Calculus I 8

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.13.7%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20nav_menu%20%3D%20mo.nav_menu(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Findex.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Ahome')%7D%20Home%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20orientation%3D%22vertical%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20nav_menu%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%202.3%20Basic%20Differentiation%20Formulas%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Constant%20Function%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22If%20%24f(x)%20%3D%20c%24%2C%20then%20%24f%24%20is%20differentiable%20and%20%24%24f'(x)%20%3D%200.%24%24%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Power%20Function%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22If%20%24f(x)%20%3D%20x%5Er%24%20where%20%24r%24%20is%20a%20real%20number%2C%20then%20%24%24f'(x)%20%3D%20rx%5E%7Br-1%7D.%24%24%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Sine%20and%20Cosine%20Function%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%201.%20%20%20If%20%24f(x)%20%3D%20%5Csin(x)%24%2C%20then%20%24f'(x)%20%3D%20%5Ccos(x)%24%3B%0A%20%20%20%202.%20%20%20If%20%24f(x)%20%3D%20%5Ccos(x)%24%2C%20then%20%24f'(x)%20%3D%20-%5Csin(x)%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Proof%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20If%20%24f(x)%20%3D%20%5Csin(x)%24%2C%20then%20%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%20f'(x)%20%26%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bh%20%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%7B%5Csin(x%20%2B%20h)%20-%20%5Csin(x)%7D%7Bh%7D%20%5C%5C%20%26%3D%5Clim%5Climits_%7Bh%20%5Cto%200%7D%5Cfrac%7B%5Csin(x)%5Ccos(h)%2B%20%5Ccos(x)%5Csin(h)%20-%20%5Csin(x)%7D%7Bh%7D%20%5C%5C%20%26%3D%5Clim%5Climits_%7Bh%20%5Cto%200%7D%5Cleft(%5Csin(x)%5Ccdot%5Cfrac%7B%5Ccos(h)%20-%201%7D%7Bh%7D%20%2B%20%5Ccos(x)%5Ccdot%5Cfrac%7B%5Csin(h)%7D%7Bh%7D%5Cright)%20%5C%5C%20%26%3D%20%5Csin(x)%20%5Ccdot%200%20%2B%20%5Ccos(x)%20%5Ccdot%201%20%5C%5C%26%3D%20%5Ccos(x)%5Cend%7Baligned%7D%24%24%20as%20desired.%20We%20used%20addition%20formula%20for%20sine%2C%20and%20the%20two%20important%20limits%20involving%20sine%20and%20cosine%20in%20the%20above%20proof.%0A%0A%20%20%20%20We%20can%20show%20that%20%24%5Ccos'(x)%20%3D%20-%5Csin(x)%24%20in%20a%20similar%20manner.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Basic%20Operations%20on%20Differentiation%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%201.%20If%20%24f(x)%20%3D%20c%5Ccdot%20g(x)%24%2C%20%24g%24%20is%20differentiable%2C%20then%20%24f'(x)%20%3D%20c%5Ccdot%20g'(x)%24%3B%0A%20%20%20%202.%20If%20%24f%2C%20g%24%20are%20differentiable%2C%20then%20%24(f%2Bg)'(x)%20%3D%20f'(x)%20%2B%20g'(x)%24%3B%0A%20%20%20%203.%20If%20%24f%2C%20g%24%20are%20differentiable%2C%20then%20%24(f-g)'(x)%20%3D%20f'(x)%20-%20g'(x)%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20What%20is%20the%20derivative%20of%20%24f(x)%20%3D%20(x%2B3)%5E2%24%3F%0A%0A%20%20%20%20At%20the%20first%20glance%2C%20we%20cannot%20solve%20this%20problem%20with%20the%20basic%20rules.%20%24f(x)%24%20is%20not%20a%20constant%2C%20it%20is%20not%20a%20power%20function%2C%20it%20is%20not%20sine%20or%20cosine%2C%20and%20it%20is%20not%20a%20result%20of%20basic%20operations%20-%20it%20is%20a%20composition%20of%20%24g(x)%20%3D%20x%2B3%24%20and%20%24f(x)%20%3D%20x%5E2%24.%0A%0A%20%20%20%20However%2C%20if%20we%20expand%20%24f(x)%24%2C%20we%20get%20that%20%24f(x)%20%3D%20x%5E2%20%2B%206x%20%2B%209%24%20which%20is%20a%20summation%20of%20power%20functions%20and%20multiplication%20of%20constants%2C%20thus%20by%20the%20above%20rules%2C%20we%20get%20that%20%24f'(x)%20%3D%202x%20%2B%206%24.%0A%0A%20%20%20%20**Moral%20of%20the%20story%3A%20try%20to%20simplify%20the%20expression%20first%20before%20taking%20derivative**.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20Factorization%20and%20Expansion%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20info%0A%0A%20%20%20%20In%20your%20previous%20math%20courses%2C%20'simplify%20an%20expression'%20probably%20always%20means%20'factor%20an%20expression'%20(i.e.%20we%20can%20factor%20%24x%5E2%20%2B%206x%20%2B%209%24%20to%20get%20%24(x%2B3)%5E2%24).%20But%20this%20is%20not%20the%20case%20anymore.%20'Simplify'%20really%20means%20'try%20to%20make%20following%20steps%20easier'%2C%20and%20'simplify%20an%20expression'%20can%20sometimes%20mean%20'expand%20an%20expression'%20(i.e.%20we%20can%20expand%20%24(x%2B3)%5E2%24%20to%20get%20%24x%5E2%2B6x%2B9%24).%0A%0A%20%20%20%20In%20above%20example%2C%20we%20expand%20the%20expression%3B%20in%20some%20other%20example%2C%20we%20probably%20will%20factor%20the%20expression.%20There%20is%20not%20really%20a%20rule%20here%3A%20if%20you%20are%20not%20sure%20what%20to%20do%2C%20try%20one%20way%20to%20see%20if%20you%20are%20making%20progress%20-%20and%20if%20you%20are%20not%2C%20don't%20give%20up%2C%20try%20the%20other%20way!%0A%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A