Calculus I 23

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.13.7%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20plotly.graph_objects%20as%20go%0A%0A%20%20%20%20return%20go%2C%20mo%2C%20np%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20nav_menu%20%3D%20mo.nav_menu(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Findex.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Ahome')%7D%20Home%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20orientation%3D%22vertical%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20nav_menu%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%204.4%20Fundamental%20Theorem%20of%20Calculus%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Fundamental%20Theorem%20of%20Calculus%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22If%20%24f%24%20is%20integrable%20on%20%24%5Ba%2C%20b%5D%24%2C%20we%20can%20define%20a%20function%20%24g%24%20by%20%24%5Cdisplaystyle%20g(x)%20%3D%20%5Cint%5Climits_a%5Ex%20f(t)dt%24%2C%20%24x%20%5Cin%20%5Ba%2C%20b%5D%24.%20Then%20%24g%24%20is%20continuous%20on%20%24%5Ba%2Cb%5D%24%2C%20is%20differentiable%20on%20%24(a%2C%20b)%24%2C%20and%20%24g'(x)%20%3D%20f(x)%24.%20In%20other%20words%3A%20%24%24%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%20%5Cint_a%5Ex%20f(t)%20dt%20%3D%20f(x).%24%24%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Remark%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22Remember%20to%20use%20a%20different%20variable%20in%20%24f%24%20and%20after%20%24d%24%20(in%20the%20statement%20we%20use%20%24t%24)%20to%20differ%20from%20the%20variable%20in%20the%20upper%20limit.%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20Integral%20and%20Derivative%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20info%0A%0A%20%20%20%20In%20some%20sense%2C%20the%20theorem%20just%20says%20if%20you%20take%20(definite)%20integral%20and%20then%20take%20derivative%2C%20you%20get%20the%20original%20function%20back.%0A%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Example%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20The%20Theorem%20at%20first%20glance%20may%20be%20confusing.%20Let%20us%20see%20an%20example%20to%20see%20if%20it%20really%20works.%0A%0A%20%20%20%20First%2C%20let%20us%20imagine%20we%20have%20a%20plane.%20Instead%20of%20having%20the%20usual%20%24xy%24-coordinate%2C%20we%20now%20use%20%24ty%24-coordinate.%20It%20is%20the%20exact%20same%20thing%2C%20just%20a%20name-change%20(i.e.%20the%20horizontal%20axis%20is%20now%20called%20the%20%24t%24-axis).%0A%0A%20%20%20%20What%20is%20the%20area%20of%20the%20region%20bounded%20by%20the%20following%20curves%2Flines%3F%0A%0A%20%20%20%201.%20The%20%24t%24-axis%3B%0A%20%20%20%202.%20%24y(t)%20%3D%202t%20%2B%201%24%3B%0A%20%20%20%203.%20%24t%20%3D%201%24%3B%0A%20%20%20%204.%20%24t%20%3D%20x%24%2C%20where%20%24x%24%20is%20a%20number%20that%20is%20greater%20than%20%241%24%2C%20but%20we%20don't%20know%20the%20value.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(go%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20%23%20x%20range%20for%20main%20line%0A%20%20%20%20x_line%20%3D%20np.linspace(0%2C%204%2C%20400)%0A%20%20%20%20y_line%20%3D%202%20*%20x_line%20%2B%201%0A%0A%20%20%20%20%23%20Vertical%20lines%20at%20x%20%3D%201%20and%20x%20%3D%203%0A%20%20%20%20x1%20%3D%20np.full(100%2C%201)%0A%20%20%20%20x3%20%3D%20np.full(100%2C%203)%0A%20%20%20%20y_vert%20%3D%20np.linspace(0%2C%208%2C%20100)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Horizontal%20segment%20y%20%3D%203%20on%20x%20in%20%5B1%2C%203%5D%0A%20%20%20%20x_horiz%20%3D%20np.linspace(1%2C%203%2C%20200)%0A%20%20%20%20y_horiz%20%3D%20np.full_like(x_horiz%2C%203)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20figure%0A%20%20%20%20fig_1%20%3D%20go.Figure()%0A%0A%20%20%20%20%23%20Line%20y%20%3D%202x%20%2B%201%0A%20%20%20%20fig_1.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_line%2C%20y%3Dy_line%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3D%22y%20%3D%202x%20%2B%201%22%2C%20line%3Ddict(color%3D%22blue%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Vertical%20lines%0A%20%20%20%20fig_1.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dy_vert%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22x%20%3D%201%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22red%22%2C%20dash%3D%22dot%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20fig_1.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dy_vert%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22x%20%3D%203%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22red%22%2C%20dash%3D%22dot%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Horizontal%20line%20y%20%3D%203%20from%20x%20%3D%201%20to%20x%20%3D%203%0A%20%20%20%20fig_1.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_horiz%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dy_horiz%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22y%20%3D%203%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22green%22%2C%20dash%3D%22dash%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Points%20with%20labels%0A%20%20%20%20points_1%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(1%2C%203%2C%20%22(1%2C%203)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(1%2C%200%2C%20%22(1%2C%200)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(3%2C%203%2C%20%22(x%2C%203)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(3%2C%200%2C%20%22(x%2C%200)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(3%2C%207%2C%20%22(x%2C%202x%2B1)%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D%0A%0A%20%20%20%20for%20x_pt_1%2C%20y_pt_1%2C%20label_1%20in%20points_1%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig_1.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5Bx_pt_1%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5By_pt_1%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22markers%2Btext%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(size%3D8%2C%20color%3D%22black%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5Blabel_1%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20textposition%3D%22top%20right%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Layout%0A%20%20%20%20fig_1.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Integrating%20y%20%3D%202x%20%2B%201%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22x%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22y%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis%3Ddict(range%3D%5B0%2C%204%5D%2C%20scaleanchor%3D%22y%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis%3Ddict(range%3D%5B-1%2C%208%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20template%3D%22plotly_white%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20We%20can%20do%20it%20with%20simple%20geometry.%20The%20region%20consists%20of%20two%20parts%2C%20a%20rectangle%20and%20a%20triangle.%20The%20rectangle%20has%20area%20%24(x-1)%20%5Ccdot%203%20%3D%203x-3%24%2C%20and%20the%20triangle%20has%20area%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Ccdot%20(x-1)%20%5Ccdot%20(2x%2B1%20-%203)%24%20%24%3D%20x%5E2%20-%202x%20%2B%201%24.%20The%20summation%20is%20%24x%5E2%20%2B%20x%20-%202%24.%0A%0A%20%20%20%20This%20area%20depends%20on%20%24x%24%2C%20thus%20let%20us%20call%20it%20%24A(x)%24.%20Notice%20by%20definition%20of%20definite%20integral%2C%20%24%5Cdisplaystyle%20A(x)%20%3D%20%5Cint_1%5Ex%202t%2B1%20dt%24.%20What%20is%20the%20derivative%20of%20%24A(x)%24%20with%20respect%20to%20%24x%24%3F%20We%20can%20calculate%20%24(x%5E2%2B%20x%20-%202)'%20%3D%202x%2B1%24.%20And%20it%20should%20look%20familiar%20-%20replace%20%24x%24%20by%20%24t%24%20we%20get%20%242t%2B1%24%20which%20is%20exactly%20our%20original%20%24y(t)%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%201%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Find%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%20%5Cint_1%5Ex%20%5Csqrt%7B1%20%2B%20t%5E3%7Ddt%24.%0A%0A%20%20%20%20By%20FTC%2C%20we%20know%20that%20if%20we%20write%20%24%5Cdisplaystyle%20g(x)%20%3D%20%5Cint_1%5Ex%20%5Csqrt%7B1%20%2B%20t%5E3%7Ddt%24%2C%20then%20%24g'(x)%20%3D%20f(x)%20%3D%20%5Csqrt%7B1%20%2B%20x%5E3%7D%24.%20But%20that%20is%20exactly%20what%20we%20want%2C%20i.e.%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%20%5Cint_1%5Ex%20%5Csqrt%7B1%20%2B%20t%5E3%7Ddt%20%3D%20g'(x)%24%20(it's%20just%20two%20ways%20of%20writing%20the%20notation%20for%20derivative)%20%24%3D%20%5Csqrt%7B1%20%2B%20x%5E3%7D%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%202%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Find%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%20%5Cint_x%5E%7B5%7D%20%5Ctan(%5Ctheta)d%5Ctheta%24.%0A%0A%20%20%20%20Notice%20the%20upper%2Flower%20limits%20are%20not%20what%20they%20look%20like%20as%20in%20the%20theorem%2C%20so%20we%20should%20be%20careful%20about%20it.%0A%0A%20%20%20%20Write%20%24%5Cdisplaystyle%20g(x)%20%3D%20%5Cint_x%5E5%20%5Ctan(%5Ctheta)d%5Ctheta%24%2C%20then%20%24%5Cdisplaystyle%20-g(x)%20%3D%20%5Cint_5%5Ex%20%5Ctan(%5Ctheta)d%5Ctheta%24%20by%20a%20property%20of%20definite%20integral.%20Then%20%24%5Cdisplaystyle%20(-g(x))'%20%3D%20%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%5Cint_5%5Ex%20%5Ctan(%5Ctheta)d%5Ctheta%20%3D%20%5Ctan(x)%24%20by%20FTC.%20Now%20%24(-g(x))'%20%3D%20-g'(x)%24%2C%20and%20what%20we%20want%20is%20%24g'(x)%24%2C%20thus%20%24g'(x)%20%3D%20-%20%5Ctan(x)%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%203%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Find%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%20%5Cint_2%5E%7B1%2Fx%5E2%7D%20(2%20%2B%20%5Csin(t))%20dt%24.%0A%0A%20%20%20%20Notice%20the%20upper%20limit%20are%20not%20what%20it%20looks%20like%20as%20in%20the%20theorem%2C%20it%20is%20a%20function%20of%20%24x%24%2C%20not%20just%20%24x%24.%20**The%20FTC%20does%20not%20work%20directly%20in%20this%20case**.%0A%0A%20%20%20%20We%20need%20to%20use%20the%20Chain%20Rule%20on%20top%20of%20FTC.%0A%0A%20%20%20%20Let%20us%20for%20now%20write%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D%20%3D%20y%24%2C%20then%20if%20we%20write%20%24%5Cdisplaystyle%20g(y)%20%3D%20%5Cint_2%5E%7By%7D%20(2%20%2B%20%5Csin(t))%20dt%24%2C%20we%20know%20from%20the%20FTC%20that%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdy%7D%20g(y)%20%3D%20%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdy%7D%20%5Cint_2%5E%7By%7D%20(2%20%2B%20%5Csin(t))%20dt%20%3D%202%20%2B%20%5Csin(y)%24.%20What%20we%20need%20is%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%20g(y)%24.%0A%0A%20%20%20%20Notice%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7Bdg(y)%7D%7Bdy%7D%20%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bdg(y)%7D%7Bdx%7D%24%2C%20and%20we%20can%20calculate%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%20%3D%20(%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D)'%20%3D%20-%5Cfrac%7B2%7D%7Bx%5E3%7D%24.%20Thus%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7Bdg(y)%7D%7Bdx%7D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20(2%20%2B%20%5Csin(y))(-%5Cfrac%7B2%7D%7Bx%5E3%7D)%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20-(2%2B%5Csin(%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D))%5Cfrac%7B2%7D%7Bx%5E3%7D%24%20is%20what%20we%20need.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Theorem%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22In%20general%2C%20%24%24%5Cboxed%7B%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%20%5Cint_a%5E%7Bg(x)%7D%20f(t)%20dt%20%3D%20f(g(x))%5Ccdot%20g'(x)%7D%24%24%20and%20%24%24%5Cboxed%7B%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%20%5Cint_%7Bg(x)%7D%5Ea%20f(t)%20dt%20%3D%20-f(g(x))%5Ccdot%20g'(x)%7D%24%24%20as%20we%20worked%20out%20above.%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%20(Graph%20Problem)%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(go%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20fig_2%20%3D%20go.Figure()%0A%0A%20%20%20%20%23%201.%20Line%20from%20(-4%2C%201)%20to%20(-2%2C%203)%0A%20%20%20%20x21%2C%20y21%20%3D%20%5B-4%2C%20-2%5D%2C%20%5B1%2C%203%5D%0A%20%20%20%20fig_2.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx21%2C%20y%3Dy21%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3D%22Segment%201%22%2C%20line%3Ddict(color%3D%22blue%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%202.%20Line%20from%20(-2%2C%203)%20to%20(-1%2C%200)%0A%20%20%20%20x22%2C%20y22%20%3D%20%5B-2%2C%20-1%5D%2C%20%5B3%2C%200%5D%0A%20%20%20%20fig_2.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx22%2C%20y%3Dy22%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3D%22Segment%202%22%2C%20line%3Ddict(color%3D%22blue%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%203.%20Lower%20half%20of%20unit%20circle%3A%20x%20in%20%5B-1%2C%201%5D%2C%20y%20%3D%20-sqrt(1%20-%20x%5E2)%0A%20%20%20%20x_circle%20%3D%20np.linspace(-1%2C%201%2C%20400)%0A%20%20%20%20y_circle%20%3D%20-np.sqrt(1%20-%20x_circle**2)%0A%20%20%20%20fig_2.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_circle%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dy_circle%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Lower%20Unit%20Circle%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22blue%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%204.%20Line%20from%20(1%2C%200)%20to%20(3%2C%20-1)%0A%20%20%20%20x24%2C%20y24%20%3D%20%5B1%2C%203%5D%2C%20%5B0%2C%20-1%5D%0A%20%20%20%20fig_2.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx24%2C%20y%3Dy24%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3D%22Segment%203%22%2C%20line%3Ddict(color%3D%22blue%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Points%20with%20labels%0A%20%20%20%20points_2%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(-4%2C%201%2C%20%22(-4%2C%201)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(-2%2C%203%2C%20%22(-2%2C%203)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(-1%2C%200%2C%20%22(-1%2C%200)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(1%2C%200%2C%20%22(1%2C%200)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(3%2C%20-1%2C%20%22(3%2C%20-1)%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D%0A%0A%20%20%20%20for%20x_pt_2%2C%20y_pt_2%2C%20label_2%20in%20points_2%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig_2.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5Bx_pt_2%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5By_pt_2%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22markers%2Btext%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(size%3D8%2C%20color%3D%22black%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5Blabel_2%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20textposition%3D%22top%20right%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Layout%20settings%0A%20%20%20%20fig_2.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Graph%20of%20f%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22x%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22y%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis%3Ddict(range%3D%5B-5%2C%204%5D%2C%20scaleanchor%3D%22y%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis%3Ddict(scaleanchor%3D%22x%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20template%3D%22plotly_white%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Let%20%24f%24%20be%20the%20continuous%20function%20defined%20on%20%24%5B-4%2C3%5D%24%20whose%20graph%20consisting%20of%20three%20line%20segments%20and%20a%20semicircle%20centered%20at%20origin%20is%20given%20above.%20Define%20%24%5Cdisplaystyle%20g(x)%20%3D%20%5Cint%5Climits_1%5Exf(t)dt%24.%0A%0A%20%20%20%201.%20Evaluate%20%24g(2)%24%20and%20%24g(-2)%24%3B%0A%20%20%20%202.%20Evaluate%20%24g'(-3)%24%20and%20%24g''(-3)%24%3B%0A%20%20%20%203.%20Find%20the%20%24x%24-oordinate(s)%20of%20all%20point(s)%20at%20which%20the%20graph%20of%20%24g%24%20has%20a%20horizontal%20tangent%20line.%20For%20each%20of%20these%20points%2C%20determine%20if%20it%20is%20a%20local%20maximum%2C%20local%20minimum%2C%20or%20neither%3B%0A%20%20%20%204.%20Find%20the%20%24x%24-coordinate(s)%20of%20all%20inflection%20point(s)%20of%20%24g%24.%0A%0A%20%20%20%20Solution%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20By%20construction%2C%20%24%5Cdisplaystyle%20g(2)%20%3D%20%5Cint%5Climits_1%5E2f(t)dt%24%2C%20from%20the%20graph%20we%20see%20this%20is%20the%20**signed**%20area%20of%20a%20triangle.%20The%20length%20of%20the%20triangle%20is%20%241%24%20and%20the%20height%20is%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%24%3B%20the%20triangle%20is%20below%20%24x%24-axis%20thus%20should%20have%20negative%20area%2C%20thus%20the%20answer%20is%20%24%5Cdisplaystyle%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot%201%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%3D%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%24.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5Cdisplaystyle%20g(-2)%20%3D%20%5Cint%5Climits_1%5E%7B-2%7Df(t)dt%24%2C%20notice%20that%20%24-2%24%20is%20smaller%20than%20%241%24%2C%20thus%20we%20should%20write%20it%20as%20%24%5Cdisplaystyle%20g(-2)%20%3D%20-%5Cint%5Climits_%7B-2%7D%5E1f(t)dt%24%20and%20the%20integral%20is%20the%20**signed**%20area%20of%20a%20triangle%20and%20a%20half-disk.%20The%20area%20of%20the%20triangle%20is%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot%201%20%5Ccdot%203%20%3D%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%24%3B%20the%20area%20of%20the%20half-disk%20is%20%24%5Cdisplaystyle%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot%20%5Cpi%5Ccdot%201%5E2%20%3D%20-%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%24%20(it%20is%20negative%20because%20it%20is%20below%20%24x%24-axis).%20Do%20not%20forget%20the%20minus%20sign%20from%20inverting%20%241%24%20and%20%24-2%24%2C%20the%20final%20answer%20if%20%24%5Cdisplaystyle%20-(%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%20-%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D)%24%20or%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%20-%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%24%3B%0A%20%20%20%202.%20By%20FTC%2C%20%24g'(x)%20%3D%20f(x)%24%20thus%20%24g'(-3)%20%3D%20f(-3)%24%2C%20so%20we%20can%20observe%20from%20the%20graph%20that%20%24g'(-3)%24%20equals%20%242%24.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Since%20%24g'(x)%20%3D%20f(x)%24%2C%20we%20should%20have%20%24g''(x)%20%3D%20f'(x)%24%2C%20thus%20%24g''(-3)%20%3D%20f'(-3)%24%2C%20which%20means%20it%20equals%20the%20slope%20of%20tangent%20line%20of%20%24f%24%20at%20%24-3%24%2C%20we%20can%20observe%20from%20the%20graph%20that%20the%20slope%20is%20%241%24%2C%20thus%20%24g''(-3)%20%3D%201%24%3B%0A%20%20%20%203.%20%24g%24%20has%20a%20horizontal%20tangent%20line%20at%20%24x%24%20if%20%24g'(x)%24%20is%20defined%20and%20equals%20%240%24%2C%20from%20part%202%20we%20know%20%24g'(x)%20%3D%20f(x)%24%2C%20and%20we%20can%20observe%20from%20the%20graph%20that%20%24f(x)%20%3D%200%24%20when%20%24x%20%3D%20-1%24%20or%20%241%24.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20At%20%24-1%24%2C%20%24g'(x)%20%3D%20f(x)%24%20changes%20from%20positive%20to%20negative%20(before%20%24-1%24%2C%20the%20graph%20of%20%24f%24%20is%20above%20%24x%24-axis%2C%20but%20after%20%24-1%24%2C%20the%20graph%20of%20%24f%24%20is%20below%20%24x%24-axis)%2C%20thus%20by%20First%20Derivative%20Test%2C%20%24-1%24%20is%20a%20local%20maximum.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20At%20%241%24%2C%20%24g'(x)%24%20remains%20from%20negative%20to%20negative%2C%20thus%20it%20is%20not%20a%20local%20extremum%3B%0A%20%20%20%204.%20Recall%20that%20inflection%20point%20is%20when%20%24g''(x)%24%20changes%20sign%2C%20which%20is%20equivalent%20with%20that%20%24f'(x)%24%20changes%20sign.%20Observe%20from%20the%20graph%2C%20we%20can%20find%20the%20inflection%20points%20are%20%24-2%24%20(positive%20to%20negative%2C%20because%20%24f%24%20is%20increasing%20before%20%24-2%24%20and%20decreasing%20after%20%24-2%24%2C%20meaning%20that%20%24f'%24%20is%20positive%20before%20%24-2%24%20and%20negative%20after%20%24-2%24)%2C%20%240%24%20(negative%20to%20positive)%2C%20and%20%241%24%20(positive%20to%20negative).%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Remark%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20In%20particular%2C%20with%20such%20setup%20(given%20graph%20of%20%24f%24%2C%20and%20define%20%24%5Cdisplaystyle%20g(x)%20%3D%20%5Cint_a%5Exf(t)dt%24)%2C%0A%0A%20%20%20%201.%20%24g(b)%24%20evaluate%20the%20area%20of%20the%20region%20from%20%24a%24%20to%20%24b%24%20on%20the%20graph%3B%0A%20%20%20%202.%20%24g'(b)%24%20is%20simply%20the%20%24y%24-value%20at%20%24b%24%20on%20the%20graph%2C%20and%3B%0A%20%20%20%203.%20%24g''(b)%24%20is%20the%20slope%20of%20the%20graph%20at%20%24b%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Average%20Value%20of%20a%20Function%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Let%20%24f%24%20be%20integrable%20on%20%24%5Ba%2C%20b%5D%24%2C%20intuitively%2C%20if%20we%20choose%20%24n%24%20points%20on%20the%20curve%20%24f(x)%24%2C%20then%20their%20average%20should%20be%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7Bf(x_1)%20%2B%20f(x_2)%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20f(x_n)%7D%7Bn%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20The%20average%20value%20(of%20all%20points)%20of%20a%20function%20on%20%24%5Ba%2C%20b%5D%24%20can%20then%20be%20thought%20as%20the%20limit%20of%20the%20above%20expression%20as%20%24n%24%20goes%20to%20infinity.%0A%0A%20%20%20%20Now%2C%20recall%20our%20definition%20of%20definite%20integral%2C%20we%20have%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cint_a%5Ebf(x)dx%20%3D%20%5Clim_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%5Csum_%7Bi%20%3D%201%7D%5Enf(x_i)%5CDelta(x)%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20which%20is%20the%20same%20as%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cint_a%5Ebf(x)dx%20%3D%20%5Clim_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B%5Cleft(f(x_1)%2B%20f(x_2)%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20f(x_n)%5Cright)%5Ccdot(b-a)%7D%7Bn%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20So%20if%20we%20divide%20%24b-a%24%20both%20sides%2C%20the%20left%20hand%20side%20becomes%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bb-a%7D%5Cint_a%5Ebf(x)dx%24%2C%20and%20the%20right%20hand%20side%20is%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Clim%5Climits_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bf(x_1)%20%2B%20f(x_2)%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20f(x_n)%7D%7Bn%7D%24%20which%20is%20the%20average.%0A%0A%20%20%20%20Thus%20we%20have%20the%20following%20definition%3A%20let%20%24f%24%20be%20integrable%20on%20%24%5Ba%2C%20b%5D%24%2C%20the%20average%20value%20of%20%24f%24%20on%20%24%5Ba%2Cb%5D%24%20(there%20is%20no%20'right'%20notation%20for%20this%2C%20we%20can%20write%20%24f_%7B%5Ctext%7Baverage%7D%7D%24)%20is%20%24%5Cdisplaystyle%20f_%7B%5Ctext%7Baverage%7D%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bb-a%7D%5Cint_a%5Eb%20f(x)%20dx%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20What%20is%20the%20average%20value%20of%20%24x%20-%20x%5E2%24%20on%20%24%5B0%2C2%5D%24%3F%0A%0A%20%20%20%20By%20definition%2C%20the%20average%20value%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%20-%200%7D%20%5Cint_0%5E2%20x%20-%20x%5E2%20dx%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft(%20(%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2%7D%20-%20%5Cfrac%7Bx%5E3%7D%7B3%7D)%20%7C_0%5E2%20%5Cright)%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20(%5Cfrac%7B4%7D%7B2%7D%20-%20%5Cfrac%7B8%7D%7B3%7D)%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A