Calculus I 9

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.13.7%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20nav_menu%20%3D%20mo.nav_menu(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Findex.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Ahome')%7D%20Home%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20orientation%3D%22vertical%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20nav_menu%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%202.4%20The%20Product%20and%20Quotient%20Rules%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Product%20Rule%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22If%20%24h(x)%20%3D%20f(x)%20%5Ccdot%20g(x)%24%2C%20then%20%24%24%5Cboxed%7Bh'(x)%20%3D%20f(x)%20g'(x)%20%2B%20f'(x)%20g(x)%7D.%24%24%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Differentiate%20%24f(x)%20%3D%20x%5E3%5Ccdot%5Ccos(x)%24.%0A%0A%20%20%20%20By%20the%20product%20rule%2C%20we%20have%20%24f'(x)%20%3D%20(x%5E3)'%20%5Ccos(x)%20%2B%20x%5E3%5Ccos'(x)%24%20%24%3D3x%5E2%5Ccos(x)%20-%20x%5E3%5Csin(x)%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Quotient%20Rule%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22If%20%24%5Cdisplaystyle%20h(x)%20%3D%20%5Cfrac%7Bf(x)%7D%7Bg(x)%7D%24%2C%20then%20%24%24%5Cboxed%7Bh'(x)%20%3D%20%5Cfrac%7Bg(x)f'(x)%20-%20f(x)g'(x)%7D%7Bg%5E2(x)%7D%7D.%24%24%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Remark%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Unlike%20product%20rule%20(we%20have%20an%20addition)%2C%20in%20the%20quotient%20rule%20we%20have%20a%20subtraction%20on%20the%20numerator%2C%20thus%20it%20**does%20matter**%20which%20one%20of%20%24g(x)f'(x)%24%20and%20%24f(x)g'(x)%24%20is%20at%20the%20front.%0A%0A%20%20%20%20One%20way%20to%20remember%20the%20correct%20way%2C%20is%20to%20**remember%20you%20should%20first%20write%20down%20denominator%20of%20the%20original%20function%2C%20%24g%24**%2C%20to%20get%0A%20%20%20%20%24%24%5Cfrac%7Bg(x)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~%7D%7Bg%5E2(x)%7D%2C%24%24%20now%20it%20should%20be%20easy%20to%20write%20down%20the%20rest%2C%20because%20the%20numerator%20should%20be%20'a%20function%20times%20a%20derivative%2C%20minus%20a(nother)%20function%20times%20a%20derivative'%2C%20and%20we%20get%20%24%24%5Cfrac%7Bg(x)f'(x)%20-%20f(x)g'(x)%7D%7Bg%5E2(x)%7D.%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Differentiate%20%24%5Cdisplaystyle%20f(x)%20%3D%20%5Cfrac%7Bx%5E6%20-%202x%5E3%20%2B%205%7D%7Bx%5E2%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20By%20the%20quotient%20rule%2C%20we%20have%20%24%5Cdisplaystyle%20f'(x)%20%3D%20%5Cfrac%7Bx%5E2(x%5E6-2x%5E3%2B5)'%20-%20(x%5E6-2x%5E3%2B5)(x%5E2)'%7D%7B(x%5E2)%5E2%7D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Cfrac%7B(x%5E2)(6x%5E5-6x%5E2)%20-%20(x%5E6-2x%5E3%2B5)(2x)%7D%7Bx%5E4%7D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Cfrac%7B6x%5E7%20-%206x%5E4%20-%202x%5E7%20%2B%204x%5E4%20-%2010x%7D%7Bx%5E4%7D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Cfrac%7B4x%5E6-2x%5E3-10%7D%7Bx%5E3%7D%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Derivatives%20of%20Trigonometric%20Functions%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%201.%20%24%5Csin'(x)%20%3D%20%5Ccos(x)%24%3B%0A%20%20%20%202.%20%24%5Ccos'(x)%20%3D%20-%5Csin(x)%24%3B%0A%20%20%20%203.%20%24%5Ctan'(x)%20%3D%20%5Csec%5E2(x)%24%3B%0A%20%20%20%204.%20%24%5Ccsc'(x)%20%3D%20-%5Ccsc(x)%5Ccot(x)%24%3B%0A%20%20%20%205.%20%24%5Csec'(x)%20%3D%20%5Csec(x)%5Ctan(x)%24%3B%0A%20%20%20%206.%20%24%5Ccot'(x)%20%3D%20-%5Ccsc%5E2(x)%24.%0A%0A%20%20%20%20After%20we%20derived%20the%20derivatives%20for%20%24%5Csin(x)%24%20and%20%24%5Ccos(x)%24%2C%20we%20can%20get%20the%20other%20formulas%20from%20product%20and%20quotient%20rules%2C%20for%20example%3A%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Ctan'(x)%20%3D%20%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Csin(x)%7D%7B%5Ccos(x)%7D%5Cright)'%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Ccos(x)%5Csin'(x)%20-%20%5Csin(x)%5Ccos'(x)%7D%7B%5Ccos%5E2(x)%7D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Ccos%5E2(x)%2B%20%5Csin%5E2(x)%7D%7B%5Ccos%5E2(x)%7D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Ccos%5E2(x)%7D%24%20%24%3D%20%5Csec%5E2(x)%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A