Calculus I 26

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.13.7%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20nav_menu%20%3D%20mo.nav_menu(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Findex.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Ahome')%7D%20Home%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20orientation%3D%22vertical%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20nav_menu%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%207.2%20Volumes%20by%20Slicing%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Introduction%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Let%20us%20recall%20that%20a%20cylinder%20with%20height%20%24h%24%20and%20base%20radius%20%24r%24%20has%20volume%20%24%5Cpi%20r%5E2%20h%24.%20Why%20is%20this%20the%20case%3F%0A%0A%20%20%20%20One%20way%20of%20thinking%20this%20is%20'stacking%20cookies'.%20Suppose%20you%20have%20%24h%24%20cookies%2C%20each%20of%20them%20has%20unit%20height%20(i.e.%20height%20is%20%241%24)%2C%20then%20for%20each%20of%20them%2C%20the%20value%20of%20volume%20is%20the%20same%20as%20the%20value%20of%20area%2C%20which%20is%20%24%5Cpi%20r%5E2%24%2C%20stack%20them%20together%2C%20the%20total%20volume%20should%20be%20%24h%20%5Ccdot%20%5Cpi%20r%5E2%24%20which%20coincides%20our%20formula.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%3Cimg%20src%3D%22%2Fpublic%2FPasted%20image%2020241116092602.png%22%20width%3D%22250%22%2F%3E%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Now%20let%20us%20do%20some%20modifications%20to%20this%20simple%20example.%0A%0A%20%20%20%20First%2C%20let%20us%20assume%20the%20cylinder%20is%20**laid%20down**.%20This%20does%20not%20change%20any%20calculation%2C%20just%20change%20a%20bit%20how%20we%20view%20it.%0A%0A%20%20%20%20Second%2C%20now%20imagine%20that%20the%20crackers%20may%20**have%20different%20radius**.%20They%20still%20**have%20the%20same%20height%2C%20but%20the%20height%20may%20not%20be%20%241%24**.%20**They%20are%20still%20stacked**%20so%20that%20the%20centers%20are%20on%20a%20straight%20(horizontal)%20line.%0A%0A%20%20%20%20So%20how%20do%20we%20calculate%20the%20volume%20of%20this%20new%20stack%20of%20crackers%3F%0A%0A%20%20%20%20Suppose%20we%20have%20%24n%24%20crackers%2C%20and%20their%20total%20height%20is%20%24b-a%24%20(image%20they%20start%20to%20be%20stacked%20at%20%24x%20%3D%20a%24%2C%20and%20they%20end%20up%20to%20%24x%20%3D%20b%24).%20Since%20we%20assumed%20that%20all%20the%20crackers%20have%20the%20same%20height%2C%20each%20of%20them%20should%20have%20height%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7Bb-a%7D%7Bn%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20Each%20of%20them%20can%20be%20viewed%20as%20a%20little%20cylinder%20with%20height%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7Bb-a%7D%7Bn%7D%24%20and%20certain%20radius%20(say%20the%20first%20cracker%20has%20radius%20%24r_1%24%2C%20the%20second%20with%20%24r_2%24%2C%20and%20so%20on)%2C%20thus%20each%20one%20of%20them%20has%20volume%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cpi%20r_i%5E2%20%5Cfrac%7Bb-a%7D%7Bn%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20If%20we%20want%20to%20evaluate%20the%20total%20volume%2C%20we%20simply%20add%20them%20together%2C%20i.e.%20%24%24%5Ctext%7Btotal%20volume%20%7D%3D%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5En%20%5Cpi%20r_i%5E2%20%5Cfrac%7Bb-a%7D%7Bn%7D.%24%24%20Now%2C%20if%20we%20are%20using%20infinitely%20many%20crackers%20to%20evaluate%20the%20volume%2C%20we%20get%20%24%24%5Ctext%7Btotal%20volume%20%7D%3D%5Clim%5Climits_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5En%20%5Cpi%20r_i%5E2%20%5Cfrac%7Bb-a%7D%7Bn%7D.%24%24%20**The%20above%20equation%20should%20look%20familiar%20to%20you**%20-%20indeed%2C%20if%20we%20view%20the%20radius%20%24r%24%20as%20a%20function%20depending%20on%20the%20%24x%24-alue%2C%20then%20the%20above%20expression%20is%20the%20same%20as%20the%20definite%20integral%20%24%24%5Cint%5Climits_a%5Eb%5Cpi%20r%5E2(x)dx.%24%24%20We%20do%20not%20*have*%20to%20'lay%20down'%20the%20crackers.%20In%20that%20case%2C%20we%20just%20think%20%24r%24%20as%20a%20function%20of%20%24y%24%20and%20take%20integration%20with%20respect%20to%20%24y%24.%0A%0A%20%20%20%20The%20volume%20we%20get%20as%20discussed%20above%20is%20called%20the%20volume%20of%20a%20solid%20of%20revolution.%20The%20solid%20is%20constructed%20by%20rotating%20a%20curve%20along%20a%20straight%20line.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%3Cimg%20src%3D%22%2Fpublic%2FPasted%20image%2020230813095136.png%22%20width%3D%22400%22%20%2F%3E%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22The%20formula%20for%20volume%20of%20a%20solid%20of%20revolution%20about%20%24x%24-axis%20is%20%24%24%5Cboxed%7B%5Ctext%7Bvolume%20by%20rotating%20about%20%7Dx%5Ctext%7B-axis%7D%20%3D%20%5Cint%5Climits_a%5Eb%5Cpi%20r%5E2(x)dx%7D.%24%24%20And%20the%20formula%20for%20volume%20of%20a%20solid%20of%20revolution%20about%20%24y%24-axis%20is%20%24%24%5Cboxed%7B%5Ctext%7Bvolume%20by%20rotating%20about%20%7Dy%5Ctext%7B-axis%7D%20%3D%20%5Cint%5Climits_a%5Eb%5Cpi%20r%5E2(y)dy%7D.%24%24%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20Rotating%20Axis%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20danger%0A%0A%20%20%20%20Inspect%20the%20above%20formulas%20more%20carefully%2C%20observing%20that%20with%20this%20method%2C%20**if%20we%20are%20rotating%20about%20%24x%24-axis%2C%20then%20the%20radius%20has%20to%20be%20a%20function%20that%20depends%20on%20%24x%24**.%20Similarly%2C%20if%20we%20are%20rotating%20about%20%24y%24-axis%2C%20then%20the%20radius%20**has%20to**%20be%20a%20function%20that%20depends%20on%20%24y%24.%0A%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Volume%20of%20Cylinder%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20A%20cylinder%20can%20be%20get%20by%20rotating%20a%20horizontal%20line%20segment%20along%20%24x%24-axis.%0A%0A%20%20%20%20In%20particular%2C%20the%20radius%20function%20is%20%24r%24%20(a%20constant).%20Take%20the%20rotation%2C%20by%20above%20formula%2C%20we%20get%20that%20the%20volume%20of%20solid%20of%20revolution%20equals%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cint%5Climits_0%5Eh%20%5Cpi%20r%5E2%20dx%24%20(notice%20%24r%24%20here%20is%20a%20constant!)%20which%20simply%20equals%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cpi%20r%5E2%20x%20%7C_0%5Eh%20%3D%20%5Cpi%20r%5E2%20h%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Volume%20of%20Cone%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20A%20cone%20can%20be%20get%20by%20rotating%20a%20line%20segment%20along%20%24x%24-axis.%20What%20is%20this%20line%20segment%3F%20It%20passes%20the%20point%20%24(0%2Cr)%24%20(because%20the%20base%20radius%20is%20%24r%24)%2C%20it%20also%20passes%20the%20point%20%24(h%2C%200)%24%20(because%20at%20height%20%24h%24%20the%20cone%20comes%20to%20the%20tip)%2C%20thus%20the%20line%20segment%20has%20expression%20%24%5Cdisplaystyle%20y%20%3D%20-%5Cfrac%7Br%7D%7Bh%7Dx%20%2B%20r%24.%20This%20is%20the%20function%20for%20the%20radius%20when%20we%20calculate%20the%20volume.%0A%0A%20%20%20%20Thus%20by%20above%20formula%2C%20we%20get%20the%20volume%20of%20solid%20of%20revolution%20equals%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cint%5Climits_0%5Eh%20%5Cpi%20(%5Cfrac%7Br%7D%7Bh%7Dx%2Br)%5E2%20dx%24.%20Do%20the%20calculation%2C%20the%20result%20is%20indeed%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cpi%20r%5E2%20h%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Volume%20of%20Ball%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20A%20ball%20can%20be%20get%20by%20rotating%20a%20half-circle%20along%20%24x%24-axis.%20But%20for%20purpose%20of%20example%2C%20let%20us%20think%20of%20it%20as%20rotating%20a%20half-circle%20along%20%24y%24-axis.%0A%0A%20%20%20%20The%20function%20of%20the%20half-circle%20is%20%24x%20%3D%20%5Csqrt%7Br%5E2%20-%20y%5E2%7D%24%2C%20thus%20by%20above%20formula%2C%20we%20get%20the%20volume%20of%20solid%20of%20revolution%20equals%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cint%5Climits_%7B-r%7D%5Er%20%5Cpi%20(r%5E2%20-%20y%5E2)%20dy%24%20which%20indeed%20equals%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%5Cpi%20r%5E3%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Typical%20Problem%20on%20Exam%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20A%20typical%20problem%20on%20this%20section%20may%20use%20knowledge%20also%20on%207.1.%20Here%20is%20an%20example%3A%0A%0A%20%20%20%20Find%20the%20volume%20of%20the%20solid%20of%20revolution%20obtained%20by%20rotating%20the%20**region**%20enclosed%20by%20the%20curves%20%24y%20%3D%20%5Csqrt%7Bx%7D%24%20and%20%24%5Cdisplaystyle%20y%20%3D%20%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%24%20about%20the%20%24x%24-axis.%0A%0A%20%20%20%20Let%20us%20start%20by%20finding%20the%20region%20enclosed%20by%20the%20two%20curves%20(this%20is%20from%207.1).%20Set%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Csqrt%7Bx%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%24%2C%20solve%20for%20it%2C%20we%20get%20%24x%20%3D%200%24%20or%20%24x%20%3D%204%24.%20On%20%24%5B0%2C%204%5D%24%2C%20%24%5Csqrt%7Bx%7D%24%20is%20above%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%24%20(why%3F%20plug%20in%20a%20value%20in%20%24(0%2C4)%24%20and%20check!).%0A%0A%20%20%20%20Now%2C%20we%20want%20to%20rotate%20this%20**region**.%20Try%20to%20image%20it%2C%20and%20you%20should%20get%20that%20the%20result%20of%20rotating%20the%20region%20about%20%24x%24-axis%20is%20the%20same%20as%20the%20result%20of%20rotating%20%24%5Csqrt%7Bx%7D%24%20about%20%24x%24-axis%20on%20%24%5B0%2C4%5D%24%20**minus**%20the%20result%20of%20rotating%20%24%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%24%20about%20%24x%24-axis%20on%20%24%5B0%2C4%5D%24.%20You%20can%20start%20by%20imagining%20stack%20of%20cookies%20-%20but%20now%20each%20cookie%20is%20not%20disk-shaped%2C%20but%20annulus-shaped.%0A%0A%20%20%20%20Thus%2C%20we%20should%20calculate%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cint%5Climits_0%5E4%20%5Cpi%20(%5Csqrt%7Bx%7D)%5E2%20dx%24%20%24%5Cdisplaystyle%20-%20%5Cint%5Climits_0%5E4%20%5Cpi%20(%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D)%5E2%20dx%24%2C%20(which%20equals%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cint%5Climits_0%5E4%20%5Cpi%20(%5Csqrt%7Bx%7D)%5E2%20-%20(%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D)%5E2)%20dx%24)%20and%20the%20result%20is%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7B8%7D%7B3%7D%5Cpi%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Formula%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20In%20general%2C%20the%20volume%20of%20solid%20of%20revolution%20of%20a%20region%20bounded%20between%20%24f%24%20and%20%24g%24%2C%20assuming%20%24f%24%20is%20on%20top%2C%20and%20the%20rotating%20axis%20being%20the%20%24x%24-axis%2C%20is%3A%20%24%24%5Cboxed%7B%5Cint%5Climits_a%5Eb%20%5Cpi%20(f%5E2%20-%20g%5E2)%20dx%7D.%24%24%0A%0A%20%20%20%20A%20very%20**common%20mistake**%20is%20to%20have%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cint%5Climits_a%5Eb%20%5Cpi%20(f%20-%20g)%5E2%20dx%24%3A%20no%2C%20you%20need%20to%20take%20square%20then%20subtraction%2C%20not%20the%20other%20way%20around%20(the%20correct%20formula%20is%20easier%20in%20calculation%2C%20as%20a%20matter%20of%20fact).%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A