Calculus I 25

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.13.7%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20plotly.graph_objects%20as%20go%0A%0A%20%20%20%20return%20go%2C%20mo%2C%20np%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20nav_menu%20%3D%20mo.nav_menu(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Findex.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Ahome')%7D%20Home%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20orientation%3D%22vertical%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20nav_menu%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%207.1%20Area%20between%20Curves%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Introduction%0A%0A%20%20%20%20In%20chapter%204%20we%20learnt%20about%20how%20to%20calculate%20the%20signed%20area%20of%20region%20under%20**a**%20curve.%20To%20be%20more%20specific%2C%20we%20calculate%20the%20signed%20area%20of%20region%20bounded%20by%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20Some%20function%20%24f(x)%24%2C%20it%20gives%20us%20the%20upper%20boundary%3B%0A%20%20%20%202.%20The%20%24x%24-axis%2C%20it%20gives%20us%20the%20lower%20boundary%3B%0A%20%20%20%203.%20Two%20vertical%20lines%20%24x%20%3D%20a%24%20and%20%24x%20%3D%20b%24%2C%20they%20give%20us%20the%20left%20and%20right%20boundaries.%0A%0A%20%20%20%20In%20this%20chapter%20we%20generalize%20the%20above%20settings.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Generalization%201%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22We%20usually%20think%20of%20%24y%20%3D%20f(x)%24%20being%20a%20function%20of%20%24x%24-%20but%20there%20is%20no%20reason%20that%20this%20must%20be%20the%20case%20-%20we%20can%20also%20take%20%24x%20%3D%20g(y)%24%20to%20be%20a%20function%20of%20%24y%24%3A%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(go%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20%23%20y%20values%0A%20%20%20%20y_vals_parab%20%3D%20np.linspace(-3%2C%203%2C%20400)%0A%20%20%20%20x_vals_parab%20%3D%20y_vals_parab**2%20%2B%202%0A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20plot%0A%20%20%20%20fig_parab%20%3D%20go.Figure()%0A%0A%20%20%20%20%23%20Plot%20x%20%3D%20y%5E2%20%2B%202%0A%20%20%20%20fig_parab.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_vals_parab%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dy_vals_parab%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3Dr%22%24x%20%3D%20y%5E2%20%2B%202%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22blue%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Layout%0A%20%20%20%20fig_parab.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Function%20of%20y%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22x%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22y%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20template%3D%22plotly_white%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis%3Ddict(range%3D%5B0%2C%2012%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis%3Ddict(range%3D%5B-4%2C%204%5D)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22Notice%20though%20that%20when%20we%20talk%20about%20a%20function%2C%20each%20input%20corresponds%20to%20exact%20**one**%20output%2C%20so%20the%20following%20graph%20cannot%20be%20the%20graph%20of%20a%20function%20of%20%24y%24%20(because%20%24y%20%3D%200%24%20corresponds%20to%20more%20than%20one%20%24x%24%20values)%2C%20you%20can%20only%20view%20it%20as%20a%20function%20of%20%24x%24%3A%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(go%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Function%0A%20%20%20%20f%20%3D%20lambda%20x%3A%20x**3%20-%203%20*%20x**2%20%2B%202%0A%20%20%20%20x_vals%20%3D%20np.linspace(-1%2C%204%2C%20400)%0A%20%20%20%20y_vals%20%3D%20f(x_vals)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20figure%0A%20%20%20%20fig_func%20%3D%20go.Figure()%0A%0A%20%20%20%20%23%20Plot%20f(x)%0A%20%20%20%20fig_func.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_vals%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dy_vals%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22f(x)%20%3D%20x%C2%B3%20-%203x%C2%B2%20%2B%202%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22blue%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Plot%20horizontal%20line%20y%20%3D%200%0A%20%20%20%20fig_func.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B-1%2C%204%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B0%2C%200%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22y%20%3D%200%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22red%22%2C%20dash%3D%22dash%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Layout%0A%20%20%20%20fig_func.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Function%20Fails%20Horizontal%20Line%20Test%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22x%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22y%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20template%3D%22plotly_white%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20If%20we%20have%20a%20function%20%24x%20%3D%20g(y)%24%2C%20then%20it%20makes%20sense%20to%20calculate%20the%20signed%20area%20of%20region%20'under'%20curve%20as%20well.%20To%20be%20more%20specific%2C%20we%20calculate%20the%20signed%20area%20of%20region%20bounded%20by%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20Some%20function%20%24g(y)%24%3B%0A%20%20%20%202.%20The%20%24y%24-axis%3B%0A%20%20%20%203.%20Two%20horizontal%20lines%20%24y%20%3D%20a%24%20and%20%24y%20%3D%20b%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(go%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20%23%20y-range%20for%20region%0A%20%20%20%20y_fill%20%3D%20np.linspace(-2%2C%202%2C%20400)%0A%20%20%20%20x_parab%20%3D%20y_fill**2%20%2B%202%0A%20%20%20%20x_axis%20%3D%20np.zeros_like(y_fill)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20figure%0A%20%20%20%20fig_shaded%20%3D%20go.Figure()%0A%0A%20%20%20%20%23%20Filled%20region%20between%20x%20%3D%20y%5E2%20%2B%202%20and%20x%20%3D%200%0A%20%20%20%20fig_shaded.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dnp.concatenate(%5Bx_axis%2C%20x_parab%5B%3A%3A-1%5D%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dnp.concatenate(%5By_fill%2C%20y_fill%5B%3A%3A-1%5D%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fill%3D%22toself%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fillcolor%3D%22rgba(255%2C%20165%2C%200%2C%200.4)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22orange%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Shaded%20Region%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Parabola%3A%20x%20%3D%20y%5E2%20%2B%202%0A%20%20%20%20fig_shaded.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_parab%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dy_fill%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3Dr%22%24x%20%3D%20y%5E2%20%2B%202%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22blue%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20y-axis%20(x%20%3D%200)%0A%20%20%20%20fig_shaded.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B0%2C%200%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B-2.5%2C%202.5%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22y-axis%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22black%22%2C%20dash%3D%22dot%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20y%20%3D%20-2%20and%20y%20%3D%202%0A%20%20%20%20fig_shaded.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B0%2C%2010%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B-2%2C%20-2%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22y%20%3D%20-2%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22gray%22%2C%20dash%3D%22dot%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20fig_shaded.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B0%2C%2010%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B2%2C%202%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22y%20%3D%202%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22gray%22%2C%20dash%3D%22dot%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Layout%0A%20%20%20%20fig_shaded.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Region%20Bounded%20by%20Function%20of%20y%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22x%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22y%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis%3Ddict(range%3D%5B-1%2C%2010%5D%2C%20scaleanchor%3D%22y%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis%3Ddict(range%3D%5B-2.5%2C%202.5%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20template%3D%22plotly_white%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22How%20to%20evaluate%20the%20value%20of%20the%20area%3F%20There%20is%20nothing%20new.%20Recall%20that%20the%20signed%20area%20under%20curve%20%24f(x)%24%20on%20%24x%20%5Cin%20%5Ba%2C%20b%5D%24%20is%20given%20by%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cint%5Climits_a%5Ebf(x)dx%24%2C%20so%20similarly%2C%20the%20signed%20area%20'under'%20curve%20%24g(y)%24%20on%20%24y%20%5Cin%20%5Ba%2C%20b%5D%24%20is%20given%20by%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cint%5Climits_a%5Eb%20g(y)dy%24.%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Generalization%202%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(go%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Domain%0A%20%20%20%20x%20%3D%20np.linspace(0%2C%202%2C%20400)%0A%20%20%20%20fb%20%3D%20np.sin(x)%20%2B%202%0A%20%20%20%20gb%20%3D%20(1%20%2F%203)%20*%20x%20%2B%201%0A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20figure%0A%20%20%20%20fig%20%3D%20go.Figure()%0A%0A%20%20%20%20%23%20---%20Curves%20---%0A%20%20%20%20fig.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx%2C%20y%3Dfb%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3D%22f(x)%20%3D%20sin(x)%20%2B%202%22%2C%20line%3Ddict(color%3D%22red%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20fig.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx%2C%20y%3Dgb%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3D%22g(x)%20%3D%201%2F3%20x%20%2B%201%22%2C%20line%3Ddict(color%3D%22green%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20---%20Fill%3A%20area%20under%20g%20(Region%20B)%20---%0A%20%20%20%20fig.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dnp.concatenate(%5Bx%2C%20x%5B%3A%3A-1%5D%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dnp.concatenate(%5Bgb%2C%20np.zeros_like(x)%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fill%3D%22toself%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(width%3D0)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fillcolor%3D%22rgba(0%2C%20200%2C%200%2C%200.3)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Region%20B%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20---%20Fill%3A%20area%20between%20f%20and%20g%20(Region%20A)%20---%0A%20%20%20%20fig.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dnp.concatenate(%5Bx%2C%20x%5B%3A%3A-1%5D%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dnp.concatenate(%5Bfb%2C%20gb%5B%3A%3A-1%5D%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fill%3D%22toself%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(width%3D0)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fillcolor%3D%22rgba(255%2C%200%2C%200%2C%200.3)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Region%20A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20---%20Labels%20A%20and%20B%20---%0A%20%20%20%20fig.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B1%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B2.1%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22text%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5B%22A%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20textfont%3Ddict(size%3D18%2C%20color%3D%22darkred%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20fig.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B1%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B0.6%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22text%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5B%22B%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20textfont%3Ddict(size%3D18%2C%20color%3D%22darkgreen%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Layout%0A%20%20%20%20fig.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Shaded%20Regions%3A%20A%20(between%20f%20and%20g)%2C%20B%20(under%20g)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22x%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22y%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis%3Ddict(range%3D%5B-0.5%2C%202.5%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis%3Ddict(range%3D%5B0%2C%204%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20template%3D%22plotly_white%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aapp._unparsable_cell(%0A%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Consider%20the%20above%20diagram.%20It%20is%20not%20hard%20to%20tell%20that%20the%20signed%20area%20of%20region%20under%20the%20red%20curve%20is%20%24A%20%2B%20B%24%2C%20the%20signed%20area%20of%20region%20under%20the%20green%20curve%20is%20%24B%24.%0A%0A%20%20%20%20In%20this%20case%2C%20**we%20say%20the%20signed%20area%20of%20region%20between%20the%20red%20curve%20and%20the%20green%20curve%20is%20%24A%24**%2C%20which%20is%20the%20(area%20under%20the%20red%20curve)%20minus%20(area%20under%20the%20green%20curve).%0A%0A%20%20%20%20In%20particular%2C%20say%20the%20red%20curve%20is%20given%20by%20%24f%24%20and%20green%20curve%20is%20given%20by%20%24g%24%2C%20then%20the%20area%20under%20the%20red%20curve%20is%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cint%5Climits_a%5Ebf(x)dx%24%2C%20area%20under%20the%20green%20curve%20is%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cint%5Climits_a%5Ebg(x)dx%24%2C%20thus%20the%20area%20between%20the%20red%20and%20green%20curves%20is%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cint%5Climits_a%5Ebf(x)dx%20-%20%5Cint%5Climits_a%5Ebg(x)dx%24%2C%20using%20the%20property%20of%20integral%2C%20we%20have%3A%20%24%24%5Cboxed%7B%5Ctext%7Bsigned%20area%20between%20%7Df%5Ctext%7B%20and%20%7Dg%20%3D%20%5Cint%5Climits_a%5Eb%20f(x)%20-%20g(x)%20dx%7D.%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22%2C%0A%20%20%20%20name%3D%22_%22%0A)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Signed%20Area%20Vs.%20Area%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Recall%20that%20when%20we%20learnt%20about%20the%20motion%20problem%2C%20there%20were%20two%20questions%3A%20displacement%20and%20distance%20traveled.%20Displacement%20is%20visualized%20as%20the%20signed%20area%20under%20the%20velocity%20curve%2C%20while%20the%20distance%20traveled%20can%20be%20visualized%20as%20the%20area%20under%20the%20velocity%20curve.%0A%0A%20%20%20%20Similarly%2C%20consider%20the%20following%20diagram%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(go%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Domain%20and%20functions%0A%20%20%20%20x2%20%3D%20np.linspace(0%2C%206%2C%20400)%0A%20%20%20%20fb2%20%3D%20np.sin(x2)%20%2B%202%0A%20%20%20%20gb2%20%3D%20(1%20%2F%203)%20*%20x2%20%2B%201%0A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20figure%0A%20%20%20%20fig_2%20%3D%20go.Figure()%0A%0A%20%20%20%20%23%20---%20Curves%20---%0A%20%20%20%20fig_2.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx2%2C%20y%3Dfb2%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3D%22f(x)%20%3D%20sin(x)%20%2B%202%22%2C%20line%3Ddict(color%3D%22red%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20fig_2.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx2%2C%20y%3Dgb2%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3D%22g(x)%20%3D%201%2F3%20x%20%2B%201%22%2C%20line%3Ddict(color%3D%22green%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20---%20Conditional%20fill%20between%20curves%20---%0A%20%20%20%20above%20%3D%20fb2%20%3E%20gb2%0A%20%20%20%20regions%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20current_region%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range(len(x2))%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20i%20%3D%3D%200%20or%20above%5Bi%5D%20%3D%3D%20above%5Bi%20-%201%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20current_region.append(i)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20regions.append((above%5Bi%20-%201%5D%2C%20current_region.copy()))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20current_region%20%3D%20%5Bi%5D%0A%20%20%20%20regions.append((above%5B-1%5D%2C%20current_region))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Shade%20regions%0A%20%20%20%20for%20is_above%2C%20idx_group%20in%20regions%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_region%20%3D%20x2%5Bidx_group%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y_upper%20%3D%20fb2%5Bidx_group%5D%20if%20is_above%20else%20gb2%5Bidx_group%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y_lower%20%3D%20gb2%5Bidx_group%5D%20if%20is_above%20else%20fb2%5Bidx_group%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%20%3D%20%22rgba(255%2C%200%2C%200%2C%200.3)%22%20if%20is_above%20else%20%22rgba(0%2C%20200%2C%200%2C%200.3)%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig_2.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dnp.concatenate(%5Bx_region%2C%20x_region%5B%3A%3A-1%5D%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dnp.concatenate(%5By_upper%2C%20y_lower%5B%3A%3A-1%5D%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fill%3D%22toself%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(width%3D0)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fillcolor%3Dcolor%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20---%20Optional%20labels%20---%0A%20%20%20%20fig_2.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B1.5%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B2%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22text%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5B%22A%3A%20f%20%3E%20g%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20textfont%3Ddict(size%3D16%2C%20color%3D%22darkred%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20fig_2.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B5%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B2%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22text%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5B%22B%3A%20g%20%3E%20f%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20textfont%3Ddict(size%3D16%2C%20color%3D%22darkgreen%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20---%20Layout%20---%0A%20%20%20%20fig_2.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Region%20between%20Two%20Curves%20that%20Crosses%20Each%20Other%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22x%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22y%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis%3Ddict(range%3D%5B-0.5%2C%206.5%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis%3Ddict(range%3D%5B0%2C%204%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20template%3D%22plotly_white%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20The%20region%20between%20the%20red%20curve%20and%20green%20curve%20is%20of%20course%20the%20region%20A%20and%20region%20B.%20However%2C%20on%20region%20A%2C%20the%20red%20curve%20(%24f%24)%20is%20on%20top%20of%20the%20green%20curve%20(%24g%24)%2C%20but%20on%20region%20B%2C%20the%20red%20curve%20is%20below%20the%20green%20curve.%20If%20we%20directly%20calculate%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cint%5Climits_a%5Eb%20f(x)%20-%20g(x)%20dx%24%2C%20then%20we%20are%20calculating%20'area%20of%20region%20A%20minus%20area%20of%20region%20B'%2C%20instead%20of%20'area%20of%20region%20A%20plus%20area%20of%20region%20B'.%20The%20first%20one%20is%20the%20signed%20area%20between%20the%20two%20curves%2C%20and%20the%20second%20one%20is%20the%20(unsigned)%20area%20between%20the%20two%20curves.%0A%0A%20%20%20%20If%20you%20get%20a%20question%20of%20this%20type%2C%20you%20should%20always%20check%20if%20the%20question%20is%20asking%20for%20signed%20area%20or%20just%20area%20(which%20means%20unsigned%20area).%20In%20exams%20of%20this%20course%2C%20most%20likely%20you%20will%20always%20be%20asked%20for%20area%20instead%20of%20signed%20area.%0A%0A%20%20%20%20Like%20the%20motion%20problem%2C%20to%20calculate%20the%20area%2C%20we%20need%20to%20figure%20out%20on%20which%20region%20%24f%24%20is%20on%20top%2C%20and%20on%20which%20region%20%24g%24%20is%20on%20top.%20In%20general%3A%20%24%24%5Cboxed%7B%5Ctext%7Barea%20between%20%7Df%5Ctext%7B%20and%20%7Dg%20%3D%20%5Cint%5Climits_a%5Eb%20%7C%20f(x)%20-%20g(x)%20%7C%20dx%7D.%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Generalization%201%20and%202%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22Put%20the%20two%20generalization%20together%2C%20we%20can%20get%3A%20%24%24%5Cboxed%7B%5Ctext%7Barea%20between%20%7Df%5Ctext%7B%20and%20%7Dg%5Ctext%7B%20that%20depend%20on%20%7Dy%20%3D%20%5Cint%5Climits_a%5Eb%20%7C%20f(y)%20-%20g(y)%20%7C%20dy%7D.%24%24%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(go%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20%23%20New%20variable%20names%0A%20%20%20%20x_vals_m%20%3D%20np.linspace(0%2C%20np.pi%2C%20400)%0A%20%20%20%20y_sin_m%20%3D%20np.sin(x_vals_m)%0A%20%20%20%20y_line_m%20%3D%20(2%20%2F%20np.pi)%20*%20x_vals_m%0A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20figure%0A%20%20%20%20fig_m%20%3D%20go.Figure()%0A%0A%20%20%20%20%23%20Plot%20y%20%3D%20sin(x)%0A%20%20%20%20fig_m.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_vals_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dy_sin_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22f(x)%20%3D%20sin(x)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22blue%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Plot%20y%20%3D%20(2%2F%CF%80)%20x%0A%20%20%20%20fig_m.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_vals_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dy_line_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22g(x)%20%3D%20(2%2F%CF%80)x%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22green%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Shaded%20region%20between%20curves%0A%20%20%20%20fig_m.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dnp.concatenate(%5Bx_vals_m%2C%20x_vals_m%5B%3A%3A-1%5D%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dnp.concatenate(%5By_sin_m%2C%20y_line_m%5B%3A%3A-1%5D%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fill%3D%22toself%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fillcolor%3D%22rgba(255%2C%200%2C%200%2C%200.3)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(width%3D0)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Region%20between%20f%20and%20g%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Layout%0A%20%20%20%20fig_m.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Dr%22Region%20Bounded%20by%20Two%20Curves%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22x%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22y%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20template%3D%22plotly_white%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis%3Ddict(range%3D%5B0%2C%20np.pi%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis%3Ddict(range%3D%5B0%2C%202.2%5D)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20What%20is%20the%20signed%20area%20between%20%24y%20%3D%20%5Csin(x)%24%20and%20%24%5Cdisplaystyle%20y%20%3D%20%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Cpi%7Dx%24%20on%20%24%5B0%2C%20%5Cpi%5D%24%3F%0A%0A%20%20%20%20The%20area%20can%20be%20evaluated%20as%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cint%5Climits_0%5E%7B%5Cpi%7D%20%5Csin(x)%20-%20%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Cpi%7Dx%20dx%24.%20There%20is%20nothing%20special%20about%20this%20integral%2C%20we%20just%20evaluate%20it%20as%20usual%2C%20the%20answer%20is%20%242%20-%20%5Cpi%24.%0A%0A%20%20%20%20What%20is%20the%20area%20between%20the%20above%20two%20curves%3F%0A%0A%20%20%20%20The%20area%20can%20be%20evaluated%20as%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cint%5Climits_0%5E%7B%5Cpi%7D%20%7C%20%5Csin(x)%20-%20%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Cpi%7Dx%20%7C%20dx%24.%20To%20proceed%2C%20we%20need%20to%20figure%20out%20when%20is%20%24%5Csin(x)%24%20greater%20than%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Cpi%7Dx%24%20and%20when%20is%20the%20other%20way%20around.%0A%0A%20%20%20%20Plot%20the%20two%20curve%2C%20and%20notice%20that%20they%20intersect%20at%20%24x%20%3D%200%24%20and%20%24%5Cdisplaystyle%20x%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%24.%20On%20%24%5Cdisplaystyle%20%5B0%2C%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%5D%24%2C%20%24%5Csin(x)%24%20is%20larger%2C%20and%20on%20%24%5Cdisplaystyle%20%5B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%2C%20%5Cpi%5D%24%2C%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Cpi%7Dx%24%20is%20larger.%0A%0A%20%20%20%20Thus%20the%20(unsigned)%20area%20between%20the%20two%20curves%20is%20given%20by%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cint%5Climits_0%5E%7B%5Cpi%7D%20%7C%20%5Csin(x)%20-%20%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Cpi%7Dx%20%7C%20dx%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Cint%5Climits_0%5E%7B%5Cpi%2F2%7D%20%5Csin(x)%20-%20%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Cpi%7Dx%20dx%20%2B%20%5Cint%5Climits_%7B%5Cpi%2F2%7D%5E%7B%5Cpi%7D%20%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Cpi%7Dx%20-%20%5Csin(x)%20dx%24.%20Evaluate%20it%2C%20the%20answer%20should%20be%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Special%20Kind%20of%20Question%3A%20Area%20Enclosed%20by%20Two%20Curves%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Suppose%20we%20have%20two%20continuous%20curves%20%24f(x)%24%20and%20%24g(x)%24%20and%20they%20**intersect%20exactly%20twice**.%20Say%20they%20intersect%20at%20%24x%20%3D%20a%24%20and%20%24x%20%3D%20b%24.%20In%20particular%2C%20**either%20we%20have%20%24f(x)%20%5Cge%20g(x)%24%20on%20entire%20%24%5Ba%2Cb%5D%24%2C%20or%20%24g(x)%20%5Cge%20f(x)%24%20on%20entire%20%24%5Ba%2C%20b%5D%24**.%0A%0A%20%20%20%20Up%20to%20interchange%20their%20names%2C%20let%20us%20assume%20%24f(x)%20%5Cge%20g(x)%24%20on%20entire%20%24%5Ba%2C%20b%5D%24.%0A%0A%20%20%20%20Then%20the%20area%20enclosed%20by%20two%20curves%20is%20given%20by%3A%20%24%24%5Cboxed%7B%5Ctext%7Barea%20enclosed%20by%20%7Df%5Ctext%7B%20and%20%7Dg%20%3D%20%5Cint%5Climits_a%5Eb%20f(x)%20-%20g(x)%20dx%7D.%24%24%20Similarly%2C%20if%20the%20two%20curves%20are%20functions%20of%20%24y%24%2C%20then%20%24%24%5Cboxed%7B%5Ctext%7Barea%20enclosed%20by%20%7Df%5Ctext%7B%20and%20%7Dg%20%3D%20%5Cint%5Climits_a%5Eb%20f(y)%20-%20g(y)%20dy%7D.%24%24%20Why%20is%20this%20question%20special%3F%20In%20the%20description%20of%20this%20kind%20of%20question%2C%20%24a%24%20and%20%24b%24%20**will%20not%20be%20given**%2C%20which%20function%20is%20on%20top%20**will%20also%20not%20be%20given**.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%201%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Find%20the%20area%20of%20the%20region%20enclosed%20by%20the%20curves%20%24%5Cdisplaystyle%20f(y)%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B9%7Dy%5E3%24%20and%20%24g(y)%20%3D%20y%5E2%24.%0A%0A%20%20%20%20First%20we%20need%20to%20find%20where%20do%20the%20two%20curves%20intersect.%20We%20solve%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7B1%7D%7B9%7Dy%5E3%20%3D%20y%5E2%24.%20We%20can%20either%20have%20%24y%20%3D%200%24%20or%20we%20can%20cancel%20%24y%5E2%24%20each%20side%20and%20get%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7B1%7D%7B9%7Dy%20%3D%201%24%20or%20%24y%20%3D%209%24.%0A%0A%20%20%20%20On%20the%20region%20%24%5B0%2C9%5D%24%2C%20pick%20any%20number%20in%20between%2C%20say%20%24y%20%3D%201%24%2C%20then%20%24%5Cdisplaystyle%20f(1)%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B9%7D%24%20and%20%24g(1)%20%3D%201%24%2C%20so%20%24g%20%5Cge%20f%24%20on%20%24%5B0%2C%209%5D%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20f%20-%20g%20or%20g%20-%20f%3F%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20info%0A%0A%20%20%20%20Remember%20that%20we%20either%20have%20%24f%20%5Cge%20g%24%20on%20**entire**%20%24%5B0%2C9%5D%24%20or%20%24g%20%5Cge%20f%24%2C%20so%20as%20long%20as%20there%20is%20one%20value%20that%20%24g%20%3E%20f%24%2C%20we%20can%20safely%20say%20%24g%20%5Cge%20f%24.%20Do%20not%20plugin%20the%20endpoints%20because%20apparently%20you%20will%20have%20%24g(0)%20%3D%20f(0)%24%20and%20%24g(9)%20%3D%20f(9)%24%20which%20does%20not%20tell%20you%20which%20one%20is%20greater.%0A%0A%20%20%20%20Another%20way%20to%20solve%20the%20problem%20is%20to%20**forget%20about%20this%20comparison**%3A%20since%20we%20are%20evaluating%20**area**%2C%20the%20answer%20**has%20to%20be%20positive**%2C%20thus%20you%20can%20use%20whichever%20of%20%24g%20-%20f%24%20or%20%24f-g%24%2C%20and%20take%20absolute%20value%20if%20you%20get%20a%20negative%20number.%0A%0A%20%20%20%20Thus%20the%20area%20of%20region%20enclosed%20by%20the%20two%20curves%20is%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cint%5Climits_0%5E9%20g(y)%20-%20f(y)%20dy%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Cint%5Climits_0%5E9%20y%5E2%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B9%7Dy%5E3%20dy%24.%20Evaluate%20this%20integral%20as%20usual%2C%20the%20answer%20should%20be%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7B243%7D%7B4%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20For%20example%2C%20you%20can%20also%20calculate%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cint%5Climits_0%5E9%20f(y)%20-%20g(y)%20dy%24%2C%20and%20you%20will%20get%20%24%5Cdisplaystyle%20-%5Cfrac%7B243%7D%7B4%7D%24%2C%20a%20negative%20number.%20Now%20you%20can%20just%20take%20absolute%20value%20and%20the%20final%20answer%20is%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7B243%7D%7B4%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20(**However%2C%20if%20the%20question%20specifically%20ask%20you%20not%20to%20use%20absolute%20value%2C%20then%20use%20the%20first%20method!**)%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%202%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Sometimes%20the%20question%20is%20even%20harder%20and%20you%20also%20need%20to%20figure%20out%20if%20we%20should%20view%20the%20functions%20to%20depend%20on%20%24x%24%20or%20%24y%24.%0A%0A%20%20%20%20Find%20the%20area%20of%20the%20region%20enclosed%20by%20%244x%20%2B%20y%5E2%20%3D%2012%24%20and%20%24x%20%3D%20y%24.%0A%0A%20%20%20%20To%20proceed%2C%20it%20is%20good%20to%20first%20plot%20the%20graph%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(go%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20%23%20y%20range%20where%20the%20curves%20intersect%3A%20solve%204y%20%2B%20y%5E2%20%3D%2012%20%E2%87%92%20y%5E2%20%2B%204y%20-%2012%20%3D%200%0A%20%20%20%20y_vals_r%20%3D%20np.linspace(-6%2C%202%2C%20400)%0A%20%20%20%20x_parab_r%20%3D%20(12%20-%20y_vals_r**2)%20%2F%204%0A%20%20%20%20x_line_r%20%3D%20y_vals_r%0A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20figure%0A%20%20%20%20fig_r%20%3D%20go.Figure()%0A%0A%20%20%20%20%23%20Plot%20x%20%3D%20(12%20-%20y%5E2)%2F4%0A%20%20%20%20fig_r.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_parab_r%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dy_vals_r%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3Dr%22%244x%20%2B%20y%5E2%20%3D%2012%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22blue%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Plot%20x%20%3D%20y%0A%20%20%20%20fig_r.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_line_r%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dy_vals_r%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3Dr%22%24x%20%3D%20y%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22green%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Fill%20between%20the%20curves%0A%20%20%20%20fig_r.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dnp.concatenate(%5Bx_parab_r%2C%20x_line_r%5B%3A%3A-1%5D%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dnp.concatenate(%5By_vals_r%2C%20y_vals_r%5B%3A%3A-1%5D%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fill%3D%22toself%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fillcolor%3D%22rgba(255%2C%200%2C%200%2C%200.3)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(width%3D0)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Shaded%20Region%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Layout%0A%20%20%20%20fig_r.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Dr%22Region%20Enclosed%20by%20Two%20Curves%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22x%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22y%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20template%3D%22plotly_white%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis%3Ddict(scaleanchor%3D%22y%22%2C%20range%3D%5B-6%2C%204%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis%3Ddict(range%3D%5B-7%2C%203%5D)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20The%20region%20enclosed%20is%20then%20easier%20to%20be%20evaluated%20if%20we%20view%20the%20functions%20to%20depend%20on%20%24y%24%20(why%3F%20because%20the%20red%20curve%2C%20%244x%20%2B%20y%5E2%20%3D%2012%24%20is%20not%20a%20function%20of%20%24x%24).%20We%20also%20need%20to%20calculate%20the%20intersections.%20First%20we%20rewrite%20the%20first%20curve%20as%20%24%5Cdisplaystyle%20x%20%3D%203%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7Dy%5E2%24%20(because%20we%20want%20to%20view%20it%20as%20a%20function%20of%20%24y%24)%2C%20and%20solve%20%24%5Cdisplaystyle%203%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7Dy%5E2%20%3D%20y%24.%20This%20is%20a%20quadratic%20equation%20so%20should%20not%20be%20too%20hard%20to%20solve.%20The%20answer%20is%20%24y%20%3D%202%24%20or%20%24-6%24.%0A%0A%20%20%20%20On%20the%20region%2C%20from%20the%20graph%20it%20is%20not%20hard%20to%20tell%20that%20the%20red%20curve%20is%20on%20the%20'top'%20(right%2C%20because%20right%20direction%20is%20where%20%24x%24-xis%20is%20positive).%20Algebraically%2C%20it%20is%20because%20if%20we%20take%20%24y%20%3D%200%24%2C%20then%20%24%5Cdisplaystyle%203%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5Ccdot%200%20%5Cge%200%24.%0A%0A%20%20%20%20Thus%20the%20area%20enclosed%20by%20the%20region%20is%20given%20by%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cint%5Climits_%7B-6%7D%5E23%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7Dy%5E2%20-%20y%20dy%24.%20The%20answer%20is%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7B64%7D%7B3%7D%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A