Calculus I 17

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.13.7%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20plotly.graph_objects%20as%20go%0A%20%20%20%20from%20plotly.subplots%20import%20make_subplots%0A%0A%20%20%20%20return%20go%2C%20make_subplots%2C%20mo%2C%20np%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20nav_menu%20%3D%20mo.nav_menu(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Findex.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Ahome')%7D%20Home%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20orientation%3D%22vertical%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20nav_menu%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%203.4%20Curve%20Sketching%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Motivation%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20In%20this%20section%20we%20will%20apply%20what%20we%20have%20learnt%20before%20(section%203.1%20and%203.3)%20to%20graph%20a%20function.%20Before%20we%20get%20started%2C%20let%20us%20think%20about%20the%20question%3A%20why%20should%20we%20learn%20to%20graph%20a%20function%2C%20when%20there%20are%20graphic%20calculators%20out%20there%3F%0A%0A%20%20%20%20The%20book%20gives%20an%20one-line%20answer%20to%20the%20question%20-%20%22**but%20even%20the%20best%20graphing%20devices%20have%20to%20be%20used%20intelligently**%22.%20That%20is%20pretty%20much%20the%20gist%2C%20but%20let%20us%20be%20a%20bit%20more%20specific.%0A%0A%20%20%20%20First%2C%20let%20us%20talk%20only%20about%20curve%20sketching.%20There%20are%20several%20(potential)%20problems%20with%20graphic%20calculators%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20**Resolution**%3A%20for%20most%20images%2C%20resolution%20is%20a%20limitation.%20An%20image%20in%20800x600%20shows%20much%20less%20details%20than%20an%20image%20in%203840x2160.%20Curve%20width%20is%20also%20a%20limitation.%20A%20line%20should%20not%20have%20width%20but%20we%20have%20to%20plot%20it%20with%20certain%20width%20on%20the%20graph%20to%20actually%20see%20it%3B%0A%20%20%20%202.%20**Domain%20and%20Range**%3A%20when%20you%20ask%20a%20graphic%20calculator%20to%20graph%20a%20function%2C%20many%20of%20them%20can%20automatically%20adjust%20the%20domain%20and%20range%20of%20the%20function%20to%20be%20displayed.%20But%20this%20may%20lead%20to%20some%20problems.%20Take%20the%20example%20in%20the%20book%2C%20if%20you%20graph%20%24f(x)%20%3D%202x%5E6%20%2B%203x%5E5%20%2B%203x%5E3%20-%202x%5E2%24%2C%20some%20calculators%20may%20automatically%20adjust%20the%20range%20to%20%24-1000%24%20to%20%2441000%24%20and%20thus%20'hide'%20the%20detail%3B%0A%20%20%20%203.%20**Algorithm**%3A%20some%20of%20the%20calculators%20are%20designed%20'poorly'%2C%20some%20of%20the%20calculators%20may%20not%20interpret%20your%20input%20correctly%2C%20some%20of%20the%20calculators%20have%20different%20assumptions%20of%20your%20input%20(but%20you%20may%20not%20know%20it%20without%20reading%20the%20instruction).%20For%20example%2C%20if%20you%20ask%20WolframAlpha%20to%20graph%20the%20cubic%20root%20of%20%24x-2%24%2C%20i.e.%20%24(x-2)%5E%7B1%2F3%7D%24%2C%20it%20will%20give%20you%3A%0A%20%20%20%20%09%3Cimg%20src%3D%22public%2FiShot_2025-05-11_10.14.31.png%22%20width%3D%22400%22%20%2F%3E%0A%20%20%20%20%09Which%20you%20may%20think%20is%20wrong.%20For%20example%2C%20there%20should%20be%20a%20point%20corresponds%20to%20%24x%20%3D%201%24%3A%20if%20%24x%20%3D%201%24%2C%20then%20%24x-2%20%3D%20-1%24%2C%20and%20we%20can%20take%20the%20cubic%20root%20of%20%24-1%24%20and%20get%20%24-1%24.%20**WolframAlpha%20does%20have%20its%20reason%20to%20not%20graph%20it**%20-%20it%20involves%20some%20more%20advanced%20stuffs%20involving%20complex%20analysis%20(the%20study%20of%20complex%20numbers%20and%20complex%20valued%20functions)%2C%20called%20the%20'principal%20branch'.%20Technically%20WolframAlpha%20is%20**not%20wrong**%2C%20but%20its%20graph%20is%20indeed%20incomplete%20in%20the%20**real%20number%20setting**.%0A%20%20%20%20%09Desmos%2C%20for%20example%2C%20is%20a%20calculator%20that%20can%20handle%20this%20in%20a%20'correct'%20manner.%20**But%20how%20can%20you%20be%20sure%20that%20it%20won't%20handle%20other%20functions%20wrongly**%3F%0A%20%20%20%20%09%3Cimg%20src%3D%22public%2FiShot_2025-05-11_10.12.56.png%22%20width%3D%22600%22%20%2F%3E%0A%0A%20%20%20%20In%20general%2C%20there%20are%20(potential)%20problems%20that%20you%20may%20face%20*whenever*%20you%20use%20technology%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20**Hardware%20limitation**%3A%20your%20computer%20is%20not%20powerful%20enough%2C%20your%20screen%20is%20not%20large%20enough%2C%20etc.%20Usually%20in%20practice%20this%20is%20not%20a%20big%20problem%2C%20in%20the%20sense%20that%20it%20is%20easy%20to%20tell%20when%20this%20happens%20(then%20just%20ask%20your%20company%2Fdepartment%20to%20get%20a%20better%20machine%20for%20you)%3B%0A%20%20%20%202.%20**Software%20limitation**%3A%20the%20assumptions%20of%20the%20algorithm%20are%20not%20consistent%20with%20your%20setting%3B%20the%20algorithm%20has%20a%20glitch%3B%20the%20algorithm%20is%20badly%20designed%2C%20etc.%20This%20could%20be%20a%20big%20problem%20because%20this%20could%20be%20hidden.%20**You%20need%20to%20indeed%20'understand%20what%20you%20are%20doing'%20to%20realize%20there%20is%20something%20wrong**.%0A%0A%20%20%20%20So%20back%20to%20our%20topic%2C%20we%20need%20to%20learn%20curve%20sketching%20to%20really%20understand%20what%20is%20going%20on.%20It%20may%20help%20us%20to%20interpret%20the%20graphic%20calculator%2C%20and%20more%20important%2C%20to%20realize%20the%20graphic%20calculator%20makes%20a%20mistake%20when%20it%20does.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Guideline%20for%20Sketching%20A%20Curve%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20To%20do%20a%20detailed%20graphing%2C%20we%20use%20the%20following%20guideline.%20Not%20every%20item%20is%20relevant%20to%20every%20function%2C%20but%20it%20is%20good%20to%20check%20all%20of%20them.%0A%0A%20%20%20%201.%20**Domain**%3A%20where%20is%20the%20function%20defined%3F%0A%20%20%20%202.%20**Axis-Intersections**%3A%20where%20does%20the%20graph%20intersects%20with%20the%20%24x%24-axis%20and%20where%20does%20the%20graph%20intersects%20with%20the%20%24y%24-axis%3F%20To%20find%20the%20%24x%24-intercepts%2C%20we%20set%20%24f(x)%20%3D%200%24%20and%20solve%20for%20%24x%24%3B%20to%20find%20%24y%24-intercept%2C%20we%20evaluate%20%24f(0)%24.%20Remember%20that%20by%20definition%20of%20a%20function%2C%20there%20can%20be%20only%20one%20%24y%24-intercept%2C%20but%20there%20can%20be%20more%20than%20one%20%24x%24-intercepts%3B%0A%20%20%20%203.%20**Symmetry%20and%20Period**%3A%20is%20the%20function%20a(n)%3A%0A%20%20%20%20%091.%20Odd%20function%3F%20That%20is%2C%20for%20any%20%24x%24%20in%20the%20domain%2C%20we%20have%20%24f(x)%20%3D%20-f(-x)%24.%20Typical%20odd%20functions%20are%20%24%5Csin(x)%24%2C%20%24x%24%2C%20%24x%5E3%24%20(power%20is%20odd%20number).%20If%20the%20function%20is%20odd%2C%20we%20can%20plot%20the%20part%20that%20%24x%20%5Cle%200%24%20or%20%24x%20%5Cge%200%24%2C%20rotate%20%24180%24%20degree%20to%20get%20the%20full%20graph%3B%0A%20%20%20%20%092.%20Even%20function%3F%20That%20is%2C%20for%20any%20%24x%24%20in%20the%20domain%2C%20we%20have%20%24f(x)%20%3D%20f(-x)%24.%20Typical%20even%20functions%20are%20%24%5Ccos(x)%24%2C%20%24x%5E2%24%2C%20%24x%5E4%24%20(power%20is%20even%20number).%20If%20the%20function%20is%20even%2C%20we%20can%20plot%20the%20part%20that%20%24x%20%5Cle%200%24%20or%20%24x%20%5Cge%200%24%2C%20flip%20along%20%24y%24-axis%20to%20get%20the%20full%20graph.%0A%20%20%20%20%09Is%20the%20function%20periodic%3F%20That%20is%2C%20if%20%24f(x)%20%3D%20f(x%2Bp)%24%20for%20all%20%24x%24%20in%20the%20domain%20and%20a%20certain%20constant%20%24p%24.%20Typical%20periodic%20functions%20are%20the%20trigonometry%20functions.%20If%20the%20function%20is%20periodic%2C%20we%20can%20plot%20one%20period%20and%20copy%20it%20to%20get%20the%20full%20graph.%0A%20%20%20%20%09Notice%20that%20a%20function%20can%20be%20periodic%20and%20even%20(%24%5Ccos(x)%24)%2C%20or%20periodic%20and%20odd%20(%24%5Csin(x)%24)at%20the%20same%20time.%0A%20%20%20%20%09In%20the%20scope%20of%20this%20course%2C%20it%20is%20safe%20to%20say%20that%20**trigonometry%20functions%20(and%20functions%20composed%20with%20trigonometry%20functions)%20are%20the%20only%20interesting%20periodic%20functions**.%20Constant%20function%20is%20of%20course%20also%20periodic%2C%20but%20it%20is%20not%20very%20interesting%3B%0A%20%20%20%204.%20**Asymptotes**%3A%0A%20%20%20%20%091.%20If%20%24%5Clim_%7Bx%20%5Cto%20%5Cinfty%7Df(x)%20%3D%20L%24%20or%20%24%5Clim_%7Bx%5Cto%20-%5Cinfty%7Df(x)%20%3D%20l%24%2C%20then%20%24y%20%3D%20L%24%20or%20%24y%20%3D%20l%24%20is%20a%20horizontal%20asymptote.%20If%20%24%5Clim_%7Bx%20%5Cto%20%5Cinfty%7Df(x)%20%3D%20%5Cpm%20%5Cinfty%24%20or%20%24%5Clim_%7Bx%5Cto%20-%5Cinfty%7Df(x)%20%3D%20%5Cpm%20%5Cinfty%24%20then%20it%20does%20not%20give%20a%20horizontal%20asymptote%2C%20but%20it%20also%20gives%20important%20information%20as%20that%2C%20for%20example%2C%20if%20%24%5Clim_%7Bx%20%5Cto%20%5Cinfty%7Df(x)%20%3D%20%5Cinfty%24%20then%20you%20may%20think%20of%20it%20as%20%24f%24%20passes%20the%20point%20'that%20is%20on%20the%20right-top%20corner'%3B%0A%20%20%20%20%092.%20If%20any%20of%20%24%5Clim_%7Bx%20%5Cto%20a%5E-%7Df(x)%20%3D%20%5Cinfty%24%2C%20%24%5Clim_%7Bx%20%5Cto%20a%5E%2B%7Df(x)%20%3D%20%5Cinfty%24%2C%20%24%5Clim_%7Bx%20%5Cto%20a%5E-%7Df(x)%20%3D%20-%5Cinfty%24%2C%20%24%5Clim_%7Bx%20%5Cto%20a%5E%2B%7Df(x)%20%3D%20-%5Cinfty%24%20is%20true%20for%20certain%20%24a%24%2C%20then%20%24x%20%3D%20a%24%20is%20a%20vertical%20asymptote.%20If%20the%20function%20is%20a%20rational%20function%2C%20then%20the%20vertical%20asymptote%20happens%20when%20the%20denominator%20is%20%240%24%3B%0A%20%20%20%205.%20**Intervals%20of%20Increase%20or%20Decrease**%3A%20use%20the%20increasing%2Fdecreasing%20test%20we%20have%20in%20section%203.3%20to%20determine%20where%20is%20%24f%24%20increasing%20or%20decreasing%3B%0A%20%20%20%206.%20**Local%20Extremums**%3A%20use%20the%20methods%20(First%20or%20Second%20Derivative%20Tests)%20we%20have%20in%20section%203.3%20to%20determine%20where%20are%20the%20local%20extremums%20and%20what%20are%20the%20values%3B%0A%20%20%20%207.%20**Concavity%20and%20Points%20of%20Inflection**%3A%20use%20Concavity%20Test%20to%20determine%20the%20concavity%20and%20points%20of%20inflection%3B%0A%20%20%20%208.%20Sketch%20the%20Curve%3A%0A%20%20%20%20%091.%20Sketch%20the%20asymptotes%20as%20dashed%20lines%3B%0A%20%20%20%20%092.%20Plot%20the%20%24x%24%20and%20%24y%24-intercepts%3B%0A%20%20%20%20%093.%20Plot%20the%20local%20extremums%20(whenever%20it%20is%20local%20maximum%2C%20you%20can%20plot%20a%20little%20'%24%5Ccap%24'%2C%20and%20whenever%20it%20is%20local%20minimum%2C%20you%20can%20plot%20a%20little%20'%24%5Ccup%24'%2C%20except%20for%20the%20endpoints)%3B%0A%20%20%20%20%094.%20Plot%20the%20inflection%20points%3B%0A%20%20%20%20%095.%20Comment%20on%20the%20%24x%24-axis%20the%20intervals%20of%20increasing%2Fdecreasing%20and%20concavity%3B%0A%20%20%20%20%096.%20Draw%20the%20curve%2C%20make%20sure%20that%20it%20passes%20all%20the%20points%20you%20plotted%2C%20and%20it%20is%20consistent%20with%20the%20increasing%2Fdecreasing%2Fconcave%20downward%2Fconcave%20upward%20information%3B%0A%20%20%20%20%097.%20(If%20you%20want%20to%20be%20more%20confident%20about%20the%20shape%20-%20it%20is%20never%20harmful%20to%20evaluate%20%24f(x)%24%20at%20a%20few%20more%20points%20and%20plot%20it%20on%20the%20graph%2C%20the%20curve%20then%20also%20needs%20to%20pass%20these%20points)%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20Increasing%2FDecreasing%20and%20Concavity%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20info%0A%0A%20%20%20%20There%20are%20four%20possible%20shapes%20of%20a%20graph%20considering%20concavity%20and%20increasing%2Fdecreasing%20info%3A%0A%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(go%2C%20make_subplots%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Define%20x%20range%20and%20functions%0A%20%20%20%20x_vals_side%20%3D%20np.linspace(-3%2C%203%2C%20400)%0A%20%20%20%20y_up%20%3D%20x_vals_side**2%0A%20%20%20%20y_down%20%3D%20-(x_vals_side**2)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20subplots%0A%20%20%20%20fig_side%20%3D%20make_subplots(rows%3D2%2C%20cols%3D1%2C%20subplot_titles%3D%5B%22f(x)%20%3D%20x%C2%B2%22%2C%20%22f(x)%20%3D%20-x%C2%B2%22%5D)%0A%0A%20%20%20%20%23%20---%20Plot%20x%5E2%0A%20%20%20%20fig_side.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_vals_side%2C%20y%3Dy_up%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3D%22x%C2%B2%22%2C%20line%3Ddict(color%3D%22blue%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20col%3D1%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Label%20left%20half%3A%20Concave%20up%20%26%20Decreasing%0A%20%20%20%20fig_side.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B-2%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B4%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22text%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5B%22Concave%20Up%3Cbr%3EDecreasing%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20textposition%3D%22bottom%20center%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20col%3D1%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Label%20right%20half%3A%20Concave%20up%20%26%20Increasing%0A%20%20%20%20fig_side.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B2%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B4%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22text%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5B%22Concave%20Up%3Cbr%3EIncreasing%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20textposition%3D%22bottom%20center%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20col%3D1%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20---%20Plot%20-x%5E2%0A%20%20%20%20fig_side.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_vals_side%2C%20y%3Dy_down%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3D%22-x%C2%B2%22%2C%20line%3Ddict(color%3D%22red%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20col%3D1%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Label%20left%20half%3A%20Concave%20Down%20%26%20Increasing%0A%20%20%20%20fig_side.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B-2%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B-4%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22text%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5B%22Concave%20Down%3Cbr%3EIncreasing%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20textposition%3D%22top%20center%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20col%3D1%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Label%20right%20half%3A%20Concave%20Down%20%26%20Decreasing%0A%20%20%20%20fig_side.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B2%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B-4%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22text%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5B%22Concave%20Down%3Cbr%3EDecreasing%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20textposition%3D%22top%20center%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20col%3D1%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Layout%0A%20%20%20%20fig_side.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Concavity%20and%20Monotonicity%20of%20f(x)%20%3D%20x%C2%B2%20vs%20f(x)%20%3D%20-x%C2%B2%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20template%3D%22plotly_white%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20height%3D800%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D600%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Axis%20titles%0A%20%20%20%20fig_side.update_xaxes(title_text%3D%22x%22%2C%20row%3D1%2C%20col%3D1)%0A%20%20%20%20fig_side.update_yaxes(title_text%3D%22f(x)%22%2C%20row%3D1%2C%20col%3D1)%0A%20%20%20%20fig_side.update_xaxes(title_text%3D%22x%22%2C%20row%3D1%2C%20col%3D2)%0A%20%20%20%20fig_side.update_yaxes(title_text%3D%22f(x)%22%2C%20row%3D1%2C%20col%3D2)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Let%20us%20do%20the%20detailed%20graphing%20for%20the%20example%20in%20section%203.3.%20I.e.%20the%20function%20%24f(x)%20%3D%20(x-1)%5E%7B1%2F3%7D(x%2B1)%24.%20We%20follow%20the%20guideline.%0A%0A%20%20%20%201.%20Domain%3A%20%24f(x)%24%20is%20defined%20for%20any%20%24x%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%24%2C%20thus%20the%20domain%20is%20the%20entire%20real%20line%3B%0A%20%20%20%202.%20Intercepts%3A%20evaluate%20%24f(0)%20%3D%20-1%24%2C%20thus%20the%20%24y%24-intercept%20is%20at%20%24(0%2C-1)%24%3B%20set%20%24f(x)%20%3D%200%24%2C%20we%20get%20%240%20%3D%20(x-1)%5E%7B1%2F3%7D(x%2B1)%24%2C%20since%20it%20is%20factored%20for%20us%2C%20we%20get%20that%20%24x%20%3D%201%24%20or%20%24x%20%3D%20-1%24%2C%20so%20the%20%24x%24-intercepts%20are%20at%20%24(1%2C%200)%24%20and%20%24(-1%2C%200)%24%3B%0A%20%20%20%203.%20Symmetry%20and%20Period%3A%0A%20%20%20%20%091.%20%24f(-x)%20%3D%20(-x-1)%5E%7B1%2F3%7D(-x%2B1)%24%20is%20not%20the%20same%20as%20%24f(x)%20%3D%20(x-1)%5E%7B1%2F3%7D(x%2B1)%24%2C%20so%20the%20function%20is%20not%20even%3B%0A%20%20%20%20%092.%20Similarly%20%24-f(-x)%20%5Cne%20f(x)%24%20thus%20the%20function%20is%20not%20odd%3B%0A%20%20%20%20%093.%20The%20function%20is%20not%20periodic%20because%20it%20is%20not%20trigonometry%20functions%20and%20it%20is%20not%20constant%3B%0A%20%20%20%204.%20Asymptotes%3A%0A%20%20%20%20%091.%20Evaluate%20the%20limits%20we%20get%20%24%5Clim_%7Bx%5Cto%20%5Cinfty%7Df(x)%20%3D%20%5Cinfty%24%20and%20%24%5Clim_%7Bx%20%5Cto%20-%5Cinfty%7Df(x)%20%3D%20%5Cinfty%24%20thus%20we%20can%20think%20of%20%24f%24%20passes%20the%20left-top%20corner%20and%20right-top%20corner%3B%0A%20%20%20%20%092.%20There%20is%20no%20vertical%20asymptotes%3B%0A%20%20%20%205.%20Intervals%20of%20Increase%20or%20Decrease%3A%20by%20section%203.3%2C%20we%20get%20%24f%24%20is%20decreasing%20on%20%24x%3C%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%24%20and%20increasing%20on%20%24x%20%3E%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%24%3B%0A%20%20%20%206.%20Local%20Extremum%3A%20we%20have%20a%20local%20minimum%20at%20%24%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%24%2C%20evaluate%20%24f(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)%20%5Capprox%20-1.2%24%20(note%20that%20it%20is%20not%20very%20easy%20to%20evaluate%20%24(-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)%5E%7B1%2F3%7D%24%2C%20just%20give%20a%20reasonable%20guess%20if%20it%20is%20on%20the%20exam)%3B%0A%20%20%20%207.%20Concavity%20and%20Points%20of%20Inflection%3A%20the%20graph%20is%20concave%20upward%20on%20%24(-%5Cinfty%2C%201)%24%20and%20%24(2%2C%20%5Cinfty)%24%3B%20concave%20downward%20on%20%24(1%2C2)%24%3B%20with%20inflection%20points%20on%20%24(1%2C0)%24%20and%20%24(2%2C3)%24%3B%0A%20%20%20%208.%20Now%20we%20do%20the%20plot%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.pdf(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20src%3D%22public%2FDetailed%20Graphing.pdf%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D%22100%25%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20height%3D%22200vh%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A