Calculus I 4

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.13.7%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20nav_menu%20%3D%20mo.nav_menu(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Findex.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Ahome')%7D%20Home%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20orientation%3D%22vertical%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20nav_menu%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%201.5%20Continuity%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Continuity%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Recall%20in%20the%20last%20lecture%20we%20had%20a%20theorem%20(rule%209.%20In%20Main%20Limit%20Theorem)%3A%20if%20we%20somehow%20know%20%24f%24%20is%20continuous%20at%20%24a%24%2C%20then%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%20a%7Df(x)%20%3D%20f(a)%24.%0A%0A%20%20%20%20In%20fact%2C%20this%20is%20the%20definition%20(meaning%20this%20is%20an%20'if%20and%20only%20if'%20statement)%20of%20continuous%20function%3A%0A%0A%20%20%20%20A%20function%20%24f%24%20is%20continuous%20at%20%24a%24%20if%20(and%20only%20if)%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20a%7Df(x)%20%3D%20f(a)%24.%20Notice%20by%20writing%20down%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20a%7Df(x)%20%3D%20f(a)%24%2C%20we%20are%20assuming%20that%20the%20limit%20of%20%24f(x)%24%20as%20%24x%24%20approaches%20to%20%24a%24%20exists%20(left-hand-side%20of%20the%20equation)%2C%20and%20%24a%24%20is%20in%20the%20domain%20of%20%24f%24%20(right-hand-side%20of%20the%20equation).%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20Domain%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20info%0A%0A%20%20%20%20If%20%24a%24%20is%20not%20in%20the%20domain%20of%20%24f%24%2C%20then%20%24f%24%20cannot%20be%20continuous%20at%20%24a%24.%0A%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20Contraposition%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20danger%0A%0A%20%20%20%20Suppose%20the%20statement%20'if%20I%20have%20class%2C%20then%20I%20go%20to%20school'%20is%20given.%0A%0A%20%20%20%201.%20If%20I%20go%20to%20school%2C%20does%20it%20mean%20that%20I%20necessarily%20have%20class%3F%20**No**!%20I%20can%20still%20go%20to%20school%20if%20I%20do%20not%20have%20class.%0A%20%20%20%202.%20If%20I%20do%20not%20go%20to%20school%2C%20does%20it%20mean%20that%20I%20necessarily%20do%20not%20have%20class%3F%20**Yes**!%20Otherwise%20the%20statement%20is%20false.%0A%0A%20%20%20%20In%20general%2C%20the%20statement%20'if%20P%2C%20then%20Q'%20is%20equivalent%20with%20'if%20not%20Q%2C%20then%20not%20P'%2C%20its%20contraposition%2C%20and%20is%20**not**%20equivalent%20with%20'if%20Q%2C%20then%20P'.%0A%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Like%20limit%2C%20we%20can%20define%20one-side-continuity%3A%20a%20function%20%24f%24%20is%20continuous%20from%20the%20right%20at%20%24a%24%20if%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20a%5E%2B%7Df(x)%20%3D%20f(a)%24%2C%20and%20is%20continuous%20from%20the%20left%20at%20%24a%24%20if%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20a%5E-%7Df(x)%20%3D%20f(a)%24.%0A%0A%20%20%20%20If%20%24f%24%20is%20not%20continuous%20at%20%24a%24%2C%20we%20can%20also%20say%20that%20%24f%24%20is%20discontinuous%20at%20%24a%24.%0A%0A%20%20%20%20If%20%24f%24%20is%20continuous%20at%20every%20point%20in%20on%20an%20interval%2C%20we%20say%20%24f%24%20is%20continuous%20on%20that%20interval.%20If%20%24f%24%20is%20continuous%20at%20every%20point%20in%20its%20domain%2C%20we%20simply%20say%20%24f%24%20is%20continuous%2C%20**note%20that%20a%20continuous%20function%20is%20still%20discontinuous%20at%20points%20that%20are%20not%20in%20its%20domain**.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%20(Continuity)%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%201.%20%24%5Cdisplaystyle%20f(x)%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%24%20is%20discontinuous%20at%20%240%24%2C%20because%20%240%24%20is%20not%20even%20in%20its%20domain%3B%20but%20as%20the%20same%20time%2C%20%24%5Cdisplaystyle%20f(x)%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%24%20**is**%20a%20continuous%20function%2C%20because%20it%20is%20continuous%20at%20every%20point%20in%20its%20domain%20which%20is%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%5Csetminus%20%5Clbrace%200%20%5Crbrace%24%3B%0A%20%20%20%202.%20%24f(x)%20%3D%20%5Clfloor%20x%20%5Crfloor%24%20is%20discontinuous%20at%20every%20integer%20%24x%24%3B%0A%20%20%20%203.%20%24f(x)%20%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bx%5E2%2B9%7D-3%7D%7Bx%5E2%7D%2C%20%26%20x%20%5Cne%200%20%5C%5C%20%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%2C%20%26%20x%20%3D%200%5Cend%7Bcases%7D%24%20is%20continuous%20everywhere%2C%20because%20in%20last%20section%20we%20showed%20that%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%200%7D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bx%5E2%2B9%7D-3%7D%7Bx%5E2%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%24%3B%0A%20%20%20%204.%20Similarly%2C%20if%20in%20contrary%20we%20define%20%24f(x)%20%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bx%5E2%2B9%7D-3%7D%7Bx%5E2%7D%2C%20%26%20x%20%5Cne%200%20%5C%5C%201%2C%20%26%20x%20%3D%200%5Cend%7Bcases%7D%24%2C%20then%20%24f%24%20is%20discontinuous%20at%20%24x%20%3D%200%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Construct%20a%20Continuous%20Function%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20If%20%24f%2C%20g%24%20are%20continuous%20at%20%24a%24%2C%20then%20%24f%2Bg%2C%20f-g%2C%20f%5Ccdot%20g%2C%20f%2Fg%24%20(provided%20that%20%24g(a)%5Cne%200%24)%20are%20continuous%20at%20%24a%24.%0A%0A%20%20%20%20If%20%24g%24%20is%20continuous%20at%20%24a%24%20and%20%24g(a)%3Db%24%2C%20and%20%24f%24%20is%20continuous%20at%20%24b%24%2C%20then%20%24f%20%5Ccirc%20g%24%20is%20continuous%20at%20%24a%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Typical%20Continuous%20Functions%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%201.%20Polynomials%20are%20continuous%20(in%20particular%2C%20constant%20function%20is%20continuous)%3B%0A%20%20%20%202.%20Rational%20functions%20are%20continuous%20**on%20its%20domain**%2C%20in%20particular%2C%20they%20are%20not%20continuous%20at%20the%20points%20that%20make%20the%20denominator%20zero%3B%0A%20%20%20%203.%20Root%20functions%20are%20continuous%20(on%20its%20domain)%3B%0A%20%20%20%204.%20Trigonometry%20functions%20are%20continuous%20on%20their%20domain%3A%20%24%5Csin(x)%24%20and%20%24%5Ccos(x)%24%20are%20continuous%20at%20all%20points%2C%20%24%5Ctan(x)%2C%20%5Ccot(x)%2C%20%5Csec(x)%24%20and%20%24%5Ccsc(x)%24%20are%20continuous%20except%20at%20points%20where%20they%20are%20not%20defined.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Find%20all%20possible%20constant%20%24c%24%20that%20makes%20%24f%24%20continuous%3A%20%24%24f(x)%20%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20x%20%2B%20c%2C%20%26%20x%20%3C0%2C%20%5C%5C%202x%5E2%20-%20c%5E2%2C%20%26%20x%20%5Cge%200.%5Cend%7Bcases%7D%24%24%20No%20matter%20what%20%24c%24%20is%2C%20%24f%24%20is%20a%20polynomial%20on%20%24x%3C0%24%2C%20so%20%24f%24%20is%20continuous%20if%20%24x%3C0%24.%20**Similarly%20%24f%24%20is%20continuous%20if%20%24x%3E0%24**%20(excluding%20%240%24).%20The%20only%20possible%20problematic%20point%20is%20%24x%20%3D%200%24.%0A%0A%20%20%20%20At%20%24x%20%3D%200%24%2C%20we%20have%20that%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%200%5E-%7Df(x)%20%3D%200%20%2B%20c%20%3Dc%24%20and%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%200%5E%2B%7Df(x)%20%3D%200%20-%20c%5E2%20%3D%20-c%5E2%24.%20We%20need%20they%20to%20be%20the%20same%2C%20thus%20we%20solve%20for%20%24c%20%3D%20-c%5E2%24%20or%20%24c(c%2B1)%20%3D%200%24%2C%20we%20get%20either%20%24c%20%3D%200%24%20or%20%24c%20%3D%20-1%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20Open%20and%20Closed%20Interval%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20danger%0A%0A%20%20%20%20Why%20can't%20we%20just%20say%20'Similarly%20%24f%24%20is%20continuous%20if%20%24x%5Cge%200%24'%20(closed%20interval)%3F%0A%0A%20%20%20%20This%20is%20because%20we%20need%20two-sided%20limit%2C%20and%20if%20we%20just%20look%20at%20the%20interval%20%24%5B0%2C%20%5Cinfty)%24%20then%20at%20%240%24%20we%20only%20have%20right-side%20limit.%0A%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Intermediate%20Value%20Theorem%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22Suppose%20%24f%24%20is%20continuous%20on%20an%20closed%20interval%20%24%5Ba%2C%20b%5D%24%2C%20and%20%24f(a)%20%5Cne%20f(b)%24.%20Let%20%24m%24%20be%20a%20number%20between%20%24f(a)%24%20and%20%24f(b)%24%2C%20then%20there%20exists%20a%20number%20%24c%20%5Cin%20(a%2C%20b)%24%20such%20that%20%24f(c)%20%3D%20m%24.%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A