Calculus I 2

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.13.7%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20nav_menu%20%3D%20mo.nav_menu(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Findex.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Ahome')%7D%20Home%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20orientation%3D%22vertical%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20nav_menu%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%201.3%20the%20Limit%20of%20a%20Function%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Limit%20of%20a%20Function%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20We%20say%20that%20the%20limit%20of%20%24f(x)%24%20as%20%24x%24%20approaches%20to%20%24a%24%20is%20%24L%24%20(**a%20real%20number**)%2C%20and%20write%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20a%7Df(x)%20%3D%20L%24%2C%20provided%20that%20the%20value%20of%20%24f(x)%24%20is%20arbitrarily%20close%20to%20%24L%24%20when%20%24x%24%20is%20sufficiently%20close%20to%20%24a%24%2C%20but%20not%20equals%20%24a%24%2C%20on%20either%20side.%0A%0A%20%20%20%20We%20say%20that%20the%20limit%20of%20%24f(x)%24%20as%20%24x%24%20approaches%20to%20%24a%24%20from%20the%20right%20is%20%24L%24%2C%20or%20the%20right-hand-limit%20of%20%24f(x)%24%20as%20%24x%24%20approaches%20to%20%24a%24%20is%20%24L%24%2C%20and%20write%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20a%5E%2B%7Df(x)%20%3D%20L%24%2C%20provided%20that%20the%20value%20of%20%24f(x)%24%20is%20arbitrarily%20close%20to%20%24L%24%20when%20%24x%24%20is%20sufficiently%20close%20to%20%24a%24%20and%20also%20strictly%20larger%20than%20%24a%24.%0A%0A%20%20%20%20We%20say%20that%20the%20limit%20of%20%24f(x)%24%20as%20%24x%24%20approaches%20to%20%24a%24%20from%20the%20left%20is%20%24L%24%2C%20or%20the%20left-hand-limit%20of%20%24f(x)%24%20as%20%24x%24%20approaches%20to%20%24a%24%20is%20%24L%24%2C%20and%20write%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20a%5E-%7Df(x)%20%3D%20L%24%2C%20provided%20that%20the%20value%20of%20%24f(x)%24%20is%20arbitrarily%20close%20to%20%24L%24%20when%20%24x%24%20is%20sufficiently%20close%20to%20%24a%24%20and%20also%20strictly%20smaller%20than%20%24a%24.%0A%0A%20%20%20%20**Notice%20that%20none%20of%20the%20three%20limits%20necessarily%20exists**.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20Why%20do%20we%20study%20limits%3F%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20info%0A%0A%20%20%20%20Limit%20makes%20practical%20things%20easier.%20For%20example%2C%20in%20some%20sense%20it%20allows%20us%20to%20divide%20by%20zero.%20It%20allow%20us%20to%20study%20the%20local%20behaviormn%20bcc%20of%20a%20function%20(i.e.%20what%20happens%20to%20the%20function%20near%20a%20point)%2C%20which%20usually%20is%20much%20simpler%20than%20studying%20the%20whole%20thing.%20A%20big%20part%20of%20Calculus%20only%20makes%20sense%20if%20we%20understand%20limit.%0A%0A%20%20%20%20For%20functions%20that%20looks%20'nice'%20(for%20example%2C%20a%20straight%20line)%2C%20limit%20will%20be%20a%20straight-forward%20idea.%20But%20weird%20things%20can%20happen%20when%20we%20talk%20about%20the%20general%20case%2C%20and%20that's%20why%20we%20need%20to%20spend%20some%20more%20time%20to%20understand%20it.%0A%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20Limit%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20danger%0A%0A%20%20%20%20One%20important%20thing%20about%20the%20above%20definition%20is%20that%20the%20limit%20needs%20to%20be%20a%20*single*%20number.%20It%20means%20a%20function%20can%20have%20only%20one%20limit%20at%20a%20point%20%24a%24%20(if%20there%20is%20any)%2C%20that%20is%2C%20it%20is%20impossible%20that%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%201%7Df(x)%20%3D%202%24%20but%20also%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%201%7Df(x)%20%3D%203%24.%20But%20of%20course%2C%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%201%7Df(x)%24%20and%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%202%7Df(x)%24%20can%20have%20different%20values.%0A%0A%20%20%20%20However%2C%20this%20is%20no%20longer%20the%20case%20if%20we%20jump%20out%20of%20calculus%20settings.%20If%20%24f%24%20is%20a%20function%20with%20codomain%20being%20a%20non-%5BHausdorff%20space%5D(https%3A%2F%2Fen.wikipedia.org%2Fwiki%2FHausdorff_space)%2C%20then%20it%20can%20have%20more%20than%20one%20limit%20point%20for%20the%20same%20%24a%24.%0A%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%201%20(Practical%20Problem)%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22A%20famous%20population%20model%20is%20the%20logistic%20model.%20It%20models%20the%20population%20of%20a%20given%20area%20or%20the%20world.%20The%20dependent%20variable%20%24x%24%20is%20time%2C%20and%20the%20output%20is%2C%20of%20course%2C%20the%20population.%20The%20logistic%20function%20reads%20%24%24f(x)%20%3D%20%5Cfrac%7BP%7D%7B1%20%2B%20e%5E%7Bk(x-c)%7D%7D%24%24%20where%20%24P%2C%20k%2C%20c%24%20are%20certain%20parameters%20(i.e.%20fixed%20numbers%2C%20or%20constant)%2C%20%24k%24%20is%20negative.%20The%20output%20%24f(x)%24%20when%20%24x%24%20is%20sufficiently%20large%20enough%2C%20is%20close%20to%20%24P%24%2C%20but%20will%20never%20reach%20%24L%24%20(why%3F).%20We%20say%20the%20limit%20of%20%24f%24%20as%20%24x%24%20approaches%20to%20infinity%20is%20%24P%24%2C%20and%20write%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20%5Cinfty%7Df(x)%20%3D%20P%24.%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%202%20(Function%20Value%20at%20a%20Point)%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20The%20limit%20of%20%24f(x)%24%20as%20%24x%24%20approaches%20to%20%24a%24%20**not%20necessarily%20has%20anything%20to%20do%20with%20the%20actual%20value%20%24f(a)%24**%2C%20for%20example%2C%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%202%7Df(x)%3D4%24%20in%20all%20of%20the%20following%20cases%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20%24f(x)%20%3D%20x%5E2%24%20for%20%24x%20%5Cin%20%5B0%2C4%5D%24.%20In%20this%20case%20%24f(a)%24%20is%20defined%20and%20%24f(a)%20%3D%204%20%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20a%7Df(x)%24%3B%0A%20%20%20%202.%20%24f(x)%20%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7Dx%5E2%2C%26x%5Cne%202%5C%5C10%2C%26x%3D2%5Cend%7Bcases%7D%24.%20In%20this%20case%20%24f(a)%24%20is%20defined%2C%20but%20%24f(a)%20%3D%2010%20%5Cne%20%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20a%7Df(x)%24%3B%0A%20%20%20%203.%20%24f(x)%20%3D%20x%5E2%24%20for%20%24x%20%5Cne%202%24.%20In%20this%20case%20%24f(a)%24%20is%20not%20even%20defined%2C%20but%20we%20still%20have%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%202%7Df(x)%20%3D%204%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Intuitive%20Way%20to%20Calculate%20Limit%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20An%20intuitive%20way%20to%20calculate%20limit%20is%20to%20plug-in%20values%20that%20are%20close%20to%20%24a%24%2C%20but%20not%20equal%20to%20%24a%24.%20For%20example%2C%20we%20can%20plugin%20%24x%20%3D%202.00001%24%2C%20%24x%20%3D%202.0000001%24%2C%20%24x%20%3D%201.999999%24%2C%20etc.%20in%20the%20above%20example%2C%20and%20we%20can%20see%20the%20resulting%20values%20are%20indeed%20close%20to%20%244%24.%0A%0A%20%20%20%20**You%20should%20not%20use%20the%20intuitive%20way%20to%20calculate%20any%20limit%20on%20any%20exam%20or%20quiz**%20because%20the%20intuitive%20way%20of%20calculating%20the%20limit%20may%20not%20work%20(and%20the%20calculation%20is%20nearly%20impossible%20without%20a%20calculator%20anyway)%2C%20here%20are%20the%20three%20usual%20reasons%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20The%20value%20you%20plug%20into%20the%20function%20is%20not%20close%20enough%20to%20%24a%24%20(an%20in%20practice%2C%20there%20is%20no%20general%20way%20to%20decide%20which%20value%20is%20considered%20'close%20enough'%20to%20%24a%24)%3B%0A%20%20%20%202.%20Problems%20involving%20floating%20point%20on%20your%20calculator%20or%20computer%3A%20basically%2C%20any%20program%2C%20especially%20program%20that%20is%20not%20well-written%2C%20has%20a%20certain%20range%20of%20numbers%20it%20can%20handle%2C%20if%20your%20input%20is%20too%20large%2C%20too%20small%2C%20or%20have%20too%20much%20floating%20points%2C%20you%20may%20get%20all%20different%20kinds%20of%20errors.%20The%20book%20gives%20an%20example%20of%20evaluating%20%24%24%5Clim%5Climits_%7Bt%20%5Cto%200%7D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bt%5E2%20%2B%209%7D-3%7D%7Bt%5E2%7D.%24%24%20If%20you%20try%20very%20small%20value%20of%20%24t%20%3D%200.0000001%24%2C%20*some*%20calculators%20will%20tell%20you%20the%20answer%20is%200%2C%20but%20the%20true%20limit%20is%20%24%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%24%3B%0A%20%20%20%203.%20**The%20limit%20does%20not%20exist**.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%201%20(Limit%20Does%20Not%20Exist)%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20This%20example%20is%20known%20as%20the%20'Topologist's%20Sine%20Curve'.%20Consider%20the%20function%20%24f(x)%20%3D%20%5Csin(%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D)%24%20for%20%24x%20%3E%200%24%20and%20try%20to%20evaluate%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%200%7Df(x)%24.%0A%0A%20%20%20%201.%20If%20we%20take%20%24%5Cdisplaystyle%20x%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cpi%7D%2C%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%7D%2C%20%5Ccdots%2C%20%5Cfrac%7B1%7D%7B10000%5Cpi%7D%2C%20%5Ccdots%24%2C%20we%20have%20%24f(x)%20%3D%20%5Csin(n%20%5Cpi)%20%3D%200%24%3B%0A%20%20%20%202.%20If%20we%20take%20%24%5Cdisplaystyle%20x%20%3D%20%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Cpi%7D%2C%20%5Cfrac%7B2%7D%7B5%5Cpi%7D%2C%20%5Ccdots%2C%20%5Cfrac%7B2%7D%7B10001%5Cpi%7D%2C%20%5Ccdots%24%2C%20we%20have%20%24f(x)%20%3D%201%24%3B%0A%20%20%20%203.%20If%20we%20take%20%24%5Cdisplaystyle%20x%20%3D%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%5Cpi%7D%2C%20%5Cfrac%7B2%7D%7B7%5Cpi%7D%2C%20%5Ccdots%2C%20%5Cfrac%7B2%7D%7B10003%5Cpi%7D%2C%20%5Ccdots%24%2C%20we%20have%20%24f(x)%20%3D%20-1%24.%0A%0A%20%20%20%20The%20problem%20is%20that%20there%20is%20no%20%24L%24%20(**a%20single%20number**)%20that%20%24f(x)%24%20is%20arbitrarily%20close%20to%2C%20no%20matter%20how%20close%20%24x%24%20is%20to%20%240%24.%20Thus%20**we%20say%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%200%7D%5Csin(%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D)%24%20does%20not%20exist**.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%202%20(Limit%20Does%20Not%20Exist)%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22**If%20the%20left-hand-limit%20and%20right-hand-limit%20both%20exists%20but%20not%20equal%2C%20we%20also%20say%20the%20limit%20does%20not%20exist**.%20For%20example%2C%20if%20%24%24f(x)%20%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%201%2C%26x%20%3C%200%20%5C%5C%200%2C%26x%5Cge%200%5Cend%7Bcases%7D%24%24%20then%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%200%5E-%7Df(x)%20%3D%201%24%20%24%5Cne%200%20%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%200%5E%2B%7Df(x)%24.%20Thus%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%200%7Df(x)%24%20does%20not%20exist.%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%203%20(Limit%20Does%20Not%20Exist)%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Evaluate%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%200%7D%5Cfrac%7B%7Cx%7C%7D%7Bx%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20**Absolute%20value%20function%20is%20a%20very%20special%20function%2C%20we%20should%20consider%20different%20cases%20when%20the%20input%20is%20negative%20or%20positive**.%20If%20we%20evaluate%20left-hand-limit%2C%20we%20have%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%200%5E-%7D%5Cfrac%7B%7Cx%7C%7D%7Bx%7D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%200%5E-%7D%5Cfrac%7B-x%7D%7Bx%7D%24%20(because%20%24x%20%5Cto%200%5E-%24%20means%20%24x%24%20is%20close%20to%20%240%24%20but%20smaller%20than%20%240%24%2C%20meaning%20that%20%24x%24%20is%20negative%20thus%20%24%7Cx%7C%20%3D%20-x%24)%20%24%3D%20-1%24%3B%20yet%20if%20we%20evaluate%20right-hand-limit%2C%20we%20have%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%200%5E%2B%7D%5Cfrac%7B%7Cx%7C%7D%7Bx%7D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%200%5E%2B%7D%5Cfrac%7Bx%7D%7Bx%7D%20%3D%201%24.%20The%20limits%20from%20two%20sides%20are%20different%2C%20thus%20the%20limit%20does%20not%20exist.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Formal%20Definition%20of%20Limit%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Let%20%24f%3A%20X%20%5Cto%20Y%24%2C%20%24Y%20%5Csubset%20%5Cmathbb%7BR%7D%24%20be%20a%20function%20and%20%24a%20%5Cin%20X%24.%20We%20say%20that%20%24f%24%20approaches%20to%20%24L%24%20as%20%24x%24%20goes%20to%20%24a%24%2C%20and%20write%20%24%5Clim%5Climits_%7Bx%20%5Cto%20a%7Df(x)%20%3D%20L%24%20provided%20that%3A%20for%20every%20%24%5Cvarepsilon%20%3E%200%24%2C%20there%20exists%20%24%5Cdelta%20%3E%200%24%20such%20that%20%24%7C%20L%20-%20f(x)%20%7C%20%3C%20%5Cvarepsilon%24%20whenever%20%24x%20%5Cin%20X%24%20and%20%24%7C%20x%20-%20a%20%7C%20%3C%20%5Cdelta%24.%0A%0A%20%20%20%20**You%20do%20not%20need%20to%20know%20the%20above%20definition%20in%20this%20course**.%20But%20if%20you%20are%20majoring%20in%20math%2C%20it%20is%20highly%20recommended%20to%20read%20this%20formal%20definition%20carefully%2C%20try%20some%20%24%5Cvarepsilon%24%20and%20%24%5Cdelta%24%20values%20with%20the%20examples%20above%2C%20and%20get%20the%20point%20of%20this%20definition%20-%20you%20will%20eventually%20take%20a%20course%20where%20this%20idea%20is%20applied%20everywhere.%20This%20is%20known%20as%20the%20epsilon-delta%20definition%20of%20limit.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A