Calculus I 18 3

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.13.7%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20plotly.graph_objects%20as%20go%0A%0A%20%20%20%20return%20go%2C%20mo%2C%20np%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20nav_menu%20%3D%20mo.nav_menu(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Findex.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Ahome')%7D%20Home%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Optimization%20Problems%20Example%20Sets%22%3A%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Fapps%2FCalculus_I_18_1.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Afile-text')%7D%20Set%201%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Fapps%2FCalculus_I_18_2.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Afile-text')%7D%20Set%202%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Fapps%2FCalculus_I_18_4.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Afile-text')%7D%20Set%204%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Fapps%2FCalculus_I_18_5.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Afile-text')%7D%20Set%205%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20orientation%3D%22vertical%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20nav_menu%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%203.5%20Optimization%20Problems%20Example%20Set%203%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%205%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22Find%20the%20points%20on%20the%20ellipse%20%244x%5E2%20%2B%20y%5E2%20%3D%204%24%20that%20are%20farthest%20away%20from%20the%20point%20%24(2%2C0)%24.%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20y_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20steps%3Dnp.linspace(-2%2C%202%2C%2010001)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22y%20Coordinate%20of%20the%20point%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D0%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20y_slider%0A%20%20%20%20return%20(y_slider%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22**Try%20it%20youself%20using%20the%20above%20slidebar!**%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(go%2C%20np%2C%20y_slider)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Ellipse%3A%204x%5E2%20%2B%20y%5E2%20%3D%204%20%E2%86%92%20y%20in%20%5B-2%2C%202%5D%0A%20%20%20%20y_vals_l%20%3D%20np.linspace(-2%2C%202%2C%20400)%0A%20%20%20%20x_right_l%20%3D%20np.sqrt((4%20-%20y_vals_l**2)%20%2F%204)%0A%20%20%20%20x_left_l%20%3D%20-x_right_l%0A%0A%20%20%20%20%23%20Given%20y%20from%20slider%0A%20%20%20%20y_given_l%20%3D%20y_slider.value%20%20%23%20%E2%86%90%20your%20slider%20value%0A%20%20%20%20x_on_ellipse_l%20%3D%20-np.sqrt((4%20-%20y_given_l**2)%20%2F%204)%0A%20%20%20%20point_on_ellipse_l%20%3D%20(x_on_ellipse_l%2C%20y_given_l)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Segment%20from%20(1%2C%200)%20to%20point%20on%20ellipse%0A%20%20%20%20x1_l%2C%20y1_l%20%3D%202%2C%200%0A%20%20%20%20x2_l%2C%20y2_l%20%3D%20point_on_ellipse_l%0A%20%20%20%20segment_len_l%20%3D%20np.sqrt((x2_l%20-%20x1_l)%20**%202%20%2B%20(y2_l%20-%20y1_l)%20**%202)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20figure%0A%20%20%20%20fig_l%20%3D%20go.Figure()%0A%0A%20%20%20%20%23%20Plot%20full%20ellipse%0A%20%20%20%20fig_l.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dnp.concatenate(%5Bx_left_l%2C%20x_right_l%5B%3A%3A-1%5D%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dnp.concatenate(%5By_vals_l%2C%20y_vals_l%5B%3A%3A-1%5D%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fill%3D%22toself%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fillcolor%3D%22rgba(173%2C%20216%2C%20230%2C%200.3)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22blue%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Ellipse%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Plot%20point%20on%20left%20half%0A%20%20%20%20fig_l.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5Bx2_l%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5By2_l%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22markers%2Btext%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(size%3D8%2C%20color%3D%22red%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5Bf%22(%7Bx2_l%3A.2f%7D%2C%20%7By2_l%3A.2f%7D)%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20textposition%3D%22top%20left%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Point%20on%20ellipse%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20fig_l.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5Bx1_l%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5By1_l%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22markers%2Btext%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(size%3D8%2C%20color%3D%22red%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5Bf%22(%7Bx1_l%3A.0f%7D%2C%20%7By1_l%3A.0f%7D)%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20textposition%3D%22top%20left%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Point%20on%20ellipse%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Segment%20from%20(1%2C%200)%20to%20that%20point%0A%20%20%20%20fig_l.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5Bx1_l%2C%20x2_l%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5By1_l%2C%20y2_l%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%2Btext%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22green%22%2C%20dash%3D%22dash%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5BNone%2C%20f%22Length%20%E2%89%88%20%7Bsegment_len_l%3A.2f%7D%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20textposition%3D%22bottom%20right%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Layout%0A%20%20%20%20fig_l.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Segment%20from%20(2%2C%200)%20to%20a%20Point%20on%20Left%20Half%20of%20Ellipse%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22x%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22y%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20template%3D%22plotly_white%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis%3Ddict(scaleanchor%3D%22y%22%2C%20range%3D%5B-2.5%2C%202%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis%3Ddict(scaleanchor%3D%22x%22%2C%20range%3D%5B-2.5%2C%202.5%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Solution%20Sketch%3A%0A%0A%20%20%20%20Since%20we%20are%20looking%20for%20point%20farthest%20away%20from%20%24(2%2C%200)%24%2C%20a%20point%20on%20the%20right%20half%20of%20the%20%24xy%24-plane%2C%20we%20can%20safely%20ignore%20points%20on%20the%20right%20half%20of%20the%20ellipse%20since%20they%20are%20always%20going%20to%20be%20closer%20to%20%24(2%2C%200)%24%20compare%20to%20their%20mirrored%20point%20on%20the%20left%20half.%0A%0A%20%20%20%20Suppose%20the%20point%20has%20%24y%24-coordinate%20being%20%24y%24%2C%20since%20it%20is%20on%20the%20ellipse%2C%20its%20coordinate%20satisfies%20%244x%5E2%20%2B%20y%5E2%20%3D%204%24%2C%20which%20means%20%244x%5E2%20%3D%204%20-%20y%5E2%24%20thus%20%24x%20%3D%20-%20%5Csqrt%7B1%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7Dy%5E2%7D%24%20(**why%20there's%20a%20minus%20on%20the%20front%3F**).%0A%0A%20%20%20%20Distance%20between%20two%20points%20%24(x_1%2C%20y_1)%24%20and%20%24(x_2%2C%20y_2)%24%20is%20%24d%20%3D%20%5Csqrt%7B(x_1%20-%20x_2)%5E2%20%2B%20(y_1%20-%20y_2)%5E2%7D%24.%20To%20make%20our%20calculation%20simpler%2C%20we%20can%20consider%20%24d%5E2%24%20which%20takes%20out%20the%20square-root%20(**why%20can%20we%20do%20this%3F**).%0A%0A%20%20%20%20In%20particular%2C%20%24d%5E2%20%3D%20%5Cleft(-%20%5Csqrt%7B1%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7Dy%5E2%7D%20-%202%5Cright)%5E2%20%2B%20(y%20-%200)%5E2%24.%20Simplify%20this%20expression%2C%20proceed%20to%20take%20derivative%20to%20find%20critical%20point(s)%20and%20find%20(absolute)%20maximum(s).%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%206%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22Find%20the%20area%20of%20the%20largest%20trapezoid%20that%20can%20be%20inscribed%20in%20a%20circle%20of%20radius%20%241%24%20and%20whose%20base%20is%20a%20diameter%20of%20the%20circle.%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20x_slider_2%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20steps%3Dnp.linspace(0%2C%201%2C%2010001)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22x%20Coordinate%20of%20the%20top-right%20vertice%20of%20the%20trapezoid%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D0.5%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20x_slider_2%0A%20%20%20%20return%20(x_slider_2%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22**Try%20it%20youself%20using%20the%20above%20slidebar!**%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(go%2C%20np%2C%20x_slider_2)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Unit%20circle%20upper%20half%0A%20%20%20%20x_vals_u%20%3D%20np.linspace(-1%2C%201%2C%20400)%0A%20%20%20%20y_vals_u%20%3D%20np.sqrt(1%20-%20x_vals_u**2)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Slider%20input%0A%20%20%20%20x0_trap%20%3D%20x_slider_2.value%20%20%23%20%3C--%20your%20slider%20value%20in%20%5B0%2C%201%5D%0A%20%20%20%20y0_trap%20%3D%20np.sqrt(1%20-%20x0_trap**2)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Trapezoid%20vertices%20(clockwise)%0A%20%20%20%20x_trap%20%3D%20%5B-1%2C%201%2C%20x0_trap%2C%20-x0_trap%2C%20-1%5D%0A%20%20%20%20y_trap%20%3D%20%5B0%2C%200%2C%20y0_trap%2C%20y0_trap%2C%200%5D%0A%0A%20%20%20%20%23%20Area%20of%20trapezoid%0A%20%20%20%20trap_area%20%3D%20(1%20%2B%20x0_trap)%20*%20y0_trap%0A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20figure%0A%20%20%20%20fig_trapezoid%20%3D%20go.Figure()%0A%0A%20%20%20%20%23%20Plot%20upper%20unit%20circle%0A%20%20%20%20fig_trapezoid.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_vals_u%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dy_vals_u%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Upper%20Unit%20Circle%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22blue%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Plot%20trapezoid%20fill%0A%20%20%20%20fig_trapezoid.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_trap%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dy_trap%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fill%3D%22toself%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fillcolor%3D%22rgba(255%2C%200%2C%200%2C%200.3)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(width%3D0)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Trapezoid%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Label%20area%0A%20%20%20%20fig_trapezoid.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B0%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5By0_trap%20%2F%202%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22text%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5Bf%22Area%20%E2%89%88%20%7Btrap_area%3A.3f%7D%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20textfont%3Ddict(size%3D16%2C%20color%3D%22darkred%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Vertical%20dotted%20line%20from%20(x0_trap%2C%20y0_trap)%20to%20(x0_trap%2C%200)%0A%20%20%20%20fig_trapezoid.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5Bx0_trap%2C%20x0_trap%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B0%2C%20y0_trap%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22black%22%2C%20dash%3D%22dot%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Horizontal%20dotted%20line%20from%20(0%2C%20y0_trap)%20to%20(x0_trap%2C%20y0_trap)%0A%20%20%20%20fig_trapezoid.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B0%2C%20x0_trap%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5By0_trap%2C%20y0_trap%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22black%22%2C%20dash%3D%22dot%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Label%20height%20as%20y%0A%20%20%20%20fig_trapezoid.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5Bx0_trap%20%2B%200.05%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5By0_trap%20%2F%202%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22text%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5B%22y%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20textfont%3Ddict(size%3D14%2C%20color%3D%22black%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Label%20width%20as%20x%0A%20%20%20%20fig_trapezoid.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5Bx0_trap%20%2F%202%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5By0_trap%20%2B%200.05%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22text%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5B%22x%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20textfont%3Ddict(size%3D14%2C%20color%3D%22black%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Layout%0A%20%20%20%20fig_trapezoid.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Trapezoid%20Inscribed%20in%20the%20Unit%20Circle%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22x%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22y%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis%3Ddict(scaleanchor%3D%22y%22%2C%20range%3D%5B-1.2%2C%201.2%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis%3Ddict(scaleanchor%3D%22x%22%2C%20range%3D%5B-0.1%2C%201.1%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20template%3D%22plotly_white%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Solution%20Sketch%3A%0A%0A%20%20%20%20A%20trapezoid%20has%20area%20(top-base%20%2B%20bottom-base)%20x%20height%20%2F%202.%20In%20particular%2C%20if%20the%20top-right%20corner%20of%20the%20trapezoid%20has%20coordinate%20%24(x%2C%20y)%24%2C%20then%20we%20have%20%24A%20%3D%20(2x%20%2B%202)%20%5Ctimes%20y%20%2F%202%20%3D%20(x%20%2B%201)%20%5Ctimes%20y%24.%20Since%20%24(x%2C%20y)%24%20is%20also%20on%20the%20unit%20circle%2C%20we%20can%20express%20%24y%20%3D%20%5Csqrt%7B1-x%5E2%7D%24%20thus%20%24A%20%3D%20(x%2B1)%5Ccdot%20%5Csqrt%7B1%20-%20x%5E2%7D%24.%20Proceed%20to%20take%20derivative%20to%20find%20critical%20point(s)%20and%20find%20(absolute)%20maximum(s).%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%206.1%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20theta_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20steps%3Dnp.linspace(0%2C%20np.pi%20%2F%202%2C%2010001)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Angle%20between%20the%20top-right%20vertice%20of%20the%20trapezoid%20and%20the%20x-axis%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3Dnp.pi%20%2F%204%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20theta_slider%0A%20%20%20%20return%20(theta_slider%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22**Try%20it%20youself%20using%20the%20above%20slidebar!**%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(go%2C%20np%2C%20theta_slider)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Upper%20half%20of%20unit%20circle%0A%20%20%20%20x_unit%20%3D%20np.linspace(-1%2C%201%2C%20400)%0A%20%20%20%20y_unit%20%3D%20np.sqrt(1%20-%20x_unit**2)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Angle%20from%20slider%20(in%20radians)%0A%20%20%20%20theta_angle%20%3D%20theta_slider.value%0A%20%20%20%20x_corner%20%3D%20np.cos(theta_angle)%0A%20%20%20%20y_corner%20%3D%20np.sin(theta_angle)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Trapezoid%20vertices%20(base%20%5B-1%2C1%5D%2C%20top%20%5B-cos%CE%B8%2C%20cos%CE%B8%5D)%0A%20%20%20%20x_trap_ang%20%3D%20%5B-1%2C%201%2C%20x_corner%2C%20-x_corner%2C%20-1%5D%0A%20%20%20%20y_trap_ang%20%3D%20%5B0%2C%200%2C%20y_corner%2C%20y_corner%2C%200%5D%0A%0A%20%20%20%20%23%20Area%20of%20trapezoid%0A%20%20%20%20area_trap_ang%20%3D%20(1%20%2B%20x_corner)%20*%20y_corner%0A%0A%20%20%20%20%23%20Arc%20for%20%CE%B8%20label%20(a%20small%20circular%20arc%20from%20(1%2C%200)%20to%20the%20angle)%0A%20%20%20%20theta_arc%20%3D%20np.linspace(0%2C%20theta_angle%2C%20100)%0A%20%20%20%20arc_radius%20%3D%200.3%0A%20%20%20%20x_arc%20%3D%20arc_radius%20*%20np.cos(theta_arc)%0A%20%20%20%20y_arc%20%3D%20arc_radius%20*%20np.sin(theta_arc)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20figure%0A%20%20%20%20fig_ang%20%3D%20go.Figure()%0A%0A%20%20%20%20%23%20Unit%20circle%20upper%20half%0A%20%20%20%20fig_ang.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_unit%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dy_unit%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Upper%20Unit%20Circle%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22blue%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Trapezoid%20region%0A%20%20%20%20fig_ang.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_trap_ang%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dy_trap_ang%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fill%3D%22toself%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fillcolor%3D%22rgba(255%2C%20100%2C%200%2C%200.3)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(width%3D0)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Trapezoid%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Segment%20from%20(0%2C%200)%20to%20top-right%20corner%0A%20%20%20%20fig_ang.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B0%2C%20x_corner%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B0%2C%20y_corner%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22black%22%2C%20dash%3D%22dash%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Angle%20arm%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Arc%20to%20show%20angle%20%CE%B8%0A%20%20%20%20fig_ang.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_arc%2C%20y%3Dy_arc%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20line%3Ddict(color%3D%22gray%22)%2C%20showlegend%3DFalse%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20%CE%B8%20label%20near%20middle%20of%20arc%0A%20%20%20%20arc_label_x%20%3D%20arc_radius%20*%20np.cos(theta_angle%20%2F%202)%0A%20%20%20%20arc_label_y%20%3D%20arc_radius%20*%20np.sin(theta_angle%20%2F%202)%0A%20%20%20%20fig_ang.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5Barc_label_x%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5Barc_label_y%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22text%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5B%22%CE%B8%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20textposition%3D%22bottom%20left%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20textfont%3Ddict(size%3D16%2C%20color%3D%22gray%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Area%20label%0A%20%20%20%20fig_ang.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B0%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5By_corner%20%2F%202%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22text%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5Bf%22Area%20%E2%89%88%20%7Barea_trap_ang%3A.3f%7D%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20textfont%3Ddict(size%3D16%2C%20color%3D%22darkred%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Vertical%20dotted%20line%20from%20(x_corner%2C%20y_corner)%20to%20(x_corner%2C%200)%0A%20%20%20%20fig_ang.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5Bx_corner%2C%20x_corner%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B0%2C%20y_corner%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22black%22%2C%20dash%3D%22dot%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Horizontal%20dotted%20line%20from%20(0%2C%20y_corner)%20to%20(x_corner%2C%20y_corner)%0A%20%20%20%20fig_ang.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B0%2C%20x_corner%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5By_corner%2C%20y_corner%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22black%22%2C%20dash%3D%22dot%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Label%20sin(theta)%0A%20%20%20%20fig_ang.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5Bx_corner%20%2B%200.05%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5By_corner%20%2F%202%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22text%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5B%22sin(%CE%B8)%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20textfont%3Ddict(size%3D14%2C%20color%3D%22black%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Label%20cos(theta)%0A%20%20%20%20fig_ang.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5Bx_corner%20%2F%202%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5By_corner%20%2B%200.05%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22text%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5B%22cos(%CE%B8)%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20textfont%3Ddict(size%3D14%2C%20color%3D%22black%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Layout%0A%20%20%20%20fig_ang.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Trapezoid%20under%20Unit%20Circle%20with%20Angle%20%CE%B8%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22x%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22y%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis%3Ddict(scaleanchor%3D%22y%22%2C%20range%3D%5B-1.2%2C%201.2%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis%3Ddict(scaleanchor%3D%22x%22%2C%20range%3D%5B-0.1%2C%201.1%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20template%3D%22plotly_white%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22Another%20way%20of%20doing%20this%20is%20to%20utilize%20trignometry%20functions.%20A%20point%20on%20unit%20circle%20always%20can%20be%20expressed%20as%20%24(%5Ccos(%5Ctheta)%2C%20%5Csin(%5Ctheta))%24%2C%20thus%20the%20area%20can%20be%20expressed%20as%20%24A%20%3D%20(%5Ccos(%5Ctheta)%20%2B%201)%5Ccdot%20%5Csin(%5Ctheta)%24.%20Proceed%20to%20take%20derivative%20to%20find%20critical%20point(s)%20and%20find%20(absolute)%20maximum(s).%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A