Calculus I 18 2

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.13.7%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20plotly.graph_objects%20as%20go%0A%0A%20%20%20%20return%20go%2C%20mo%2C%20np%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20nav_menu%20%3D%20mo.nav_menu(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Findex.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Ahome')%7D%20Home%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Optimization%20Problems%20Example%20Sets%22%3A%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Fapps%2FCalculus_I_18_1.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Afile-text')%7D%20Set%201%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Fapps%2FCalculus_I_18_3.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Afile-text')%7D%20Set%203%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Fapps%2FCalculus_I_18_4.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Afile-text')%7D%20Set%204%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Fapps%2FCalculus_I_18_5.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Afile-text')%7D%20Set%205%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20orientation%3D%22vertical%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20nav_menu%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%203.5%20Optimization%20Problems%20Example%20Set%202%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%203%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22Find%20the%20area%20of%20the%20largest%20rectangle%20that%20can%20be%20inscribed%20inside%20the%20ellipse%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%20%2B%20%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%20%3D%201%24%20for%20arbitrary%20positive%20constant%20%24a%2C%20b%24.%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20x_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20steps%3Dnp.linspace(0%2C%205%2C%2010001)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22x%20Coordinate%20of%20the%20top-right%20vertice%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D2.5%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20x_slider%0A%20%20%20%20return%20(x_slider%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22**Try%20it%20youself%20using%20the%20above%20slidebar!**%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(go%2C%20np%2C%20x_slider)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Ellipse%20parametric%20points%0A%20%20%20%20theta_e%20%3D%20np.linspace(0%2C%202%20*%20np.pi%2C%20400)%0A%20%20%20%20x_ellipse%20%3D%205%20*%20np.cos(theta_e)%0A%20%20%20%20y_ellipse%20%3D%203%20*%20np.sin(theta_e)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Top-right%20corner%20from%20slider%0A%20%20%20%20x_rect%20%3D%20x_slider.value%0A%20%20%20%20y_rect%20%3D%20np.sqrt(9%20*%20(1%20-%20x_rect**2%20%2F%2025))%20%20%23%20From%20ellipse%20equation%0A%0A%20%20%20%20%23%20Rectangle%20vertices%20(counterclockwise)%0A%20%20%20%20rect_x%20%3D%20%5B-x_rect%2C%20x_rect%2C%20x_rect%2C%20-x_rect%2C%20-x_rect%5D%0A%20%20%20%20rect_y%20%3D%20%5B-y_rect%2C%20-y_rect%2C%20y_rect%2C%20y_rect%2C%20-y_rect%5D%0A%0A%20%20%20%20%23%20Area%20of%20rectangle%0A%20%20%20%20area%20%3D%204%20*%20x_rect%20*%20y_rect%0A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20figure%0A%20%20%20%20fig_ellipse%20%3D%20go.Figure()%0A%0A%20%20%20%20%23%20Ellipse%20outline%0A%20%20%20%20fig_ellipse.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_ellipse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dy_ellipse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Ellipse%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22blue%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Shaded%20rectangle%0A%20%20%20%20fig_ellipse.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Drect_x%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Drect_y%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fill%3D%22toself%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Inscribed%20Rectangle%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fillcolor%3D%22rgba(255%2C165%2C0%2C0.4)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22orange%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Label%20the%20area%20near%20the%20center%0A%20%20%20%20fig_ellipse.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B0%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B0%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22text%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5Bf%22Area%20%3D%20%7Barea%3A.2f%7D%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20textposition%3D%22middle%20center%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Top-right%20corner%20marker%0A%20%20%20%20fig_ellipse.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5Bx_rect%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5By_rect%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22markers%2Btext%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5Bf%22(%7Bx_rect%3A.2f%7D%2C%20%7By_rect%3A.2f%7D)%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20textposition%3D%22top%20right%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(size%3D8%2C%20color%3D%22red%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Top-right%20corner%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Layout%0A%20%20%20%20fig_ellipse.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Example%20When%20a%20%3D%205%20and%20b%20%3D%203%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22x%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22y%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis%3Ddict(scaleanchor%3D%22y%22%2C%20range%3D%5B-6%2C%206%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis%3Ddict(scaleanchor%3D%22x%22%2C%20range%3D%5B-4%2C%204%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20template%3D%22plotly_white%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Solution%3A%0A%0A%20%20%20%20Notice%20that%2C%20the%20vertices%20of%20the%20rectangle%20is%20on%20four%20different%20quadrant%2C%20and%20once%20the%20vertices%20inside%20one%20quadrant%20is%20chosen%2C%20the%20other%20three%20are%20fixed.%20Thus%20we%20can%20assume%20we%20are%20choosing%20from%20the%20first%20quadrant%20-%20that%20is%2C%20both%20%24x%2C%20y%24%20are%20positive.%0A%0A%20%20%20%20Suppose%20then%20we%20choose%20a%20positive%20%24x%24%2C%20then%20%24y%24%20is%20fixed%20by%20the%20formula%20%24%5Cdisplaystyle%20y%20%3D%20%5Csqrt%7B1-%20%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%7D%5Ccdot%20b%24.%20The%20area%20of%20the%20rectangle%20is%20then%20%24%5Cdisplaystyle%20A%20%3D%204xy%20%3D%204%20x%20%5Csqrt%7B1-%20%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%7D%5Ccdot%20b%24.%20We%20want%20to%20maximize%20this%20%24A%24.%0A%0A%20%20%20%20Take%20the%20derivative%20we%20get%20%24%5Cdisplaystyle%20A'%20%3D%20%5Cfrac%7B4b(a%5E2%20-%202x%5E2)%7D%7Ba%5E2%5Csqrt%7B1-%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%7D%7D%24%2C%20thus%20it%20equals%20%240%24%20when%20%242x%5E2%20%3D%20a%5E2%24%2C%20or%20%24%5Cdisplaystyle%20x%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%5Ccdot%20a%24%20(we%20assumed%20%24x%24%20and%20%24a%24%20are%20positive).%20It%20is%20not%20hard%20to%20check%20with%20the%20First%20Derivative%20Test%20and%20Closed%20Interval%20Method%20(notice%20%240%5Cle%20x%20%5Cle%20a%24)%20that%20this%20is%20the%20(absolute)%20maximum.%0A%0A%20%20%20%20If%20%24%5Cdisplaystyle%20x%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%5Ccdot%20a%24%2C%20then%20%24%5Cdisplaystyle%20y%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%5Ccdot%20b%24%2C%20and%20thus%20the%20area%20of%20the%20rectangle%20is%20%244xy%20%3D%202ab%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%203.1%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Let%20us%20do%20example%203%20again%20but%20this%20time%20without%20using%20calculus.%0A%0A%20%20%20%20Let%20%24m%2C%20n%24%20be%20any%20two%20values%2C%20we%20must%20have%20%24(m-n)%5E2%20%5Cge%200%24%20because%20LHS%20is%20a%20square.%20Expand%20it%2C%20we%20get%20%24m%5E2%20%2B%20n%5E2%20-%202mn%20%5Cge%200%24%2C%20or%20%24m%5E2%20%2B%20n%5E2%20%5Cge%202mn%24.%20That%20is%2C%20for%20any%20two%20quantities%20%24m%2C%20n%24%2C%20we%20must%20have%20%24m%5E2%20%2B%20n%5E2%20%5Cge%202mn%24%2C%20and%20%24m%5E2%20%2B%20n%5E2%20%3D%202mn%24%20if%20and%20only%20if%20%24m%20%3D%20n%24%20(that%20is%20when%20%24(m-n)%5E2%20%3D%200%24).%0A%0A%20%20%20%20Now%20take%20%24%5Cdisplaystyle%20m%20%3D%20%5Cfrac%7Bx%7D%7Ba%7D%24%20and%20%24%5Cdisplaystyle%20n%20%3D%20%5Cfrac%7By%7D%7Bb%7D%24%2C%20we%20must%20have%20%24%5Cdisplaystyle%201%20%3D%20%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%20%2B%20%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%20%5Cge%202%5Cfrac%7Bxy%7D%7Bab%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20Now%20remember%20to%20maximize%20the%20area%2C%20it%20is%20the%20same%20to%20maximize%20%244xy%24.%20We%20know%20from%20above%20that%20%24%5Cdisplaystyle%202%20%5Cfrac%7Bxy%7D%7Bab%7D%24%20is%20bounded%20above%20by%20%241%24%20(and%20it%20is%20achievable%2C%20when%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7Bx%7D%7Ba%7D%20%3D%20%5Cfrac%7By%7D%7Bb%7D%24)%2C%20thus%20%244xy%24%20is%20bounded%20above%20by%20%242ab%24%20and%20it%20is%20achieved%20when%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7Bx%7D%7Ba%7D%20%3D%20%5Cfrac%7By%7D%7Bb%7D%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%204%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22What%20is%20the%20minimum%20vertical%20distance%20between%20the%20parabolas%20%24y%20%3D%20x%5E2%20%2B%201%24%20and%20%24y%20%3D%20x%20-%20x%5E2%24%3F%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20x_slider_1%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20steps%3Dnp.linspace(-1%2C%201%2C%2010001)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22x%20Coordinate%20of%20the%20point%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D0%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20x_slider_1%0A%20%20%20%20return%20(x_slider_1%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22**Try%20it%20youself%20using%20the%20above%20slidebar!**%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(go%2C%20np%2C%20x_slider_1)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Define%20functions%0A%20%20%20%20f_dist%20%3D%20lambda%20x%3A%20x**2%20%2B%201%0A%20%20%20%20g_dist%20%3D%20lambda%20x%3A%20x%20-%20x**2%0A%0A%20%20%20%20%23%20Domain%0A%20%20%20%20x_vals_d%20%3D%20np.linspace(-1.5%2C%201.5%2C%20400)%0A%20%20%20%20y_f_vals%20%3D%20f_dist(x_vals_d)%0A%20%20%20%20y_g_vals%20%3D%20g_dist(x_vals_d)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Given%20x%20value%20from%20slider%0A%20%20%20%20x_point%20%3D%20x_slider_1.value%20%20%23%20%3C--%20use%20your%20actual%20slider%0A%20%20%20%20y_top%20%3D%20f_dist(x_point)%0A%20%20%20%20y_bot%20%3D%20g_dist(x_point)%0A%20%20%20%20delta_y%20%3D%20y_top%20-%20y_bot%0A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20figure%0A%20%20%20%20fig_dist%20%3D%20go.Figure()%0A%0A%20%20%20%20%23%20Plot%20both%20curves%0A%20%20%20%20fig_dist.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_vals_d%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dy_f_vals%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22f(x)%20%3D%20x%C2%B2%20%2B%201%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22blue%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20fig_dist.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_vals_d%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dy_g_vals%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22g(x)%20%3D%20x%20-%20x%C2%B2%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22green%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Vertical%20segment%20from%20g(x)%20to%20f(x)%0A%20%20%20%20fig_dist.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5Bx_point%2C%20x_point%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5By_bot%2C%20y_top%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%2Btext%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22red%22%2C%20width%3D3%2C%20dash%3D%22dash%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5Bf%22%7Bdelta_y%3A.2f%7D%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20textposition%3D%22bottom%20right%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20textfont%3Ddict(size%3D14%2C%20color%3D%22red%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Vertical%20Distance%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Layout%0A%20%20%20%20fig_dist.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Vertical%20Distance%20Between%20f(x)%20and%20g(x)%20at%20x%20%3D%20%7B%3A.2f%7D%22.format(x_point)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22x%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22y%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20template%3D%22plotly_white%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis%3Ddict(range%3D%5B-2%2C%202%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis%3Ddict(range%3D%5B-4%2C%204%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Solution%20Sketch%3A%0A%0A%20%20%20%20Vertical%20distance%20is%20simply%20calculated%20by%20subtracting%20the%20smaller%20%24y%24-coordinate%20from%20the%20other%20one.%20After%20figuring%20out%20that%20%24y%20%3D%20x%5E2%20%2B%201%24%20is%20always%20on%20top%2C%20the%20distance%20is%20then%20%24d%20%3D%20(x%5E2%20%2B%201)%20-%20(x%20-%20x%5E2)%24%20which%20is%20%24d%20%3D%202x%5E2%20-%20x%20%2B%201%24.%20Proceed%20to%20find%20critical%20point(s)%20and%20find%20(absolute)%20minimum(s).%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A