Calculus I 18 1

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.13.7%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20plotly.graph_objects%20as%20go%0A%0A%20%20%20%20return%20go%2C%20mo%2C%20np%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20nav_menu%20%3D%20mo.nav_menu(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Findex.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Ahome')%7D%20Home%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Optimization%20Problems%20Example%20Sets%22%3A%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Fapps%2FCalculus_I_18_2.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Afile-text')%7D%20Set%202%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Fapps%2FCalculus_I_18_3.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Afile-text')%7D%20Set%203%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Fapps%2FCalculus_I_18_4.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Afile-text')%7D%20Set%204%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Fapps%2FCalculus_I_18_5.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Afile-text')%7D%20Set%205%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20orientation%3D%22vertical%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20nav_menu%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%203.5%20Optimization%20Problems%20Example%20Set%201%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%201%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22A%20company%20needs%20to%20produce%20a%20container%20of%20cylindrical%20shape%20to%20hold%20%241%20%5Ctext%7B%20L%7D%24%20(or%20%241000%20%5Ctext%7B%20cm%7D%5E3%24)%20of%20liquid.%20Find%20the%20dimension%20of%20the%20container%20that%20minimize%20the%20material%20usage.%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20r_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20steps%3Dnp.linspace(4%2C%208%2C%2010001)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Radius%20of%20the%20Cylinder%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D6%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20r_slider%0A%20%20%20%20return%20(r_slider%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22**Try%20it%20youself%20using%20the%20above%20slidebar!**%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(go%2C%20np%2C%20r_slider)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Compute%20height%20using%20volume%20constraint%0A%20%20%20%20h_input%20%3D%201000%20%2F%20(np.pi%20*%20r_slider.value**2)%0A%0A%20%20%20%20cylinder_area%20%3D%202%20*%20np.pi%20*%20r_slider.value**2%20%2B%202%20*%20np.pi%20*%20r_slider.value%20*%20h_input%0A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20cylinder%20surface%0A%20%20%20%20theta%20%3D%20np.linspace(0%2C%202%20*%20np.pi%2C%20100)%0A%20%20%20%20z%20%3D%20np.linspace(0%2C%20h_input%2C%2050)%0A%20%20%20%20theta_grid%2C%20z_grid%20%3D%20np.meshgrid(theta%2C%20z)%0A%20%20%20%20x_cyl%20%3D%20r_slider.value%20*%20np.cos(theta_grid)%0A%20%20%20%20y_cyl%20%3D%20r_slider.value%20*%20np.sin(theta_grid)%0A%20%20%20%20z_cyl%20%3D%20z_grid%0A%0A%20%20%20%20%23%20Create%203D%20surface%20plot%0A%20%20%20%20fig_cyl%20%3D%20go.Figure(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20data%3D%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Surface(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_cyl%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dy_cyl%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20z%3Dz_cyl%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20colorscale%3D%22Blues%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showscale%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20opacity%3D0.8%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Adjust%20camera%20to%20improve%20visibility%0A%20%20%20%20camera_config%20%3D%20dict(eye%3Ddict(x%3D0.0%2C%20y%3D2.5%2C%20z%3D0.1))%0A%0A%20%20%20%20%23%20Layout%0A%20%20%20%20fig_cyl.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Df%22Cylinder%20with%20radius%20r%20%E2%89%88%20%7Br_slider.value%3A.2f%7D%20cm%3Cbr%3E%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22height%20h%20%E2%89%88%20%7Bh_input%3A.2f%7D%20cm%3Cbr%3E%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22surface%20area%20A%20%E2%89%88%20%7Bcylinder_area%3A.2f%7D%20cm%C2%B2%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20scene%3Ddict(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22x%20(cm)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22y%20(cm)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20zaxis_title%3D%22height%20(cm)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20aspectmode%3D%22data%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20camera%3Dcamera_config%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20template%3D%22plotly_white%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Solution%3A%0A%0A%20%20%20%20Suppose%20we%20have%20a%20cylindrical%20container%20with%20height%20%24h%24%20and%20radius%20%24r%24%2C%20then%20the%20volume%20of%20the%20container%20is%20%24%5Cpi%20r%5E2%20h%24%2C%20we%20want%20it%20to%20be%20%241000%24.%20On%20the%20other%20hand%2C%20to%20produce%20such%20a%20cylindrical%20container%20we%20need%20two%20disks%2C%20and%20a%20rectangle%20shape%20of%20material.%0A%0A%20%20%20%20The%20disks%20have%20radius%20%24r%24%2C%20so%20we%20need%20%242%20%5Cpi%20r%5E2%24%20(unit%20in%20squared%20centimeter)%20of%20material%20to%20produce%20them%3B%20the%20rectangle%20has%20length%20%242%5Cpi%20r%24%20(the%20perimeter%20of%20the%20disk)%20and%20width%20%24h%24%2C%20so%20we%20need%20%242%5Cpi%20r%20h%24%20(unit%20in%20squared%20centimeter)%20of%20material%20to%20produce%20it.%0A%0A%20%20%20%20Thus%20the%20material%20usage%20is%20%24A%20%3D%202%5Cpi%20r%5E2%20%2B%202%5Cpi%20r%20h%24.%20There%20are%20three%20quantities%2C%20and%20we%20want%20to%20minimize%20%24A%24%20that%20depends%20on%20two%20quantities.%20We%20need%20to%20reduce%20the%20number%20of%20quantities%20using%20the%20relation%20between%20them.%0A%0A%20%20%20%20Since%20we%20have%20%24%5Cpi%20r%5E2%20h%20%3D%201000%24%2C%20we%20can%20rewrite%20%24h%20%3D%201000%2F(%5Cpi%20r%5E2)%24.%20Substitute%20it%20to%20%24A%24%2C%20we%20get%20%24%24A%20%3D%202%20%5Cpi%20r%5E2%20%2B%202%5Cpi%20r%20%5Cfrac%7B1000%7D%7B%5Cpi%20r%5E2%7D%20%3D%202%5Cpi%20r%5E2%20%2B%20%5Cfrac%7B2000%7D%7Br%7D.%24%24%20Now%20we%20take%20the%20derivative%20of%20%24A%24%20with%20respect%20to%20%24r%24%20to%20find%20the%20critical%20number.%20We%20have%20%24%5Cdisplaystyle%20A'%20%3D%204%5Cpi%20r%20-%20%5Cfrac%7B2000%7D%7Br%5E2%7D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Cfrac%7B4(%5Cpi%20r%5E3%20-500)%7D%7Br%5E2%7D%24%2C%20thus%20%24A'%20%3D%200%24%20when%20%24r%20%3D%20%5Csqrt%5B3%5D%7B500%2F%5Cpi%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20Observe%20that%20if%20%24r%20%3C%20%5Csqrt%5B3%5D%7B500%2F%5Cpi%7D%24%2C%20then%20%24A'(r)%3C0%24%20and%20if%20%24r%20%3E%20%5Csqrt%5B3%5D%7B500%2F%5Cpi%7D%24%2C%20then%20%24A'(r)%20%3E%200%24.%20Thus%20by%20the%20First%20Derivative%20Test%2C%20%24A%24%20at%20%24%5Csqrt%5B3%5D%7B500%2F%5Cpi%7D%24%20is%20a%20local%20minimum.%20In%20fact%2C%20it%20is%20the%20absolute%20minimum.%0A%0A%20%20%20%20We%20can%20then%20calculate%20%24h%24%20corresponds%20to%20this%20%24r%24%2C%20that%20is%20%24%5Cdisplaystyle%20h%20%3D%20%5Cfrac%7B1000%7D%7B%5Cpi%20r%5E2%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1000%7D%7B%5Cpi(500%2F%5Cpi)%5E%7B2%2F3%7D%7D%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%202%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22There%20are%20%2450%24%20apple%20trees%20in%20an%20orchard%20and%20each%20of%20them%20are%20producing%20%24800%24%20apples.%20For%20each%20additional%20tree%20planted%20in%20the%20orchard%2C%20the%20output%20of%20each%20tree%20drops%20by%20%2410%24%20apples.%20How%20many%20trees%20should%20be%20added%20to%20the%20existing%20orchard%20to%20maximize%20the%20total%20output%3F%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20n_trees%20%3D%20mo.ui.slider(0%2C%2080%2C%20value%3D40%2C%20label%3D%22Number%20of%20Trees%20to%20Plant%22)%0A%20%20%20%20n_trees%0A%20%20%20%20return%20(n_trees%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22**Try%20it%20youself%20using%20the%20above%20slidebar!**%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20n_trees)%3A%0A%20%20%20%20total_output%20%3D%20(50%20%2B%20n_trees.value)%20*%20(800%20-%2010%20*%20n_trees.value)%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22If%20we%20plant%20%7Bn_trees.value%7D%20new%20trees%2C%20total%20output%20is%20going%20to%20be%20(50%20%2B%20%7Bn_trees.value%7D)%20x%20(800%20-%2010%20x%20%7Bn_trees.value%7D)%20%3D%20%7Btotal_output%7D.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Solution%3A%20%0A%0A%20%20%20%20Suppose%20we%20add%20%24x%24%20apple%20trees%2C%20then%20there%20are%20%2450%2Bx%24%20trees%20and%20the%20output%20per%20tree%20becomes%20%24800%20-%2010x%24%2C%20thus%20the%20total%20output%20is%20%24(50%2Bx)(800%20-%2010x)%20%3D%20O%24.%20Take%20derivative%20with%20respect%20to%20%24x%24%2C%20we%20get%20%24O'%20%3D%20300%20-%2020x%24%2C%20it%20is%20%240%24%20when%20%24x%20%3D%2015%24.%20It%20is%20easy%20to%20see%20that%20when%20%24x%3C15%24%2C%20%24O'%3E0%24%2C%20and%20when%20%24x%20%3E%2015%24%2C%20%24O'%3C0%24%2C%20so%20this%20is%20the%20absolute%20maximum.%20Thus%20we%20should%20plant%20%2415%24%20more%20trees.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A