Calculus I 19

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.13.7%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20nav_menu%20%3D%20mo.nav_menu(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Findex.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Ahome')%7D%20Home%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20orientation%3D%22vertical%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20nav_menu%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%203.7%20Antiderivative%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Motivative%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20When%20we%20do%20differentiation%2C%20i.e.%20take%20derivative%2C%20we%20essentially%20know%20the%20relation%20between%20two%20quantities%2C%20and%20calculate%20the%20rate%20of%20change%20of%20one%20quantities%20with%20respect%20to%20the%20other.%20For%20example%2C%20we%20have%20the%20example%20when%20we%20introduce%20differentiation%2C%20that%20we%20know%20the%20position%20of%20a%20ball%20(i.e.%20the%20relation%20between%20position%20and%20time)%2C%20and%20we%20want%20to%20know%20the%20rate%20of%20change%20of%20position%20with%20respect%20to%20time%20(i.e.%20the%20derivative%2C%20or%20the%20velocity).%0A%0A%20%20%20%20It%20is%20then%20a%20natural%20question%20to%20ask%3A%20can%20we%20go%20backwards%3F%20If%20we%20know%20the%20rate%20of%20change%2C%20can%20we%20derive%20the%20relation%3F%0A%0A%20%20%20%20Take%20some%20time%20to%20think%20about%20it%2C%20the%20answer%20should%20be%20'yes%20and%20no'.%20Let%20us%20again%20use%20the%20velocity%20example.%0A%0A%20%20%20%20We%20can%20derive%20some%20information%20of%20the%20position%20-%20suppose%20we%20are%20on%20a%20straight%20road%20**and%20we%20know%20where%20we%20are%20right%20now**%2C%20we%20also%20know%20we%20were%20moving%20at%20%2460%20%5Ctext%7B%20m%2Fmin%7D%24%20(for%20the%20last%20minute)%20along%20the%20road.%20Then%20we%20should%20know%20that%2C%20exact%20one%20minute%20ago%2C%20we%20were%20located%20at%20%2460%24%20meters%20from%20where%20we%20are%20right%20now%20back%20on%20the%20road%20(i.e.%20we%20get%20a%20relation%20between%20our%20position%20and%20time).%0A%0A%20%20%20%20However%2C%20we%20can%20only%20know%20exactly%20where%20were%20we%20**if%20we%20know%20where%20are%20we%20right%20now**.%20If%20we%20just%20know%20the%20velocity%2C%20but%20not%20the%20current%20location%2C%20then%20we%20can%20only%20say%20that%20one%20minute%20ago%20we%20were%20%2460%24%20meters%20from%20the%20current%20location%2C%20**but%20we%20don't%20know%20where%20exactly%20it%20is**.%0A%0A%20%20%20%20This%20translates%20to%20the%20general%20idea%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20A%20function%20%24F%24%20is%20called%20**an**%20antiderivative%20of%20%24f%24%20(on%20an%20interval%20%24I%24)%20if%20%24F'(x)%20%3D%20f(x)%24%20(for%20all%20%24x%20%5Cin%20I%24)%3B%0A%20%20%20%202.%20Antiderivative%20for%20a%20function%20is%20**not%20unique**%2C%20if%20%24F%24%20is%20an%20antiderivative%20of%20%24f%24%20on%20%24I%24%2C%20then%20%24G(x)%20%3D%20F(x)%20%2B%20c%24%20for%20any%20constant%20number%20%24c%24%20is%20also%20an%20antiderivative%20for%20%24f%24%20on%20%24I%24.%20If%20%24F%24%20is%20an%20antiderivative%20of%20%24f%24%2C%20then%20%24F(x)%20%2B%20c%24%20is%20called%20the%20general%20form%20of%20antiderivative.%0A%0A%20%20%20%20For%20example%2C%20if%20%24f(x)%20%3D%202x%24%2C%20then%20%24F(x)%20%3D%20x%5E2%24%20is%20**an**%20antiderivative%20of%20%24f%24%2C%20because%20%24F'(x)%20%3D%202x%24.%20Since%20we%20know%20the%20derivative%20of%20a%20constant%20is%20always%20%240%24%20and%20we%20know%20the%20summation%20rule%20of%20differentiation%2C%20it%20should%20not%20be%20hard%20to%20see%20that%20%24G(x)%20%3D%20x%5E2%20%2B%201%24%20also%20has%20%24G'(x)%20%3D%202x%20%3D%20f(x)%24%20thus%20**it%20is%20also%20an%20antiderivative**%20of%20%24f%24.%20Similarly%2C%20%24H(x)%20%3D%20x%5E2%20%2B%20c%24%20for%20any%20given%20constant%20%24c%24%20is%20an%20antiderivative%20of%20%24f%24.%0A%0A%20%20%20%20**Moral%20of%20the%20story%3A%20always%20write%20%24%2Bc%24%20when%20you%20take%20antiderivative**.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Antidifferentiation%20Formulas%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20From%20above%2C%20you%20may%20probably%20see%20that%20antidifferentiation%20is%20some%20kind%20of%20converse%20of%20differentiation%20(that%20is%20where%20it%20gets%20its%20name%20after%20all).%20Here%20we%20are%20writing%20down%20the%20same%20formulas%20for%20derivatives%2C%20just%20use%20it%20backwards%E2%80%A6%20**and%20plus%20a%20constant**.%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Function%20%7C%20Antiderivative%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%3A--%7C%3A--%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24x%5En%2C%20n%5Cne%20-1%24%20%7C%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7Bx%5E%7Bn%2B1%7D%7D%7Bn%2B1%7D%20%2B%20c%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5Ccos(x)%24%20%7C%20%24%5Csin(x)%20%2B%20c%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5Csin(x)%24%20%7C%20%24-%5Ccos(x)%20%2B%20c%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5Csec%5E2(x)%24%20%7C%20%24%5Ctan(x)%20%2B%20c%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5Csec(x)%5Ctan(x)%24%20%7C%20%24%5Csec(x)%20%2B%20c%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5Ccsc%5E2(x)%24%20%7C%20%24-%5Ccot(x)%20%2B%20c%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5Ccsc(x)%5Ccot(x)%24%20%7C%20%24-%5Ccsc(x)%20%2B%20c%24%20%7C%0A%0A%20%20%20%20We%20also%20have%20some%20basic%20rules%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20If%20%24F%24%20is%20an%20antiderivative%20of%20%24f%24%2C%20then%20%24a%5Ccdot%20F%24%20is%20an%20antiderivative%20of%20%24a%5Ccdot%20f%24%20for%20any%20constant%20%24a%24%3B%0A%20%20%20%202.%20If%20%24F%24%20is%20an%20antiderivative%20of%20%24f%24%20and%20%24G%24%20is%20an%20antiderivative%20of%20%24g%24%2C%20then%20%24F%2BG%24%20is%20an%20antiderivative%20of%20%24f%2Bg%24.%20Notice%20that%20we%20do%20not%20need%20to%20write%20two%20constant%20terms%20when%20we%20add%20them%20together%3A%20a%20constant%20plus%20a%20constant%20just%20gives%20another%20(possibly%20different)%20constant.%0A%0A%20%20%20%20There%20is%20a%20rule%20in%20antidifferentiation%20corresponds%20to%20the%20Chain%20Rule%20in%20differentiation.%20We%20will%20study%20them%20in%20the%20next%20chapter.%0A%0A%20%20%20%20For%20now%2C%20you%20should%20know%20that%3A%20taking%20antiderivative%20in%20general%20is%20**much%20harder**%20than%20taking%20derivative.%20We%20are%20able%20to%20differentiate%20**all**%20elementary%20functions%2C%20and%20functions%20that%20are%20built%20from%20them%20(product%2C%20quotient%2C%20composition%2C%20etc.).%20But%20this%20is%20not%20the%20case%20in%20antidifferentiation.%20There%20are%20functions%20that%20does%20not%20have%20(elementary)%20antiderivatives%20-%20many%20of%20them%20looks%20'simple'%2C%20here%20are%20some%20typical%20examples%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7B%5Csin(x)%7D%7Bx%7D%24%3B%0A%20%20%20%202.%20%24%5Csin(x%5E2)%24%3B%0A%20%20%20%203.%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cln(x)%7D%24%3B%0A%20%20%20%204.%20%24%5Cdots%24%0A%0A%20%20%20%20A%20good%20exercise%20is%20to%20try%20to%20think%20of%20some%20functions%20that%20has%20derivatives%20of%20the%20above%20functions%20-%20and%20see%20why%20they%20fail.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Differential%20Equation%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20An%20equation%20that%20involves%20derivatives%20of%20a%20function%20is%20called%20a%20differential%20equation.%20There%20are%20ordinary%20differential%20equations%20and%20partial%20differential%20equations.%0A%0A%20%20%20%20The%20study%20of%20differential%20equations%20is%20one%20of%20the%20most%20important%20sub-field%20of%20applied%20math%2C%20and%20plays%20important%20role%20in%20physics%2C%20economics%2C%20finance%2C%20bio-math%2C%20etc.%20For%20example%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20Black-Scholes%20Equation%20for%20stock-option%20pricing%3B%0A%20%20%20%202.%20Lotka%E2%80%93Volterra%20Equations%20for%20modeling%20predator%2Fprey%20populations%20of%20two%20species%3B%0A%20%20%20%203.%20In%20general%2C%20there%20are%20heat%20equations%2C%20wave%20equations%2C%20etc.%20in%20physics.%0A%0A%20%20%20%20Antidifferentiation%20is%20the%20most%20basic%20type%20of%20differential%20equation.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Find%20the%20general%20form%20of%20antiderivative%20of%20%24%5Cdisplaystyle%20f(x)%20%3D%204%5Csin(x)%20%2B%20%5Cfrac%7B2x%5E5%20-%20%5Csqrt%7Bx%7D%7D%7Bx%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20There%20is%20no%20formula%20to%20take%20care%20of%20antiderivatives%20in%20quotient%20form%2C%20so%20**do%20not%20try%20to%20take%20antiderivative%20directly%20of%20a%20quotient**.%20Instead%2C%20we%20rewrite%20it%20to%20functions%20that%20we%20are%20familiar%20with.%0A%0A%20%20%20%20%24%5Cdisplaystyle%20f(x)%20%3D%204%5Csin(x)%20%2B%20%5Cfrac%7B2x%5E5%7D%7Bx%7D%20-%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bx%7D%7D%7Bx%7D%24%20%24%3D%204%5Csin(x)%20%2B%202x%5E4%20-%20x%5E%7B-1%2F2%7D%24%2C%20and%20we%20look%20at%20it%20term-by-term%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20The%20antiderivative%20of%20%24%5Csin(x)%24%20is%20%24-%5Ccos(x)%2Bc%24%2C%20thus%20the%20antiderivative%20of%20%244%5Csin(x)%24%20is%20%24-4%5Ccos(x)%20%2B%20c%24%3B%0A%20%20%20%202.%20The%20antiderivative%20of%20%24x%5E4%24%20is%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7Bx%5E5%7D%7B5%7D%2Bc%24%2C%20thus%20the%20antiderivative%20of%20%242x%5E4%24%20is%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7B2x%5E5%7D%7B5%7D%2B%20c%24%3B%0A%20%20%20%203.%20The%20antiderivative%20of%20%24x%5E%7B-1%2F2%7D%24%20is%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7Bx%5E%7B1%2F2%7D%7D%7B1%2F2%7D%2Bc%24%2C%20or%20%242x%5E%7B1%2F2%7D%2Bc%24.%0A%0A%20%20%20%20Put%20things%20together%20with%20summation%20(and%20subtraction)%20rule%2C%20we%20get%20that%20the%20antiderivative%20of%20%24%5Cdisplaystyle%204%5Csin(x)%20%2B%20%5Cfrac%7B2x%5E5%20-%20%5Csqrt%7Bx%7D%7D%7Bx%7D%24%20is%20%24%5Cdisplaystyle%20-4%5Ccos(x)%20%2B%20%5Cfrac%7B2x%5E5%7D%7B5%7D%20-%202x%5E%7B1%2F2%7D%20%2B%20c%24.%20**Be%20careful%20about%20the%20signs%20before%20each%20term**%2C%20and%20notice%20we%20only%20%24%2Bc%24%20at%20the%20very%20end%2C%20and%20do%20not%20need%20to%20write%20%24%2Bc%24%20three%20times%20when%20we%20put%20things%20together.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Differential%20Equation%20with%20Initial%20Condition%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22Sometimes%20we%20will%20be%20given%20extra%20information%20so%20that%20we%20can%20determine%20what%20is%20the%20constant%20term%20%24c%24.%20This%20information%20is%20usually%20called%20initial%20condition.%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Suppose%20%24F%24%20is%20an%20antiderivative%20of%20%24%5Cdisplaystyle%20f(x)%20%3D%204%5Csin(x)%20%2B%20%5Cfrac%7B2x%5E5%20-%20%5Csqrt%7Bx%7D%7D%7Bx%7D%24%2C%20we%20also%20know%20that%20%24F(0)%20%3D%203%24%2C%20find%20%24F%24.%0A%0A%20%20%20%20From%20above%20we%20know%20the%20general%20form%20of%20%24F%24%2C%20that%20is%2C%20%24%5Cdisplaystyle%20F(x)%20%3D%20-4%5Ccos(x)%20%2B%20%5Cfrac%7B2x%5E5%7D%7B5%7D%20-%202x%5E%7B1%2F2%7D%20%2B%20c%24.%20We%20now%20also%20know%20%24F(0)%20%3D%203%24%2C%20plug%20this%20piece%20of%20information%20into%20our%20equation%2C%20we%20get%20%24F(0)%20%3D%20-4%5Ccos(0)%20%2B%200%20-%200%20%2B%20c%20%3D%203%24%2C%20or%20%24-4%20%2B%20c%20%3D%203%24%2C%20which%20implies%20%24c%20%3D%207%24.%0A%0A%20%20%20%20Thus%20we%20have%20a%20specific%20solution%2C%20that%20is%20%24%5Cdisplaystyle%20F(x)%20%3D%20-4%5Ccos(x)%20%2B%20%5Cfrac%7B2x%5E5%7D%7B5%7D%20-%202x%5E%7B1%2F2%7D%20%2B%207%24.%20This%20is%20**the**%20function%20that%20is%20an%20antiderivative%20of%20%24f%24%2C%20also%20satisfy%20the%20initial%20condition.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Motion%20Problem%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20A%20ball%20is%20thrown%20**upward**%20with%20a%20speed%20of%20%246%20%5Ctext%7B%20m%2Fs%7D%24%20at%20level%20%241%20%5Ctext%7B%20m%7D%24.%20Write%20down%20the%20relation%20between%20its%20height%20(in%20meters)%20above%20ground%20and%20time%20(in%20seconds).%20Specify%20the%20domain%20of%20your%20function%20so%20that%20it%20makes%20sense%2C%20assume%20the%20ball%20stay%20still%20after%20it%20touches%20the%20ground.%0A%0A%20%20%20%20The%20concealed%20information%20is%20that%20the%20ball%20is%20under%20the%20effect%20of%20gravity%20(well%2C%20let%20us%20assume%20the%20ball%20is%20thrown%20on%20earth).%20Since%20the%20ball%20is%20thrown%20upward%20and%20gravity%20goes%20downward%2C%20the%20ball%20has%20an%20acceleration%20of%20%24-10%20%5Ctext%7B%20m%2Ft%7D%5E2%24.%20Notice%20if%20the%20unit%20in%20the%20question%20is%20feet%2C%20then%20the%20number%20is%20%24-32%24.%0A%0A%20%20%20%20That%20is%2C%20if%20%24v(t)%24%20is%20the%20velocity%20of%20the%20ball%20and%20%24a(t)%24%20is%20the%20acceleration%2C%20then%20we%20know%20%24v(t)%24%20is%20an%20antiderivative%20of%20%24a(t)%20%3D%20-10%24%2C%20thus%20%24v(t)%20%3D%20-10t%20%2B%20c%24.%20Since%20we%20know%20initially%20%24v(0)%20%3D%206%24%2C%20plugin%20and%20we%20get%20%24c%20%3D%206%24%2C%20that%20is%2C%20%24v(t)%20%3D%20-10t%20%2B%206%24.%0A%0A%20%20%20%20The%20height%20(position)%20function%20%24s(t)%24%20is%20an%20antiderivative%20of%20%24v(t)%24%2C%20thus%20%24s(t)%20%3D%20-5t%5E2%20%2B%206t%20%2B%20c%24.%20We%20are%20also%20given%20that%20%24s(0)%20%3D%20-0%2B0%2Bc%20%3D%201%24%2C%20thus%20%24c%20%3D%201%24%20and%20%24s(t)%20%3D%20-5t%5E2%2B6t%20%2B1%24.%0A%0A%20%20%20%20The%20ball%20hit%20the%20ground%20when%20%24s(t)%20%3D%200%24%2C%20that%20is%20%24-5t%5E2%20%2B%206t%20%2B1%20%3D%200%24.%20Use%20quadratic%20formula%20to%20get%20that%20%24%5Cdisplaystyle%20t%20%3D%20%5Cfrac%7B3%20%5Cpm%20%5Csqrt%7B14%7D%7D%7B5%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20Apparently%20%24t%24%20should%20be%20non-negative%20thus%20the%20feasible%20%24t%24%20is%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7B3%20%2B%20%5Csqrt%7B14%7D%7D%7B5%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20Thus%20the%20final%20answer%20should%20be%20%24s(t)%20%3D%20-5t%5E2%20%2B%206t%20%2B1%24%2C%20%24%5Cdisplaystyle%200%20%5Cle%20t%20%5Cle%20%5Cfrac%7B3%20%2B%5Csqrt%7B14%7D%7D%7B5%7D%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%20Sigma%20Notation%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20The%20Sigma%20notation%20is%20a%20convenient%20way%20of%20writing%20(a%20long)%20sums%20using%20the%20greek%20letter%20%24%5CSigma%24%3A%0A%0A%20%20%20%20Let%20%24a_m%2C%20a_%7Bm%2B1%7D%2C%20%5Cdots%2C%20a_n%24%20be%20numbers%2C%20%24m%2C%20n%24%20are%20integers%20such%20that%20%24m%20%5Cle%20n%24%2C%20then%20the%20notation%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Csum%5Climits_%7Bi%20%3D%20m%7D%5Ena_i%24%20stands%20for%20%24a_m%20%2B%20a_%7Bm%2B1%7D%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20a_n%24.%20The%20letter%20%24i%24%20is%20called%20the%20index%20of%20summation.%20It%20takes%20consecutive%20integer%20values%20starts%20with%20%24m%24%20and%20ends%20with%20%24n%24%20(inclusive)%2C%20i.e.%20%24m%24%2C%20%24m%2B1%24%2C%20%24%5Cdots%24%2C%20%24n%24.%20You%20can%20of%20course%20use%20other%20letters%2C%20but%20usually%20we%20use%20%24i%2C%20j%2C%20k%24%20or%20greek%20letters%20%24%5Calpha%2C%20%5Cbeta%24.%20The%20%24a_i%24's%20are%20the%20terms%20to%20be%20summed%20together%2C%20called%20summands%2C%20usually%20it%20is%20written%20as%20a%20function%20of%20%24i%24%20(the%20index).%0A%0A%20%20%20%20Notice%20**this%20is%20merely%20a%20notation**%2C%20there%20is%20no%20real%20difference%20between%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Csum%5Climits_%7Bi%20%3D%20m%7D%5Ena_i%24%20and%20%24a_m%20%2B%20a_%7Bm%2B1%7D%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20a_n%24.%20This%20is%20just%20a%20convenient%20way%20of%20writing.%20For%20example%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Csum%5Climits_%7Bi%20%3D%201%7D%5E5i%5E2%24%20is%20the%20same%20as%20%241%5E2%20%2B%202%5E2%20%2B%203%5E2%20%2B%204%5E2%20%2B%205%5E2%24%3B%0A%20%20%20%202.%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Csum%5Climits_%7Bi%20%3D%201%7D%5E%7B10%7D1%24%20is%20the%20same%20as%20%24%5Coverbrace%7B1%20%2B%201%20%2B%201%20%2B%20%5Cdots%20%2B%201%7D%5E%7B10%5Ctext%7B%20times%7D%7D%24%2C%20notice%20the%20summands%20do%20not%20depend%20on%20%24i%24%20here%3B%0A%20%20%20%203.%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Csum%5Climits_%7Bi%20%3D%203%7D%5E62%5Ei%24%20is%20the%20same%20as%20%242%5E3%20%2B%202%5E4%20%2B%202%5E5%20%2B%202%5E6%24%2C%20notice%20the%20index%20does%20not%20start%20with%20%241%24%20here%3B%0A%20%20%20%204.%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Csum%5Climits_%7Bi%20%3D%20-3%7D%5E1%20%5Cfrac%7B5%2B13i%7D%7Bi%5E3-%5Ccos(i%5Cpi)%7D%24%20is%20the%20same%20as%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7B5%2B13%5Ccdot(-3)%7D%7B(-3)%5E3-%5Ccos(-3%5Cpi)%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B5%2B13%5Ccdot(-2)%7D%7B(-2)%5E3-%5Ccos(-2%5Cpi)%7D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%2B%20%5Cfrac%7B5%2B13%5Ccdot(-1)%7D%7B(-1)%5E3-%5Ccos(-1%5Cpi)%7D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%2B%20%5Cfrac%7B5%2B13%5Ccdot%200%7D%7B0%5E3-%5Ccos(0%5Cpi)%7D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%2B%20%5Cfrac%7B5%2B13%5Ccdot(1)%7D%7B1%5E3-%5Ccos(1%5Cpi)%7D%24%2C%20notice%20the%20index%20can%20also%20start%20with%20a%20negative%20integer%2C%20also%20notice%20that%20the%20summands%20can%20be%20complicated%2C%20it%20is%20any%20function%20depends%20or%20does%20not%20depend%20on%20the%20index.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20Index%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20info%0A%0A%20%20%20%20In%20a%20summation%2C%20we%20often%20use%20%24i%24%20as%20the%20index.%20You%20should%20understand%20that%20**this%20%24i%24%20has%20nothing%20to%20do%20with%20imaginary%20numbers**.%20Whether%20%24i%24%20is%20some%20index%20or%20a%20square%20root%20of%20%24-1%24%20should%20be%20clear%20from%20the%20context.%0A%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Basic%20Rules%20of%20Sigma%20Notation%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%201.%20If%20%24c%24%20is%20a%20constant%2C%20then%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Csum%5Climits_%7Bi%20%3D%20m%7D%5Enca_i%20%3D%20c%20%5Csum%5Climits_%7Bi%20%3D%20m%7D%5Ena_i%24%20(i.e.%20we%20can%20pull%20the%20constant%20out%20from%20the%20summation).%20This%20is%20equivalent%20with%20the%20distribution%20law%3A%20%24ca_m%20%2B%20ca_%7Bm%2B1%7D%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20ca_n%24%20%24%3D%20c(a_m%20%2B%20a_%7Bm%2B1%7D%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20a_n)%24%3B%0A%20%20%20%202.%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Csum%5Climits_%7Bi%20%3D%20m%7D%5E%7Bn%7D(a_i%20%2B%20b_i)%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Csum%5Climits_%7Bi%20%3D%20m%7D%5En%20a_i%20%2B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%20%3D%20m%7D%5En%20b_i%24.%20This%20is%20due%20to%20the%20commutativity%20property%20of%20summation%3B%0A%20%20%20%203.%20Similarly%2C%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Csum%5Climits_%7Bi%20%3D%20m%7D%5E%7Bn%7D(a_i%20-%20b_i)%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Csum%5Climits_%7Bi%20%3D%20m%7D%5En%20a_i%20-%20%5Csum%5Climits_%7Bi%20%3D%20m%7D%5En%20b_i%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Summation%20Rule%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Recall%20we%20have%20the%20summation%20rule%2C%20known%20as%20the%20Gauss's%20Trick%2C%20that%20if%20%24n%24%20is%20an%20positive%20integer%2C%20then%20%24%5Cdisplaystyle%201%20%2B%202%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20n%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Cfrac%7B(1%2Bn)n%7D%7B2%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20Written%20in%20Sigma%20notation%2C%20we%20have%20%24%24%5Csum%5Climits_%7Bi%20%3D%201%7D%5En%20i%20%3D%20%5Cfrac%7Bn(n%2B1)%7D%7B2%7D.%24%24%20Similarly%20there%20are%20two%20other%20formulas%3A%20%24%24%5Csum%5Climits_%7Bi%20%3D%201%7D%5En%20i%5E2%20%3D%20%5Cfrac%7Bn(n%2B1)(2n%2B1)%7D%7B6%7D%24%24%20and%20%24%24%5Csum%5Climits_%7Bi%20%3D%201%7D%5En%20i%5E3%20%3D%20%5Cleft%5B%5Cfrac%7Bn(n%2B1)%7D%7B2%7D%5Cright%5D%5E2.%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Simplify%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Csum%5Climits_%7Bi%20%3D%201%7D%5En(4%20-%20%5Cfrac%7B3i%5E2%7D%7Bn%5E2%7D)%5Cfrac%7B4%7D%7Bn%7D%24%20and%20evaluate%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Clim%5Climits_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%5Csum%5Climits_%7Bi%20%3D%201%7D%5En(4%20-%20%5Cfrac%7B3i%5E2%7D%7Bn%5E2%7D)%5Cfrac%7B4%7D%7Bn%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Csum%5Climits_%7Bi%20%3D%201%7D%5En(4%20-%20%5Cfrac%7B3i%5E2%7D%7Bn%5E2%7D)%5Cfrac%7B4%7D%7Bn%7D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Cfrac%7B4%7D%7Bn%7D(%5Csum%5Climits_%7Bi%20%3D%201%7D%5En4%20-%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5En%20%5Cfrac%7B3i%5E2%7D%7Bn%5E2%7D)%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%5Cfrac%7B4%7D%7Bn%7D(4n%20-%20%5Cfrac%7B3%7D%7Bn%5E2%7D%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5Eni%5E2)%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Cfrac%7B4%7D%7Bn%7D(4n%20-%20%5Cfrac%7B3%7D%7Bn%5E2%7D%20%5Cfrac%7Bn(n%2B1)(2n%2B1)%7D%7B6%7D)%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%2016%20-%20%5Cfrac%7B2(n%2B1)(2n%2B1)%7D%7Bn%5E2%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20So%20the%20limit%20is%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Clim%5Climits_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%5Csum%5Climits_%7Bi%20%3D%201%7D%5En(4%20-%20%5Cfrac%7B3i%5E2%7D%7Bn%5E2%7D)%5Cfrac%7B4%7D%7Bn%7D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Clim%5Climits_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7D16%20-%20%5Cfrac%7B2(n%2B1)(2n%2B1)%7D%7Bn%5E2%7D%24%20%24%3D%2016-4%20%3D%2012%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A