Calculus I 3

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.13.7%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20plotly.graph_objects%20as%20go%0A%0A%20%20%20%20return%20go%2C%20mo%2C%20np%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20nav_menu%20%3D%20mo.nav_menu(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Findex.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Ahome')%7D%20Home%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20orientation%3D%22vertical%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20nav_menu%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%201.4%20Calculating%20Limits%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Limit%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22Recall%20that%20we%20say%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%20a%7Df(x)%20%3D%20L%24%20if%20there%20exists%20%24L%24%20such%20that%20%24f(x)%24%20is%20arbitrarily%20close%20to%20%24L%24%20whenever%20%24x%24%20is%20sufficiently%20close%20to%20%24a%24.%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Main%20Limit%20Theorem%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20We%20can%20do%20operations%20on%20limits%20in%20the%20usual%20sense.%20Remember%20we%20cannot%20simply%20divide%20number%20by%20zero.%20Suppose%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%20a%7Df(x)%24%20and%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%20a%7Dg(x)%24%20both%20exists%20and%20%24c%24%20denotes%20a%20constant%2C%20then%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%20a%7D(f(x)%2Bg(x))%20%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%20a%7Df(x)%2B%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%20a%7Dg(x)%24%3B%0A%20%20%20%202.%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%20a%7D(f(x)-g(x))%20%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%20a%7Df(x)-%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%20a%7Dg(x)%24%3B%0A%20%20%20%203.%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%20a%7D(f(x)%5Ccdot%20g(x))%20%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%20a%7Df(x)%20%5Ccdot%20%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%20a%7Dg(x)%24%3B%0A%20%20%20%204.%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%20a%7D%5Cfrac%7Bf(x)%7D%7Bg(x)%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%20a%7Df(x)%7D%7B%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%20a%7Dg(x)%7D%24%20provided%20that%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%20a%7Dg(x)%20%5Cne%200%24%3B%0A%20%20%20%205.%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%20a%7D(cf(x))%20%3D%20c%20%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%20a%7Df(x)%24%3B%0A%20%20%20%206.%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%20a%7D(f(x))%5En%20%3D%20(%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%20a%7Df(x))%5En%24%3B%0A%20%20%20%207.%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%20a%7D%5Csqrt%5Bn%5D%7Bf(x)%7D%20%3D%20%5Csqrt%5Bn%5D%7B%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%20a%7Df(x)%7D%24%3B%0A%20%20%20%208.%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%20a%7Dc%20%3D%20c%24%3B%0A%20%20%20%209.%20**If%20we%20somehow%20know%20%24f%24%20is%20continuous%20at%20%24a%24**%2C%20then%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%20a%7Df(x)%20%3D%20f(a)%24.%0A%0A%20%20%20%20These%20statements%20also%20work%20for%20one-side-limits%3A%20replace%20all%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20a%7D%24%20by%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20a%5E%2B%7D%24%20or%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20a%5E-%7D%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%20(Evaluating%20Limits)%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%201.%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%202%7D%5Cfrac%7Bx%5E2%20%2B%205x%20%2B%203%7D%7Bx-1%7D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Cfrac%7B2%5E2%2B5%5Ccdot%202%20%2B%203%7D%7B2-1%7D%24%20%24%3D17%24%3B%0A%20%20%20%202.%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%200%7D(%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2-x%7D)%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%200%7D%5Cfrac%7Bx%7D%7Bx%5E2-x%7D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%200%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx-1%7D%24%20%24%3D-1%24%3B%0A%20%20%20%203.%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%200%7D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bx%5E2%2B9%7D-3%7D%7Bx%5E2%7D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%200%7D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bx%5E2%2B9%7D-3%7D%7Bx%5E2%7D%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bx%5E2%2B9%7D%2B3%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E2%2B9%7D%2B3%7D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Bx%5E2(%5Csqrt%7Bx%5E2%2B9%7D%2B3)%7D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%200%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B(%5Csqrt%7Bx%5E2%2B9%7D%2B3)%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Theorem%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%20a%7Df(x)%20%3D%20L%24%20if%20and%20only%20if%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%20a%5E%2B%7Df(x)%20%3D%20L%24%20and%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%20a%5E-%7Df(x)%20%3D%20L%24%2C%20with%20the%20possible%20exceptions%20at%20end-points.%0A%0A%20%20%20%20For%20example%2C%20if%20we%20are%20given%20%24f(x)%24%20whose%20domain%20is%20%24%5B1%2C2%5D%24%2C%20then%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%201%5E-%7Df(x)%24%20does%20not%20make%20much%20sense%20because%20there%20is%20no%20%24x%24%20in%20the%20domain%20of%20%24f%24%20such%20is%20smaller%20than%20%241%24%3A%20in%20this%20case%2C%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%201%7Df(x)%20%3D%20L%24%20as%20long%20as%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%201%5E%2B%7Df(x)%20%3D%20L%24.%20Similar%20for%20the%20other%20end-point.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%201%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Consider%20the%20function%20%24%24f(x)%20%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20x%5E2%2B5x%2C%20%26%20x%3C2%2C%5C%5C%206x%2B2%2C%20%26%20x%20%5Cge%202.%20%5Cend%7Bcases%7D%24%24%0A%20%20%20%20Does%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%202%7Df(x)%24%20exist%3F%20If%20it%20does%2C%20what%20is%20it%3F%0A%20%20%20%20Using%20rule%209.%20(why%20are%20these%20function%20continuous%3F%20We%20(will)%20know%20(that%20from%20Section%201.5%20that)%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%202%5E-%7Df(x)%20%3D%202%5E2%20%2B%205%5Ccdot%202%20%3D%2014%24%2C%20and%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%202%5E%2B%7Df(x)%20%3D%206%5Ccdot%202%20%2B%202%20%3D%2014%24.%20Since%20they%20are%20equal%2C%20by%20the%20above%20theorem%2C%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%202%7Df(x)%24%20exists%20and%20equals%20%2414%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(go%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Define%20x%20ranges%0A%20%20%20%20x1%20%3D%20np.linspace(-5%2C%202%2C%20300%2C%20endpoint%3DFalse)%20%20%23%20x%20%3C%202%0A%20%20%20%20x2%20%3D%20np.linspace(2%2C%205%2C%20300)%20%20%23%20x%20%3E%3D%202%0A%0A%20%20%20%20%23%20Define%20y%20values%20for%20each%20piece%0A%20%20%20%20y1%20%3D%20x1**2%20%2B%205%20*%20x1%0A%20%20%20%20y2%20%3D%206%20*%20x2%20%2B%202%0A%0A%20%20%20%20%23%20Evaluate%20the%20function%20exactly%20at%20x%20%3D%202%0A%20%20%20%20x_split%20%3D%202%0A%20%20%20%20y_split%20%3D%206%20*%20x_split%20%2B%202%20%20%23%20Since%20x%20%3D%202%20is%20included%20in%20the%20second%20piece%0A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20figure%0A%20%20%20%20fig%20%3D%20go.Figure()%0A%0A%20%20%20%20%23%20Add%20first%20piece%3A%20solid%20line%0A%20%20%20%20fig.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx1%2C%20y%3Dy1%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3D%22x%C2%B2%20%2B%205x%22%2C%20line%3Ddict(dash%3D%22solid%22%2C%20width%3D3)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Add%20second%20piece%3A%20dashed%20line%0A%20%20%20%20fig.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx2%2C%20y%3Dy2%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3D%226x%20%2B%202%22%2C%20line%3Ddict(dash%3D%22dash%22%2C%20width%3D3)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Add%20splitting%20point%20marker%0A%20%20%20%20fig.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5Bx_split%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5By_split%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22markers%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22transition%20point%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(size%3D10%2C%20color%3D%22red%22%2C%20symbol%3D%22circle%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Layout%20customization%0A%20%20%20%20fig.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Piecewise%20Function%20Visualization%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22x%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22f(x)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20template%3D%22plotly_white%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20fig.show()%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%202%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20The%20step%20function%20is%20defined%20to%20be%20%24f(x)%20%3D%20%5Clfloor%20x%20%5Crfloor%24%20which%20denote%20the%20largest%20integer%20smaller%20than%20or%20equals%20to%20%24x%24.%20For%20example%2C%20%24%5Clfloor%202%20%5Crfloor%20%3D%202%24%2C%20%24%5Clfloor%202.5%20%5Crfloor%20%3D%202%24%2C%20and%20%24%5Clfloor%20-2.3%20%5Crfloor%20%3D%20-3%24.%0A%0A%20%20%20%20The%20step%20function%20does%20not%20have%20limit%20at%20all%20integers.%20For%20example%2C%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto2%5E-%7Df(x)%20%3D%202%24%20but%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%202%5E%2B%7Df(x)%20%3D%203%24%2C%20thus%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%202%7D%20f(x)%24%20does%20not%20exist.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Lemma%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22Suppose%20%24f(x)%20%5Cle%20g(x)%24%20when%20%24x%24%20is%20near%20%24a%24%20(except%20possibly%20at%20%24a%24)%2C%20and%20both%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%20a%7Df(x)%24%2C%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%20a%7Dg(x)%24%20exist%2C%20then%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%20a%7Df(x)%20%5Cle%20%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%20a%7Dg(x)%24.%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Squeeze%20Theorem%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22Suppose%20%24f(x)%20%5Cle%20g(x)%20%5Cle%20h(x)%24%20when%20%24x%24%20is%20near%20%24a%24%20(except%20possibly%20at%20%24a%24)%2C%20and%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%20a%7Df(x)%20%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20a%7Dh(x)%20%3D%20L%24%2C%20then%20we%20also%20have%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20a%7Dg(x)%20%3D%20L%24.%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%20(Squeeze%20Theorem)%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Evaluate%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%200%7Dx%5E2%5Ccdot%5Csin(%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D)%24.%0A%0A%20%20%20%20As%20we%20known%20from%20last%20lecture%2C%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%200%7D%5Csin(%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D)%24%20does%20not%20exist%2C%20so%20we%20cannot%20just%20calculate%20the%20limits%20for%20two%20parts%20and%20multiply%20them%20together.%20We%20use%20the%20Squeeze%20Theorem.%0A%0A%20%20%20%20Notice%20that%20%24%5Cdisplaystyle%20-1%20%5Cle%20%5Csin(%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D)%20%5Cle%201%24%2C%20thus%20we%20have%20%24%5Cdisplaystyle%20-x%5E2%20%5Cle%20x%5E2%5Ccdot%5Csin(%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D)%20%5Cle%20x%5E2%24.%20Now%20we%20know%20that%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%200%7D-x%5E2%20%3D%200%24%20and%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%200%7Dx%5E2%20%3D%200%24%20(using%20rule%209.)%2C%20thus%20by%20the%20Squeeze%20Theorem%2C%20we%20have%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%200%7Dx%5E2%5Ccdot%5Csin(%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D)%20%3D%200%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20An%20Important%20Limit%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%24%24%5Cboxed%7B%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%200%7D%5Cfrac%7B%5Csin(x)%7D%7Bx%7D%20%3D%201%7D.%24%24%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(go%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Angle%20x%20(sample%3A%20pi%2F5)%0A%20%20%20%20x_angle%20%3D%20np.pi%20%2F%205%0A%20%20%20%20x_point%20%3D%20np.cos(x_angle)%0A%20%20%20%20y_point%20%3D%20np.sin(x_angle)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Unit%20circle%20first%20quadrant%0A%20%20%20%20theta_circle%20%3D%20np.linspace(0%2C%20np.pi%20%2F%202%2C%20400)%0A%20%20%20%20x_circle%20%3D%20np.cos(theta_circle)%0A%20%20%20%20y_circle%20%3D%20np.sin(theta_circle)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Sector%20arc%20(0%20to%20x)%0A%20%20%20%20theta_arc%20%3D%20np.linspace(0%2C%20x_angle%2C%20100)%0A%20%20%20%20x_arc%20%3D%20np.cos(theta_arc)%0A%20%20%20%20y_arc%20%3D%20np.sin(theta_arc)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Tangent%20line%20at%20(cos(x)%2C%20sin(x))%0A%20%20%20%20slope_tangent%20%3D%20-np.cos(x_angle)%20%2F%20np.sin(x_angle)%0A%20%20%20%20x_tangent_range%20%3D%20np.linspace(x_point%2C%20x_point%20%2B%200.4254%2C%2050)%0A%20%20%20%20y_tangent%20%3D%20slope_tangent%20*%20(x_tangent_range%20-%20x_point)%20%2B%20y_point%0A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20figure%0A%20%20%20%20fig_circle%20%3D%20go.Figure()%0A%0A%20%20%20%20%23%20Sector%20arc%0A%20%20%20%20fig_circle.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_arc%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dy_arc%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22blue%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Sector%20Arc%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%0A%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20fig_circle.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_arc*0.1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dy_arc*0.1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22grey%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Sector%20Arc%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%0A%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Angle%20arm%0A%20%20%20%20fig_circle.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B0%2C%20x_point%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B0%2C%20y_point%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22black%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%0A%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20%23%20sin(x)%20projection%0A%20%20%20%20fig_circle.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5Bx_point%2C%20x_point%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B0%2C%20y_point%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22red%22%2C%20dash%3D%22dot%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%0A%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Tangent%20line%20at%20point%20(cos(x)%2C%20sin(x))%0A%20%20%20%20fig_circle.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_tangent_range%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dy_tangent%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22green%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Tangent%20at%20x%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%0A%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20%23%20%CE%B8%20label%0A%20%20%20%20fig_circle.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B0.15%20*%20np.cos(x_angle%20%2F%202)%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B0.15%20*%20np.sin(x_angle%20%2F%202)%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22text%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5B%22x%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20textfont%3Ddict(size%3D14)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%0A%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20%23%20sin(x)%20label%0A%20%20%20%20fig_circle.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B0.7%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B0.3%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22text%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5B%22sin(x)%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20textfont%3Ddict(size%3D14%2C%20color%3D'red')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%0A%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Arc%20length%20label%0A%20%20%20%20fig_circle.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5Bx_arc%5B-1%5D%20%2B%200.05%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5By_arc%5B-1%5D%20%2B%200.05%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22text%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5B%22Arc%20Length%20%3D%20x%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20textfont%3Ddict(size%3D14%2C%20color%3D'blue')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%0A%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20fig_circle.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B0.4%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B0.34%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22text%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5B%221%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20textfont%3Ddict(size%3D14%2C%20color%3D'black')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%0A%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20%23%20tan(x)%20label%20(on%20tangent%20line)%0A%20%20%20%20fig_circle.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B1.1%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B0.3%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22text%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5B%22tan(x)%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20textfont%3Ddict(size%3D14%2C%20color%3D'green')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%0A%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20%23%20X%20and%20Y%20axes%0A%20%20%20%20fig_circle.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B-0.1%2C%201.4%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B0%2C%200%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22black%22%2C%20width%3D1)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%0A%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20fig_circle.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B0%2C%200%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B-0.1%2C%200.6%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22black%22%2C%20width%3D1)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%0A%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Layout%0A%20%20%20%20fig_circle.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22First%20Quadrant%3A%20Unit%20Circle%20with%20sin(x)%2C%20arc%20length%20x%2C%20and%20tan(x)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis%3Ddict(scaleanchor%3D%22y%22%2C%20range%3D%5B-0.1%2C%201.3%5D%2C%20showgrid%3DFalse%2C%20zeroline%3DFalse)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis%3Ddict(scaleanchor%3D%22x%22%2C%20range%3D%5B-0.1%2C%200.6%5D%2C%20showgrid%3DFalse%2C%20zeroline%3DFalse)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20template%3D%22plotly_white%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20From%20the%20picture%20we%20can%20see%20when%20%24x%24%20is%20small%20and%20greater%20than%20%240%24%2C%20we%20have%20%24%5Csin(x)%20%3C%20x%20%3C%20%5Ctan(x)%24%2C%20do%20some%20algebra%20we%20have%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7B%5Csin(x)%7D%7Bx%7D%3C1%24%3B%0A%20%20%20%202.%20%24%5Cdisplaystyle%201%20%3C%20%5Cfrac%7B%5Ctan(x)%7D%7Bx%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Csin(x)%7D%7B%5Ccos(x)%5Ccdot%20x%7D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cimplies%20%5Ccos(x)%3C%20%5Cfrac%7B%5Csin(x)%7D%7Bx%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20The%20Squeeze%20Theorem%20applies%20because%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%200%7D%5Ccos(x)%20%3D%201%24%20(rule%209.)%2C%20and%20we%20have%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%200%5E%2B%7D%5Cfrac%7B%5Csin(x)%7D%7Bx%7D%20%3D%201%24.%20For%20%24x%20%3C%200%24%2C%20remember%20sine%20is%20an%20odd%20function%20so%20we%20have%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7B%5Csin(x)%7D%7Bx%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Csin(-x)%7D%7B-x%7D%24%20so%20we%20have%20the%20same%20result.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%201%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Evaluate%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%200%7D%5Cfrac%7B%5Csin(5x)%7D%7B2x%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20At%20a%20first%20glance%2C%20the%20answer%20might%20appear%20to%20be%20%241%24%20as%20a%20direct%20result%20of%20the%20above%20equality%20-%20this%20is%20**not%20correct**.%20The%20above%20equality%20in%20particular%20says%20that%20the%20limit%20of%20%24%5Csin(%5Ctext%7Ban%20expression%7D)%24%20divided%20by%20**the%20same%20expression**%20as%20that%20expression%20goes%20to%20%240%24%2C%20is%20%241%24.%20In%20this%20example%2C%20the%20denominator%20appears%20to%20be%20%242x%24%20but%20the%20top%20has%20%24%5Csin(5x)%24%20instead%20of%20%242x%24%2C%20thus%20we%20need%20some%20extra%20effort.%0A%0A%20%20%20%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%200%7D%5Cfrac%7B%5Csin(5x)%7D%7B2x%7D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%200%7D%5Cfrac%7B%5Csin(5x)%7D%7B2x%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B5%7D%7B5%7D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%200%7D%5Cfrac%7B%5Csin(5x)%7D%7B5x%7D%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D1%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D%24.%20We%20create%20a%20quotient%20that%20is%20indeed%20%24%5Csin(%5Ctext%7Ban%20expression%7D)%24%20divided%20by%20**the%20same%20expression**%2C%20also%20notice%20%245x%24%20indeed%20goes%20to%20%240%24%20if%20%24x%24%20itself%20goes%20to%20%240%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%202%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Now%20we%20know%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%200%7D%5Cfrac%7B%5Csin(x)%7D%7Bx%7D%20%3D%201%24%2C%20what%20about%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%200%7D%5Cfrac%7Bx%7D%7B%5Csin(x)%7D%24%3F%0A%0A%20%20%20%20Simply%20apply%20rule%204.%20And%208.%3A%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%200%7D%5Cfrac%7Bx%7D%7B%5Csin(x)%7D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%200%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cfrac%7B%5Csin(x)%7D%7Bx%7D%7D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%200%7D1%7D%7B%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%200%7D%5Cfrac%7B%5Csin(x)%7D%7Bx%7D%7D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B1%7D%20%3D%201%24%20as%20well.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Summary%3A%20Typical%20Methods%20to%20Evaluate%20a%20Limit%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%201.%20Try%20first%20if%20the%20limit%20is%20of%20an%20indeterminant%20form%20or%20not%2C%20if%20it%20is%20not%2C%20you%20can%20simply%20plug%20in%20value%20to%20get%20result.%20Otherwise%3A%0A%20%20%20%202.%20If%20there%20is%20absolute%20value%20function%20involved%2C%20you%20should%20try%20to%20evaluate%20the%20limit%20from%20left%20and%20right%20separately%3B%0A%20%20%20%203.%20If%20there%20are%20trigonometry%20functions%20involved%2C%20you%20should%20try%20to%20use%20Squeeze%20Theorem%20or%20rewrite%20the%20function%20in%20terms%20of%20%24%5Csin(%5Ccdot)%24%20and%20apply%20the%20important%20limit%3B%0A%20%20%20%204.%20Otherwise%2C%20you%20should%20try%20to%20simplify%20the%20expression%20and%20try%20to%20get%20rid%20of%20the%20indeterminant%20form.%20Typical%20methods%20include%20combining%20fractions%2C%20and%20multiply%2Fquotient%20by%20conjugate%20(useful%20when%20a%20square%20root%20function%2C%20or%20%241%20%5Cpm%20%5Ccos(%5Ccdot)%24%20is%20involved).%0A%0A%20%20%20%20Of%20course%2C%20these%20are%20not%20all%20possible%20methods%20to%20evaluate%20an%20arbitrary%20limit.%20Practice%20more%20and%20see%20what%20else%20can%20happen!%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Another%20Important%20Limit%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%24%24%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%200%7D%5Cfrac%7B%5Ccos(x)%20-%201%7D%7Bx%7D%20%3D%200.%24%24%0A%0A%20%20%20%20This%20can%20be%20derived%20using%20the%20important%20limit%20above.%20The%20proof%20is%20left%20as%20an%20exercise.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A