Complex Analysis Exams

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.17.6%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20nav_menu%20%3D%20mo.nav_menu(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Findex.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Ahome')%7D%20Home%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20orientation%3D%22vertical%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20nav_menu%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Fall%20Semester%20Final%20Exam%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%2001%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24f%24%20be%20an%20entire%20function%20and%20%24a%2C%20b%24%20be%20positive%20constants**.%0A%0A%20%20%20%201.%20**If%20%24%7C%20f(z)%20%7C%20%5Cle%20a%7Cz%7C%5E%7B1%2F2%7D%2Bb%24%20for%20all%20%24z%24%2C%20prove%20that%20%24f%24%20is%20a%20constant**%3B%0A%20%20%20%202.%20**What%20can%20you%20conclude%20if%20%24%7Cf(z)%7C%5Cle%20a%7Cz%7C%5E%7B5%2F2%7D%2Bb%24%20for%20all%20%24z%24**%3F%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%2002%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24f%24%20be%20a%20non-constant%20entire%20function%2C%20prove%20that%20%24f(%5Cmathbb%7BC%7D)%24%20is%20dense%20in%20%24%5Cmathbb%7BC%7D%24**.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%2003%0A%0A%20%20%20%20**Evaluate**%20%24%24%5Cint_0%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bx%5Csin(x)%7D%7B(1%2Bx%5E2)%5E2%7Ddx.%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%2004%0A%0A%20%20%20%20**State%20and%20prove%20the%20Open%20Mapping%20Theorem.%20Indicate%20what%20theorems%20are%20you%20using%20in%20your%20proof**.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%2005%0A%0A%20%20%20%20**Suppose%20that%20%24f%3A%20%5CPi%5E%2B%20%5Cto%20%5Cmathbb%7BD%7D%24%20is%20holomorphic%20and%20%24f(i)%20%3D%200%24.%20How%20large%20can%20%24%7Cf(2i)%7C%24%20be%20under%20these%20conditions**%3F%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%2006%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24f%2C%20g%24%20be%20entire%20functions%20such%20that%20%24%5Clim%5Climits_%7Bz%20%5Cto%20%5Cinfty%7Dg(f(z))%20%3D%20%5Cinfty%24.%20Prove%20that%20both%20%24f%24%20and%20%24g%24%20are%20polynomials**.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%2007%0A%0A%20%20%20%20**For%20%24%5Calpha%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BC%7D%24%2C%20evaluate**%20%24%24%5Cint_0%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bt%5E%7B2%5Calpha-1%7D%7D%7B1%2Bt%5E2%7Ddt%24%24%20**and%20express%20the%20answer%20in%20terms%20of%20trigonometric%20functions%20of%20%24%5Calpha%24.%20You%20may%20impose%20any%20restrictions%20on%20%24%5Calpha%24%20you%20find%20necessary%2C%20but%20indicate%20them%20clearly**.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%2008%0A%0A%20%20%20%20**Suppose%20that%20%24V%24%20is%20a%20connected%20open%20set%20and%20%24%5Cmathcal%7BF%7D%20%5Csubset%20H(V)%24%2C%20%24%5Cmathcal%7BF%7D%5E%7B(n)%7D%20%3D%20%5C%7Bf%5E%7B(n)%7D%3A%20f%5Cin%5Cmathcal%7BF%7D%5C%7D%24**.%0A%0A%20%20%20%201.%20**Show%20that%20if%20%24%5Cmathcal%7BF%7D%24%20is%20a%20normal%20family%2C%20so%20is%20%24%5Cmathcal%7BF%7D%5E%7B(n)%7D%24**%3B%0A%20%20%20%202.%20**Claim%3A%20if%20%24%5Cmathcal%7BF%7D%5E%7B(1)%7D%24%20is%20normal%2C%20so%20is%20%24%5Cmathcal%7BF%7D%24.%20Under%20what%20reasonable%20condition%20on%20%24%5Cmathcal%7BF%7D%24%20is%20this%20claim%20true**%3F%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%2009%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24V%20%3D%20D(1%2C1)%20%5Ccap%20D(-i%2C1)%24%2C%20and%20%24%5Cvarphi(z)%20%3D%20z%5E%7B-1%7D%24**.%0A%0A%20%20%20%201.%20**Describe%20%24%5Cvarphi(V)%24**%3B%0A%20%20%20%202.%20**Construct%20the%20conformal%20equivalence%20%24f%3A%20V%20%5Cto%20%5Cmathbb%7BD%7D%24**.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%2010%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24g%3A%20%5Cmathbb%7BD%7D%20%5Cto%20%5Cmathbb%7BD%7D%24%20be%20holomorphic%20and%20%24g(0)%20%3D%200%24**.%0A%0A%20%20%20%201.%20**Prove%20that%20%24%7Cg(z)%20%2B%20g(-z)%7C%20%5Cle%202%20%7Cz%7C%5E2%24%20for%20%24z%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BD%7D%24**%3B%0A%20%20%20%202.%20**Prove%20that%20the%20inequality%20above%20is%20strict%20for%20%24z%20%5Cne%200%24%2C%20unless%20%24g(z)%20%3D%20%5Clambda%20z%5E2%24%20and%20%24%7C%5Clambda%7C%20%3D%201%24.%20*Hint%3A%20Start%20by%20writing%20%24g(z)%20%3D%20%5Clambda%20z%5E2%20%2B%20h(z).%24**%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Spring%20Semester%20Final%20Exam%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%201%0A%0A%20%20%20%20**Suppose%20%24K%20%5Csubset%20%5Cpartial%20%5Cmathbb%7BD%7D%24%20is%20compact%20and%20%24K%20%5Cne%20%5Cpartial%20%5Cmathbb%7BD%7D%24%2C%20%24K%20%5Cne%20%5Cvarnothing%24.%20Show%20that%20for%20any%20%24%5Cvarepsilon%20%3E%200%24%20there%20exists%20a%20polynomial%20%24Q%24%20with%20%24Q(0)%20%3D%201%24%20and%20%24%7CQ(z)%7C%3C%5Cvarepsilon%24%20on%20%24K%24**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20This%20is%20just%20a%20direct%20application%20of%20the%20Runge's%20Theorem%20for%20one%20compact%20set.%20Take%20%24K'%20%3D%20K%20%5Ccup%20%5C%7B0%5C%7D%24%2C%20%24%24f(z)%20%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%202%2C%26z%20%3D%200%2C%5C%5C0%2C%26z%20%5Cin%20K.%5Cend%7Bcases%7D%24%24%20Since%20%24K%20%5Cne%20%5Cpartial%20%5Cmathbb%7BD%7D%24%2C%20%24%5Cmathbb%7BC%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20%5Csetminus%20K'%24%20is%20connected%2C%20and%20we%20can%20take%20%24R%24%20in%20the%20Runge's%20Theorem%20to%20be%20a%20polynomial.%20Then%20normalize%20it%20to%20have%20%24R(0)%20%3D%201%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%202%0A%0A%20%20%20%20**Consider%20an%20elliptic%20function%20%24f%24%20with%20periods%20%24w%24%20and%20%24w'%24%2C%20and%20let%20%24a_1%2C%20%5Cdots%2C%20a_m%24%2C%20%24b_1%2C%5Cdots%2C%20b_n%24%20be%20the%20lists%20of%20its%20zeroes%20and%20poles%20respectively%20in%20the%20period%20parallelogram%20%24P%24%2C%20listed%20with%20multiplicity**.%0A%0A%20%20%20%201.%20**Show%20that%20%24m%20%3D%20n%24**%3B%0A%20%20%20%202.%20**How%20are%20the%20sums%20%24a_1%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20a_m%24%20and%20%24b_1%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20b_n%24%20related%3F%20Explain**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20For%20part%201%2C%20use%20the%20fact%20that%20%24%24%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%20i%7D%5Cint_%7B%5Cpartial%20P%7D%5Cfrac%7Bf'(z)%7D%7Bf(z)%7Ddz%20%3D%200%24%24%20by%20periodicity%20of%20%24f%24%2C%20and%20on%20the%20other%20hand%20this%20integral%20is%20%24m%20-%20n%24%20(number%20of%20zeroes%20minus%20number%20of%20poles)%20by%20the%20Residue%20Theorem.%0A%0A%20%20%20%20For%20part%202%2C%20consider%20%24g(z)%20%3D%20%5Cfrac%7Bzf'(z)%7D%7Bf(z)%7D%24.%20By%20the%20Residue%20Theorem%20%24%24%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%20i%7D%5Cint_%7B%5Cpartial%20P%7Dg(z)dz%20%3D%20a_1%2B%5Cdots%20%2Ba_m%20-b_1-%5Cdots-b_n.%24%24%20Let%20%24A%20%3D%20%5Bz_0%2Cz_0%2Bw%5D%24%2C%20%24A'%20%3D%20%5Bz_0%2Bw'%2Cz_0%2Bw%2Bw'%5D%24.%20Again%2C%20from%20periodicity%20%24%24%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%20i%7D%5Cint_Ag(z)dz%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%20i%7D%5Cint_%7BA'%7Dg(z)dz%20%3D%20-%5Cfrac%7Bw'%7D%7B2%5Cpi%20i%7D%5Cint_A%5Cfrac%7Bf'(z)%7D%7Bf(z)%7Ddz%2C%24%24%20and%20this%20gives%20us%20an%20integer%20multiple%20%24-kw'%24%20by%20the%20Argument%20Principle%2C%20where%20%24k%24%20is%20the%20number%20of%20times%20the%20closed%20curve%20%24f(A)%24%20winds%20around%20the%20origin.%20Similarly%2C%20the%20other%20two%20sides%20of%20%24%5Cpartial%20P%24%20will%20contribute%20a%20multiple%20of%20%24w%24.%20Thus%20%24%24a_1%2B%5Cdots%2Ba_m%20%5Cequiv%20b_1%2B%5Cdots%2Bb_n%5Cpmod%7Bw%5Cmathbb%7BZ%7D%2Bw'%5Cmathbb%7BZ%7D%7D.%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%203%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24D%20%5Csubset%20%5Cmathbb%7BC%7D%24%20be%20open%20connected%2C%20%24%5Coverline%7B%5Cmathbb%7BD%7D%7D%20%5Csubset%20D%24**.%0A%0A%20%20%20%201.%20**Let%20%24f%20%5Cin%20H(D)%24%20such%20that%20%24f(%5Cpartial%20%5Cmathbb%7BD%7D)%24%20is%20real%2C%20show%20that%20%24f%24%20is%20a%20constant**%3B%0A%20%20%20%202.%20**Fix%20%24z%20%3D%20e%5E%7Bi%20%5Ctheta%7D%20%5Cin%20%5Cpartial%20%5Cmathbb%7BD%7D%24.%20Construct%20a%20non-constant%20%24f%20%5Cin%20H(D%20%5Csetminus%20%5C%7Bz%5C%7D)%24%20such%20that%20%24f%24%20is%20real%20on%20%24%5Cpartial%20%5Cmathbb%7BD%7D%20%5Csetminus%20%5C%7Bz%5C%7D%24**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20Let%20%24v%20%3D%20%5Ctext%7BIm%7D(f)%24%2C%20then%20%24v%24%20is%20harmonic%20in%20%24%5Cmathbb%7BD%7D%24%20and%20vanishes%20on%20the%20boundary%2C%20thus%20%24v%20%5Cequiv%200%24%20from%20the%20uniqueness%20property%20for%20the%20Dirichlet%20problem%20in%20the%20unit%20disk.%20Then%20%24f%24%20is%20real%20holomorphic%2C%20thus%20constant%20directly%20from%20Cauchy-Riemann%20equations.%0A%0A%20%20%20%20Take%20%24g(z)%20%3D%20i%20%5Cfrac%7Bz%2B1%7D%7Bz-1%7D%24%2C%20this%20is%20Cayley%20transform%20mapping%20%24%5Cmathbb%7BD%7D%20%5Cto%20%5CPi%5E%2B%24.%20It%20is%20holomorphic%20in%20%24%5Cmathbb%7BC%7D%20%5Csetminus%20%5C%7B1%5C%7D%24.%20Clearly%20%24g(%5Cpartial%20%5Cmathbb%7BD%7D)%20%3D%20%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%24%2C%20which%20can%20be%20checked%20by%20computing%20%24%24g(e%5E%7Bit%7D)%20%3D%20i%5Cfrac%7Be%5E%7Bit%7D%2B1%7D%7Be%5E%7Bit%7D-1%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Be%5E%7Bit%2F2%7D%2Be%5E%7B-it%2F2%7D%7D%7Be%5E%7Bit%2F2%7D-e%5E%7B-it%2F2%7D%7D%20%3D%20%5Ccot(%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D).%24%24%20Now%20let%20%24f(z)%20%3D%20g(e%5E%7B-i%5Ctheta%7Dz)%24%20to%20get%20the%20answer%20for%20part%202.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%204%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24a_n%20%3D%201%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5E2%7D%24%2C%20%24g_n(z)%20%3D%20%5Cfrac%7Ba_n%20-%20z%7D%7B1-a_nz%7D%20%3D%201%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5E2%7D%5Cfrac%7B1%2Bz%7D%7B1-a_nz%7D%24%20and**%20%24%24f(z)%20%3D%20%5Cprod_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dg_n(z).%24%24%0A%0A%20%20%20%201.%20**Show%20that%20%24f%20%5Cin%20H(%5Cmathbb%7BD%7D)%24**%3B%0A%20%20%20%202.%20**Prove%20that%20%24f%24%20does%20not%20have%20an%20analytic%20continuation%20to%20any%20larger%20disk%20%24D(0%2Cr)%24%2C%20%24r%20%3E%201%24**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20In%20part%201%2C%20it%20suffices%20to%20check%20that%20the%20series%20%24%24%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%7C1-g_n%7C%20%3D%20%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5E2%7D%5Cfrac%7B%7C1%2Bz%7C%7D%7B%7C1-a_nz%7C%7D%24%24%20converges%20uniformly%20in%20%24%5Coverline%7BD(0%2Cr)%7D%24%20for%20any%20%24r%20%3C%201%24.%20For%20%24z%20%5Cin%20%5Coverline%7BD(0%2Cr)%7D%24%2C%20%24%24%5Cfrac%7B%7C1%2Bz%7C%7D%7B%7C1-a_nz%7C%7D%20%5Cle%20%5Cfrac%7B1%2Br%7D%7B1-r%7D%2C%24%24%20and%20uniform%20convergence%20follows%20from%20convergence%20of%20%24%5Csum%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5E2%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20Thus%20%24f%24%20is%20a%20non-zero%20holomorphic%20function%20in%20%24%5Cmathbb%7BD%7D%24%20with%20zeroes%20at%20every%20%24a_n%24%2C%20%24n%20%5Cge%201%24.%20Since%20these%20zeroes%20have%20a%20limit%20point%20at%20%241%24%2C%20%24f%24%20cannot%20be%20holomorphic%20continued%20to%20any%20open%20set%20containing%20%241%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%205%0A%0A%20%20%20%20**Consider%20the%20Riemann%20surface%20%24S%24%20of%20the%20algebraic%20function%20given%20by**%20%24%24w%20%3D%20%5Csqrt%5B3%5D%7B(z-2)%5E2(%5Csqrt%7Bz%7D%2Bi)%7D.%24%24%0A%0A%20%20%20%201.%20**What%20are%20the%20branching%20points%20of%20%24S%24%3F%20What%20are%20their%20orders%3F%20What%20is%20the%20genus%20of%20%24S%24**%3F%0A%20%20%20%202.%20**Sketch%20the%20scheme%20of%20%24S%24%20and%20describe%20its%20monodromy%20group%20%24G%24**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20Take%20three%20copies%20of%20the%20scheme%20for%20%24z%5E%7B1%2F2%7D%24%20and%20label%20six%20sheets%20of%20the%20Riemann%20surface%20%24S%24%20so%20that%201%2C%202%2C%203%20correspond%20to%20the%20positive%20branch%20of%20%24z%5E%7B1%2F2%7D%24%2C%20and%204%2C%205%2C%206%20to%20the%20negative%20branch%2C%20and%20the%20monodromy%20permutation%20%24%5Csigma_0%24%20for%20critical%20point%20%24z%3D%200%24%20acts%20by%20%24%5Csigma_0%20%3D%20(14)(25)(36)%24.%20The%20remaining%20critical%20points%20are%20%24z%20%3D%202%24%2C%20%24z%20%3D%20-1%24%20and%20%24z%20%3D%20%5Cinfty%24.%20We%20can%20write%20%24%5Csigma_%7B-1%7D%20%3D%20(456)%24%20(no%20branching%20over%20%24z%20%3D%20-1%24%20on%20the%20positive%20sheets)%20and%20%24%5Csigma_2%20%3D%20(132)(465)%24.%20Note%20that%20on%20the%20negative%20sheets%20%24%5Csigma_%7B-1%7D%24%20and%20%24%5Csigma_2%24%20act%20in%20the%20opposite%20directions%2C%20due%20to%20the%20exponent%20%242%24%20in%20%24(z-2)%5E2%24.%0A%0A%20%20%20%20Let's%20compute%20%24%5Csigma_%7B%5Cinfty%7D%20%3D%20%5Csigma_2%5E%7B-1%7D%5Csigma_%7B-1%7D%5E%7B-1%7D%5Csigma_0%5E%7B-1%7D%20%3D%20(123)(14)(25)(36)%24%20%24%3D%20(142536)%24.%20Not%20surprisingly%2C%20it%20is%20a%20%246%24-ycle%2C%20since%20at%20infinity%20%24w%24%20behaves%20as%20%24%5Csqrt%5B3%5D%7Bz%5E2z%5E%7B1%2F2%7D%7D%20%3D%20z%5E%7B5%2F6%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bz%7D%7Bz%5E%7B1%2F6%7D%7D%24%2C%20and%20all%20six%20sheets%20come%20together%20there%20at%20a%20single%20branching%20points.%0A%0A%20%20%20%20So%2C%20we%20have%20%243%24%20branching%20points%20over%20%24z%20%3D%200%24%20of%20order%20%241%24%20each%2C%20%242%24%20branching%20points%20over%20%24z%20%3D%202%24%20of%20order%20%242%24%20each%2C%20%241%24%20branching%20point%20over%20%24z%20%3D%20-1%24%20of%20order%20%242%24%2C%20and%20%241%24%20branching%20point%20over%20%24z%20%3D%20%5Cinfty%24%20of%20order%20%245%24.%20By%20the%20Riemann-Hurwitz%20formula%2C%20%24%24g(S)%20%3D%201-6%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D(3%2B2%5Ccdot%202%20%2B%202%2B5)%20%3D%202.%24%24%20The%20monodromy%20group%20%24G%24%20of%20%24S%24%20is%20a%20solvable%20group%20of%20order%20%2418%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A