20a%20non-essential%20singularity%20at%20%24%5Cinfty%24%2C%20which%20means%20%24g(z)%20%3D%20f(%5Cfrac%7B1%7D%7Bz%7D)%24%20has%20a%20non-essential%20singularity%20at%20%240%24%20(also%20by%20the%20description%2C%20%24g%24%20has%20no%20other%20singularities%20elsewhere).%20Say%20the%20algebraic%20order%20of%20%24g%24%20is%20%24h%24%2C%20there%20are%20three%20cases%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20%24h%20%3D%200%24%2C%20which%20means%20%24g(0)%20%5Cne%200%24%20and%20analytic%20at%20%240%24%2C%20so%20%24f(z)%24%20is%20entire%20and%20bounded%2C%20thus%20is%20a%20constant%20by%20Liouville%3B%0A%20%20%20%202.%20%24h%20%3C%200%24%2C%20which%20means%20%24g(z)%24%20has%20a%20zero%20of%20order%20%24h%24%2C%20so%20still%20%24f(z)%24%20is%20entire%20and%20bounded%20thus%20a%20constant%3B%0A%20%20%20%203.%20%24h%20%3E%200%24%2C%20which%20means%20%24g(z)%24%20has%20a%20pole%20of%20order%20%24h%24%2C%20apply%20Theorem%208%20(Taylor)%20to%20get%20(at%20%24a%20%3D%200%24%20and%20%24z%20%5Cne%200%24)%20%24g(z)%20%3D%20%5Cfrac%7BB_h%7D%7Bz%5Eh%7D%20%2B%20%5Cfrac%7BB_%7Bh-1%7D%7D%7Bz%5E%7Bh-1%7D%7D%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20%5Cfrac%7BB_1%7D%7Bz%7D%20%2B%20%5Cvarphi(z)%24%20where%20%24%5Cvarphi(z)%24%20is%20analytic%20at%20%240%24.%20Since%20%24g%24%20has%20no%20other%20poles%2C%20%24%5Cvarphi%24%20is%20entire%20(and%20bounded)%20thus%20a%20constant.%20In%20particular%20%24f(%5Cfrac%7B1%7D%7Bz%7D)%20%3D%20%5Cfrac%7BB_h%7D%7Bz%5Eh%7D%20%2B%20%5Cfrac%7BB_%7Bh-1%7D%7D%7Bz%5E%7Bh-1%7D%7D%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20%5Cfrac%7BB_1%7D%7Bz%7D%20%2B%20c%24%20thus%20%24f(z)%20%3D%20B_hz%5Eh%20%2B%20B_%7Bh-1%7Dz%5E%7Bh-1%7D%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20B_1z%20%2B%20c%24%20is%20a%20polynomial.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%203%204.3.2%0A%0A%20%20%20%20**Show%20that%20the%20functions%20%24e%5Ez%2C%20%5Csin(z)%24%20and%20%24%5Ccos(z)%24%20have%20essential%20singularities%20at%20%24%5Cinfty%24**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20Since%20these%20three%20functions%20are%20all%20known%20to%20be%20analytic%20in%20the%20whole%20plane%2C%20if%20they%20do%20not%20have%20essential%20singularities%20at%20%24%5Cinfty%24%20then%20by%20last%20problem%20they%20reduces%20to%20a%20polynomial%2C%20but%20that%20is%20not%20true%20(none%20of%20them%20has%20derivatives%20stabilize%20to%20%240%24).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Spring%20Semester%20Homework%204%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%201%204.3.3%0A%0A%20%20%20%20**Determine%20explicitly%20the%20largest%20disk%20about%20the%20origin%20whose%20image%20under%20the%20mapping%20%24w%20%3D%20z%5E2%20%2B%20z%24%20is%20one-to-one**.%0A%0A%20%20%20%20Solution%0A%0A%20%20%20%20Let%20us%20call%20the%20open%20disk%20%24D%24%2C%20suppose%20%24w%24%20is%20not%20injective%20on%20%24D%24%2C%20that%20is%2C%20there%20exists%20%24a%2C%20b%20%5Cin%20D%24%20such%20that%20%24a%5E2%20%2B%20a%20%3D%20b%5E2%20%2B%20b%24%20with%20%24a%20%5Cne%20b%24%2C%20which%20is%20equivalent%20with%20%24a%5E2%20-%20b%5E2%20%3D%20b%20-%20a%24%2C%20divide%20both%20side%20by%20%24b-a%24%20(it's%20not%20zero%20by%20assumption)%20we%20get%20%24a%2Bb%20%3D%20-1%24.%20This%20may%20happen%20if%20and%20only%20if%20%24D%24%20(which%20is%20open)%20has%20radius%20larger%20than%20%24%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%24%3A%20if%20the%20radius%20is%20smaller%20than%20or%20equals%20to%20%24%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%24%20then%20%24%7Ca%2Bb%7C%5Cle%7Ca%7C%2B%7Cb%7C%3C1%24%2C%20and%20if%20the%20radius%20is%20larger%20than%20%24%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%24%20then%20there%20is%20some%20obvious%20(real)%20solution.%20So%20the%20largest%20possible%20disk%20has%20radius%20%24%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%202%204.3.3%0A%0A%20%20%20%20**Determine%20explicitly%20the%20largest%20disk%20about%20the%20origin%20whose%20image%20under%20the%20mapping%20%24w%3D%20e%5Ez%24%20is%20one-to-one**.%0A%0A%20%20%20%20Solution%0A%0A%20%20%20%20Similarly%2C%20suppose%20%24w%24%20is%20not%20injective%20on%20%24D%24%2C%20that%20is%2C%20we%20have%20%24e%5Ea%20%3D%20e%5Eb%24%20on%20%24D%24%2C%20which%20is%20equivalent%20with%20%24e%5E%7Ba-b%7D%20%3D%201%24%2C%20which%20is%20equivalent%20with%20that%20%24a%20-%20b%20%3D%202%5Cpi%20i%20n%24%20for%20some%20%24n%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BZ%7D%24.%20This%20is%20the%20only%20source%20of%20non-injectivity%20-%20in%20particular%2C%20the%20function%20is%20injective%20if%20and%20only%20if%20the%20disk%20do%20not%20contain%20two%20points%20differ%20by%20%242%5Cpi%24%20in%20the%20imaginary%20coordinate%2C%20which%20means%20the%20largest%20possible%20%24D%24%20has%20radius%20%24%5Cpi%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Spring%20Semester%20Homework%205%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%201%0A%0A%20%20%20%20**Compute**%20%24%24%5Cint_%7B%7Cz%7C%20%3D%204%7D%20%5Cfrac%7Be%5Ez%7D%7Bz(z%5E2%2B%5Cpi%5E2)%7Ddz%24%24%20**by%20using%20residues**.%0A%0A%20%20%20%20Solution%0A%0A%20%20%20%20The%20function%20%24%5Cfrac%7Be%5Ez%7D%7Bz(z%5E2%2B%5Cpi%5E2)%7D%24%20%24%3D%20%5Cfrac%7Be%5Ez%7D%7Bz(z%2Bi%5Cpi)(z-i%5Cpi)%7D%24%20has%20singularity%20at%20%240%2C%20%5Cpm%20i%20%5Cpi%24%20(all%20are%20simple%20poles)%20and%20%24%7Cz%7C%20%3D%204%24%20encloses%20all%20of%20them.%20Let%20us%20compute%20the%20residues%20of%20the%20function%20at%20all%20those%20three%20points%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20Residue%20at%20%240%24%20is%20given%20by%20%24%5Clim%5Climits_%7Bz%20%5Cto%200%7D%5Cfrac%7Be%5Ez%7D%7B(z%2Bi%5Cpi)(z-i%5Cpi)%7D%24%20%24%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cpi%5E2%7D%24%3B%0A%20%20%20%202.%20Residue%20at%20%24i%20%5Cpi%24%20is%20given%20by%20%24%5Clim%5Climits_%7Bz%20%5Cto%20i%20%5Cpi%7D%20%5Cfrac%7Be%5Ez%7D%7Bz(z%2Bi%5Cpi)%7D%24%20%24%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%5E2%7D%24%3B%0A%20%20%20%203.%20Residue%20at%20%24-i%5Cpi%24%20is%20given%20by%20%24%5Clim%5Climits_%7Bz%20%5Cto%20-i%5Cpi%7D%20%5Cfrac%7Be%5Ez%7D%7Bz(z-i%5Cpi)%7D%24%20%24%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%5E2%7D%24%20as%20well.%0A%0A%20%20%20%20And%20now%20by%20Residue%20Theorem%2C%20the%20integral%20in%20the%20question%20equals%20%24(2%5Cpi%20i)%5Ccdot%20(%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cpi%5E2%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B2%7D%7B2%5Cpi%5E2%7D)%24%20%24%3D%20%5Cfrac%7B4%20i%7D%7B%5Cpi%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%202%0A%0A%20%20%20%20**Compute**%20%24%24%5Cint_%7B%7Cz-2i%7C%20%3D%204%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Ccosh(z)%7Ddz.%24%24%0A%0A%20%20%20%20Solution%0A%0A%20%20%20%20We%20know%20that%20%24%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Ccosh(z)%7D%24%20is%20by%20definition%20%24%5Cfrac%7B2%7D%7Be%5Ez%20%2B%20e%5E%7B-z%7D%7D%24.%20In%20particular%20the%20integrand%20has%20singularity%20when%20%24e%5Ez%20%2B%20e%5E%7B-z%7D%20%3D%200%24%2C%20or%20%24e%5E%7B-z%7D(e%5E%7B2z%7D%2B1)%20%3D%200%24.%20Since%20%24e%5Ez%24%20is%20never%20%240%24%2C%20we%20get%20%24e%5E%7B2z%7D%20%3D%20-1%24%20thus%20%242z%20%3D%20i%5Cpi%2B2ni%5Cpi%24%20and%20thus%20%24z%20%3D%20%5Cfrac%7Bi%5Cpi%7D%7B2%7D%2Bin%5Cpi%24%20and%20they%20are%20all%20simple%20poles.%20In%20particular%2C%20%24z%20%3D%20%5Cfrac%7Bi%5Cpi%7D%7B2%7D%20%2B%20i%5Cpi%24%2C%20%24%5Cfrac%7Bi%5Cpi%7D%7B2%7D%24%2C%20%24%5Cfrac%7Bi%5Cpi%7D%7B2%7D%20-%20i%5Cpi%24%2C%20are%20the%20only%20poles%20inside%20%24%7Cz%20-%202i%7C%20%3D%204%24.%0A%0A%20%20%20%20Now%2C%20use%20the%20fact%20that%20if%20%24f%20%3D%20g%2Fh%24%20then%20%24%5Ctext%7BRes%7D(f%2Cc)%20%3D%20%5Cfrac%7Bg(c)%7D%7Bh'(c)%7D%24%20(we%20need%20%24g%2C%20h%24%20to%20be%20holomorphic%20around%20%24c%24%2C%20%24h(c)%20%3D%200%24%20and%20%24h'(c)%20%5Cne%200%24%2C%20but%20they%20are%20straight-forward%20or%20we%20have%20already%20knew).%20We%20get%20that%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20Residue%20at%20%24%5Cfrac%7B3i%5Cpi%7D%7B2%7D%24%20is%20%24%5Cfrac%7B2%7D%7Be%5E%7B%5Cfrac%7B3i%5Cpi%7D%7B2%7D%7D-e%5E%7B-%5Cfrac%7B3i%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%7D%24%20%24%3D%20i%24%3B%0A%20%20%20%202.%20Similar%2C%20residue%20at%20%24%5Cfrac%7Bi%5Cpi%7D%7B2%7D%24%20is%20%24-i%24%20and%3B%0A%20%20%20%203.%20Residue%20at%20%24-%5Cfrac%7Bi%5Cpi%7D%7B2%7D%24%20is%20%24i%24.%0A%0A%20%20%20%20Apply%20Residue%20Theorem%2C%20the%20result%20of%20the%20integral%20equals%20%24(2%5Cpi%20i)%5Ccdot%20(i-i%2Bi)%20%3D%20-2%5Cpi%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%203%0A%0A%20%20%20%20**Find%20the%20residue%20of%20%24%5Cfrac%7B%5Ccos(z)%7D%7Bz%5En%7D%24%20at%20%24z%20%3D%200%24%20in%20terms%20of%20%24n%24**.%0A%0A%20%20%20%20Solution%0A%0A%20%20%20%20It%20is%20a%20rather%20well-known%20fact%20that%20the%20Taylor%20expansion%20of%20%24%5Ccos(z)%24%20at%20%240%24%20is%20%241%20-%20%5Cfrac%7Bz%5E2%7D%7B2!%7D%20%2B%20%5Cfrac%7Bz%5E4%7D%7B4!%7D%20-%20%5Cdots%24%20%24%3D%20%5Csum%5Climits_%7Bk%20%3D%200%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7B(-1)%5Ek%20z%5E%7B2k%7D%7D%7B(2k)!%7D%24.%20Thus%20%24%5Cfrac%7B%5Ccos(z)%7D%7Bz%5En%7D%20%3D%20%5Csum%5Climits_%7Bk%20%3D%200%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7B(-1)%5Ek%20z%5E%7B2k%7D%7D%7B(2k)!z%5En%7D%24.%20In%20particular%2C%20we%20know%20the%20residue%20is%20the%20coefficient%20of%20the%20%24z%5E%7B-1%7D%24%20term%2C%20thus%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20If%20%24n%5Cle%200%24%2C%20then%20residue%20is%20%240%24%3B%0A%20%20%20%202.%20If%20%24n%20%3E%200%24%20is%20even%20number%2C%20then%20there%20is%20no%20term%20in%20the%20series%20with%20degree%20%24-1%24%20thus%20also%20we%20have%20residue%20is%20%240%24%3B%0A%20%20%20%203.%20If%20%24n%20%3E%200%24%20is%20odd%20equals%20some%20%242k%2B1%24%2C%20then%20the%20coefficient%20of%20the%20%24z%5E%7B-1%7D%24%20term%20is%20%24%5Cfrac%7B(-1)%5Ek%7D%7B(2k)!%7D%24%20is%20the%20residue.%20For%20example%2C%20residue%20of%20%24%5Ccos(z)%2Fz%24%20at%20%24z%20%3D%200%24%20is%20%24%5Cfrac%7B(-1)%5E0%7D%7B0!%7D%20%3D%201%24%2C%20residue%20of%20%24%5Ccos(z)%2Fz%5E3%24%20at%20%24z%20%3D%200%24%20is%20%24%5Cfrac%7B(-1)%5E1%7D%7B2!%7D%20%3D%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%24%2C%20and%20so%20on.%0A%0A%20%20%20%20Write%20the%20answer%20in%20%24n%24%2C%20we%20have%20%24%24%5Ctext%7BRes%7D(%5Cfrac%7B%5Ccos(z)%7D%7Bz%5En%7D%2C%200)%20%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%200%2C%26n%5Cle0%5Ctext%7B%20or%20%7Dn%5Ctext%7B%20is%20positive%20and%20even%7D%2C%20%5C%5C%20%5Cfrac%7B(-1)%5E%7B(n-1)%2F2%7D%7D%7B(n-1)!%7D%2C%26n%5Ctext%7B%20is%20positive%20and%20odd%7D.%5Cend%7Bcases%7D%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A