Calculus I 5

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.13.7%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20plotly.graph_objects%20as%20go%0A%0A%20%20%20%20return%20go%2C%20mo%2C%20np%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20nav_menu%20%3D%20mo.nav_menu(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Findex.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Ahome')%7D%20Home%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20orientation%3D%22vertical%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20nav_menu%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%201.6%20Limits%20Involving%20Infinity%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Limits%20Involving%20Infinity%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22We%20say%20that%20%24f(x)%24%20goes%20to%20infinity%20as%20%24x%24%20goes%20to%20%24a%24%2C%20and%20write%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20a%7D%20f(x)%20%3D%20%5Cinfty%24%2C%20provided%20that%20the%20value%20of%20%24f(x)%24%20is%20arbitrarily%20large%20when%20%24x%24%20is%20sufficiently%20close%20to%20%24a%24.%20The%20line%20%24x%20%3D%20a%24%20is%20called%20a%20vertical%20asymptote%20of%20the%20graph%20of%20%24f(x)%24.%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(go%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Define%20domain%20avoiding%20the%20vertical%20asymptote%20at%20x%20%3D%202%0A%20%20%20%20x11%20%3D%20np.linspace(-4%2C%201.95%2C%20500)%0A%20%20%20%20x12%20%3D%20np.linspace(2.05%2C%206%2C%20500)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Define%20the%20function%0A%20%20%20%20y11%20%3D%20x11**2%20%2F%20(x11%20-%202)%0A%20%20%20%20y12%20%3D%20x12**2%20%2F%20(x12%20-%202)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20figure%0A%20%20%20%20fig_1%20%3D%20go.Figure()%0A%0A%20%20%20%20%23%20Add%20both%20branches%20of%20the%20function%0A%20%20%20%20fig_1.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(x%3Dx11%2C%20y%3Dy11%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3D%22f(x)%22%2C%20line%3Ddict(color%3D%22blue%22))%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20fig_1.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx12%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dy12%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22blue%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Add%20vertical%20asymptote%20at%20x%20%3D%202%0A%20%20%20%20fig_1.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B2%2C%202%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B-40%2C%2040%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22red%22%2C%20dash%3D%22dot%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Vertical%20Asymptote%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Update%20layout%0A%20%20%20%20fig_1.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Dr%22f(x)%20%3D%20x%C2%B2%20%2F%20(x%20-%202)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22x%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22f(x)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_range%3D%5B-40%2C%2040%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20template%3D%22plotly_white%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22We%20say%20that%20%24f(x)%24%20goes%20to%20%24L%24%20as%20%24x%24%20goes%20to%20infinity%2C%20and%20write%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20%5Cinfty%7Df(x)%20%3D%20L%24%2C%20provided%20that%20the%20value%20of%20%24f(x)%24%20is%20arbitrarily%20close%20to%20%24L%24%20when%20%24x%24%20is%20sufficiently%20large.%20The%20line%20%24y%20%3D%20L%24%20is%20called%20a%20horizontal%20asymptote%20of%20the%20graph%20of%20%24f(x)%24.%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(go%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Define%20domain%20(no%20need%20to%20exclude%20any%20x)%0A%20%20%20%20x2%20%3D%20np.linspace(-50%2C%2050%2C%20500)%0A%20%20%20%20y2%20%3D%20(2%20*%20x2%20%2B%203)%20%2F%20(x2**2%20%2B%201)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20figure%0A%20%20%20%20fig_2%20%3D%20go.Figure()%0A%0A%20%20%20%20%23%20Plot%20the%20function%0A%20%20%20%20fig_2.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(x%3Dx2%2C%20y%3Dy2%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3D%22f(x)%22%2C%20line%3Ddict(color%3D%22blue%22))%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Add%20horizontal%20asymptote%20at%20y%20%3D%200%0A%20%20%20%20fig_2.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B-50%2C%2050%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B0%2C%200%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22red%22%2C%20dash%3D%22dot%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Horizontal%20Asymptote%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Layout%0A%20%20%20%20fig_2.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Dr%22f(x)%20%3D%20(2x%20%2B%203)%20%2F%20(x%C2%B2%20%2B%201)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22x%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22f(x)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20template%3D%22plotly_white%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20We%20say%20that%20%24f(x)%24%20goes%20to%20infinity%20as%20%24x%24%20goes%20to%20infinity%2C%20and%20write%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20%5Cinfty%7Df(x)%20%3D%20%5Cinfty%24%2C%20provided%20that%20the%20value%20of%20%24f(x)%24%20is%20arbitrarily%20large%20when%20%24x%24%20is%20sufficiently%20large.%0A%0A%20%20%20%20Similarly%2C%20we%20can%20talk%20about%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20a%5E-%7Df(x)%20%3D%20%5Cinfty%24%3B%0A%20%20%20%202.%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20a%5E%2B%7Df(x)%20%3D%20-%20%5Cinfty%24%3B%0A%20%20%20%203.%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20-%5Cinfty%7Df(x)%20%3D%20L%24%2C%20in%20this%20case%20%24y%20%3D%20L%24%20is%20also%20a%20horizontal%20asymptote.%20In%20particular%2C%20a%20function%20**%24f%24%20can%20have%20at%20most%20%242%24%20horizontal%20asymptotes**%3B%0A%20%20%20%204.%20%24%5Cdots%24%0A%0A%20%20%20%20All%20these%20limits%2C%20as%20before%2C%20do%20not%20necessarily%20exist.%0A%0A%20%20%20%20It%20is%20not%20really%20meaningful%2C%20however%2C%20to%20talk%20about%20'the%20right-side-limit%20as%20%24x%24%20goes%20to%20infinity'%2C%20since%20infinity%20means%20being%20'arbitrarily%20large'%2C%20and%20it%20does%20not%20make%20much%20sense%20to%20have%20numbers%20to%20be%20'larger%20than%20arbitrarily%20large'.%20In%20this%20sense%2C%20'as%20%24x%24%20goes%20to%20infinity'%20automatically%20means%20the%20left-side-limit.%0A%0A%20%20%20%20Another%20remark%20is%20that%20'infinity'%20is%20not%20a%20number%2C%20or%20in%20symbolic%20language%2C%20%24%5Cinfty%20%5Cnotin%20%5Cmathbb%7BR%7D%24.%20It%20is%20a%20rather%20abstract%20concept%20that%20is%20'larger%20than%20any%20given%20number'.%20In%20particular%2C%20if%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20a%7Df(x)%20%3D%20%5Cinfty%24%2C%20**we%20still%20say%20the%20limit%20does%20NOT%20exist**.%20Sometimes%20people%20call%20limits%20of%20this%20form%20'improper%20limits'.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20Slant%20Asymptote%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20info%0A%0A%20%20%20%20There%20is%20another%20term%20called%20a%20slant%20asymptote.%20It%20happens%20to%20a%20rational%20function%20when%20the%20degree%20of%20the%20polynomial%20on%20the%20numerator%20is%20larger%20than%20the%20degree%20of%20the%20polynomial%20on%20the%20denominator.%20To%20find%20the%20slant%20asymptote%2C%20do%20a%20long%20division%20and%20collect%20terms%20with%20non-negative%20degree.%20For%20example%2C%20the%20function%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7Bx%5E3%7D%7Bx%5E2%20-%201%7D%24%20has%20a%20slant%20asymptote.%20Since%20it%20equals%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7Bx(x%5E2-1)%20%2B%20%5Ctext%7Bextra%20terms%7D%7D%7Bx%5E2-1%7D%24%2C%20the%20slant%20asymptote%20line%20is%20%24y%20%3D%20x%24.%0A%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(go%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Define%20domains%2C%20avoiding%20x%20%3D%202%20(vertical%20asymptote)%0A%20%20%20%20x31%20%3D%20np.linspace(-10%2C%201.95%2C%20500)%0A%20%20%20%20x32%20%3D%20np.linspace(2.05%2C%2010%2C%20500)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Function%20definition%0A%20%20%20%20y31%20%3D%20(x31**2%20%2B%201)%20%2F%20(x31%20-%202)%0A%20%20%20%20y32%20%3D%20(x32**2%20%2B%201)%20%2F%20(x32%20-%202)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Slant%20asymptote%3A%20y%20%3D%20x%20%2B%202%0A%20%20%20%20asymptote1%20%3D%20x31%20%2B%202%0A%20%20%20%20asymptote2%20%3D%20x32%20%2B%202%0A%0A%20%20%20%20%23%20Plot%0A%20%20%20%20fig_3%20%3D%20go.Figure()%0A%0A%20%20%20%20%23%20f(x)%0A%20%20%20%20fig_3.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(x%3Dx31%2C%20y%3Dy31%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3D%22f(x)%22%2C%20line%3Ddict(color%3D%22blue%22))%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20fig_3.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx32%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dy32%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22blue%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Slant%20asymptote%0A%20%20%20%20fig_3.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx31%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dasymptote1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Slant%20Asymptote%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22red%22%2C%20dash%3D%22dot%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20fig_3.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx32%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dasymptote2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22red%22%2C%20dash%3D%22dot%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Vertical%20asymptote%0A%20%20%20%20fig_3.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B2%2C%202%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B-100%2C%20100%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Vertical%20Asymptote%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22black%22%2C%20dash%3D%22dot%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Layout%0A%20%20%20%20fig_3.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Dr%22f(x)%20%3D%20(x%C2%B2%20%2B%201)%20%2F%20(x%20-%202)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22x%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22f(x)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_range%3D%5B-50%2C%2050%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20template%3D%22plotly_white%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%201%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%201.%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%200%5E%2B%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%20%3D%20%5Cinfty%24%3B%0A%20%20%20%202.%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20%5Cpi%5E-%7D%20%5Ccot(x)%20%3D%20-%5Cinfty%24%3B%0A%20%20%20%203.%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%20%3D%200%24%3B%0A%20%20%20%204.%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7Bx%7D%7Bx%5E3%20%2B%201%7D%20%3D%200%24%3B%0A%20%20%20%205.%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%20%5Csin(x)%20%3D%20%5Ctext%7BDNE%7D%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%202%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Find%20vertical%20and%20horizontal%20asymptotes%20of%20%24%5Cdisplaystyle%20f(x)%20%3D%20%5Cfrac%7B2x%5E2%20%2B%20x%20-%201%7D%7Bx%5E2%20%2B%20x%20-%202%7D%24.%0A%0A%20%20%20%201.%20**Vertical%20asymptotes%20happen%20when%2C%20for%20rational%20functions%2C%20the%20denominator%20is%20zero%20(i.e.%20the%20function%20is%20not%20defined)**.%20In%20this%20case%20it%20means%20%24x%5E2%20%2B%20x%20-%202%20%3D%200%24%2C%20thus%20%24x%20%3D%20-2%24%20or%20%241%24%3B%0A%20%20%20%202.%20**Horizontal%20asymptotes%20happen%20at%20the%20line%20%24y%20%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20%5Cinfty%7Df(x)%24%20and%20%24y%20%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20-%20%5Cinfty%7Df(x)%24%20given%20that%20the%20limit%20exists**.%20In%20this%20case%2C%20both%20limits%20are%20%242%24%2C%20see%20below%20for%20evaluation.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Theorem%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22Let%20%24r%20%3E%200%24%20be%20an%20rational%20number%20and%20%24c%24%20be%20any%20real%20number%2C%20then%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bc%7D%7Bx%5Er%7D%20%3D%200%24%20and%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20-%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7Bc%7D%7Bx%5Er%7D%20%3D%200%24.%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Indeterminate%20Forms%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Since%20%24%5Cinfty%24%20is%20not%20a%20number%2C%20it%20is%20**not%20necessarily%20true**%20that%20we%20can%20do%20arithmetic%20operations%20involving%20%24%5Cinfty%24.%20For%20example%2C%20to%20evaluate%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20%5Cinfty%7D2x%5E2%20-%20x%24%20or%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20%5Cinfty%7Dx%20-%202x%5E2%24%2C%20we%20cannot%20simply%20use%20the%20Main%20Limit%20Theorem%20in%20section%201.4%2C%20and%20get%20that%20the%20result%20is%20%24%5Cinfty%20-%20%5Cinfty%24%2C%20because%20this%20does%20not%20tell%20us%20much%20information.%0A%0A%20%20%20%20There%20are%20four%20indeterminate%20forms%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20%24%5Cinfty%20-%20%5Cinfty%24%2C%20for%20example%2C%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20%5Cinfty%7D2x%5E2%20-%20x%24%3B%0A%20%20%20%202.%20%24%5Cinfty%20%5Ccdot%200%24%2C%20for%20example%2C%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%200%7Dx%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%2B1%7D%24%3B%0A%20%20%20%203.%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7B0%7D%7B0%7D%24%2C%20for%20example%2C%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%200%7D%5Cfrac%7B%5Csin(x)%7D%7Bx%7D%24%3B%0A%20%20%20%204.%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7B%5Cinfty%7D%7B%5Cinfty%7D%24%2C%20for%20example%2C%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B2x%2B5%7D%7B3x%5E5%2B3x%2B3%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20There%20are%20other%20indeterminate%20forms%2C%20you%20are%20likely%20to%20learn%20them%20in%20Calculus%202.%0A%0A%20%20%20%20When%20a%20limit%20is%20of%20indeterminate%20form%2C%20**anything%20can%20happen%20to%20the%20result**.%20For%20example%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20%5Cinfty%7D2x%5E2%20-%20x%24%3B%0A%20%20%20%202.%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20%5Cinfty%7Dx%20-%202x%5E2%24%3B%0A%20%20%20%203.%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20%5Cinfty%7Dx%20-%20x%24%2C%0A%0A%20%20%20%20are%20all%20of%20the%20form%20%24%5Cinfty%20-%20%5Cinfty%24%2C%20but%20their%20values%20are%20%24%5Cinfty%2C%20-%5Cinfty%24%2C%20and%20%240%24%2C%20respectively.%0A%0A%20%20%20%20The%20third%20example%20right%20above%20is%20a%20bit%20silly%2C%20but%20it%20does%20suggest%20us%20one%20of%20the%20way%20to%20solve%20indeterminate%20forms%2C%20that%20is%20to%20use%20**factoring%20and%20simplification**.%0A%0A%20%20%20%20Though%20as%20mentioned%20before%2C%20operations%20involving%20%24%5Cinfty%24%20(and%20%240%24)%20do%20**not%20necessarily**%20follow%20the%20arithmetic%20rules%2C%20but%20**some%20of%20them%20does%20follow%20the%20rule**%20in%20the%20intuitive%20sense.%20For%20example%2C%20%24%5Cinfty%20%2B%20%5Cinfty%24%20can%20be%20thought%20at%20'something%20that%20is%20arbitrarily%20large%20plus%20something%20that%20is%20also%20arbitrarily%20large'%20-%20and%20apparently%2C%20you%20get%20another%20thing%20that%20is%20even%20larger%20-%20which%20is%20also%20arbitrarily%20large.%20So%20for%20example%2C%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%20x%20%2B%20x%5E2%24%20is%20infinity.%0A%0A%20%20%20%20Like%20above%20Theorem%2C%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7Bc%7D%7B%5Cpm%20%5Cinfty%7D%24%20is%20also%20**not**%20an%20indeterminate%20form.%20It%20has%20limit%20%240%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20The%20method%20we%20use%20is%20referred%20as%20'quotient%20by%20the%20highest%20power'.%0A%0A%20%20%20%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7B3x%2B5%7D%7Bx-4%7D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B3x%7D%7Bx%7D%2B%5Cfrac%7B5%7D%7Bx%7D%7D%7B%5Cfrac%7Bx%7D%7Bx%7D-%5Cfrac%7B4%7D%7Bx%7D%7D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B3%20%2B%20%5Cfrac%7B5%7D%7Bx%7D%7D%7B1%20-%20%5Cfrac%7B4%7D%7Bx%7D%7D%24%2C%20now%20we%20use%20the%20above%20theorem%20that%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%20%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B5%7D%7Bx%7D%20%3D%200%24%20and%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B4%7D%7Bx%7D%20%3D%200%24%2C%20so%20the%20limit%20we%20have%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Cfrac%7B3%2B0%7D%7B1%20-%200%7D%20%3D%203%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Important%20Remark%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20You%20must%20write%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20a%7D%24%20operator%20**at%20each%20step**.%0A%0A%20%20%20%20You%20*can*%20just%20write%20%24%5Clim%24%20(without%20%24x%20%5Cto%20a%24)%20**starting%20from%20the%20second%20step**%2C%20if%20you%20are%20not%20changing%20%24a%24.%20However%2C%20you%20**cannot**%20completely%20omit%20the%20limit%20operator%20-%20it%20is%20mathematically%20**wrong**%20if%20you%20do%20so.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20More%20Examples%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%201.%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%20%5Csqrt%7B64x%5E2%20%2B%20x%7D%20-%208x%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%20%5Cinfty%7D(%5Csqrt%7B64x%5E2%2Bx%7D-8x)%5Ccdot%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B64x%5E2%2Bx%7D%2B8x%7D%7B%5Csqrt%7B64x%5E2%2Bx%7D%2B8x%7D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%20%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B64x%5E2%2Bx-64x%5E2%7D%7B%5Csqrt%7B64x%5E2%2Bx%7D%2B8x%7D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%20%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bx%7D%7B%5Csqrt%7B64x%5E2%2Bx%7D%2B8x%7D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%20%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B64%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%7D%2B8%7D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B64%7D%2B8%7D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B16%7D%24%3B%0A%20%20%20%202.%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B4x%5E2%2B5%7D%7D%7Bx-2%7D%20%3D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%20%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B4x%5E2%2B5%7D%2Fx%7D%7B(x-2)%2Fx%7D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%20%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B4x%5E2%7D%7Bx%5E2%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B5%7D%7Bx%5E2%7D%7D%7D%7B%5Cfrac%7Bx%7D%7Bx%7D-%20%5Cfrac%7B2%7D%7Bx%7D%7D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%20%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B4%20%2B%20%5Cfrac%7B5%7D%7Bx%5E2%7D%7D%7D%7B1%20-%20%5Cfrac%7B2%7D%7Bx%7D%7D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B4%7D%7D%7B1%7D%20%3D%202%24.%20**Notice%20here%20the%20'highest%20power'%20is%20%241%24**%2C%20instead%20of%20%242%24%2C%20that%20is%20because%20terms%20appear%20inside%20a%20square-root%20only%20have%20half%20of%20the%20power%20as%20it%20appears%20to%20have%2C%20e.g.%20%24%5Csqrt%7Bx%5E8%7D%24%20is%20actually%20a%20term%20with%20degree%20%244%24.%0A%0A%20%20%20%20A%20particularly%20interesting%20example%20as%20a%20variation%20is%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20-%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B4x%5E2%2B5%7D%7D%7Bx-2%7D%20%3D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%20-%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B4x%5E2%2B5%7D%2Fx%7D%7B(x-2)%2Fx%7D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%20%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7B%7B%5Ccolor%7Bred%7D-%7D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B4x%5E2%7D%7Bx%5E2%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B5%7D%7Bx%5E2%7D%7D%7D%7B%5Cfrac%7Bx%7D%7Bx%7D-%20%5Cfrac%7B2%7D%7Bx%7D%7D%24%20%24%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%20%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7B%7B%5Ccolor%7Bred%7D-%7D%5Csqrt%7B4%20%2B%20%5Cfrac%7B5%7D%7Bx%5E2%7D%7D%7D%7B1%20-%20%5Cfrac%7B2%7D%7Bx%7D%7D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%7B%5Ccolor%7Bred%7D-%7D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B4%7D%7D%7B1%7D%20%3D%20-2%24.%20This%20is%20because%20%24%5Csqrt%7Bx%5E2%7D%20%3D%20%7Cx%7C%24%2C%20thus%20if%20%24x%24%20is%20negative%2C%20we%20have%20%24%5Csqrt%7Bx%5E2%7D%20%3D%20-x%24.%20This%20makes%20sense%3A%20the%20expression%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B4x%5E2%2B5%7D%7D%7Bx-2%7D%24%2C%20when%20%24x%24%20is%20negative%2C%20is%20a%20positive%20number%20(square%20root%20is%20always%20non-negative%2C%20by%20definition)%20divided%20by%20a%20negative%20number%2C%20thus%20a%20negative%20number.%0A%0A%20%20%20%20Moral%20of%20the%20story%3A%20be%20very%20careful%20about%20signs%2C%20especially%20when%20square%20root%20is%20involved.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A