Calculus I 24

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.13.7%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20nav_menu%20%3D%20mo.nav_menu(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Findex.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Ahome')%7D%20Home%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20orientation%3D%22vertical%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20nav_menu%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%204.5%20Substitution%20Method%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Introduction%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Say%20%24f(x)%20%3D%20%5Csin(x%5E2)%24%2C%20we%20can%20use%20the%20Chain%20Rule%20to%20calculate%20%24f'(x)%20%3D%202x%5Ccdot%5Ccos(x%5E2)%24.%20That%20is%20to%20say%2C%20%242x%20%5Ccdot%20%5Ccos(x%5E2)%24%20is%20an%20antiderivative%20of%20%24%5Csin(x%5E2)%24%2C%20thus%20if%20we%20want%20to%20evaluate%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cint%202x%5Ccdot%5Ccos(x%5E2)%20dx%24%2C%20we%20know%20it%20should%20equal%20%24%5Csin(x%5E2)%2BC%24.%20Or%20if%20we%20want%20to%20evaluate%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cint%5Climits_a%5Eb%202x%5Ccdot%5Ccos(x%5E2)%20dx%24%2C%20we%20know%20it%20should%20equal%20%24%5Csin(b%5E2)%20-%20%5Csin(a%5E2)%24.%0A%0A%20%20%20%20Let%20us%20generalize%20this%20idea%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20The%20Substitution%20Rule%20(for%20Indefinite%20Integral)%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22Suppose%20%24g(x)%24%20is%20differentiable%20(with%20range%20%24I%24)%20and%20%24f%2C%20g'%24%20are%20integrable%20(on%20%24I%24).%20Write%20%24u%20%3D%20g(x)%24%20for%20simplicity%2C%20then%3A%20%24%24%5Cboxed%7B%5Cint%20f(u)u'~dx%20%3D%20%5Cint%20f(u)du%7D.%24%24%20The%20important%20point%20is%20that%20the%20variable%20that%20we%20take%20integration%20with%20has%20changed.%20The%20process%20of%20applying%20the%20Substitution%20Rule%20is%20sometimes%20referred%20as%20'U-substitution'%2C%20because%20we%20often%20use%20%24u%24%20as%20the%20dummy%20variable%20in%20the%20mid-step.%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20Sustitution%20Rule%20and%20Chain%20Rule%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20info%0A%0A%20%20%20%20The%20Substitution%20Rule%20can%20be%20viewed%20as%20the%20inverse%20of%20Chain%20Rule.%20It%20is%20not%20nearly%20as%20powerful%20as%20the%20Chain%20Rule%2C%20though.%20Take%20the%20example%20above%2C%20we%20can%20only%20take%20integration%20because%20there%20is%20an%20%242x%24%20term%20'outside'%20of%20%24%5Ccos(x%5E2)%24%2C%20which%20coincidentally%20is%20the%20derivative%20of%20%24x%5E2%24.%20There%20is%20no%20way%20(using%20elementary%20functions)%20to%20find%20the%20integral%20of%20%24%5Ccos(x%5E2)%24%20by%20itself.%0A%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Evaluate%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cint%20%5Ccos%5E4(x)%5Csin(x)dx%24.%0A%0A%20%20%20%20Consider%20%24u%20%3D%20%5Ccos(x)%24%20and%20%24f(u)%20%3D%20u%5E4%24%2C%20then%20%24u'%20%3D%20-%20%5Csin(x)%24%2C%20and%20the%20original%20integral%20can%20be%20written%20as%20%24%5Cdisplaystyle%20-%5Cint%20%5Ccos%5E4(x)%5Ccdot(-%5Csin(x))dx%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20-%20%5Cint%20f(u)u'~dx%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20-%5Cint%20f(u)%20du%24%20by%20the%20Substitution%20Rule.%0A%0A%20%20%20%20That%20is%2C%20the%20original%20integral%20is%20the%20same%20as%20%24%5Cdisplaystyle%20-%20%5Cint%20u%5E4%20du%24%2C%20which%20equals%20%24%5Cdisplaystyle%20-%20%5Cfrac%7Bu%5E5%7D%7B5%7D%20%2B%20C%24.%20Substitute%20back%20to%20%24x%24%20using%20%24u%20%3D%20%5Ccos(x)%24%2C%20we%20get%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20-%20%5Cfrac%7B%5Ccos%5E5(x)%7D%7B5%7D%20%2B%20C%24.%0A%0A%20%20%20%20It%20is%20**very**%20common%20to%20have%20a%20term%20that%20does%20not%20match.%20In%20above%20example%2C%20we%20do%20not%20have%20%24-%5Csin(x)%24%20at%20the%20beginning.%20We%20have%20to%20create%20a%20%24-1%24%20by%20taking%20product%20of%20the%20original%20integral%20with%20%241%20%3D%20-1%20%5Ccdot%20-1%24%2C%20then%20proceed.%20Do%20not%20forget%20to%20time%20the%20other%20%24-1%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20When%20to%20Use%20U-Substitution%20and%20How%20to%20Choose%20U%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20danger%0A%0A%20%20%20%20If%20there%20is%20a%20composition%20of%20functions%2C%20then%20a%20U-substitution%20should%20be%20considered.%20Like%20a%20Chain%20Rule%2C%20the%20first%20candidate%20for%20%24u%24%20is%20the%20part%20'inside'.%0A%0A%20%20%20%20When%20you%20apply%20the%20Chain%20Rule%2C%20you%20are%20creating%20a%20product.%20**Thus%20when%20you%20do%20a%20U-substitution%20(which%20can%20be%20viewed%20as%20the%20inverse)%20and%20you%20can%20notice%20a%20product%2C%20then%20you%20should%20look%20for%20the%20'more%20complicated'%20one%2C%20and%20use%20the%20'inside'%20part%20as%20your%20%24u%24**.%0A%0A%20%20%20%20For%20example%2C%20if%20the%20original%20integrand%20is%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Csqrt%7Bx%7D%20%5Ccdot%20%5Csin(1%20%2B%20x%5E%7B3%2F2%7D)%24%2C%20then%20you%20can%20view%20it%20as%20the%20product%20of%20%24%5Csqrt%7Bx%7D%24%20and%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Csin(1%20%2B%20x%5E%7B3%2F2%7D)%24.%20The%20latter%20seems%20'more%20complicated'%20(it%20has%20trigonometry%20function%20%26%20a%20complicated%20power)%2C%20and%20it%20is%20composition%20of%20sine%20function%20and%20%241%2Bx%5E%7B3%2F2%7D%24.%20Thus%20a%20natural%20selection%20for%20%24u%24%20is%20%241%20%2B%20x%5E%7B3%2F2%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20**But%2C%20you%20should%20understand%20that%20this%20is%20not%20the%20only%20way%20to%20determine%20U.%20For%20example%2C%20if%20you%20want%20to%20calculate%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cint%20%5Csqrt%7B1%20-%20x%5E2%7Ddx%24%2C%20then%20you%20should%20in%20fact%20substitute%20%24x%20%3D%20%5Ccos(u)%24%20or%20%24x%20%3D%20%5Csin(u)%24.%20This%20is%20not%20needed%20for%20this%20course%2C%20but%20you%20will%20learn%20more%20about%20it%20in%20Calculus%20II**.%0A%0A%20%20%20%20You%20should%20never%20use%20%24u%20%3D%20x%24%2C%20it%20does%20nothing%20to%20the%20integral.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Examples%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%201.%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cint%20(2-x)%5E6%20dx%24.%20Take%20%24f(u)%20%3D%20u%5E6%24%20and%20%24u%20%3D%202-x%24%2C%20then%20%24u'%20%3D%20-1%24%20and%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cint%20(2-x)%5E6%20dx%20%3D%20-%20%5Cint%20-1%20%5Ccdot%20(2-x)%5E6dx%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20-%20%5Cint%20u'%20f(u)%20dx%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20-%20%5Cint%20f(u)%20du%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20-%20%5Cint%20u%5E6%20du%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20-%20%5Cfrac%7Bu%5E7%7D%7B7%7D%20%2B%20C%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20-%20%5Cfrac%7B(2-x)%5E7%7D%7B7%7D%20%2B%20C%24%3B%0A%20%20%20%202.%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cint%20%5Csqrt%7Bx%7D%20%5Ccdot%20%5Csin(1%20%2B%20x%5E%7B3%2F2%7D)%20dx%24.%20Take%20%24f(u)%20%3D%20%5Csin(u)%24%20and%20%24u%20%3D%201%20%2B%20x%5E%7B3%2F2%7D%24%2C%20then%20%24%5Cdisplaystyle%20u'%20%3D%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7Dx%5E%7B1%2F2%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%5Csqrt%7Bx%7D%24.%20Thus%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cint%20%5Csqrt%7Bx%7D%20%5Ccdot%20%5Csin(1%20%2B%20x%5E%7B3%2F2%7D)%20dx%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%20%5Cint%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%20%5Csqrt%7Bx%7D%20%5Ccdot%20%5Csin(1%20%2B%20x%5E%7B3%2F2%7D)%20dx%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%20%5Cint%20u'%20f(u)%20dx%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%20%5Cint%20f(u)%20du%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%20%5Cint%20%5Csin(u)%20du%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Ccos(u)%20%2B%20C%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Ccos(1%20%2B%20x%5E%7B3%2F2%7D)%24%3B%0A%0A%20%20%20%20Sometimes%20it%20is%20not%20enough%20to%20just%20take%20a%20product%20of%20constant.%20We%20need%20to%20get%20a%20bit%20more%20creative%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cint%20x%20%5Csqrt%7Bx%20-%204%7D%20dx%24.%20A%20rather%20natural%20choice%20of%20%24u%24%20is%20%24x-4%24%20so%20that%20%24u'%20%3D%201%24.%20But%20what%20about%20%24f%24%3F%0A%0A%20%20%20%20If%20we%20choose%20%24%5Cdisplaystyle%20f(u)%20%3D%20%5Csqrt%7Bu%7D%24%2C%20then%20the%20original%20integrand%20is%20not%20%24f(u)u'%20%3D%20%5Csqrt%7Bx-4%7D%24%2C%20so%20it%20does%20not%20work.%0A%0A%20%20%20%20We%20need%20to%20choose%20%24f(u)%20%3D%20(u%2B4)%5Csqrt%7Bu%7D%24%2C%20then%20%24f(u)u'%20%3D%20(u%2B4)%5Csqrt%7Bu%7D%20%3D%20(x-4%2B4)%5Csqrt%7Bx-4%7D%20%3D%20x%5Csqrt%7Bx%20-%204%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20Thus%20the%20original%20integral%20equals%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cint%20f(u)%20du%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Cint%20(u%2B4)%5Csqrt%7Bu%7Ddu%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Cint%20u%5E%7B3%2F2%7D%20%2B4%20u%5E%7B1%2F2%7D%20du%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Cfrac%7B2%7D%7B5%7Du%5E%7B5%2F2%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B8%7D%7B3%7Du%5E%7B3%2F2%7D%20%2B%20C%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Cfrac%7B2%7D%7B5%7D(x-4)%5E%7B5%2F2%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B8%7D%7B3%7D(x-4)%5E%7B3%2F2%7D%20%2B%20C%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Remark%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22Always%20try%20to%20do%20simplification%20**at%20each%20step**%20when%20you%20take%20integration.%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20A%20Rather%20Different%20Approach%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20The%20last%20example%20above%20suggests%20that%20a%20different%20approach%20may%20be%20needed%20-%20because%20in%20general%20it%20could%20be%20hard%20to%20figure%20out%20what%20is%20%24f%24.%0A%0A%20%20%20%20WLOG%2C%20say%20the%20original%20dummy%20variable%20is%20%24x%24.%20The%20different%20approach%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20Try%20to%20determine%20%24u%24%20using%20the%20above%20approach.%20If%20you%20are%20not%20100%25%20sure%20what%20should%20be%20your%20%24u%24%2C%20take%20a%20reasonable%20guess%20using%20the%20above%20idea%3B%0A%20%20%20%202.%20Your%20%24u%24%20should%20depend%20on%20%24x%24%2C%20thus%20we%20can%20take%20derivative%20with%20respect%20to%20%24x%24%2C%20write%20it%20as%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7D%20%3D%20u'%24%3B%0A%20%20%20%203.%20Move%20%24dx%24%20to%20the%20other%20side%2C%20i.e.%20get%20%24du%20%3D%20u'%20dx%24%3B%0A%20%20%20%204.%20Try%20to%20create%20%24u'%24%20in%20the%20original%20integrand.%20Whatever%20left%20is%20your%20%24f%24.%20Try%20to%20make%20%24f%24%20a%20function%20depends%20only%20on%20%24u%24%20(**in%20particular%2C%20no%20%24x%24%20anymore**)%3B%0A%20%20%20%205.%20If%20step%204%20cannot%20be%20done%2C%20then%20you%20need%20to%20reconsider%20the%20choice%20of%20%24u%24%3B%0A%20%20%20%206.%20Replace%20%24u'dx%24%20by%20%24du%24%2C%20now%20you%20get%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cint%20f(u)%20du%24%20and%20U-substitution%20is%20done.%20Proceed%20from%20there.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Evaluate%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cint%205(z-4)%5Csqrt%5B3%5D%7Bz%5E2%20-%208z%7Ddz%24.%0A%0A%20%20%20%201.%20First%20we%20choose%20%24u%24%2C%20it%20is%20natural%20to%20choose%20%24u%20%3D%20z%5E2%20-%208z%24%20because%20it%20is%20'inside'%20a%20rather%20complicated%20function%3B%0A%20%20%20%202.%20Take%20derivative%2C%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7Bdu%7D%7Bdz%7D%20%3D%202z%20-%208%24%3B%0A%20%20%20%203.%20Thus%20%24du%20%3D%20(2z%20-8)dz%24%3B%0A%20%20%20%204.%20We%20want%20to%20create%20%24(2z-8)dz%24%20%24%3D%202(z-4)dz%24%20in%20the%20integral.%20We%20of%20course%20already%20have%20%24dz%24%3B%20we%20also%20have%20%24(z-4)%24%20already%2C%20so%20we%20need%20to%20create%20a%20%242%24%2C%20so%20we%20write%20original%20integral%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Cint%20%5Cfrac%7B2%7D%7B2%7D%5Ccdot%205%20%5Ccdot%20(z-4)%20%5Csqrt%5B3%5D%7Bz%5E2%20-%208z%7D%20dz%24%2C%20or%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Cint%20%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D%5Csqrt%5B3%5D%7Bz%5E2%20-%208z%7D%20%5Ccdot%202%20%5Ccdot%20(z-4)%20dz%24.%0A%20%20%20%20%09So%20we%20can%20replace%20%242(z-4)dz%24%20by%20%24du%24%20and%20write%20it%20as%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Cint%20%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D%5Csqrt%5B3%5D%7Bz%5E2%20-%208z%7D%20du%24.%20Then%20we%20try%20to%20replace%20%24z%24%20by%20%24u%24%20using%20the%20relation%20%24u%20%3D%20z%5E2%20-%208z%24%2C%20it%20is%20rather%20straight-forward%2C%20we%20get%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Cint%20%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D%5Csqrt%5B3%5D%7Bu%7Ddu%24%3B%0A%20%20%20%205.%20Now%20this%20becomes%20much%20simpler%2C%20we%20just%20take%20the%20integral%20using%20basic%20rules%2C%20and%20get%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7Du%5E%7B4%2F3%7D%20%2B%20C%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Cfrac%7B15%7D%7B8%7D(z%5E2%20-%208z)%5E%7B4%2F3%7D%2BC%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20The%20Substitution%20Rule%20(for%20Definite%20Integral)%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20The%20Substitution%20Rule%20for%20definite%20integral%20is%20similar%20with%20the%20rule%20above%2C%20we%20just%20**need%20to%20also%20do%20something%20to%20the%20upper%20and%20lower%20limits%20of%20the%20integral**.%0A%0A%20%20%20%20Suppose%20%24g(x)%24%20is%20differentiable%20(with%20range%20%24I%24)%20and%20%24f%2C%20g'%24%20are%20integrable%20(on%20%24I%24).%20Write%20%24u%20%3D%20g(x)%24%20for%20simplicity%2C%20then%3A%20%24%24%5Cboxed%7B%5Cint%5Climits_a%5Eb%20f(u)u'~dx%20%3D%20%5Cint%5Climits_%7Bg(a)%7D%5E%7Bg(b)%7D%20f(u)du%7D.%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%20(Definite%20Integral)%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Evaluate%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cint%5Climits_0%5E1x%5E2(1%2B2x%5E3)%5E5dx%24.%0A%0A%20%20%20%20Take%20%24u%20%3D%201%20%2B%202x%5E3%24%2C%20then%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7D%20%3D%206x%5E2%24%20so%20%24du%20%3D%206x%5E2%20dx%24.%0A%0A%20%20%20%20We%20need%20to%20adjust%20the%20upper%20limit%20to%20%24u(1)%20%3D%201%20%2B%202%20%3D%203%24%20and%20the%20lower%20limit%20to%20%24u(0)%20%3D%201%20%2B%200%20%3D%201%24%2C%20thus%20we%20have%20the%20original%20integral%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Cint%5Climits_%7B1%7D%5E3%20%5Cfrac%7B6%7D%7B6%7Dx%5E2(1%2B2x%5E3)%5E5dx%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Cint%5Climits_1%5E3%20%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7Du%5E5du%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Cfrac%7Bu%5E6%7D%7B36%7D%7C_1%5E3%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Cfrac%7B182%7D%7B9%7D%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Remark%201%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22Notice%20above%2C%20when%20we%20take%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cint%20%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7Du%5E5du%24%2C%20%24u%5E6%24%20is%20**NOT**%20an%20antiderivative%2C%20it%20should%20be%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7Bu%5E6%7D%7B6%20%5Ccdot%206%7D%24.%20Be%20careful%20about%20calculation.%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Remark%202%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22When%20apply%20U-substitution%20to%20definition%20integral%2C%20remember%20to%20change%20the%20upper%20and%20lower%20limits%20of%20the%20integral.%20Also%2C%20when%20we%20finally%20plug-in%20the%20upper%20and%20lower%20limits%20to%20evaluate%20the%20integral%2C%20**do%20not%20substitute%20back%20x**%3A%20see%20the%20above%20example%2C%20we%20evaluated%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Cfrac%7Bu%5E6%7D%7B36%7D%7C_1%5E3%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Cfrac%7B3%5E6%7D%7B36%7D%20-%20%5Cfrac%7B1%5E6%7D%7B36%7D%24%2C%20**not**%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Cfrac%7Bu%5E6%7D%7B36%7D%7C_1%5E3%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Cfrac%7B(1%2B2x%5E3)%5E6%7D%7B36%7D%7C_1%5E3%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Cfrac%7B(1%2B2%5Ccdot%203%5E3)%5E6%7D%7B36%7D%20-%20%5Cfrac%7B(1%2B2%5Ccdot%201%5E3)%5E6%7D%7B36%7D%24.%20This%20is%20because%20%243%24%20and%20%241%24%20are%20already%20corresponding%20to%20%24u%24%2C%20not%20%24x%24.%20In%20fact%2C%20if%20you%20really%20insist%20substituting%20back%20%24u%20%3D%201%2B2x%5E3%24%2C%20you%20need%20to%20change%20the%20upper%20and%20lower%20limits%20back%20to%20%240%24%20and%20%241%24.%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Symmetry%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20We%20have%20mentioned%20this%20before%20when%20we%20talk%20about%20properties%20of%20definite%20integral%2C%20here%20we%20go%20a%20little%20bit%20more%20in%20detail.%0A%0A%20%20%20%20Given%20a%20function%2C%20let%20us%20call%20the%20the%20part%20of%20its%20graph%20to%20the%20left%20of%20%24y%24-xis%20the%20left%20part%2C%20and%20the%20part%20of%20its%20graph%20to%20the%20right%20of%20%24y%24-axis%20the%20right%20part.%20Then%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20If%20we%20flip%20left%20part%20along%20%24y%24-axis%20and%20we%20get%20the%20right%20part%20(or%20equivalently%2C%20flip%20right%20part%20along%20%24y%24-axis%20and%20get%20the%20left%20part)%2C%20we%20say%20the%20function%20is%20even.%20%24f(x)%20%3D%20%5Ccos(x)%24%20is%20even.%20%24x%5En%24%20where%20%24n%24%20is%20an%20even%20integer%20is%20even.%20Mathematically%2C%20if%20%24f(x)%20%3D%20f(-x)%24%20for%20all%20%24x%24%2C%20then%20%24f%24%20is%20even.%20For%20example%2C%20%24x%5E2%20%2B%201%24%20is%20also%20even%3B%0A%20%20%20%202.%20If%20we%20flip%20left%20part%20along%20%24y%24-axis%20and%20then%20flip%20the%20result%20along%20%24x%24-axis%20and%20we%20get%20the%20right%20part%20(or%20equivalently%20do%20the%20process%20to%20the%20right%20part%20and%20get%20the%20left%20part)%2C%20we%20say%20the%20function%20is%20odd.%20%24f(x)%20%3D%20%5Csin(x)%24%20is%20odd.%20%24x%5En%24%20where%20%24n%24%20is%20an%20odd%20integer%20is%20odd.%20Mathematically%2C%20if%20%24f(x)%20%3D%20-f(-x)%24%20for%20all%20%24x%24%2C%20then%20%24f%24%20is%20odd%3B%0A%20%20%20%203.%20A%20function%20does%20not%20need%20to%20be%20either%20odd%20or%20even.%20%24(x%2B1)%5E2%24%20is%20neither%20odd%20nor%20even.%0A%0A%20%20%20%20We%20can%20get%20symmetry%20from%20product%20of%20functions%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20The%20product%20of%20even%20function%20with%20even%20function%20is%20even%3B%0A%20%20%20%202.%20The%20product%20of%20even%20function%20with%20odd%20function%20is%20odd%3B%0A%20%20%20%203.%20The%20product%20of%20odd%20function%20with%20odd%20function%20is%20even.%0A%0A%20%20%20%20It's%20a%20bit%20different%20from%20even%20number%20and%20odd%20number%2C%20because%20even%20number%20times%20odd%20number%20gives%20even%20number.%20When%20we%20think%20of%20functions%2C%20we%20can%20think%20even%20function%20is%20%24%2B%24%20and%20odd%20function%20is%20%24-%24%2C%20so%20%24%2B%20%5Ccdot%20%2B%20%3D%20%2B%24%2C%20%24%2B%20%5Ccdot%20-%20%3D%20-%24%2C%20and%20%24-%20%5Ccdot%20-%20%3D%20%2B%24%20which%20correspond%20to%20the%20above%20rules.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Definite%20Integral%20on%20Symmetry%20Functions%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%201.%20If%20%24f%24%20is%20even%2C%20then%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cint_%7B-a%7D%5Eaf(x)dx%20%3D%202%20%5Cint_0%5Eaf(x)dx%24%3B%0A%20%20%20%202.%20If%20%24f%24%20is%20odd%2C%20then%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cint_%7B-a%7D%5Eaf(x)dx%20%3D%200%24.%0A%0A%20%20%20%20So%20whenever%20you%20see%20the%20definite%20integral%20with%20upper%20limit%20equals%20negative%20of%20lower%20limit%2C%20try%20to%20see%20if%20the%20integrand%20is%20**odd**.%20If%20it%20is%2C%20the%20result%20is%20immediate.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%20(Symmetry)%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%201.%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cint%5Climits_%7B-%5Cpi%7D%5E%7B%5Cpi%7D%20%5Cfrac%7Bx%5E2%5Csin(x)%7D%7B1%2Bx%5E4%7Ddx%24.%20Notice%20the%20integrand%20can%20be%20viewed%20as%20a%20product%20with%20three%20functions%20%24%5Cdisplaystyle%20x%5E2%20%5Ccdot%20%5Csin(x)%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2Bx%5E4%7D%24%2C%20where%20%24x%5E2%24%20is%20even%2C%20%24%5Csin(x)%24%20is%20odd%2C%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2Bx%5E4%7D%24%20is%20even.%20The%20integral%20is%20well%20defined%20because%20the%20denominator%20is%20never%20%240%24.%20Since%20the%20integrand%20is%20an%20odd%20function%2C%20we%20have%20that%20the%20result%20is%20%240%24%20immediately%3B%0A%20%20%20%202.%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cint%5Climits_%7B-2%7D%5E2%20x%5E6%2B3x%5E2%2B2dx%24.%20The%20integrand%20is%20an%20even%20function%2C%20thus%20the%20integral%20is%20the%20same%20as%20%24%5Cdisplaystyle%202%5Cint%5Climits_0%5E2%20x%5E6%2B3x%5E2%2B2dx%24%2C%20which%20does%20not%20really%20help%20too%20much.%20Nevertheless%2C%20the%20final%20calculation%20might%20be%20a%20bit%20easier%20now%2C%20since%20we%20only%20need%20to%20plug-in%20%240%24%20to%20the%20antiderivative%2C%20instead%20of%20%24-2%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A