Calculus I 21

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.13.7%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20nav_menu%20%3D%20mo.nav_menu(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Findex.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Ahome')%7D%20Home%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20orientation%3D%22vertical%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20nav_menu%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%204.2%20Definite%20Integral%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Definite%20Integral%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Suppose%20%24f%24%20is%20continuous%20on%20%24%5Ba%2C%20b%5D%24%20(notice%20this%20is%20a%20closed%20interval).%20Recall%20from%20last%20section%20that%20the%20signed%20area%20%24A%24%20under%20the%20curve%20%24f%24%20on%20%24%5Ba%2C%20b%5D%24%20is%20calculated%20as%20%24%24A%20%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%5Csum_%7Bi%20%3D%201%7D%5Enf(x_i%5E*)%5CDelta(x)%2C%24%24%20where%20%24%5Cdisplaystyle%20%5CDelta(x)%20%3D%20%5Cfrac%7Bb-a%7D%7Bn%7D%24%2C%20%24%5Ba%2Cb%5D%24%20is%20divided%20into%20%24n%24%20sub-intervals%20with%20equal%20length%20(in%20particular%2C%20each%20interval%20has%20length%20%24%5CDelta(x)%24)%2C%20and%20%24x_i%5E*%24%20is%20any%20number%20in%20the%20%24i%24-th%20sub-interval%20mentioned%20above.%0A%0A%20%20%20%20**Define**%20this%20limit%20to%20be%20the%20definite%20integral%20of%20%24f%24%20from%20%24a%24%20to%20%24b%24%2C%20and%20denote%20it%20%24%5Cint_a%5Ebf(x)dx%24.%20In%20other%20words%2C%20%24%24%5Cint_a%5Ebf(x)dx%20%3A%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%5Csum_%7Bi%20%3D%201%7D%5En%20f(x_i%5E*)%5CDelta(x).%24%24%20**Put%20it%20in%20words%2C%20the%20definite%20integral%20of%20%24f%24%20from%20%24a%24%20to%20%24b%24%20is%20defined%20to%20be%20the%20signed%20area%20of%20the%20region%20bounded%20by%20%24f%24%2C%20%24x%20%3D%20a%24%2C%20%24x%20%3D%20b%24%2C%20and%20the%20%24x%24-axis**.%0A%0A%20%20%20%20The%20sum%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Csum_%7Bi%20%3D%201%7D%5En%20f(x_i%5E*)%5CDelta(x)%24%20is%20known%20as%20a%20Riemann%20sum%2C%20**it%20can%20be%20negative%20or%20positive%20(thus%20so%20does%20the%20definite%20integral)**.%20%24f(x)%24%20is%20called%20the%20integrand%2C%20%24a%24%20is%20called%20the%20lower%20limit%20(or%20lower%20bound)%2C%20%24b%24%20is%20called%20the%20upper%20limit%20(or%20upper%20bound).%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%201%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Write%20down%20the%20expression%20for%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cint_1%5E3%5Csin(%5Csqrt%7Bx%7D)dx%24%20has%20a%20limit%20of%20Riemann%20sum.%0A%0A%20%20%20%20From%20the%20integral%20notation%2C%20we%20know%20%24a%20%3D%201%24%20and%20%24b%20%3D%203%24%2C%20thus%20%24%5Cdisplaystyle%20%5CDelta(x)%20%3D%20%5Cfrac%7Bb-a%7D%7Bn%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B2%7D%7Bn%7D%24.%20If%20we%20divide%20%24%5Ba%2C%20b%5D%20%3D%20%5B1%2C%203%5D%24%20to%20%24n%24%20equal%20parts%2C%20then%20they%20are%20%24%5Cdisplaystyle%20%5B1%2C%201%20%2B%20%5Cfrac%7B2%7D%7Bn%7D%5D%24%2C%20%24%5Cdisplaystyle%20%5B1%20%2B%20%5Cfrac%7B2%7D%7Bn%7D%2C%201%20%2B%20%5Cfrac%7B4%7D%7Bn%7D%5D%24%2C%20%24%5Cdisplaystyle%20%5B1%20%2B%20%5Cfrac%7B4%7D%7Bn%7D%2C1%20%2B%20%5Cfrac%7B6%7D%7Bn%7D%5D%24%2C%20%24%5Cdots%24%2C%20%24%5Cdisplaystyle%20%5B1%20%2B%20%5Cfrac%7B2(n-1)%7D%7Bn%7D%2C%201%20%2B%20%5Cfrac%7B2n%7D%7Bn%7D%20%3D%203%5D%24.%20Since%20%24x_i%24%20can%20be%20chosen%20arbitrarily%20from%20those%20intervals%2C%20let%20us%20for%20example%20just%20choose%20the%20right%20endpoint.%20That%20is%2C%20%24%5Cdisplaystyle%20x_1%5E*%20%3D%201%2B%20%5Cfrac%7B2%7D%7Bn%7D%24%2C%20%24%5Cdisplaystyle%20x_2%5E*%20%3D%201%2B%20%5Cfrac%7B4%7D%7Bn%7D%24%2C%20%24%5Cdisplaystyle%20x_3%5E*%20%3D%201%2B%20%5Cfrac%7B6%7D%7Bn%7D%24%2C%20%24%5Cdots%24%2C%20%24%5Cdisplaystyle%20x_n%5E*%20%3D%201%20%2B%20%5Cfrac%7B2n%7D%7Bn%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20We%20should%20realize%20there%20is%20a%20simpler%20way%20to%20write%20%24x_i%5E*%24's%3A%20we%20start%20with%20%241%24%2C%20and%20each%20step%20we%20add%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7B2%7D%7Bn%7D%24.%20Thus%20%24x_i%5E*%24%20(the%20right%20endpoint)%20can%20be%20written%20as%20%24%5Cdisplaystyle%20x_i%5E*%20%3D%201%20%2B%20i%5Ccdot%20%5Cfrac%7B2%7D%7Bn%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20So%20now%20we%20get%20what%20are%20the%20%24x_i%5E*%24's%20and%20what%20is%20%24%5CDelta(x)%24%2C%20we%20can%20plug%20them%20into%20the%20definition%20and%20get%3A%20%24%24%5Cint_1%5E3%5Csin(%5Csqrt%7Bx%7D)dx%20%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%5Csum_%7Bi%20%3D%201%7D%5En%5Cleft%5B%5Csin(%5Csqrt%7B1%20%2B%20i%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B2%7D%7Bn%7D%7D)%5Cfrac%7B2%7D%7Bn%7D%5Cright%5D.%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Remark%201%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20For%20an%20arbitrary%20function%20%24f%24%20on%20%24%5Ba%2Cb%5D%24%2C%20the%20limit%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Clim%5Climits_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%5Csum_%7Bi%20%3D%201%7D%5En%20f(x_i%5E*)%5CDelta(x)%24%20may%20not%20exist.%20**When%20this%20limit%20does%20not%20exist%2C%20we%20say%20%24f%24%20is%20not%20integrable%20on%20%24%5Ba%2Cb%5D%24%20(recall%20that%20if%20this%20limit%20is%20infinity%2C%20it%20is%20also%20counted%20as%20'not%20exist')**%3B%20and%20when%20this%20limit%20does%20exist%2C%20we%20say%20%24f%24%20is%20integrable%20on%20%24%5Ba%2C%20b%5D%24.%0A%0A%20%20%20%20**Continuous%20%24f%24%20is%20always%20integrable**.%20But%20continuity%20is%20not%20necessary%20for%20a%20function%20to%20be%20integrable.%20**Unbounded%20%24f%24%20(i.e.%20it%20has%20a%20vertical%20asymptote%20on%20%24%5Ba%2Cb%5D%24)%20is%20*never*%20integrable**.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Remark%202%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22As%20a%20matter%20of%20fact%2C%20we%20do%20not%20even%20need%20to%20divide%20%24%5Ba%2C%20b%5D%24%20into%20%24n%24%20**equal**%20parts.%20However%2C%20the%20choice%20of%20this%20partition%20is%20also%20not%20arbitrary.%20It%20is%20rather%20hard%20(and%20beyond%20the%20scope%20of%20this%20course)%20to%20carefully%20define%20those%20things.%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%202%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%24%5Cdisplaystyle%20f(x)%20%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%26%2Cx%5Cne%200%20%5C%5C%200%26%2Cx%20%3D%200%20%5Cend%7Bcases%7D%24%20is%20not%20integrable%20on%20%24%5B0%2C1%5D%24.%20The%20function%20is%20not%20bounded.%0A%0A%20%20%20%20What%20about%20%24%5B-1%2C%201%5D%24%3F%20There%20could%20be%20a%20debate%20on%20this%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20The%20answer%20is%20%240%24%2C%20because%20of%20symmetry%3B%0A%20%20%20%202.%20The%20answer%20is%20undefined%2C%20for%20the%20same%20reason%20that%20it%20is%20not%20defined%20on%20%24%5B0%2C1%5D%24.%0A%0A%20%20%20%20To%20be%20consistent%20with%20other%20topics%2C%20we%20usually%20take%20the%20second%20reasoning%3A%20it%20is%20undefined%20on%20%24%5B-1%2C1%5D%24%20despite%20of%20the%20symmetry.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Properties%20of%20Definite%20Integral%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20The%20book%20continues%20this%20section%20in%20a%20pretty%20formal%20and%20careful%20way.%20In%20some%20sense%20those%20formalities%20are%20not%20needed.%20**There%20are%20many%20properties%20of%20definite%20integral%20that%20can%20be%20understood%20in%20a%20rather%20intuitive%20way**.%0A%0A%20%20%20%20Let%20us%20assume%20the%20function%20being%20integrated%20is%20continuous.%0A%0A%20%20%20%201.%20**First%2C%20recall%20that%20the%20definite%20integral%20is%20the%20same%20as%20signed%20area**%3B%0A%20%20%20%202.%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cint_a%5Eb%20f(x)%20dx%20%3D%20-%20%5Cint_b%5Ea%20f(x)dx%24%3A%20from%20the%20definition%20we%20should%20have%20the%20upper%20bound%20to%20be%20no%20less%20than%20the%20lower%20bound%20-%20but%2C%20in%20case%20that%20the%20upper%20bound%20is%20smaller%2C%20you%20can%20view%20the%20signed%20area%20as%20a%20signed%20area%20that%20'goes%20to%20the%20other%20direction'%2C%20thus%20in%20some%20sense%20it%20should%20have%20the%20**opposite%20sign**%20with%20the%20bound%20flipped%3B%0A%20%20%20%203.%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cint_a%5Ea%20f(x)%20dx%20%3D%200%24%3A%20area%20of%20a%20line%20segment%20is%20%240%24%3B%0A%20%20%20%204.%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cint_a%5Eb%20c%20dx%20%3D%20(b-a)c%24%3A%20the%20integral%20can%20be%20interpret%20as%20the%20area%20of%20the%20region%20bounded%20by%20the%20%24x%24-axis%2C%20%24x%20%3D%20a%24%2C%20%24x%20%3D%20b%24%2C%20and%20%24y%20%3D%20c%24%2C%20which%20is%20a%20rectangle%20with%20height%20%24c%24%20and%20length%20%24b-a%24%2C%20thus%20the%20(signed)%20area%20is%20%24(b-a)c%24%3B%0A%20%20%20%205.%20The%20following%20properties%20involving%20operations%20are%20due%20to%20the%20fact%20you%20can%20do%20operations%20to%20shapes%3A%0A%20%20%20%20%091.%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cint_a%5Eb%20cf(x)dx%20%3D%20c%5Cint_a%5Eb%20f(x)dx%24%3B%0A%20%20%20%20%092.%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cint_a%5Eb%20f(x)%20%2B%20g(x)%20dx%20%3D%20%5Cint_a%5Eb%20f(x)%20dx%20%2B%20%5Cint_a%5Eb%20g(x)%20dx%24%3B%0A%20%20%20%20%093.%20For%20any%20real%20numbers%20%24a%2C%20b%2C%20c%24%2C%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cint_a%5Eb%20f(x)%20dx%20%3D%20%5Cint_a%5Ec%20f(x)%20dx%20%2B%20%5Cint_c%5Eb%20f(x)%20dx%24%3B%0A%20%20%20%206.%20Comparison%20Properties%2C%20those%20should%20also%20be%20intuitive%20when%20interpreting%20geometrically%3A%0A%20%20%20%20%091.%20If%20%24f(x)%20%5Cge%200%24%20on%20%24%5Ba%2C%20b%5D%24%2C%20then%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cint_a%5Eb%20f(x)%20dx%20%5Cge%200%24%3B%0A%20%20%20%20%092.%20If%20%24f(x)%20%5Cge%20g(x)%24%20on%20%24%5Ba%2C%20b%5D%24%2C%20then%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cint_a%5Eb%20f(x)%20dx%20%5Cge%20%5Cint_a%5Eb%20g(x)%20dx%24%3B%0A%20%20%20%20%093.%20In%20particular%2C%20if%20%24m%20%5Cle%20f(x)%20%5Cle%20M%24%20on%20%24%5Ba%2C%20b%5D%24%2C%20then%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cint_a%5Eb%20m%20dx%20%5Cle%20%5Cint_a%5Eb%20f(x)%20dx%20%5Cle%20%5Cint_a%5Eb%20M%20dx%24%2C%20thus%20%24%5Cdisplaystyle%20m(b-a)%20%5Cle%20%5Cint_a%5Eb%20f(x)%20dx%20%5Cle%20M(b-a)%24%20due%20to%20the%20above%20property.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Exercises%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%201.%20Evaluate%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cint%5Climits_0%5E%7B10%7D%7C%20x%20-%205%20%7C%20dx%24%20using%20the%20property%20of%20definite%20integral%3B%0A%20%20%20%202.%20If%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cint_1%5E5%20f(x)%20dx%20%3D%2012%24%20and%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cint_4%5E5%20f(x)%20dx%20%3D%204%24%2C%20what%20is%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cint_1%5E4%20f(x)%20dx%24%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A