Calculus I 20

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.13.7%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20plotly.graph_objects%20as%20go%0A%20%20%20%20from%20plotly.subplots%20import%20make_subplots%0A%0A%20%20%20%20return%20go%2C%20make_subplots%2C%20mo%2C%20np%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20nav_menu%20%3D%20mo.nav_menu(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Findex.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Ahome')%7D%20Home%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20orientation%3D%22vertical%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20nav_menu%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%204.1%20Areas%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Introduction%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20We%20learnt%20how%20to%20calculate%20area%20of%20some%20basic%20shapes%20in%20geometry%20course.%20For%20example%2C%20the%20area%20of%20a%20rectangle%20is%20width%20times%20length%2C%20the%20area%20of%20a%20disk%20is%20%24%5Cpi%24%20times%20radius%20squared%2C%20and%20so%20on.%0A%0A%20%20%20%20What%20if%20we%20want%20to%20know%20the%20area%20of%20an%20arbitrary%20shape%20(say%20it%20is%20described%20by%20a%20function)%3F%0A%0A%20%20%20%20One%20intuitive%20idea%20is%20to%20cover%20it%20by%20certain%20numbers%20of%20rectangles.%20The%20(sum%20of)%20areas%20of%20the%20rectangles%20give%20us%20an%20estimation%20of%20the%20area%20of%20the%20desired%20region.%0A%0A%20%20%20%20Let%20us%20try%20to%20estimate%20the%20area%20of%20a%20hemisphere%20with%20%244%24%20rectangles%2C%20we%20list%20%243%24%20different%20ways%20to%20do%20it%20here%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%201%20(Left%20Endpoint%20Method)%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20With%20this%20method%2C%20we%20divide%20the%20'width'%20into%20%244%24%20equal%20parts%20-%20those%20are%20the%20width%20of%20the%20%244%24%20rectangles%20we%20are%20going%20to%20use.%20For%20the%20height%2C%20we%20take%20the%20(absolute%20value%20of)%20%24y%24-value%20that%20corresponds%20to%20the%20left%20endpoint%20of%20each%20sub-interval%20we%20just%20got.%0A%0A%20%20%20%20We%20should%20know%20the%20function%20%24y%20%3D%20%5Csqrt%7B1-x%5E2%7D%24%20describes%20the%20upper%20hemisphere.%20The%20width%20we%20are%20going%20to%20divide%20is%20%242%24%20(the%20diameter)%2C%20which%20is%20the%20length%20of%20the%20interval%20%24%5B-1%2C%201%5D%24.%20If%20we%20divide%20this%20interval%20to%20%244%24%20intervals%2C%20we%20get%20%24%5B-1%2C-0.5%5D%2C%20%5B-0.5%2C0%5D%2C%5B0%2C0.5%5D%24%20and%20%24%5B0.5%2C1%5D%24-%20each%20has%20length%20%240.5%20%3D%202%2F4%24.%0A%0A%20%20%20%20So%20the%20left%20endpoints%20for%20these%20intervals%20are%20%24-1%2C%20-0.5%2C%200%24%20and%20%240.5%24.%20The%20%24y%24-values%20correspond%20to%20these%20points%20are%20%24y(-1)%20%3D%200%24%2C%20%24y(0.5)%20%3D%20%5Csqrt%7B0.75%7D%20%5Capprox%200.86%24%2C%20%24y(0)%20%3D%201%24%20and%20%24y(-0.5)%20%5Capprox%200.86%24%20again.%20These%20can%20be%20understood%20as%20the%20height%20of%20the%20rectangles.%0A%0A%20%20%20%20So%20we%20have%20the%20heights%20and%20width%20for%20each%20of%20the%20four%20rectangles%2C%20we%20estimate%20the%20area%20of%20the%20hemisphere%20to%20be%20their%20sum%2C%20which%20is%20%24%5Capprox%200.5%5Ccdot%200%20%2B%200.5%20%5Ccdot%200.86%20%2B%200.5%20%5Ccdot%201%20%2B%200.5%20%5Ccdot%200.86%24%20%24%3D%200.5(0%2B0.86%2B1%2B0.86)%20%3D%201.36%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(go%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Upper%20unit%20circle%3A%20y%20%3D%20sqrt(1%20-%20x%5E2)%0A%20%20%20%20x_curve%20%3D%20np.linspace(-1%2C%201%2C%20400)%0A%20%20%20%20y_curve%20%3D%20np.sqrt(1%20-%20x_curve**2)%0A%0A%20%20%20%20fig_1%20%3D%20go.Figure()%0A%0A%20%20%20%20%23%20Plot%20upper%20unit%20circle%0A%20%20%20%20fig_1.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_curve%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dy_curve%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Upper%20Unit%20Circle%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22blue%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Left-endpoint%20rectangles%0A%20%20%20%20n_rects%20%3D%204%0A%20%20%20%20x_left%20%3D%20np.linspace(-1%2C%201%20-%202%20%2F%20n_rects%2C%20n_rects)%20%20%23%20left%20x%20values%0A%20%20%20%20dx%20%3D%202%20%2F%20n_rects%0A%0A%20%20%20%20for%20x0%20in%20x_left%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20height_left%20%3D%20np.sqrt(1%20-%20x0**2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig_1.add_shape(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20type%3D%22rect%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x0%3Dx0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x1%3Dx0%20%2B%20dx%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y0%3D0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y1%3Dheight_left%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fillcolor%3D%22rgba(255%2C%20165%2C%200%2C%200.5)%22%2C%20%20%23%20semi-transparent%20orange%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22orange%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Layout%0A%20%20%20%20fig_1.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Upper%20Unit%20Circle%20with%204%20Left-Endpoint%20Rectangles%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22x%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22y%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis%3Ddict(scaleanchor%3D%22y%22%2C%20range%3D%5B-1.2%2C%201.2%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis%3Ddict(scaleanchor%3D%22x%22%2C%20range%3D%5B-0.1%2C%201.2%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20template%3D%22plotly_white%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20dx%2C%20n_rects%2C%20x_curve%2C%20y_curve%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%202%20(Right%20Endpoint%20Method)%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20The%20procedure%20of%20this%20method%20is%20the%20same%20as%20left%20endpoint%20method%2C%20with%20the%20only%20difference%20that%20we%20take%20%24y%24-values%20correspond%20to%20the%20right%20endpoint%20of%20the%20sub-intervals%20we%20get.%0A%0A%20%20%20%20In%20the%20hemisphere%20example%2C%20right%20and%20left%20endpoint%20methods%20yield%20the%20same%20answer.%20Check%20it.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(dx%2C%20go%2C%20n_rects%2C%20np%2C%20x_curve%2C%20y_curve)%3A%0A%20%20%20%20fig_2%20%3D%20go.Figure()%0A%0A%20%20%20%20%23%20Plot%20upper%20unit%20circle%0A%20%20%20%20fig_2.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_curve%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dy_curve%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Upper%20Unit%20Circle%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22blue%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Right-endpoint%20rectangles%0A%20%20%20%20x_right%20%3D%20np.linspace(-1%20%2B%20dx%2C%201%2C%20n_rects)%20%20%23%20right%20x%20values%0A%0A%20%20%20%20for%20x1%20in%20x_right%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20height_right%20%3D%20np.sqrt(1%20-%20x1**2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig_2.add_shape(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20type%3D%22rect%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x0%3Dx1%20-%20dx%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x1%3Dx1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y0%3D0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y1%3Dheight_right%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fillcolor%3D%22rgba(0%2C%20200%2C%20255%2C%200.4)%22%2C%20%20%23%20semi-transparent%20cyan%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22teal%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Layout%0A%20%20%20%20fig_2.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Upper%20Unit%20Circle%20with%204%20Right-Endpoint%20Rectangles%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22x%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22y%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis%3Ddict(scaleanchor%3D%22y%22%2C%20range%3D%5B-1.2%2C%201.2%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis%3Ddict(scaleanchor%3D%22x%22%2C%20range%3D%5B-0.1%2C%201.2%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20template%3D%22plotly_white%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%203%20Midpoint%20Method%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20The%20procedure%20of%20this%20method%20is%20the%20same%20as%20left%20endpoint%20method%2C%20with%20the%20only%20difference%20that%20we%20take%20%24y%24-values%20correspond%20to%20the%20midpoint%20of%20the%20sub-intervals%20we%20get.%0A%0A%20%20%20%20In%20the%20hemisphere%20example%2C%20remember%20we%20have%20the%20sub-intervals%20%24%5B-1%2C-0.5%5D%2C%20%5B-0.5%2C0%5D%2C%5B0%2C0.5%5D%24%20and%20%24%5B0.5%2C1%5D%24%2C%20so%20the%20midpoints%20are%20%24-0.75%2C%20-0.25%2C%200.25%24%2C%20and%20%240.75%24.%20The%20corresponding%20%24y%24-values%20are%20%24%5Capprox%200.66%2C%200.97%2C%200.97%2C%200.66%24%2C%20so%20the%20estimation%20of%20area%20with%20this%20method%20is%20%24%5Capprox%200.5(0.66%2B0.97%2B0.97%2B0.66)%20%3D%201.71%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(dx%2C%20go%2C%20n_rects%2C%20np%2C%20x_curve%2C%20y_curve)%3A%0A%20%20%20%20fig_3%20%3D%20go.Figure()%0A%0A%20%20%20%20%23%20Plot%20the%20upper%20unit%20circle%0A%20%20%20%20fig_3.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_curve%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dy_curve%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Upper%20Unit%20Circle%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22blue%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Midpoint%20rectangles%0A%20%20%20%20x_mid%20%3D%20np.linspace(-1%20%2B%20dx%20%2F%202%2C%201%20-%20dx%20%2F%202%2C%20n_rects)%20%20%23%20midpoints%0A%0A%20%20%20%20for%20x_m%20in%20x_mid%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20height_mid%20%3D%20np.sqrt(1%20-%20x_m**2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig_3.add_shape(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20type%3D%22rect%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x0%3Dx_m%20-%20dx%20%2F%202%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x1%3Dx_m%20%2B%20dx%20%2F%202%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y0%3D0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y1%3Dheight_mid%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fillcolor%3D%22rgba(0%2C%20255%2C%200%2C%200.4)%22%2C%20%20%23%20semi-transparent%20green%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22darkgreen%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Layout%0A%20%20%20%20fig_3.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Upper%20Unit%20Circle%20with%204%20Midpoint%20Rectangles%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22x%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22y%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis%3Ddict(scaleanchor%3D%22y%22%2C%20range%3D%5B-1.2%2C%201.2%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis%3Ddict(scaleanchor%3D%22x%22%2C%20range%3D%5B-0.1%2C%201.2%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20template%3D%22plotly_white%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Remark%201%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20If%20we%20calculate%20the%20exact%20area%20of%20a%20hemisphere%2C%20we%20get%20%24%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cpi%20%5Ccdot%201%5E2%20%5Capprox%201.57%24%2C%20which%20is%20closer%20to%20%241.71%24%20(the%20result%20we%20get%20from%20midpoint%20method).%0A%0A%20%20%20%20In%20general%2C%20**there%20is%20no%20reason%20that%20midpoint%20method%20will%20always%20give%20a%20better%20estimation**.%20It%20is%20also%20**not%20true**%20that%20left%20and%20right%20endpoint%20methods%20will%20give%20the%20same%20result%20(if%20the%20function%20is%20even%2C%20then%20left%20and%20right%20endpoint%20methods%20do%20give%20same%20result.%20Why%3F).%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Remark%202%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22In%20the%20above%20case%2C%20all%20the%20rectangles%20have%20*positive*%20height%20(%24y%24-values).%20But%20in%20general%20this%20may%20not%20be%20the%20case%20(for%20example%2C%20if%20we%20want%20to%20evaluate%20the%20'area'%20under%20the%20sine%20curve).%20The%20area%20calculated%20in%20this%20way%20may%20be%20called%20a%20signed%20area.%20**If%20we%20want%20to%20calculate%20the%20area%20in%20the%20usual%20sense%20(unsigned%20area)%2C%20we%20should%20use%20the%20absolute%20value%20of%20each%20%24y%24-value**.%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Introduction%2C%20Continued%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20It%20is%20very%20intuitive%20to%20see%2C%20that%20in%20general%20the%20more%20rectangles%20we%20use%2C%20the%20better%20estimation%20of%20the%20area%20we%20should%20get.%0A%0A%20%20%20%20This%20gives%20a%20natural%20idea%20to%20evaluate%20the%20area%20-%20what%20if%20we%20take%20**infinitely%20many%20rectangle%20and%20take%20the%20sum%20of%20their%20areas**%3F%20Since%20infinity%2C%20again%2C%20is%20not%20a%20number%2C%20we%20have%20to%20use%20the%20concept%20of%20limit.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Area%20Under%20Curve%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20The%20signed%20area%20(denoted%20by%20%24A%24)%20of%20the%20region%20that%20is%20bounded%20by%20%24f(x)%24%2C%20%24x%24-axis%2C%20%24x%20%3D%20a%24%2C%20and%20%24x%20%3D%20b%24%20(with%20%24b%20%3E%20a%24)%2C%20is%20given%20by%20the%20limit%20of%20%24f(x_1)%5CDelta(x)%20%2B%20f(x_2)%20%5CDelta(x)%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20f(x_n)%5CDelta(x)%24%20as%20%24n%24%20goes%20to%20infinity%2C%20where%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20We%20divide%20the%20interval%20%24%5Ba%2C%20b%5D%24%20into%20%24n%24%20sub-intervals%2C%20and%20denote%20the%20endpoints%20to%20be%20%24%5Bx_0%2Cx_1%5D%2C%20%5Bx_1%2Cx_2%5D%2C%20%5Cdots%2C%20%5Bx_%7Bn-1%7D%2Cx_n%5D%24%3B%0A%20%20%20%202.%20Each%20sub-interval%20has%20the%20same%20length%2C%20which%20is%20%24%5Cfrac%7Bb-a%7D%7Bn%7D%24%2C%20and%20we%20denote%20it%20by%20%24%5CDelta(x)%24.%0A%0A%20%20%20%20In%20other%20words%2C%20%24%5Cdisplaystyle%20A%20%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%5Bf(x_1)%5CDelta(x)%20%2B%20f(x_2)%20%5CDelta(x)%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20f(x_n)%5CDelta(x)%5D%24%2C%20or%20put%20it%20into%20a%20sigma%20notation%2C%20we%20have%20%24%24A%20%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%5Csum_%7Bi%20%3D%201%7D%5Enf(x_i)%5CDelta(x).%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Remark%201%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20The%20above%20formula%2C%20with%20careful%20inspection%2C%20is%20using%20the%20right%20endpoint%20method%20(because%20the%20first%20interval%20is%20%24%5Bx_0%2Cx_1%5D%24%20and%20we%20used%20%24f(x_1)%24%20as%20the%20height).%0A%0A%20%20%20%20**It%20is%20provable%2C%20that%20the%20choice%20of%20point%20does%20not%20matter**%20(that%20is%2C%20you%20can%20use%20right%20endpoint%2C%20left%20endpoint%2C%20midpoint%2C%20or%20in%20fact%2C%20any%20point%20in%20each%20sub-interval).%20This%20depends%20on%20the%20fact%20that%20we%20are%20using%20infinitely%20many%20rectangles.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Remark%202%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20For%20now%20we%20are%20dividing%20%24x%24-axis%20into%20sub-intervals.%20Another%20intuitive%20method%20is%20to%20divide%20%24y%24-axis%20into%20sub-intervals.%0A%0A%20%20%20%20Roughly%20speaking%2C%20the%20summation%20involving%20dividing%20%24x%24-axis%20is%20called%20a%20Riemann%20sum%2C%20and%20the%20summation%20involving%20dividing%20%24y%24-axis%20is%20called%20a%20Lebesgue%20sum%20(there%20are%20other%20differences%20between%20them).%20Lebesgue%20sum%20has%20some%20(big)%20advantages%20over%20the%20Riemann%20sum.%20However%2C%20the%20discuss%20of%20Lebesgue%20sum%20is%20way%20beyond%20the%20scope%20of%20this%20course.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(go%2C%20make_subplots%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Function%3A%20upper%20semicircle%0A%20%20%20%20f_c%20%3D%20lambda%20x%3A%20np.sqrt(1%20-%20x**2)%0A%20%20%20%20x_curve_c%20%3D%20np.linspace(-1%2C%201%2C%20400)%0A%20%20%20%20y_curve_c%20%3D%20f_c(x_curve_c)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20subplots%0A%20%20%20%20fig_c%20%3D%20make_subplots(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rows%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cols%3D2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20subplot_titles%3D(%22Riemann%20(x-subdivision)%22%2C%20%22Lebesgue%20(y-subdivision)%22)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20---%20Left%3A%20Riemann%20integration%20(x-subdivision)%20---%0A%20%20%20%20n_rects_c%20%3D%206%0A%20%20%20%20dx_c%20%3D%202%20%2F%20n_rects_c%0A%20%20%20%20x_left_c%20%3D%20np.linspace(-1%2C%201%20-%20dx_c%2C%20n_rects_c)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Curve%0A%20%20%20%20fig_c.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_curve_c%2C%20y%3Dy_curve_c%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3D%22f(x)%22%2C%20line%3Ddict(color%3D%22blue%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20col%3D1%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Riemann%20rectangles%0A%20%20%20%20for%20x0_c%20in%20x_left_c%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20height_c%20%3D%20f_c(x0_c)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig_c.add_shape(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20type%3D%22rect%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x0%3Dx0_c%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x1%3Dx0_c%20%2B%20dx_c%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y0%3D0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y1%3Dheight_c%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fillcolor%3D%22rgba(0%2C%20150%2C%20255%2C%200.4)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22blue%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20col%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20---%20Right%3A%20Lebesgue%20integration%20(y-subdivision)%20---%0A%20%20%20%20n_bands_c%20%3D%206%0A%20%20%20%20y_vals_c%20%3D%20np.linspace(0%2C%201%2C%20400)%0A%20%20%20%20dy_c%20%3D%201%20%2F%20n_bands_c%0A%20%20%20%20y_bands_c%20%3D%20np.linspace(0%2C%201%20-%20dy_c%2C%20n_bands_c)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Curve%0A%20%20%20%20fig_c.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_curve_c%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dy_curve_c%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22green%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20col%3D2%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Lebesgue%20horizontal%20bands%0A%20%20%20%20for%20y0_c%20in%20y_bands_c%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y1_c%20%3D%20y0_c%20%2B%20dy_c%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mask_c%20%3D%20(y_curve_c%20%3E%3D%20y0_c)%20%26%20(y_curve_c%20%3C%20y1_c)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_band_c%20%3D%20x_curve_c%5Bmask_c%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20len(x_band_c)%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20continue%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_min_c%2C%20x_max_c%20%3D%20x_band_c%5B0%5D%2C%20x_band_c%5B-1%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig_c.add_shape(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20type%3D%22rect%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x0%3Dx_min_c%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x1%3Dx_max_c%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y0%3Dy0_c%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y1%3Dy1_c%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fillcolor%3D%22rgba(0%2C%20200%2C%200%2C%200.4)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22green%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20col%3D2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Layout%0A%20%20%20%20fig_c.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Riemann%20vs%20Lebesgue%20Integration%20Illustration%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis%3Ddict(scaleanchor%3D%22y%22%2C%20range%3D%5B-1.2%2C%201.2%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis%3Ddict(scaleanchor%3D%22x%22%2C%20range%3D%5B-0.1%2C%201.1%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis2%3Ddict(scaleanchor%3D%22y2%22%2C%20range%3D%5B-1.2%2C%201.2%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis2%3Ddict(scaleanchor%3D%22x2%22%2C%20range%3D%5B-0.1%2C%201.1%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20template%3D%22plotly_white%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%201%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Write%20down%20the%20expression%20that%20calculate%20the%20signed%20area%20under%20the%20curve%20%24y%20%3D%20x%5E2%20%2B%204%24%20on%20%24%5B1%2C%204%5D%24.%0A%0A%20%20%20%20First%20we%20divide%20%24%5B1%2C4%5D%24%20to%20%24n%24%20sub-intervals%2C%20then%20each%20interval%20has%20length%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7B4-1%7D%7Bn%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B3%7D%7Bn%7D%24.%20This%20is%20our%20%24%5CDelta(x)%24.%0A%0A%20%20%20%20This%20means%20our%20intervals%20are%20%24%5Cdisplaystyle%20%5B1%2C1%2B%5Cfrac%7B3%7D%7Bn%7D%5D%24%2C%20%24%5Cdisplaystyle%20%5B1%2B%5Cfrac%7B3%7D%7Bn%7D%2C%201%2B%202%5Ctimes%20%5Cfrac%7B3%7D%7Bn%7D%5D%24%2C%20%24%5Cdisplaystyle%20%5B1%2B2%20%5Ctimes%5Cfrac%7B3%7D%7Bn%7D%2C%201%2B%203%5Ctimes%20%5Cfrac%7B3%7D%7Bn%7D%5D%24%20and%20so%20on%2C%20and%20up%20to%20%24%5Cdisplaystyle%20%5B1%2B(n-1)%20%5Ctimes%5Cfrac%7B3%7D%7Bn%7D%2C%201%2B%20n%5Ctimes%20%5Cfrac%7B3%7D%7Bn%7D%5D%24%20(or%20%24%5Cdisplaystyle%20%5B1%2B(n-1)%5Ctimes%20%5Cfrac%7B3%7D%7Bn%7D%2C4%5D%24).%0A%0A%20%20%20%20Let%20us%20use%20the%20right%20endpoint%20because%20it's%20in%20the%20definition%3A%20they%20are%20%24%5Cdisplaystyle%201%20%2B%20%5Cfrac%7B3%7D%7Bn%7D%2C%201%2B%202%20%5Ctimes%20%5Cfrac%7B3%7D%7Bn%7D%24%2C%20up%20to%20%24%5Cdisplaystyle%201%2B%20n%5Ctimes%20%5Cfrac%7B3%7D%7Bn%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20So%20the%20expression%20we%20want%20should%20be%20%24%24A%20%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%5Csum_%7Bi%20%3D%201%7D%5Enf(x_i)%5CDelta(x)%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%5Csum_%7Bi%20%3D%201%7D%5En%5Cleft%5B((1%2B%20i%20%5Ctimes%20%5Cfrac%7B3%7D%7Bn%7D)%5E2%2B4)%5Ccdot%20%5Cfrac%7B3%7D%7Bn%7D%5Cright%5D.%24%24%20We%20can%20do%20some%20algebra%20to%20simplify%20it%2C%20we%20can%20get%20%24%24%5Clim%5Climits_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5En%5Cleft(%20%5Cfrac%7B15%7D%7Bn%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B18i%7D%7Bn%5E2%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B27i%5E2%7D%7Bn%5E3%7D%5Cright).%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%202%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Suppose%20the%20expression%20of%20area%20of%20region%20under%20a%20curve%20is%20given%20as%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Clim%5Climits_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5En%5Csin(%5Cfrac%7Bi%5Cpi%7D%7B4n%7D)%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4n%7D%24.%20What%20are%20the%20bounds%20of%20this%20region%3F%0A%0A%20%20%20%20A%20natural%20choice%20is%20to%20understand%20the%20expression%20with%20that%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Csin(%5Cfrac%7Bi%5Cpi%7D%7B4n%7D)%24%20is%20our%20%24f(x_i)%24%2C%20and%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4n%7D%24%20is%20our%20%24%5CDelta(x)%24.%0A%0A%20%20%20%20Since%20%24%5Cdisplaystyle%20%5CDelta(x)%20%3D%20%5Cfrac%7Bb-a%7D%7Bn%7D%24%2C%20we%20should%20have%20%24%5Cdisplaystyle%20b%20-%20a%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D%24%20(but%20we%20don't%20know%20what%20is%20%24a%24%20and%20%24b%24).%0A%0A%20%20%20%20We%20can%20choose%20to%20consider%20%24f(x)%20%3D%20%5Csin(x)%24%2C%20then%20we%20should%20have%20%24%5Cdisplaystyle%20x_i%20%3D%20%5Cfrac%7Bi%5Cpi%7D%7B4n%7D%24.%20These%20values%20should%20satisfy%20that%20%24%5Cdisplaystyle%20x_n%20-%20x_0%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D%24.%20Check%3A%20%24%5Cdisplaystyle%20x_n%20-%20x_0%20%3D%20%5Cfrac%7Bn%5Cpi%7D%7B4%20n%7D%20-%20%5Cfrac%7B0%5Cpi%7D%7B4n%7D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D%24%20indeed.%20Our%20%24a%20%3D%20x_0%20%3D%200%24%2C%20and%20%24%5Cdisplaystyle%20b%20%3D%20a%20%2B%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20Thus%20the%20region%20is%20bounded%20by%20%24%5Cdisplaystyle%20f(x)%20%3D%20%5Csin(x)%2C%20x%20%3D%200%2C%20x%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D%24%2C%20and%20%24x%24-axis.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A