Calculus I 18 5

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.13.7%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20plotly.graph_objects%20as%20go%0A%20%20%20%20from%20plotly.subplots%20import%20make_subplots%0A%0A%20%20%20%20return%20go%2C%20make_subplots%2C%20mo%2C%20np%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20nav_menu%20%3D%20mo.nav_menu(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Findex.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Ahome')%7D%20Home%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Optimization%20Problems%20Example%20Sets%22%3A%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Fapps%2FCalculus_I_18_1.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Afile-text')%7D%20Set%201%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Fapps%2FCalculus_I_18_2.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Afile-text')%7D%20Set%202%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Fapps%2FCalculus_I_18_3.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Afile-text')%7D%20Set%203%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Fapps%2FCalculus_I_18_4.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Afile-text')%7D%20Set%204%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20orientation%3D%22vertical%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20nav_menu%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%203.5%20Optimization%20Problems%20Example%20Set%205%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%209%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22A%20cone-shaped%20drinking%20cup%20is%20made%20from%20a%20circular%20piece%20of%20paper%20of%20radius%20%2410%24%20cm%20by%20cutting%20out%20a%20sector%20and%20joining%20the%20edges.%20Find%20the%20maximum%20capacity%20of%20such%20a%20cup.%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20theta_slider_1%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20steps%3Dnp.linspace(np.pi%20%2F%2016%2C%201%20*%20np.pi%2C%2010001)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Angle%20of%20the%20sector%20cut%20out%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3Dnp.pi%20*%200.53125%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20theta_slider_1%0A%20%20%20%20return%20(theta_slider_1%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22**Try%20it%20youself%20using%20the%20above%20slidebar!**%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(go%2C%20make_subplots%2C%20np%2C%20theta_slider_1)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Parameters%0A%20%20%20%20R_paper%20%3D%2010%0A%20%20%20%20theta_cut%20%3D%20theta_slider_1.value%20%20%23%20in%20radians%0A%20%20%20%20alpha_remain%20%3D%202%20*%20np.pi%20-%20theta_cut%0A%0A%20%20%20%20%23%20Cone%20base%20radius%20and%20height%0A%20%20%20%20r_cone%20%3D%20(R_paper%20*%20alpha_remain)%20%2F%20(2%20*%20np.pi)%0A%20%20%20%20h_cone%20%3D%20np.sqrt(R_paper**2%20-%20r_cone**2)%0A%20%20%20%20V_cone%20%3D%20(1%20%2F%203)%20*%20np.pi%20*%20r_cone**2%20*%20h_cone%0A%20%20%20%20arc_length_remain%20%3D%20alpha_remain%20*%20R_paper%0A%0A%20%20%20%20%23%20------------------------%0A%20%20%20%20%23%20Create%202x2%20subplots%0A%20%20%20%20%23%20------------------------%0A%20%20%20%20fig%20%3D%20make_subplots(rows%3D2%2C%20cols%3D2%2C%20subplot_titles%3D%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%221.%20Circular%20Paper%20with%20Sector%20Removed%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%222.%20Base%20of%20Cone%20(after%20folding)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%223.%20Cross-Section%20Triangle%20of%20Cone%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%0A%20%20%20%20%5D)%0A%0A%20%20%20%20%23%20------------------------%0A%20%20%20%20%23%201.%20Flat%20circular%20paper%20with%20cut%20sector%20and%20labels%0A%20%20%20%20%23%20------------------------%0A%20%20%20%20theta_full%20%3D%20np.linspace(0%2C%202%20*%20np.pi%2C%20400)%0A%20%20%20%20x_circle%20%3D%20R_paper%20*%20np.cos(theta_full)%0A%20%20%20%20y_circle%20%3D%20R_paper%20*%20np.sin(theta_full)%0A%0A%20%20%20%20theta_sector%20%3D%20np.linspace(0%2C%20theta_cut%2C%20100)%0A%20%20%20%20x_cut%20%3D%20np.concatenate(%5B%5B0%5D%2C%20R_paper%20*%20np.cos(theta_sector)%2C%20%5B0%5D%5D)%0A%20%20%20%20y_cut%20%3D%20np.concatenate(%5B%5B0%5D%2C%20R_paper%20*%20np.sin(theta_sector)%2C%20%5B0%5D%5D)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Full%20circle%0A%20%20%20%20fig.add_trace(go.Scatter(x%3Dx_circle%2C%20y%3Dy_circle%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20line%3Ddict(color%3D%22black%22))%2C%20row%3D1%2C%20col%3D1)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Cut-out%20sector%0A%20%20%20%20fig.add_trace(go.Scatter(x%3Dx_cut%2C%20y%3Dy_cut%2C%20fill%3D%22toself%22%2C%20fillcolor%3D%22rgba(200%2C%200%2C%200%2C%200.3)%22%2C%20line%3Ddict(color%3D%22red%22))%2C%20row%3D1%2C%20col%3D1)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Remaining%20arc%20label%20and%20arc%20line%0A%20%20%20%20theta_remain%20%3D%20np.linspace(theta_cut%2C%202%20*%20np.pi%2C%20200)%0A%20%20%20%20x_remain%20%3D%20R_paper%20*%20np.cos(theta_remain)%0A%20%20%20%20y_remain%20%3D%20R_paper%20*%20np.sin(theta_remain)%0A%20%20%20%20fig.add_trace(go.Scatter(x%3Dx_remain%2C%20y%3Dy_remain%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20line%3Ddict(color%3D%22blue%22%2C%20dash%3D%22dot%22))%2C%20row%3D1%2C%20col%3D1)%0A%0A%20%20%20%20%23%20%CE%B8%20label%0A%20%20%20%20fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B2.5%20*%20np.cos(theta_cut%20%2F%202)%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B2.5%20*%20np.sin(theta_cut%20%2F%202)%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22text%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5B%22%CE%B8%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20textfont%3Ddict(size%3D14%2C%20color%3D%22red%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse)%2C%20row%3D1%2C%20col%3D1)%0A%0A%20%20%20%20%23%202pi%20-%20%CE%B8%20label%0A%20%20%20%20fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B2.5%20*%20np.cos(theta_cut%20%2B%20alpha_remain%20%2F%202)%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B2.5%20*%20np.sin(theta_cut%20%2B%20alpha_remain%20%2F%202)%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22text%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5B%222%CF%80%20-%20%CE%B8%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20textfont%3Ddict(size%3D14%2C%20color%3D%22blue%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse)%2C%20row%3D1%2C%20col%3D1)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Arc%20length%20label%0A%20%20%20%20fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5Bx_remain%5Bint(len(x_remain)%2F2)%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5By_remain%5Bint(len(y_remain)%2F2)%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22text%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5Bf%22Arc%20%3D%2010x(2%CF%80%20-%20%CE%B8)%3Cbr%3E%3D%7Barc_length_remain%3A.1f%7D%20cm%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20textfont%3Ddict(size%3D14%2C%20color%3D%22blue%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse)%2C%20row%3D1%2C%20col%3D1)%0A%0A%20%20%20%20%23%20------------------------%0A%20%20%20%20%23%202.%20Base%20of%20the%20cone%20(circle)%0A%20%20%20%20%23%20------------------------%0A%20%20%20%20theta_base%20%3D%20np.linspace(0%2C%202%20*%20np.pi%2C%20400)%0A%20%20%20%20x_base%20%3D%20r_cone%20*%20np.cos(theta_base)%0A%20%20%20%20y_base%20%3D%20r_cone%20*%20np.sin(theta_base)%0A%0A%20%20%20%20fig.add_trace(go.Scatter(x%3Dx_base%2C%20y%3Dy_base%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20line%3Ddict(color%3D%22blue%22))%2C%20row%3D1%2C%20col%3D2)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Radius%20line%0A%20%20%20%20fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B0%2C%20r_cone%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B0%2C%200%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%2Btext%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5Bf%22r%3D%20Perimeter%2F2%CF%80%3Cbr%3E%3D%7Barc_length_remain%2F(2*np.pi)%3A.1f%7D%20cm%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20textposition%3D%22middle%20right%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22black%22%2C%20dash%3D%22dot%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse)%2C%20row%3D1%2C%20col%3D2)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Perimeter%20label%0A%20%20%20%20fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B0%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5Br_cone%20%2B%200.5%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22text%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5Bf%22Circumference%20%3D%20%7Barc_length_remain%3A.1f%7D%20cm%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20textfont%3Ddict(size%3D14%2C%20color%3D%22blue%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse)%2C%20row%3D1%2C%20col%3D2)%0A%0A%20%20%20%20%23%20------------------------%0A%20%20%20%20%23%203.%20Cross-section%20triangle%20of%20cone%0A%20%20%20%20%23%20------------------------%0A%20%20%20%20fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B-r_cone%2C%20r_cone%2C%200%2C%20-r_cone%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B0%2C%200%2C%20h_cone%2C%200%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22blue%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse)%2C%20row%3D2%2C%20col%3D1)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Label%20base%0A%20%20%20%20fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B0%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B-1.5%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22text%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5Bf%222r%3D%7Barc_length_remain%2F(np.pi)%3A.1f%7D%20cm%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20textfont%3Ddict(size%3D14)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse)%2C%20row%3D2%2C%20col%3D1)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Label%20slant%20height%0A%20%20%20%20fig.add_trace(go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B-r_cone%20-%200.5%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5Bh_cone%20%2F%202%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22text%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5B%2210%20cm%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20textfont%3Ddict(size%3D14)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse)%2C%20row%3D2%2C%20col%3D1)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Layout%20adjustments%0A%20%20%20%20fig.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20template%3D%22plotly_white%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Cone%20Construction%20from%20Circular%20Paper%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20fig.update_xaxes(range%3D%5B-12%2C%2012%5D%2C%20showgrid%3DFalse%2C%20zeroline%3DFalse%2C%20showticklabels%3DFalse%2C%20row%3D1%2C%20col%3D1%2C%20scaleanchor%3D%22y%22%2C)%0A%20%20%20%20fig.update_yaxes(range%3D%5B-11%2C%2011%5D%2C%20showgrid%3DFalse%2C%20zeroline%3DFalse%2C%20showticklabels%3DFalse%2C%20row%3D1%2C%20col%3D1%2C%20scaleanchor%3D%22x%22%2C)%0A%20%20%20%20fig.update_xaxes(range%3D%5B-8%2C%208%5D%2C%20showgrid%3DFalse%2C%20zeroline%3DFalse%2C%20showticklabels%3DFalse%2C%20row%3D1%2C%20col%3D2%2C%20scaleanchor%3D%22y%22%2C)%0A%20%20%20%20fig.update_yaxes(range%3D%5B-8%2C%208%5D%2C%20showgrid%3DFalse%2C%20zeroline%3DFalse%2C%20showticklabels%3DFalse%2C%20row%3D1%2C%20col%3D2%2C%20scaleanchor%3D%22x%22%2C)%0A%20%20%20%20fig.update_xaxes(showgrid%3DFalse%2C%20zeroline%3DFalse%2C%20showticklabels%3DFalse%2C%20row%3D2%2C%20col%3D1%2C%20scaleanchor%3D%22y%22%2C)%0A%20%20%20%20fig.update_yaxes(showgrid%3DFalse%2C%20zeroline%3DFalse%2C%20showticklabels%3DFalse%2C%20row%3D2%2C%20col%3D1%2C%20scaleanchor%3D%22x%22%2C)%0A%20%20%20%20return%20V_cone%2C%20h_cone%2C%20r_cone%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(V_cone%2C%20go%2C%20h_cone%2C%20np%2C%20r_cone)%3A%0A%20%20%20%20theta_cone%20%3D%20np.linspace(0%2C%202%20*%20np.pi%2C%20100)%0A%20%20%20%20z_cone%20%3D%20np.linspace(0%2C%20h_cone%2C%2050)%0A%20%20%20%20T_cone%2C%20Z_cone%20%3D%20np.meshgrid(theta_cone%2C%20z_cone)%0A%20%20%20%20X_cone%20%3D%20(r_cone%20*%20(1%20-%20Z_cone%20%2F%20h_cone))%20*%20np.cos(T_cone)%0A%20%20%20%20Y_cone%20%3D%20(r_cone%20*%20(1%20-%20Z_cone%20%2F%20h_cone))%20*%20np.sin(T_cone)%0A%20%20%20%20Z_cone%20%3D%20Z_cone%0A%0A%20%20%20%20fig_cone%20%3D%20go.Figure()%0A%0A%20%20%20%20fig_cone.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Surface(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3DX_cone%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3DY_cone%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20z%3DZ_cone%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showscale%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20colorscale%3D%22Blues%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20opacity%3D0.9%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20camera%20%3D%20dict(eye%3Ddict(x%3D0.01%2C%20y%3D-2%2C%20z%3D0.6))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Layout%0A%20%20%20%20fig_cone.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%22Cone%20Formed%20from%20Paper%20Sector%20with%20Volume%20%E2%89%88%20%7BV_cone%3A.2f%7D%20cm%C2%B3%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20scene%3Ddict(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis%3Ddict(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showgrid%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showticklabels%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20zeroline%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B-r_cone%20-%201%2C%20r_cone%20%2B%201%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis%3Ddict(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showgrid%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showticklabels%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20zeroline%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B-r_cone%20-%201%2C%20r_cone%20%2B%201%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20zaxis%3Ddict(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showgrid%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showticklabels%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20zeroline%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B0%2C%20h_cone%20%2B%205%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20aspectmode%3D%22data%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20camera%3Ddict(eye%3Ddict(x%3D0.01%2C%20y%3D-2%2C%20z%3D0.6))%2C%20%20%23%20%3C%3C%3C%20This%20is%20the%20key%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20template%3D%22plotly_white%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Solution%20Sketch%3A%0A%0A%20%20%20%20If%20the%20sector%20removed%20has%20angle%20%24%5Ctheta%24%2C%20then%20the%20remaining%20angle%20is%20%242%5Cpi%20-%20%5Ctheta%24%2C%20and%20the%20arc%20length%20becomes%20the%20base%20circumference%20of%20the%20cone.%20Since%20the%20radius%20of%20the%20paper%20is%20%2410%24%E2%80%AFcm%2C%20the%20slant%20height%20of%20the%20cone%20is%20%2410%24.%20The%20base%20circumference%20is%20%24C%20%3D%2010(2%5Cpi%20-%20%5Ctheta)%24%20so%20the%20radius%20of%20the%20cone%20is%20%24r%20%3D%20%5Cfrac%7B10(2%5Cpi%20-%20%5Ctheta)%7D%7B2%5Cpi%7D%24.%20By%20the%20Pythagorean%20theorem%2C%20the%20height%20of%20the%20cone%20is%20%24h%20%3D%20%5Csqrt%7B10%5E2%20-%20r%5E2%7D%24%20and%20the%20volume%20is%20%24V%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20%5Cpi%20r%5E2%20h%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20%5Cpi%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7B10(2%5Cpi%20-%20%5Ctheta)%7D%7B2%5Cpi%7D%20%5Cright)%5E2%20%5Ccdot%20%5Csqrt%7B100%20-%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7B10(2%5Cpi%20-%20%5Ctheta)%7D%7B2%5Cpi%7D%20%5Cright)%5E2%7D%24.%20Now%20differentiate%20%24V(%5Ctheta)%24%20to%20find%20the%20maximum.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%2010%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22A%20box%20with%20a%20square%20base%20and%20open%20top%20must%20have%20a%20volume%20of%20%2432000%24%20cm%C2%B3.%20Find%20the%20dimensions%20of%20the%20box%20that%20minimize%20the%20amount%20of%20material%20used.%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20base_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20steps%3Dnp.linspace(30%2C%2050%2C%2010001)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Base%20of%20the%20box%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D40%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20base_slider%0A%20%20%20%20return%20(base_slider%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22**Try%20it%20youself%20using%20the%20above%20slidebar!**%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(base_slider%2C%20go%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Slider%20value%0A%20%20%20%20x_box%20%3D%20base_slider.value%20%20%23%20base%20side%20length%0A%20%20%20%20h_box%20%3D%2032000%20%2F%20x_box**2%20%20%23%20height%20from%20volume%20constraint%0A%0A%20%20%20%20%23%20Compute%20surface%20area%0A%20%20%20%20A_surface%20%3D%20x_box**2%20%2B%20128000%20%2F%20x_box%0A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20figure%0A%20%20%20%20fig_box3d%20%3D%20go.Figure()%0A%0A%20%20%20%20%23%20Bottom%20face%0A%20%20%20%20x_btm_1%2C%20y_btm_1%20%3D%20np.meshgrid(%5B0%2C%20x_box%5D%2C%20%5B0%2C%20x_box%5D)%0A%20%20%20%20z_btm_1%20%3D%20np.zeros_like(x_btm_1)%0A%20%20%20%20fig_box3d.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Surface(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_btm_1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dy_btm_1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20z%3Dz_btm_1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20surfacecolor%3Dnp.ones_like(z_btm_1)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20colorscale%3D%5B%5B0%2C%20%22lightblue%22%5D%2C%20%5B1%2C%20%22lightblue%22%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showscale%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20opacity%3D0.8%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Front%20wall%20(y%20%3D%200)%0A%20%20%20%20fig_box3d.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Surface(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B%5B0%2C%20x_box%5D%2C%20%5B0%2C%20x_box%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B%5B0%2C%200%5D%2C%20%5B0%2C%200%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20z%3D%5B%5B0%2C%200%5D%2C%20%5Bh_box%2C%20h_box%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20surfacecolor%3D%5B%5B1%2C%201%5D%2C%20%5B1%2C%201%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20colorscale%3D%5B%5B0%2C%20%22lightblue%22%5D%2C%20%5B1%2C%20%22lightblue%22%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showscale%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20opacity%3D0.8%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Back%20wall%20(y%20%3D%20x_box)%0A%20%20%20%20fig_box3d.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Surface(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B%5B0%2C%20x_box%5D%2C%20%5B0%2C%20x_box%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B%5Bx_box%2C%20x_box%5D%2C%20%5Bx_box%2C%20x_box%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20z%3D%5B%5B0%2C%200%5D%2C%20%5Bh_box%2C%20h_box%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20surfacecolor%3D%5B%5B1%2C%201%5D%2C%20%5B1%2C%201%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20colorscale%3D%5B%5B0%2C%20%22lightblue%22%5D%2C%20%5B1%2C%20%22lightblue%22%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showscale%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20opacity%3D0.8%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Left%20wall%20(x%20%3D%200)%0A%20%20%20%20fig_box3d.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Surface(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B%5B0%2C%200%5D%2C%20%5B0%2C%200%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B%5B0%2C%20x_box%5D%2C%20%5B0%2C%20x_box%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20z%3D%5B%5B0%2C%200%5D%2C%20%5Bh_box%2C%20h_box%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20surfacecolor%3D%5B%5B1%2C%201%5D%2C%20%5B1%2C%201%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20colorscale%3D%5B%5B0%2C%20%22lightblue%22%5D%2C%20%5B1%2C%20%22lightblue%22%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showscale%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20opacity%3D0.8%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Right%20wall%20(x%20%3D%20x_box)%0A%20%20%20%20fig_box3d.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Surface(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B%5Bx_box%2C%20x_box%5D%2C%20%5Bx_box%2C%20x_box%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B%5B0%2C%20x_box%5D%2C%20%5B0%2C%20x_box%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20z%3D%5B%5B0%2C%200%5D%2C%20%5Bh_box%2C%20h_box%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20surfacecolor%3D%5B%5B1%2C%201%5D%2C%20%5B1%2C%201%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20colorscale%3D%5B%5B0%2C%20%22lightblue%22%5D%2C%20%5B1%2C%20%22lightblue%22%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showscale%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20opacity%3D0.8%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Layout%0A%20%20%20%20fig_box3d.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%223D%20View%20of%20Open-Top%20Box%3Cbr%3ESurface%20Area%20%E2%89%88%20%7BA_surface%3A.1f%7D%20cm%C2%B2%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20scene%3Ddict(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis%3Ddict(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showgrid%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showticklabels%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20zeroline%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B-1%2C%20x_box%20%2B%202%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis%3Ddict(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showgrid%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showticklabels%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20zeroline%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B-1%2C%20x_box%20%2B%202%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20zaxis%3Ddict(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showgrid%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showticklabels%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20zeroline%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20range%3D%5B0%2C%20h_box%20%2B%205%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20aspectmode%3D%22data%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20camera%3Ddict(eye%3Ddict(x%3D1.4%2C%20y%3D-1.4%2C%20z%3D0.7))%2C%20%20%23%20nice%20angled%20view%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20template%3D%22plotly_white%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Solution%20Sketch%3A%0A%0A%20%20%20%20If%20the%20base%20has%20side%20length%20%24x%24%20and%20the%20height%20is%20%24h%24%2C%20then%20the%20volume%20is%0A%20%20%20%20%24%5Cdisplaystyle%20V%20%3D%20x%5E2%20h%20%3D%2032000%20%5Cquad%20%5CRightarrow%20%5Cquad%20h%20%3D%20%5Cfrac%7B32000%7D%7Bx%5E2%7D%24.%20The%20surface%20area%20(amount%20of%20material%20used)%20is%20the%20area%20of%20the%20base%20plus%20the%20four%20sides%3A%20%24%5Cdisplaystyle%20A%20%3D%20x%5E2%20%2B%204xh%20%3D%20x%5E2%20%2B%204x%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B32000%7D%7Bx%5E2%7D%20%3D%20x%5E2%20%2B%20%5Cfrac%7B128000%7D%7Bx%7D%24.%20Now%20differentiate%20%24A(x)%24%20to%20find%20the%20minimum.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A