Calculus I 18

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.13.7%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20plotly.graph_objects%20as%20go%0A%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20nav_menu%20%3D%20mo.nav_menu(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Findex.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Ahome')%7D%20Home%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Optimization%20Problems%20Example%20Sets%22%3A%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Fapps%2FCalculus_I_18_1.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Afile-text')%7D%20Set%201%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Fapps%2FCalculus_I_18_2.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Afile-text')%7D%20Set%202%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Fapps%2FCalculus_I_18_3.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Afile-text')%7D%20Set%203%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Fapps%2FCalculus_I_18_4.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Afile-text')%7D%20Set%204%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Fapps%2FCalculus_I_18_5.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Afile-text')%7D%20Set%205%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20orientation%3D%22vertical%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20nav_menu%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%203.5%20Optimization%20Problems%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Introduction%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20In%20mathematics%2C%20an%20optimization%20problem%20is%20a%20problem%20to%20find%20the%20best%20solution(s)%20from%20all%20**feasible**%20solutions.%0A%0A%20%20%20%20Optimization%20plays%20crucial%20roles%20in%20many%20fields%2C%20including%20the%20hottest%20topics%20today%2C%20machine%20learning%20and%20AI.%20There%20are%20a%20lot%20of%20typical%20optimization%20problems.%20A%20big%20category%20is%20to%20find%20the%20largest%20or%20smallest%20value.%20For%20example%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20The%20traveling-businessman%20problem%3A%20a%20businessman%20need%20to%20travel%20to%20%245%24%20(or%20any%20number%20greater%20than%20%241%24)%20cities%20and%20go%20back%20home%2C%20the%20order%20of%20visit%20does%20not%20matter%2C%20what%20should%20be%20the%20order%20if%20he%20want%20to%20have%20the%20shortest%20distance%20traveled%3F%0A%20%20%20%202.%20Marginal%20profit%20problem%3A%20how%20many%20product%20should%20a%20company%20produce%20to%20maximize%20profit%3F%0A%20%20%20%203.%20Portfolio%20risk%20management%3A%20how%20should%20a%20hedge-fund%20manager%20allocate%20the%20fund%20to%20maximize%20return-to-risk%20ratio%3F%0A%20%20%20%204.%20Package%20design%20problem%3A%20how%20to%20design%20the%20package%20so%20that%20the%20material%20usage%20is%20the%20lowest%20and%20easy%20to%20be%20transported%3F%0A%0A%20%20%20%20There%20are%20also%20optimization%20problem%20of%20optimization%20problem.%20An%20rather%20'easy'%20way%20to%20solve%20an%20optimization%20problem%20is%20to%20list%20*all*%20feasible%20solutions%20and%20find%20the%20best%20solution%20among%20them%2C%20but%20this%20usually%20takes%20a%20*very*%20long%20time.%20How%20do%20we%20acceleration%20this%20process%3F%20This%20is%20a%20very%20hot%20topic%20right%20now%20because%20computing%20power%20is%20a%20crucial%20part%20of%20AI.%0A%0A%20%20%20%20There%20are%20tons%20of%20methods%20to%20solve%20optimization%20problems.%20Some%20of%20them%20can%20be%20solved%20purely%20algebraically.%20Some%20of%20them%20need%20more%20complicated%20methods%20(if%20you%20are%20interested%20in%20it%2C%20you%20can%20google%20keywords%20like%20'linear%20programming'%2C%20'quadratic%20programming'%2C%20or%20'dynamic%20programming').%0A%0A%20%20%20%20In%20the%20scope%20of%20this%20course%2C%20**we%20mainly%20study%20optimization%20problems%20that%20can%20be%20described%20by%20a%20function%2C%20and%20we%20find%20the%20maximum%20and%20minimum%20value%20using%20the%20method%20we%20had%20in%20section%203.1**.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Strategy%20of%20Solve%20Optimization%20Problem%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Like%20related%20rates%20problem%20in%20section%202.7%2C%20optimization%20problems%20are%20often%20described%20as%20a%20word%20problem.%20As%20a%20result%2C%20we%20need%20to%20interpret%20a%20problem%20before%20doing%20it.%20To%20solve%20an%20optimization%20problem%2C%20we%20can%20follow%20the%20guideline%20from%20the%20book%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20Understand%20the%20Problem%3A%20The%20first%20step%20is%20to%20read%20the%20problem%20carefully%20until%20it%20is%20clearly%20understood.%20Ask%20yourself%3A%20What%20is%20the%20unknown%3F%20What%20are%20the%20given%20quantities%3F%20What%20are%20the%20given%20conditions%3F%0A%20%20%20%202.%20Draw%20a%20Diagram%3A%20In%20most%20problems%20it%20is%20useful%20to%20draw%20a%20diagram%20and%20identify%20the%20given%20and%20required%20quantities%20on%20the%20diagram%3B%0A%20%20%20%203.%20Introduce%20Notation%3A%20Assign%20a%20symbol%20to%20the%20quantity%20that%20is%20to%20be%20maximized%20or%20minimized%20(let's%20call%20it%20%24Q%24%20for%20now).%20Also%20select%20symbols%20%24a%2C%20b%2C%20c%2C%20%5Cdots%2C%20x%2C%20y%24%20for%20other%20unknown%20quantities%20and%20label%20the%20diagram%20with%20these%20symbols.%20It%20may%20help%20to%20use%20initials%20as%20suggestive%20symbols%20%E2%80%94%20for%20example%2C%20%24A%24%20for%20area%2C%20%24h%24%20for%20height%2C%20%24t%24%20for%20time%3B%0A%20%20%20%204.%20Express%20%24Q%24%20in%20terms%20of%20some%20of%20the%20other%20symbols%20from%20Step%203%3B%0A%20%20%20%205.%20If%20%24Q%24%20has%20been%20expressed%20as%20a%20function%20of%20more%20than%20one%20variable%20in%20Step%204%2C%20use%20the%20given%20information%20to%20find%20relationships%20(in%20the%20form%20of%20equations)%20among%20these%20variables.%20Then%20use%20these%20equations%20to%20eliminate%20all%20but%20one%20of%20the%20variables%20in%20the%20expression%20for%20%24Q%24.%20So%20that%20%24Q%24%20is%20expressed%20as%20a%20function%20of%20**one**%20variable%20%24x%24%2C%20say%2C%20%24Q%20%3D%20f(x)%24.%20Determine%20the%20domain%20of%20this%20function%3B%0A%20%20%20%206.%20Use%20the%20methods%20of%20Sections%203.1%20and%203.3%20to%20find%20the%20maximum%20or%20minimum%20value%20of%20%24f%24.%20In%20particular%2C%20if%20the%20domain%20of%20%24f%24%20is%20a%20closed%20interval%2C%20then%20the%20Closed%20Interval%20Method%20in%20Section%203.1%20can%20be%20used.%20If%20domain%20of%20%24f%24%20is%20an%20open%20interval%2C%20you%20can%20use%203.3%20to%20verify%20if%20it%20is%20a%20local%20minimum%20or%20maximum%20(and%20it%20automatically%20comes%20absolute%20extremum).%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A