Calculus I 16

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.13.7%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20plotly.graph_objects%20as%20go%0A%20%20%20%20from%20plotly.subplots%20import%20make_subplots%0A%0A%20%20%20%20return%20go%2C%20make_subplots%2C%20mo%2C%20np%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20nav_menu%20%3D%20mo.nav_menu(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Findex.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Ahome')%7D%20Home%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20orientation%3D%22vertical%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20nav_menu%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%203.3%20Derivatives%20and%20the%20Shapes%20of%20Graphs%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Introduction%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Recall%20that%20in%20section%203.1%20we%20learnt%20that%20if%20a%20function%20%24f%24%20has%20an%20(absolute%20or%20local)%20extremum%20at%20%24c%24%2C%20then%20%24c%24%20must%20be%20a%20critical%20point%20of%20%24f%24.%20But%20it%20does%20not%20tell%20us%20what%20exact%20is%20that%20point.%20Is%20it%20a%20local%20maximum%3F%20Local%20minimum%3F%20How%20can%20you%20be%20sure%20of%20it%3F%0A%0A%20%20%20%20**Moving%20onward%2C%20for%20simplicity%20we%20assume%20that%20%24f%24%20is%20continuous%2C%20and%20piecewise%20smooth%20in%20this%20section**.%20The%20latter%20means%20that%20%24f%24%20can%20be%20differentiated%20indefinitely%20many%20times%20at%20all%20the%20points%20in%20its%20domain%20except%20for%20possibly%20a%20set%20of%20discrete%20points.%0A%0A%20%20%20%20Before%20we%20start%2C%20start%20to%20think%20about%20a%20question%2C%20(assume%20%24f%24%20is%20differentiable)%20what%20characterize%20a%20local%20maximum%20or%20minimum%3F%20How%20can%20this%20character%20be%20stated%20in%20a%20mathematical%20way%3F%0A%0A%20%20%20%20For%20example%2C%20here%20we%20see%20a%20local%20maximum%20at%20%240%24%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(go%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Define%20function%0A%20%20%20%20x_parabola%20%3D%20np.linspace(-3%2C%203%2C%20400)%0A%20%20%20%20y_parabola%20%3D%20-(x_parabola**2)%20%2B%204%0A%0A%20%20%20%20%23%20Maximum%20point%0A%20%20%20%20x_max%20%3D%200%0A%20%20%20%20y_max%20%3D%20-(x_max**2)%20%2B%204%0A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20figure%0A%20%20%20%20fig_parabola%20%3D%20go.Figure()%0A%0A%20%20%20%20%23%20Plot%20the%20function%0A%20%20%20%20fig_parabola.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_parabola%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dy_parabola%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22f(x)%20%3D%20-x%C2%B2%20%2B%204%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22blue%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Mark%20local%20max%20at%20(0%2C%204)%0A%20%20%20%20fig_parabola.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5Bx_max%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5By_max%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22markers%2Btext%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5B%22Local%20Max%3Cbr%3E(0%2C%204)%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20textposition%3D%22top%20right%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(size%3D10%2C%20color%3D%22red%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Local%20Max%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Layout%0A%20%20%20%20fig_parabola.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22f(x)%20%3D%20-x%C2%B2%20%2B%204%20with%20Local%20Maximum%20at%20x%20%3D%200%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22x%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22f(x)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20template%3D%22plotly_white%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22A%20natural%20way%20to%20characterize%20the%20local%20maximum%20%240%24%2C%20is%20that%20%24f%24%20is%20**increasing%20before%20%240%24%2C%20but%20decreasing%20after%20%240%24**.%20A%20natural%20way%20to%20characterize%20the%20local%20minimum%20%240%24%2C%20is%20that%20%24f%24%20is%20**decreasing%20before%20%240%24%2C%20and%20increasing%20after%20%240%24**.%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Increasing%2FDecreasing%20Test%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%201.%20If%20%24f'(x)%20%3E%200%24%20for%20all%20%24x%24%20on%20an%20(open)%20interval%2C%20then%20%24f%24%20is%20increasing%20on%20that%20interval%3B%0A%20%20%20%202.%20If%20%24f'(x)%20%3C%200%24%20for%20all%20%24x%24%20on%20an%20(open)%20interval%2C%20then%20%24f%24%20is%20decreasing%20on%20that%20interval.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Proof%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20For%20an%20intuitive%20proof%2C%20recall%20the%20derivative%20is%20the%20same%20thing%20as%20'slope%20of%20tangent%20line'.%20Try%20some%20graphs%20of%20some%20functions%2C%20we%20should%20be%20able%20to%20see%20that%20upwards%20tangent%20line%20(i.e.%20positive%20slope%2C%20i.e.%20positive%20derivative)%20means%20the%20function%20is%20increasing%2C%20and%20downwards%20tangent%20line%20means%20the%20function%20is%20decreasing.%0A%0A%20%20%20%20For%20a%20formal%20proof%2C%20we%20can%20use%20the%20MVT.%20The%20proof%20is%20omitted%20here.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20The%20First%20Derivative%20Test%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Suppose%20%24c%24%20is%20a%20critical%20point%20of%20%24f%24%2C%20then%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20If%20%24f'%24%20**changes%20to%20being%20negative**%20at%20%24c%24%2C%20or%20if%20%24f'%24%20**changes%20from%20being%20positive**%20at%20%24c%24%2C%20then%20%24f%24%20has%20a%20**local%20maximum**%20at%20%24c%24%3B%0A%20%20%20%202.%20If%20%24f'%24%20**changes%20to%20being%20positive**%20at%20%24c%24%2C%20or%20if%20%24f'%24%20**changes%20from%20being%20negative**%20at%20%24c%24%2C%20then%20%24f%24%20has%20a%20**local%20minimum**%20at%20%24c%24%3B%0A%20%20%20%203.%20If%20%24f'%24%20**remains**%20being%20positive%20or%20being%20negative%20at%20%24c%24%2C%20%24f%24%20does%20not%20have%20a%20local%20extremum%20at%20%24c%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%200%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20info%0A%0A%20%20%20%20Technically%2C%20every%20%22negative%22%20above%20should%20be%20%22non-positive%22%2C%20every%20%22positive%22%20above%20should%20be%20%22non-negative%22%2C%20every%20%24%3C%24%20above%20should%20be%20%24%5Cle%24%2C%20and%20every%20%24%3E%24%20above%20should%20be%20%24%5Cge%24.%0A%0A%20%20%20%20These%20%22%24%3D0%24%22%20cases%20corresponds%20to%20places%20on%20the%20graph%20that%20is%20horizontal%20lines%20(function%20is%20constant)%2C%20and%20they%20are%20in%20some%20sense%20not%20very%20interesting%20because%20every%20point%20in%20that%20area%20is%20both%20local%20max%20and%20local%20min.%20**For%20simplicity%20and%20less%20confusion%2C%20in%20the%20following%20discussion%20(and%203.4)%20we%20are%20assuming%20the%20function%20is%20not%20a%20constant.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(go%2C%20make_subplots%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20subplot%20grid%0A%20%20%20%20fig_fd%20%3D%20make_subplots(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rows%3D2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cols%3D2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20subplot_titles%3D%5B%22No%20Extrema%22%2C%20%22No%20Extrema%22%2C%20%22Local%20Min%22%2C%20%22Local%20Max%22%5D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20x%20range%0A%20%20%20%20x_vals_fd%20%3D%20np.linspace(-2%2C%202%2C%20400)%0A%0A%20%20%20%20y1%20%3D%20-(x_vals_fd**3)%0A%20%20%20%20fig_fd.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_vals_fd%2C%20y%3Dy1%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3D%22Local%20Max%22%2C%20line%3Ddict(color%3D%22blue%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20col%3D1%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20fig_fd.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B0%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B0%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22markers%2Btext%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5B%22No%20Extrema%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20textposition%3D%22top%20right%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(size%3D8%2C%20color%3D%22red%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20col%3D1%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20y2%20%3D%20x_vals_fd**3%0A%20%20%20%20fig_fd.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_vals_fd%2C%20y%3Dy2%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3D%22Local%20Min%22%2C%20line%3Ddict(color%3D%22green%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20col%3D2%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20fig_fd.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B0%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B0%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22markers%2Btext%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5B%22No%20Extrema%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20textposition%3D%22bottom%20right%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(size%3D8%2C%20color%3D%22red%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20col%3D2%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20y3%20%3D%20x_vals_fd**2%0A%20%20%20%20fig_fd.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_vals_fd%2C%20y%3Dy3%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3D%22Local%20Min%22%2C%20line%3Ddict(color%3D%22orange%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20col%3D1%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20fig_fd.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B0%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B0%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22markers%2Btext%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5B%22Local%20Min%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20textposition%3D%22bottom%20right%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(size%3D8%2C%20color%3D%22red%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20col%3D1%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20y4%20%3D%20-(x_vals_fd**2)%0A%20%20%20%20fig_fd.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_vals_fd%2C%20y%3Dy4%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3D%22Local%20Min%22%2C%20line%3Ddict(color%3D%22purple%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20col%3D2%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20fig_fd.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B0%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B0%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22markers%2Btext%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5B%22Local%20Max%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20textposition%3D%22bottom%20right%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(size%3D8%2C%20color%3D%22red%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20col%3D2%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Layout%0A%20%20%20%20fig_fd.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22First%20Derivative%20Test%20%E2%80%94%204%20Scenarios%22%2C%20template%3D%22plotly_white%22%2C%20height%3D700%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20If%20(piece-wise%20smooth)%20%24f%24%20is%20defined%20on%20a%20closed%20interval%20%24%5Ba%2C%20b%5D%24%2C%20then%20%24f'%24%20must%20be%20changing%20at%20%24a%24%20and%20%24b%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24f'%24%20is%20of%20course%20DNE%20before%20%24a%24%20because%20%24f%24%20is%20not%20even%20defined%20there%2C%20and%20%24f'%24%20is%20either%20positive%20or%20negative%20after%20%24a%24%20(see%20remark%20above%2C%20we%20exclude%20the%20cases%20that%20the%20graph%20is%20flat)%2C%20thus%20%24f'%24%20**changes**%20from%20being%20DNE%20to%20being%20positive%2Fnegative%20at%20%24a%24.%20Similar%20for%20%24b%24.%0A%0A%20%20%20%20**In%20particular%2C%20if%20(piece-wise%20smooth)%20%24f%24%20is%20defined%20on%20a%20closed%20interval%20%24%5Ba%2C%20b%5D%24%2C%20then%20%24a%2C%20b%24%20must%20be%20local%20extremes**.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20Draw%20the%20diagram!%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20info%0A%0A%20%20%20%20Don't%20try%20to%20memorize%20this%20theorem%20directly%20-%20it's%20very%20likely%20to%20make%20a%20mistake.%20Whenever%20you%20need%20to%20use%20them%2C%20just%20draw%20a%20simple%20diagram%20and%20extract%20information%20from%20there.%0A%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Find%20the%20local%20minimums%20and%20maximums%20of%20the%20function%20%24f(x)%20%3D%203x%5E4%20-%204x%5E3%20-%2012x%5E2%20%2B%205%24%20defined%20on%20%24%5B-2%2C%203%5D%24.%0A%0A%20%20%20%20Calculate%20%24f'(x)%20%3D%2012x%5E3%20-%2012x%5E2%20-24x%24%2C%20factor%20it%20to%20get%20%24f'(x)%20%3D%2012x(x-2)(x%2B1)%24.%20We%20can%20use%20the%20following%20table%20to%20determine%20the%20sign%20of%20%24f'(x)%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Interval%20%7C%20%2412x%24%20%7C%20%24x-2%24%20%7C%20%24x%2B1%24%20%7C%20%24f'(x)%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%3A--%3A%7C%3A--%3A%7C%3A--%3A%7C%3A--%3A%7C%3A--%3A%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24x%3C-1%24%20%7C%20%24-%24%20%7C%20%24-%24%20%7C%20%24-%24%20%7C%20%24-%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24-1%3Cx%3C0%24%20%7C%20%24-%24%20%7C%20%24-%24%20%7C%20%24%2B%24%20%7C%20%24%2B%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%240%3Cx%3C2%24%20%7C%20%24%2B%24%20%7C%20%24-%24%20%7C%20%24%2B%24%20%7C%20%24-%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24x%3C2%24%20%7C%20%24%2B%24%20%7C%20%24%2B%24%20%7C%20%24%2B%24%20%7C%20%24%2B%24%20%7C%0A%0A%20%20%20%20The%20columns%20of%20this%20table%20are%20individual%20terms%20of%20%24f'(x)%24%2C%20follows%20by%20%24f'(x)%24%20itself.%20The%20rows%20of%20this%20table%20are%20the%20domain%20of%20%24f(x)%24%20(NOT%20%24f'(x)%24!)%20separated%20by%20the%20critical%20points%20of%20%24f(x)%24%2C%20i.e.%20when%20%24f'(x)%20%3D%200%24%20or%20DNE.%0A%0A%20%20%20%20For%20each%20cell%20except%20for%20the%20last%20column%20(%24f'(x)%24%20column)%2C%20we%20plug-in%20any%20number%20in%20the%20row%20name%20to%20the%20column%20name%2C%20calculate%20it%20and%20get%20the%20**sign**%20of%20the%20result.%0A%0A%20%20%20%20After%20we%20get%20everything%20except%20for%20the%20last%20column%2C%20we%20calculate%20the%20last%20column%20by%20counting%20numbers%20of%20%24-%24%20in%20that%20row.%20If%20there%20are%20odd%20number%20of%20%24-%24%20in%20that%20row%2C%20the%20last%20column%20also%20has%20%24-%24.%20If%20there%20are%20even%20number%20of%20%24-%24%20in%20that%20row%2C%20the%20last%20column%20has%20%24%2B%24.%0A%0A%20%20%20%20For%20example%2C%20we%20have%20%24-%24%20on%20first%20row%20last%20column%2C%20because%20there%20are%20three%20(odd)%20%24-%24%20on%20that%20row%20already.%20We%20have%20%24%2B%24%20on%20the%20second%20row%20last%20column%2C%20because%20there%20are%20two%20(even)%20%24-%24%20on%20the%20row.%0A%0A%20%20%20%20Thus%20%24f'%24%20changes%20from%20positive%20to%20negative%20at%20%240%24%2C%20changes%20from%20negative%20to%20positive%20at%20%24-1%24%20and%20%242%24.%20Also%2C%20it%20is%20negative%20after%20the%20left-endpoint%20%24-2%24%2C%20and%20positive%20before%20the%20right-endpoint%20%243%24.%0A%0A%20%20%20%20Thus%20by%20the%20First%20Derivative%20Test%2C%20we%20have%20that%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20%24-2%2C0%2C3%24%20are%20local%20maximums%3B%0A%20%20%20%202.%20%24-1%2C2%24%20are%20local%20minimums.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Restriction%20of%20the%20First%20Derivative%20Test%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20In%20some%20sense%20the%20First%20Derivative%20Test%20is%20complicated%20-%20we%20have%20to%20calculate%20a%20lot%20of%20things%20-%20which%20in%20general%20is%20hard%20(or%20even%20impossible).%20For%20example%2C%20what%20if%20in%20the%20above%20example%20we%20have%20a%20polynomial%20of%20degree%20%2410%24%3F%20Then%20the%20derivative%20has%20degree%20%249%24%2C%20and%20there%20is%20no%20way%20to%20factor%20it%2C%20thus%20there%20is%20no%20way%20to%20tell%20when%20does%20it%20change%20signs.%0A%0A%20%20%20%20We%20will%20now%20learn%20an%20easier%20test%20(but%20has%20more%20restriction).%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Concavity%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20We%20say%20a%20function%20%24f%24%20is%20concave%20upward%20on%20an%20interval%20%24I%24%20if%20its%20graph%20on%20the%20interval%20%24I%24%20lies%20above%20all%20its%20tangents%20on%20%24I%24%3B%20concave%20downward%20on%20an%20interval%20%24I%24%20if%20its%20graph%20on%20the%20interval%20%24I%24%20lies%20below%20all%20its%20tangents%20on%20%24I%24.%0A%0A%20%20%20%20A%20point%20%24p%24%20on%20the%20graph%20of%20%24f%24%20is%20called%20an%20inflection%20point%20if%20%24f%24%20is%20continuous%20there%20and%20the%20function%20changes%20from%20concave%20downward%20to%20upward%2C%20or%20from%20concave%20upward%20to%20downward%20at%20%24p%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(go%2C%20np)%3A%0A%0A%20%20%20%20%23%20Function%20and%20domain%0A%20%20%20%20x_inflect%20%3D%20np.linspace(-3%2C%203%2C%20400)%0A%20%20%20%20f_inflect%20%3D%20x_inflect**3%0A%0A%20%20%20%20%23%20Regions%0A%20%20%20%20x_left%20%3D%20x_inflect%5Bx_inflect%20%3C%200%5D%0A%20%20%20%20y_left%20%3D%20x_left**3%0A%0A%20%20%20%20x_right%20%3D%20x_inflect%5Bx_inflect%20%3E%200%5D%0A%20%20%20%20y_right%20%3D%20x_right**3%0A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20plot%0A%20%20%20%20fig_inflect%20%3D%20go.Figure()%0A%0A%20%20%20%20%23%20Concave%20down%20region%0A%20%20%20%20fig_inflect.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_left%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dy_left%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Concave%20Down%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22blue%22%2C%20dash%3D%22solid%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Concave%20up%20region%0A%20%20%20%20fig_inflect.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_right%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dy_right%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Concave%20Up%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22green%22%2C%20dash%3D%22solid%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Inflection%20point%0A%20%20%20%20fig_inflect.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B0%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B0%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22markers%2Btext%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5B%22Inflection%20Point%3Cbr%3E(0%2C%200)%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20textposition%3D%22top%20right%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(size%3D10%2C%20color%3D%22red%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Inflection%20Point%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Layout%0A%20%20%20%20fig_inflect.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Concavity%20and%20Inflection%20Point%3A%20f(x)%20%3D%20x%C2%B3%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22x%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22f(x)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20template%3D%22plotly_white%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20We%20have%20the%20following%20concavity%20test%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20If%20%24f''(x)%3E%200%24%20for%20all%20%24x%20%5Cin%20I%24%2C%20then%20%24f%24%20is%20concave%20upward%20on%20%24I%24%3B%0A%20%20%20%202.%20If%20%24f''(x)%3C%200%24%20for%20all%20%24x%20%5Cin%20I%24%2C%20then%20%24f%24%20is%20concave%20downward%20on%20%24I%24.%0A%0A%20%20%20%20Follow%20from%20the%20concavity%20test%2C%20we%20have%20the%20following%20test%20of%20local%20extremum%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20The%20Second%20Derivative%20Test%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Suppose%20%24f'(c)%20%3D%200%24%2C%20then%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20If%20%24f''(c)%20%3E%200%24%2C%20then%20%24f%24%20has%20a%20**local%20minimum**%20at%20%24c%24%3B%0A%20%20%20%202.%20If%20%24f''(c)%20%3C%200%24%2C%20then%20%24f%24%20has%20a%20**local%20maximum**%20at%20%24c%24.%0A%0A%20%20%20%20The%20'restriction'%20mentioned%20above%20is%20that%2C%20by%20writing%20down%20this%20statement%2C%20we%20are%20assuming%20the%20second%20derivative%20exists%20(and%20continuous%20at%20%24c%24)%2C%20this%20is%20apparently%20not%20required%20for%20the%20First%20Derivative%20Test.%0A%0A%20%20%20%20In%20the%20scope%20of%20this%20course%2C%20however%2C%20this%20*usually*%20won't%20be%20a%20big%20problem%2C%20because%20most%20functions%20we%20are%20dealing%20with%20are%20actually%20smooth.%0A%0A%20%20%20%20**If%2C%20however%2C%20we%20want%20to%20describe%20function%20without%20a%20continuous%20second%20derivative%2C%20we%20may%20need%20to%20go%20back%20to%20the%20First%20Derivative%20Test**.%0A%0A%20%20%20%20**Or%2C%20if%20the%20second%20derivative%20exists%20but%20equals%20%240%24%2C%20then%20the%20Second%20Derivative%20Test%20does%20not%20tell%20us%20anything%20so%20again%20we%20need%20to%20go%20back%20and%20use%20the%20First%20Derivative%20Test**.%0A%0A%20%20%20%20Also%20note%20that%20if%20%24f%24%20is%20defined%20on%20a%20closed%20interval%2C%20then%20the%20First%20Derivative%20Test%20is%20sufficient%20to%20tell%20us%20the%20information%20about%20the%20endpoints.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Consider%20the%20function%20%24f(x)%20%3D%20(x-1)%5E%7B1%2F3%7D(x%2B1)%24%2C%20so%20that%20%24%5Cdisplaystyle%20f'(x)%20%3D%20%5Cfrac%7B4(2x-1)%7D%7B3(x-1)%5E%7B2%2F3%7D%7D%24%20and%20%24%5Cdisplaystyle%20f''(x)%20%3D%20%5Cfrac%7B4(x-2)%7D%7B9(x-1)%5E%7B5%2F3%7D%7D%24.%20What%20information%20can%20we%20get%20from%20the%20First%20Derivative%20Test%2C%20Concavity%20Test%2C%20and%20Second%20Derivative%20Test%3F%0A%0A%20%20%20%20First%20we%20need%20to%20determine%20what%20are%20some%20'important%20values'%3A%20these%20are%20the%20values%20%24x%24%20where%20the%20first%20or%20the%20second%20derivative%20may%20change%20signs.%20In%20our%20case%2C%20they%20are%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%24%2C%20%241%24%2C%20and%20%242%24%2C%20we%20can%20write%20down%20the%20table%3A%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Interval%20%7C%20%242x-1%24%20%7C%20%24(x-1)%5E%7B2%2F3%7D%24%20%7C%20%24(x-2)%24%20%7C%20%24(x-1)%5E%7B5%2F3%7D%24%20%7C%20%24f'%24%20%7C%20%24f''%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%3A--%3A%7C%3A--%3A%7C%3A--%3A%7C%3A--%3A%7C%3A--%3A%7C%3A--%3A%7C%3A--%3A%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24x%3C%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%24%20%7C%20%24-%24%20%7C%20%24%2B%24%20%7C%20%24-%24%20%7C%20%24-%24%20%7C%20%24-%24%20%7C%20%24%2B%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%3Cx%3C1%24%20%7C%20%24%2B%24%20%7C%20%24%2B%24%20%7C%20%24-%24%20%7C%20%24-%24%20%7C%20%24%2B%24%20%7C%20%24%2B%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%241%3Cx%3C2%24%20%7C%20%24%2B%24%20%7C%20%24%2B%24%20%7C%20%24-%24%20%7C%20%24%2B%24%20%7C%20%24%2B%24%20%7C%20%24-%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%242%3Cx%24%20%7C%20%24%2B%24%20%7C%20%24%2B%24%20%7C%20%24%2B%24%20%7C%20%24%2B%24%20%7C%20%24%2B%24%20%7C%20%24%2B%24%20%7C%0A%0A%20%20%20%20**(Be%20careful%20here!%20%24(x-1)%5E%7B2%2F3%7D%24%20is%20always%20positive%20because%20the%20power%20is%20'even'%20in%20the%20sense%20that%20the%20numerator%20of%20the%20power%20is%20even)**%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20One%20table%20vs%20two%20tables%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20info%0A%0A%20%20%20%20Here%20I%20put%20two%20sign%20tables%20into%20one.%20You%20don't%20have%20to%20do%20it.%20You%20may%20do%20one%20table%20for%20%24f'(x)%24%20and%20the%20other%20one%20for%20%24f''(x)%24.%0A%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Results%20of%20First%20Derivative%20Test%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%24%20is%20local%20minimum%3B%0A%20%20%20%202.%20%241%24%20is%20not%20local%20extremum%3B%0A%20%20%20%203.%20%242%24%20is%20not%20local%20extremum.%0A%0A%20%20%20%20Results%20of%20Concavity%20Test%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20%24f%24%20is%20concave%20upward%20on%20%24(-%5Cinfty%2C%201)%24%3B%0A%20%20%20%202.%20%24f%24%20is%20concave%20downward%20on%20%24(1%2C2)%24%3B%0A%20%20%20%203.%20%24f%24%20is%20concave%20upward%20on%20%24(2%2C%20%5Cinfty)%24.%0A%0A%20%20%20%20In%20particular%2C%20%241%24%20and%20%242%24%20are%20(%24x%24-xis%20of)%20the%20inflection%20points.%0A%0A%20%20%20%20Since%20%24%5Cdisplaystyle%20f'(x)%20%3D%20%5Cfrac%7B4(2x-1)%7D%7B3(x-1)%5E%7B2%2F3%7D%7D%24%2C%20%24f'(x)%20%3D%200%24%20if%20and%20only%20if%20the%20numerator%20is%20zero%2C%20so%20%24f'(x)%20%3D%200%24%20at%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%24.%20At%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%24%2C%20plug%20it%20into%20%24%5Cdisplaystyle%20f''(x)%20%3D%20%5Cfrac%7B4(x-2)%7D%7B9(x-1)%5E%7B5%2F3%7D%7D%24%20and%20we%20shall%20see%20it%20is%20positive%2C%20thus%20the%20Second%20Derivative%20Test%20tells%20us%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%24%20is%20a%20local%20minimum.%0A%0A%20%20%20%20A%20quick%20check%3A%20results%20of%20First%2FSecond%20Derivative%20Test%20are%20the%20same.%0A%0A%20%20%20%20This%20is%20the%20graph%20of%20%24f%24%20if%20we%20put%20it%20into%20a%20graphic%20calculator%2C%20it%20is%20consistent%20with%20the%20results%20above%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(go%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Define%20the%20function%0A%20%20%20%20def%20f_custom(x)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20np.cbrt(x%20-%201)%20*%20(x%20%2B%201)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Domain%0A%20%20%20%20x_vals_plot%20%3D%20np.linspace(-4%2C%204%2C%20500)%0A%20%20%20%20y_vals_plot%20%3D%20f_custom(x_vals_plot)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20plot%0A%20%20%20%20fig_custom%20%3D%20go.Figure()%0A%0A%20%20%20%20fig_custom.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_vals_plot%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dy_vals_plot%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3Dr%22%24f(x)%20%3D%20(x%20-%201)%5E%7B1%2F3%7D%20%5Ccdot%20(x%20%2B%201)%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22blue%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Optional%3A%20mark%20origin%20or%20key%20point%0A%20%20%20%20fig_custom.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B1%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5Bf_custom(1)%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22markers%2Btext%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5B%22x%20%3D%201%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20textposition%3D%22top%20right%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(size%3D8%2C%20color%3D%22red%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22x%20%3D%201%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Layout%0A%20%20%20%20fig_custom.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Dr%22Graph%20of%20%24f(x)%20%3D%20(x%20-%201)%5E%7B1%2F3%7D(x%20%2B%201)%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22x%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22f(x)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20template%3D%22plotly_white%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A