Calculus I 6

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.13.7%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20plotly.graph_objects%20as%20go%0A%0A%20%20%20%20return%20go%2C%20mo%2C%20np%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20nav_menu%20%3D%20mo.nav_menu(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Findex.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Ahome')%7D%20Home%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20orientation%3D%22vertical%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20nav_menu%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%202.1%20Derivatives%20and%20Rates%20of%20Change%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Instantaneous%20Velocity%20Problem%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(go%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Define%20the%20domain%0A%20%20%20%20t%20%3D%20np.linspace(0%2C%202.5%2C%20500)%0A%20%20%20%20f_t%20%3D%20-16%20*%20t**2%20%2B%2040%20*%20t%0A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20the%20plot%0A%20%20%20%20fig_1%20%3D%20go.Figure()%0A%0A%20%20%20%20fig_1.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(x%3Dt%2C%20y%3Df_t%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3D%22f(t)%22%2C%20line%3Ddict(color%3D%22green%22))%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Customize%20layout%0A%20%20%20%20fig_1.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Dr%22f(t)%20%3D%20-16t%C2%B2%20%2B%2040t%20on%20%5B0%2C%202.5%5D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22t%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22f(t)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20template%3D%22plotly_white%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Suppose%20a%20ball%20is%20thrown%20into%20the%20air%2C%20its%20height%20in%20feet%20%24t%24%20seconds%20later%20is%20given%20by%20%24f(t)%20%3D%20-16t%5E2%20%2B%2040%20t%24.%0A%0A%20%20%20%20You%20should%20know%20from%20a%20general%20physics%20class%20that%20speed%20equals%20distance%20divided%20by%20time%2C%20in%20particular%2C%20(assume%20%24T%24%20is%20close%20enough%20to%20%242%24%2C)%20the%20expression%20for%20the%20**average%20velocity**%20of%20the%20ball%20for%20the%20interval%20%242%5Cle%20t%20%5Cle%20T%24%20is%20given%20by%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7Bf(T)%20-%20f(2)%7D%7BT%20-%202%7D%24%2C%20where%20the%20numerator%20can%20be%20viewed%20as%20the%20**displacement**%2C%20and%20the%20denominator%20can%20be%20viewed%20as%20the%20**change%20of%20time**.%0A%0A%20%20%20%20For%20example%2C%20we%20can%20calculate%20without%20too%20much%20difficulty%2C%20that%20the%20average%20velocity%20for%20time%20%242%24%20to%20%242.5%24%20seconds%20is%20%24-32%24%20(feet%20per%20second).%0A%0A%20%20%20%20This%20value%2C%20on%20the%20graph%2C%20can%20be%20viewed%20as%20the%20slope%20of%20the%20straight%20line%20passing%20through%20%24(2%2C%20f(2))%24%20and%20%24(2.5%2C%20f(2.5))%24.%0A%0A%20%20%20%20The%20instantaneous%20velocity%20of%20the%20ball%20at%20%24t%3D2%24%2C%20in%20the%20same%20sense%2C%20can%20be%20viewed%20as%20the%20time%20interval%20goes%20to%20'instant'%2C%20that%20is%2C%20the%20instantaneous%20velocity%20is%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Clim%5Climits_%7BT%20%5Cto%202%7D%20%5Cfrac%7Bf(T)%20-%20f(2)%7D%7BT%20-%202%7D%24.%20By%20the%20material%20from%20previous%20sections%2C%20we%20now%20have%20the%20tool%20to%20evaluate%20it%2C%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Clim%5Climits_%7BT%20%5Cto%202%7D%20%5Cfrac%7Bf(T)%20-%20f(2)%7D%7BT%20-%202%7D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Clim%5Climits_%7BT%20%5Cto%202%7D%20%5Cfrac%7B-16T%5E2%20%2B%2040T%20-%20(-16%5Ccdot%202%5E2%20%2B%2040%20%5Ccdot%202)%7D%7BT%20-%202%7D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Clim%5Climits_%7BT%20%5Cto%202%7D%20%5Cfrac%7B-16T%5E2%20%2B%2040T%20-%2016%7D%7BT%20-%202%7D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Clim%5Climits_%7BT%20%5Cto%202%7D%20%5Cfrac%7B-8(2T%5E2%20-%205T%20%2B%202)%7D%7BT%20-%202%7D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Clim%5Climits_%7BT%20%5Cto%202%7D%20%5Cfrac%7B-8(T-2)(2T-1)%7D%7BT%20-%202%7D%24%20%24%3D%20%5Clim%5Climits_%7BT%20%5Cto%202%7D%20-8(2T-1)%24%20%24%3D-24%24.%0A%0A%20%20%20%20This%20value%20can%20be%20viewed%20as%20the%20(limit)%20slope%20of%20the%20line%20that%20passing%20through%20the%20points%20%24(2%2C%20f(2))%24%20and%20%24(T%2C%20f(T))%24%20as%20%24T%20%5Cto%202%24.%0A%0A%20%20%20%20But%20what%20if%20we%20want%20to%20know%20the%20general%20case%3F%20What%20is%20the%20instantaneous%20velocity%20at%20time%20%24t%24%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Rate%20of%20Change%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Suppose%20%24f(x)%24%20is%20a%20quantity%20that%20depends%20on%20%24x%24.%20If%20%24x%24%20changes%20from%20%24x_1%24%20to%20%24x_2%24%2C%20then%20%24f(x)%24%20should%20change%20from%20%24f(x_1)%24%20to%20%24f(x_2)%24.%20We%20denote%20the%20change%20%24x_2%20-%20x_1%24%20as%20%24%5CDelta(x)%24%20and%20the%20change%20%24f(x_2)%20-%20f(x_1)%24%20as%20%24%5CDelta(f(x))%24.%0A%0A%20%20%20%20The%20average%20rate%20of%20change%20of%20%24f(x)%24%20with%20respect%20to%20%24x%24%20over%20the%20interval%20%24%5Bx_1%2C%20x_2%5D%24%20is%20then%20the%20quantity%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7B%5CDelta(f(x))%7D%7B%5CDelta(x)%7D%24.%20It%20can%20be%20viewed%20as%20the%20slope%20of%20the%20line%20passing%20through%20%24(x_1%2C%20f(x_1))%24%20and%20%24(x_2%2C%20f(x_2))%24.%0A%0A%20%20%20%20Analogy%20with%20the%20velocity%20problem%2C%20the%20instantaneous%20rate%20of%20change%20of%20%24f(x)%24%20with%20respect%20of%20%24x%24%20at%20%24x%20%3D%20x_1%24%20is%20defined%20to%20be%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Clim%5Climits_%7Bx_1%20%5Cto%20x_2%7D%5Cfrac%7Bf(x_2)%20-%20f(x_1)%7D%7Bx_2%20-%20x_1%7D%24.%20We%20can%20substitute%20%24x_2%24%20by%20%24x_1%20%2B%20%5CDelta(x)%24%20(so%20that%20taking%20limit%20as%20%24x_1%20%5Cto%20x_2%24%20is%20the%20same%20as%20taking%20limit%20as%20%24%5CDelta(x)%20%5Cto%200%24)%2C%20and%20the%20instantaneous%20rate%20of%20change%20is%20thus%20equivalently%20defined%20to%20be%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Clim%5Climits_%7B%5CDelta(x)%20%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%7Bf(x_1%20%2B%20%5CDelta(x))%20-%20f(x_1)%7D%7B%5CDelta(x)%7D%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Tangent%20Line%20and%20Normal%20Line%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Given%20a%20curve%20of%20a%20function%20%24f(x)%24%2C%20the%20tangent%20line%20to%20the%20curve%20at%20a%20point%20%24(p%2C%20f(p))%24%20is%20the%20line%20that%20passes%20through%20%24(p%2C%20f(p))%24%20and%20has%20slope%20%24%5Cdisplaystyle%20m%20%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20p%7D%20%5Cfrac%7Bf(x)%20-%20f(p)%7D%7Bx%20-%20p%7D%24%2C%20that%20is%2C%20the%20instantaneous%20rate%20of%20change%20at%20%24p%24%2C%20provided%20that%20the%20limit%20exists.%0A%0A%20%20%20%20If%20the%20limit%20does%20not%20exists%2C%20then%20the%20tangent%20line%20does%20not%20exist.%0A%0A%20%20%20%20Given%20a%20curve%20of%20a%20function%20%24f(x)%24%2C%20the%20normal%20line%20to%20the%20curve%20at%20a%20point%20%24(p%2C%20f(p))%24%20is%20the%20line%20that%20passes%20through%20%24(p%2C%20f(p))%24%20and%20is%20orthogonal%20to%20the%20tangent%20line.%0A%0A%20%20%20%20Recall%20this%20means%20the%20slope%20of%20the%20normal%20line%20times%20the%20slope%20of%20the%20tangent%20line%20(at%20the%20same%20point)%20is%20%24-1%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Consider%20%24f(x)%20%3D%20-x%5E2%20%2B%20x%24%2C%20find%20the%20tangent%20line%20and%20normal%20line%20to%20the%20curve%20at%20%24(1%2C0)%24.%0A%0A%20%20%20%20The%20slope%20of%20the%20tangent%20line%20is%20%24%5Cdisplaystyle%20m_t%20%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20p%7D%20%5Cfrac%7Bf(x)%20-%20f(p)%7D%7Bx%20-%20p%7D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%201%7D%20%5Cfrac%7B-x%5E2%2Bx%20-%200%7D%7Bx%20-%201%7D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%201%7D%5Cfrac%7B-x(x%20-1)%7D%7Bx-1%7D%20%3D%20-1%24.%0A%0A%20%20%20%20Thus%20the%20slope%20of%20the%20normal%20line%20is%20%241%24.%0A%0A%20%20%20%20To%20find%20the%20tangent%20line%2C%20we%20need%20to%20find%20a%20line%20that%20has%20slope%20%24-1%24%20and%20passes%20%24(1%2C%200)%24%2C%20that%20is%20a%20function%20of%20the%20form%20%24y%20%3D%20m_tx%20%2B%20b_t%24%20where%20%24m_t%20%3D%20-1%24%20and%20satisfies%20%240%20%3D%20-1%20%2Bb_t%24%20thus%20%24b_t%20%3D%201%24%2C%20so%20the%20line%20is%20%24y%20%3D%20-x%20%2B%201%24.%0A%0A%20%20%20%20Similarly%20to%20find%20the%20normal%20line%2C%20we%20have%20to%20solve%20%24y%20%3D%20m_nx%20%2B%20b_n%24%20where%20%24m_n%20%3D%201%24%20and%20%240%20%3D%201%20%2B%20b_n%24%20thus%20%24b_n%20%3D%20-1%24%2C%20so%20the%20line%20is%20%24y%20%3D%20x%20-%201%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(go%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Define%20x%20range%0A%20%20%20%20x%20%3D%20np.linspace(-1%2C%202%2C%20500)%0A%20%20%20%20x_line%20%3D%20np.linspace(-1%2C%203%2C%20500)%0A%20%20%20%20f_x%20%3D%20-(x**2)%20%2B%20x%0A%0A%20%20%20%20%23%20Tangent%20line%20at%20x%20%3D%201%3A%20y%20%3D%20-x%20%2B%201%0A%20%20%20%20tangent%20%3D%20-x_line%20%2B%201%0A%0A%20%20%20%20%23%20Normal%20line%20at%20x%20%3D%201%3A%20y%20%3D%20x%20-%201%0A%20%20%20%20normal%20%3D%20x_line%20-%201%0A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20plot%0A%20%20%20%20fig_2%20%3D%20go.Figure()%0A%0A%20%20%20%20%23%20Original%20function%0A%20%20%20%20fig_2.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx%2C%20y%3Df_x%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3D%22f(x)%20%3D%20-x%C2%B2%20%2B%20x%22%2C%20line%3Ddict(color%3D%22blue%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Tangent%20line%0A%20%20%20%20fig_2.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_line%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dtangent%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Tangent%20at%20(1%2C%200)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22red%22%2C%20dash%3D%22dash%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Normal%20line%0A%20%20%20%20fig_2.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_line%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dnormal%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Normal%20at%20(1%2C%200)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22green%22%2C%20dash%3D%22dot%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Highlight%20point%20(1%2C%200)%0A%20%20%20%20fig_2.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B1%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B0%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22markers%2Btext%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Point%20(1%2C%200)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(size%3D8%2C%20color%3D%22black%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5B%22(1%2C%200)%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20textposition%3D%22top%20right%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Layout%0A%20%20%20%20fig_2.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Function%2C%20Tangent%2C%20and%20Normal%20at%20x%20%3D%201%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22x%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22y%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20template%3D%22plotly_white%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis%3Ddict(scaleanchor%3D%22y%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis%3Ddict(scaleanchor%3D%22x%22)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20Point%20on%20the%20Graph%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20danger%0A%0A%20%20%20%20The%20above%20calculation%20assumes%20that%20the%20point%20%24(1%2C%200)%24%20is%20on%20the%20graph%20of%20%24f%24.%20In%20case%20it%20is%20not%2C%20this%20method%20does%20not%20apply.%0A%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Derivative%20of%20a%20Function%20at%20a%20Point%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22The%20derivative%20of%20%24f(x)%24%20at%20%24p%24%2C%20denoted%20by%20%24f'(p)%24%2C%20is%20defined%20to%20be%20the%20instantaneous%20rate%20of%20change%20of%20%24f(x)%24%20at%20%24p%24%2C%20given%20that%20the%20limit%20exists.%20In%20other%20words%2C%20the%20derivative%20of%20%24f(x)%24%20at%20%24a%24%2C%20denoted%20by%20%24f'(a)%24%2C%20is%20given%20by%20(provided%20that%20the%20following%20limits%20exist)%20%24%24f'(a)%20%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bh%20%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%7Bf(a%2Bh)%20-%20f(a)%7D%7Bh%7D%2C%24%24%20or%20equivalently%2C%20%24%24f'(a)%20%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bb%20%5Cto%20a%7D%20%5Cfrac%7Bf(b)%20-%20f(a)%7D%7Bb-a%7D.%24%24%20In%20particular%2C%20derivative%20at%20%24a%24%2C%20instantaneous%20rate%20of%20change%20at%20%24a%24%2C%20and%20slope%20of%20tangent%20line%20at%20%24a%24%20are%20**three%20names%20for%20the%20same%20quantity**.%20Derivative%20is%20more%20of%20an%20abstract%20term%2C%20instantaneous%20rate%20of%20change%20provides%20a%20physical%20meaning%2C%20and%20slope%20of%20tangent%20line%20provides%20a%20geometric%20meaning.%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A