Calculus I 7

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.13.7%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20nav_menu%20%3D%20mo.nav_menu(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Findex.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Ahome')%7D%20Home%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20orientation%3D%22vertical%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20nav_menu%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%202.2%20Derivative%20as%20a%20Function%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Derivative%20of%20a%20Function%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22Recall%20we%20have%20that%20the%20derivative%20of%20%24f(x)%24%20at%20%24a%24%2C%20denoted%20by%20%24f'(a)%24%2C%20is%20given%20by%20(provided%20that%20the%20following%20limit%20exists)%20%24%24f'(a)%20%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bh%20%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%7Bf(a%2Bh)%20-%20f(a)%7D%7Bh%7D.%24%24%20If%20the%20above%20limit%20does%20exists%2C%20we%20say%20%24f%24%20is%20differentiable%20at%20%24a%24.%20Otherwise%20we%20say%20it%20is%20not%20differentiable%20at%20%24a%24.%20If%20the%20limit%20exists%20for%20all%20%24a%24%20in%20a%20given%20**open**%20interval%2C%20we%20say%20%24f%24%20is%20differentiable%20on%20that%20open%20interval%3B%20and%20if%20the%20limit%20exists%20for%20all%20%24a%24%20in%20the%20domain%20of%20%24f%24%2C%20we%20simply%20say%20%24f%24%20is%20differentiable.%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20End-points%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20info%0A%0A%20%20%20%20If%20%24f%24%20is%20defined%20on%20a%20**closed**%20interval%20%24%5Bm%2Cn%5D%24%2C%20then%20%24f%24%20is%20**never**%20differentiable%20at%20%24m%24%20and%20%24n%24%20(the%20end-points)%20because%20the%20limits%20do%20not%20exist%20(why%3F).%0A%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Replace%20%24a%24%20by%20%24x%24%20in%20the%20above%20limit%2C%20we%20get%20%24%24f'(x)%20%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bh%20%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%7Bf(x%2Bh)%20-%20f(x)%7D%7Bh%7D%2C%24%24%20thus%20we%20can%20view%20it%20as%20a%20new%20function%20that%20assign%20each%20%24x%24%20to%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Clim%5Climits_%7Bh%20%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%7Bf(x%2Bh)%20-%20f(x)%7D%7Bh%7D%24%20(provided%20the%20limit%20exists).%20This%20function%20is%20called%20the%20derivative%20of%20%24f%24%2C%20denoted%20as%20%24f'%24.%20The%20domain%20of%20%24f'%24%20can%20be%20smaller%20than%20%24f%24.%0A%0A%20%20%20%20There%20are%20various%20notations%20for%20differentiation%2C%20given%20that%20%24f(x)%20%3D%20y%24%2C%20the%20followings%20mean%20**exactly%20the%20same%20thing**%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20%24f'(x)%24%3B%0A%20%20%20%202.%20%24y'%24%3B%0A%20%20%20%203.%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%24%3B%0A%20%20%20%204.%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7Bdf%7D%7Bdx%7D%24%3B%0A%20%20%20%205.%20%24D_x(f)%24%3B%0A%20%20%20%206.%20%24Df(x)%24%3B%0A%20%20%20%207.%20%24%5Cdots%24%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%201%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Derive%20the%20derivative%20of%20%24f(x)%20%3D%20%5Csqrt%7Bx%7D%24%20using%20the%20definition%20of%20derivative.%0A%0A%20%20%20%20(This%20is%20a%20typical%20question%20on%20the%20exam.%20On%20the%20exam%2C%20the%20formula%20%24%5Cdisplaystyle%20f'(x)%20%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bh%20%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%7Bf(x%2Bh)%20-%20f(x)%7D%7Bh%7D%24%20will%20be%20provided.)%0A%0A%20%20%20%20By%20definition%2C%20we%20have%20%24%5Cdisplaystyle%20f'(x)%20%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bh%20%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%7Bf(x%2Bh)%20-%20f(x)%7D%7Bh%7D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%5Clim%5Climits_%7Bh%20%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bx%2Bh%7D%20%2B%20%5Csqrt%7Bx%7D%7D%7Bh%7D%24.%20Remember%20when%20we%20solve%20limits%20with%20this%20form%2C%20a%20good%20idea%20is%20to%20try%20'multiply%20by%20conjugate'%3A%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bh%20%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bx%2Bh%7D%20%2B%20%5Csqrt%7Bx%7D%7D%7Bh%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bx%2Bh%7D%2B%5Csqrt%7Bx%7D%7D%7B%5Csqrt%7Bx%2Bh%7D%2B%5Csqrt%7Bx%7D%7D%24%20%24%3D%5Cdisplaystyle%20%5Clim%5Climits_%7Bh%20%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%7B(x%2Bh)-x%7D%7Bh(%5Csqrt%7Bx%2Bh%7D%2B%5Csqrt%7Bx%7D)%7D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bh%20%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bx%20%2B%20h%7D%20%2B%20%5Csqrt%7Bx%7D%7D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%20%5Csqrt%7Bx%7D%7D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20**There%20is%20an%20advantage%20to%20always%20write%20powers%2C%20roots%2C%20or%20fraction%20of%20powers%20and%20roots%20in%20the%20exponential%20form**%20(as%20we%20did%20in%20the%20last%20step)%2C%20we%20will%20get%20to%20it%20in%20the%20next%20section.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%202%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%24f(x)%20%3D%20%7C%20x%20%7C%24%20is%20not%20differentiable%20at%20%240%24%3A%20%24%5Cdisplaystyle%20f'(0)%20%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bh%20%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%7Bf(0%2Bh)%20-%20f(0)%7D%7Bh%7D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bh%20%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%7B%7C%20h%20%7C%7D%7Bh%7D%24%2C%20but%20we%20should%20have%20seen%20this%20before%20that%20this%20limit%20does%20not%20exist.%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Theorem%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22If%20%24f%24%20is%20differentiable%20at%20%24a%24%2C%20then%20%24f%24%20is%20continuous%20at%20%24a%24.%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Proof%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20We%20want%20to%20show%20that%20%24f%24%20is%20continuous%20at%20%24a%24%2C%20that%20is%2C%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20a%7Df(x)%20%3D%20f(a)%24.%20Once%20%24a%24%20is%20given%2C%20%24f(a)%24%20is%20a%20constant%2C%20thus%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20a%7Df(x)%20%3D%20f(a)%20%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20a%7Df(a)%24%20which%20happens%20if%20and%20only%20if%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20a%7D(f(x)-f(a))%20%3D%200%24%20(Main%20Theorem).%0A%0A%20%20%20%20To%20show%20the%20latter%20equality%2C%20we%20write%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20a%7D(f(x)-f(a))%20%3D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20a%7D((f(x)-f(a))%5Ccdot%5Cfrac%7Bx-a%7D%7Bx-a%7D)%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20a%7D%20%5Cfrac%7Bf(x)%20-%20f(a)%7D%7Bx%20-%20a%7D%20%5Ccdot%20%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20a%7D(x-a)%24%20(apply%20the%20Main%20Theorem%20that%20the%20limit%20of%20product%20is%20product%20of%20limits).%20Notice%20now%20the%20first%20part%20is%20exactly%20the%20definition%20of%20derivative%20of%20%24f%24%20at%20%24a%24%2C%20and%20the%20second%20part%20is%20clearly%20%240%24%2C%20so%20we%20can%20continue%20to%20write%20%24%3D%20f'(a)%20%5Ccdot%200%24%2C%20which%20is%20%240%24.%0A%0A%20%20%20%20One%20thing%20to%20notice%20here%20is%20to%20recall%20that%20'infinity%20limit'%20is%20not%20well-defined%2C%20so%20%24f'(a)%24%20cannot%20be%20%24%5Cinfty%24%20thus%20there%20is%20no%20indeterminate%20form%20involved.%0A%0A%20%20%20%20The%20converse%20of%20the%20theorem%20is%20false%3A%20**%24f%24%20is%20continuous%20at%20%24a%24%20does%20not%20imply%20that%20%24f%24%20is%20differentiable%20at%20%24a%24**.%20In%20fact%2C%20there%20are%20continuous%20function%20that%20is%20not%20differentiable%20at%20any%20point!%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20Converse%20of%20the%20Statement%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20danger%0A%0A%20%20%20%20%24f%24%20being%20continuous%20at%20%24a%24%20does%20not%20imply%20differentiability%20of%20%24f%24%20at%20%24a%24.%20%24%7C%20x%20%7C%24%20is%20an%20example%2C%20it%20is%20continuous%20but%20not%20differentiable%20at%20%240%24.%0A%0A%20%20%20%20Another%20remark%20is%20that%2C%20since%20the%20logic%20statement%20'A%20implies%20B'%20is%20equivalent%20with%20the%20logic%20statement%20'not%20B%20implies%20not%20A'%2C%20the%20above%20theorem%20is%20equivalent%20with%20the%20following%20statement%3A%0A%0A%20%20%20%20'If%20%24f%24%20is%20not%20continuous%20at%20%24a%24%2C%20then%20%24f%24%20cannot%20be%20differentiable%20at%20%24a%24'.%0A%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Function%20That%20is%20Not%20Differentiable%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20There%20are%20three%20common%20reasons%20that%20a%20function%20%24f(x)%24%20is%20**not%20differentiable**%20at%20a%20point%20%24a%24%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20The%20graph%20of%20%24f%24%20at%20the%20point%20%24(a%2C%20f(a))%24%20has%20a%20'corner'%20(for%20example%2C%20%24f(x)%20%3D%20%7C%20x%20%7C%24%20at%20%240%24)%3B%0A%20%20%20%202.%20%24f%24%20is%20not%20continuous%20at%20%24a%24%3B%0A%20%20%20%203.%20The%20limit%20that%20defines%20the%20derivative%20does%20not%20exist%20(technically%20this%20includes%20the%20other%20two%20reasons).%20Notice%20that%2C%20as%20mentioned%20before%2C%20**this%20includes%20the%20case%20that%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Clim%5Climits_%7Bh%20%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%7Bf(a%2Bh)%20-%20f(a)%7D%7Bh%7D%20%3D%20%5Cinfty%24**.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Higher%20Derivatives%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Since%20we%20can%20view%20%24f'%24%20as%20a%20function%2C%20we%20can%20take%20the%20derivative%20of%20this%20new%20function%2C%20i.e.%20%24(f')'%24%20and%20we%20denote%20it%20as%20%24f''%24.%20This%20function%20is%20known%20as%20the%20second%20derivative%20of%20%24f%24.%0A%0A%20%20%20%20Similarly%2C%20we%20can%20take%20third%2C%20forth%20derivatives%20of%20%24f%24%2C%20and%20so%20on.%20We%20say%20a%20function%20is%20smooth%20if%20it%20has%20%24n%24-th%20derivative%20for%20any%20positive%20integer%20%24n%24.%0A%0A%20%20%20%20Notation-wise%2C%20for%20higher%20derivative%20we%20usually%20write%2C%20for%20example%2C%20%24f%5E%7B(4)%7D(x)%24%20(i.e.%20number%20with%20parenthesis%20on%20superscript)%20instead%20of%20%24f''''(x)%24%20for%20readability.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A