Calculus I 15

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.13.7%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20plotly.graph_objects%20as%20go%0A%20%20%20%20from%20plotly.subplots%20import%20make_subplots%0A%0A%20%20%20%20return%20go%2C%20make_subplots%2C%20mo%2C%20np%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20nav_menu%20%3D%20mo.nav_menu(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Findex.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Ahome')%7D%20Home%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20orientation%3D%22vertical%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20nav_menu%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%203.2%20The%20Mean%20Value%20Theorem%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Rolle's%20Theorem%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Suppose%20%24f%24%20is%20a%20function%20such%20that%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20%24f%24%20is%20**continuous**%20on%20a%20**closed**%20interval%20%24%5Ba%2C%20b%5D%24%3B%0A%20%20%20%202.%20%24f%24%20is%20**differentiable**%20on%20the%20**open**%20interval%20%24(a%2C%20b)%24%3B%0A%20%20%20%203.%20%24f(a)%20%3D%20f(b)%24.%0A%0A%20%20%20%20Then%20there%20exists%20%24c%24%20on%20the%20**open**%20interval%20%24(a%2C%20b)%24%20such%20that%20%24f'(c)%20%3D%200%24.%20In%20other%20words%2C%20there%20is%20a%20point%20%24c%20%5Cin%20(a%2C%20b)%24%20such%20that%20the%20tangent%20line%20of%20the%20graph%20at%20%24(c%2C%20f(c))%24%20is%20horizontal.%0A%0A%20%20%20%20For%20example%2C%20%24f(x)%20%3D%20x%5E2%24%20is%20continuous%20on%20%24%5B-1%2C%201%5D%24%2C%20it%20is%20differentiable%20on%20%24(-1%2C%201)%24%2C%20and%20%24f(-1)%20%3D%20f(1)%20%3D%201%24%2C%20thus%20there%20exists%20some%20number%20%24c%24%20such%20that%20%24f'(c)%20%3D%200%24.%20In%20this%20particular%20case%2C%20it%20is%20not%20hard%20to%20see%20indeed%20%24f'(0)%20%3D%200%24.%0A%0A%20%20%20%20**None%20of%20the%20assumptions%20of%20the%20theorem%20can%20be%20omitted**%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20Consider%20the%20function%20with%20the%20following%20graph%201%3A%0A%20%20%20%20%09%24%24f(x)%20%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20x%2C%26%200%20%3C%20x%3C5%20%5C%5C%201%2C%26%20x%20%3D%200%2C%205%5Cend%7Bcases%7D%24%24%0A%20%20%20%20%09Then%20%24f%24%20is%20differentiable%20on%20%24(0%2C5)%24%20(second%20assumption%20is%20satisfied)%2C%20%24f(0)%20%3D%20f(5)%24%20(third%20assumption%20is%20satisfied)%2C%20but%20%24f%24%20is%20not%20continuous%20on%20%24%5B0%2C5%5D%24%20(first%20assumption%20is%20NOT%20satisfied).%20It%20is%20not%20hard%20to%20see%20there%20is%20no%20point%20on%20the%20graph%20with%20a%20horizontal%20tangent%20line%3B%0A%20%20%20%202.%20Consider%20the%20function%20with%20the%20following%20graph%202%3A%0A%20%20%20%20%09%24g%24%20is%20continuous%20on%20%24%5B0%2C10%5D%24%20(first%20assumption%20is%20satisfied)%2C%20%24g(0)%20%3D%20g(10)%24%20(third%20assumption%20is%20satisfied)%2C%20but%20%24g%24%20is%20not%20differentiable%20on%20%24(0%2C10)%24%20(there%20is%20a%20corner)%20(second%20assumption%20is%20NOT%20satisfied).%20Again%2C%20there%20is%20no%20point%20on%20the%20graph%20with%20a%20horizontal%20tangent%20line%3B%0A%20%20%20%203.%20Consider%20the%20function%20with%20the%20following%20graph%203%3A%0A%20%20%20%20%09%24%24h(x)%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7Dx%5E2%2C%20x%20%5Cin%20%5B1%2C%206%5D%24%24%0A%20%20%20%20%09Then%20%24h%24%20is%20continuous%20on%20%24%5B1%2C6%5D%24%20(first%20assumption%20is%20satisfied)%2C%20%24h%24%20is%20differentiable%20on%20%24(1%2C%206)%24%20(second%20assumption%20is%20satisfied)%2C%20but%20%24h(1)%20%5Cne%20h(6)%24%20(third%20assumption%20is%20NOT%20satisfied).%20There%20is%20no%20point%20on%20the%20graph%20with%20a%20horizontal%20tangent%20line.%0A%0A%20%20%20%20**Moral%20of%20the%20story%3A%20always%20verify%20the%20assumptions%20of%20a%20theorem%20before%20using%20it**.%20If%20you%20want%20to%20apply%20a%20theorem%20to%20a%20question%20on%20an%20exam%2C%20you%20**MUST%20verify%20the%20assumptions%20of%20that%20theorem**.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(go%2C%20make_subplots%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20subplots%0A%20%20%20%20fig_rolle%20%3D%20make_subplots(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rows%3D3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cols%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20subplot_titles%3D%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%221.%20Not%20continuous%20at%20endpoints%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%222.%20Not%20differentiable%20(corner%20at%20x%3D5)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%223.%20End-points%20values%20are%20different%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20---%20First%20plot%3A%20f(x)%20%3D%20x%20on%20(0%2C5)%2C%20f(0)%20%3D%20f(5)%20%3D%201%0A%20%20%20%20x_f%20%3D%20np.linspace(0%2C%205%2C%20300)%0A%20%20%20%20y_f%20%3D%20x_f%0A%20%20%20%20y_f%5B0%5D%20%3D%201%0A%20%20%20%20y_f%5B-1%5D%20%3D%201%0A%20%20%20%20fig_rolle.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(x%3Dx_f%2C%20y%3Dy_f%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3D%22f(x)%22%2C%20line%3Ddict(color%3D%22blue%22))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20col%3D1%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20fig_rolle.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B0%2C%205%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B1%2C%201%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22markers%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(size%3D8%2C%20color%3D%22blue%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22f(0)%2C%20f(5)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20col%3D1%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20---%20Second%20plot%3A%20g(x)%20%3D%20x%20on%20%5B0%2C5%5D%2C%20-x%2B10%20on%20(5%2C10%5D%0A%20%20%20%20x_g1%20%3D%20np.linspace(0%2C%205%2C%20200)%0A%20%20%20%20y_g1%20%3D%20x_g1%0A%20%20%20%20x_g2%20%3D%20np.linspace(5%2C%2010%2C%20200)%0A%20%20%20%20y_g2%20%3D%20-x_g2%20%2B%2010%0A%20%20%20%20fig_rolle.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(x%3Dx_g1%2C%20y%3Dy_g1%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3D%22g(x)%22%2C%20line%3Ddict(color%3D%22green%22))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20col%3D1%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20fig_rolle.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_g2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dy_g2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22green%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20col%3D1%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20fig_rolle.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B0%2C%2010%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B0%2C%200%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22markers%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(size%3D8%2C%20color%3D%22red%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22g(0)%2C%20g(10)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20col%3D1%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20---%20Third%20plot%3A%20h(x)%20%3D%201%2F5%20x%C2%B2%20on%20%5B1%2C6%5D%0A%20%20%20%20x_h%20%3D%20np.linspace(1%2C%206%2C%20300)%0A%20%20%20%20y_h%20%3D%20(1%20%2F%205)%20*%20x_h**2%0A%20%20%20%20fig_rolle.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(x%3Dx_h%2C%20y%3Dy_h%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3D%22h(x)%22%2C%20line%3Ddict(color%3D%22purple%22))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20col%3D1%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20fig_rolle.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B1%2C%206%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B(1%20%2F%205)%20*%201**2%2C%20(1%20%2F%205)%20*%206**2%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22markers%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(size%3D8%2C%20color%3D%22red%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22h(1)%2C%20h(6)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20col%3D1%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Mark%20h(1)%20%3D%20h(6)%20%3D%201.2%20for%20clarity%0A%20%20%20%20fig_rolle.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B1%2C%206%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B1.2%2C%201.2%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22text%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5B%22h(1)%20%3D%201.2%22%2C%20%22h(6)%20%3D%201.2%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20textposition%3D%22top%20center%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row%3D3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20col%3D1%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Layout%0A%20%20%20%20fig_rolle.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Rolle's%20Theorem%3A%20Importance%20of%20Assumptions%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20template%3D%22plotly_white%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20height%3D1200%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20fig_rolle.update_xaxes(title_text%3D%22x%22%2C%20row%3D1%2C%20col%3D1)%0A%20%20%20%20fig_rolle.update_yaxes(title_text%3D%22f(x)%22%2C%20row%3D1%2C%20col%3D1)%0A%20%20%20%20fig_rolle.update_xaxes(title_text%3D%22x%22%2C%20row%3D2%2C%20col%3D1)%0A%20%20%20%20fig_rolle.update_yaxes(title_text%3D%22g(x)%22%2C%20row%3D2%2C%20col%3D1)%0A%20%20%20%20fig_rolle.update_xaxes(title_text%3D%22x%22%2C%20row%3D3%2C%20col%3D1)%0A%20%20%20%20fig_rolle.update_yaxes(title_text%3D%22h(x)%22%2C%20row%3D3%2C%20col%3D1)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Suppose%20%24f(x)%20%3D%20x%5E%7B10%7D%20-%206x%5E7%20%2B%205x%20%2B%208%24.%20Show%20there%20is%20a%20point%20%24c%24%20in%20%24%5B0%2C1%5D%24%20such%20that%20%24f'(c)%20%3D%200%24.%0A%0A%20%20%20%20We%20will%20try%20to%20apply%20Rolle's%20Theorem.%0A%0A%20%20%20%201.%20%24f%24%20is%20continuous%20on%20%24%5B0%2C1%5D%24%20because%20it%20is%20a%20polynomial%3B%0A%20%20%20%202.%20%24f%24%20is%20differentiable%20on%20%24(0%2C1)%24%20because%20it%20is%20a%20polynomial%3B%0A%20%20%20%203.%20%24f(0)%20%3D%208%24%20and%20%24f(1)%20%3D%201-6%2B5%2B8%20%3D%208%24%20thus%20%24f(0)%20%3D%20f(1)%24.%0A%0A%20%20%20%20Thus%20the%20assumptions%20of%20Rolle's%20Theorem%20are%20satisfied%2C%20the%20theorem%20applies%20and%20we%20have%20that%20there%20is%20a%20point%20%24c%24%20in%20%24%5B0%2C1%5D%24%20such%20that%20%24f'(c)%20%3D%200%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Mean%20Value%20Theorem%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Suppose%20%24f%24%20is%20a%20function%20such%20that%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20%24f%24%20is%20**continuous**%20on%20a%20**closed**%20interval%20%24%5Ba%2C%20b%5D%24%3B%0A%20%20%20%202.%20%24f%24%20is%20**differentiable**%20on%20the%20**open**%20interval%20%24(a%2C%20b)%24.%0A%0A%20%20%20%20Then%20there%20exists%20%24c%24%20on%20the%20**open**%20interval%20%24(a%2C%20b)%24%20such%20that%20%24f'(c)%20%3D%20%5Cfrac%7Bf(b)%20-%20f(a)%7D%7Bb%20-%20a%7D%24.%20Visualize%20the%20theorem%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(go%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Define%20function%0A%20%20%20%20f_log%20%3D%20lambda%20x%3A%20np.log(x)%0A%20%20%20%20df_log%20%3D%20lambda%20x%3A%201%20%2F%20x%0A%0A%20%20%20%20%23%20Interval%0A%20%20%20%20a_log%20%3D%201%0A%20%20%20%20b_log%20%3D%20np.e%0A%20%20%20%20x_vals_log%20%3D%20np.linspace(a_log%2C%20b_log%2C%20400)%0A%20%20%20%20y_vals_log%20%3D%20f_log(x_vals_log)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Endpoints%0A%20%20%20%20fa_log%20%3D%20f_log(a_log)%0A%20%20%20%20fb_log%20%3D%20f_log(b_log)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Secant%20slope%0A%20%20%20%20m_secant_log%20%3D%20(fb_log%20-%20fa_log)%20%2F%20(b_log%20-%20a_log)%0A%0A%20%20%20%20%23%20MVT%20point%3A%20f'(c)%20%3D%20m%20%E2%87%92%201%2Fc%20%3D%20m%20%E2%87%92%20c%20%3D%201%2Fm%0A%20%20%20%20c_log%20%3D%201%20%2F%20m_secant_log%0A%20%20%20%20fc_log%20%3D%20f_log(c_log)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Tangent%20line%20at%20c%0A%20%20%20%20x_tangent_log%20%3D%20np.linspace(c_log%20-%200.5%2C%20c_log%20%2B%200.5%2C%20100)%0A%20%20%20%20y_tangent_log%20%3D%20m_secant_log%20*%20(x_tangent_log%20-%20c_log)%20%2B%20fc_log%0A%0A%20%20%20%20%23%20Plot%0A%20%20%20%20fig_log%20%3D%20go.Figure()%0A%0A%20%20%20%20%23%20Function%20curve%0A%20%20%20%20fig_log.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_vals_log%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dy_vals_log%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22f(x)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22blue%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Secant%20line%0A%20%20%20%20fig_log.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5Ba_log%2C%20b_log%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5Bfa_log%2C%20fb_log%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Secant%20Line%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22green%22%2C%20dash%3D%22dot%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Tangent%20at%20c%0A%20%20%20%20fig_log.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_tangent_log%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dy_tangent_log%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Tangent%20at%20c%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22red%22%2C%20dash%3D%22dash%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Mark%20point%20c%0A%20%20%20%20fig_log.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5Bc_log%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5Bfc_log%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22markers%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5Bf%22c%20%E2%89%88%20%7Bround(c_log%2C%202)%7D%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20textposition%3D%22top%20right%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(size%3D8%2C%20color%3D%22black%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Point%20c%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Layout%0A%20%20%20%20fig_log.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Mean%20Value%20Theorem%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22x%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22f(x)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20template%3D%22plotly_white%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22Rolle's%20Theorem%20is%20a%20special%20case%20of%20the%20MVT%3A%20if%20%24f(a)%20%3D%20f(b)%24%2C%20then%20%24%5Cfrac%7Bf(b)%20-%20f(a)%7D%7Bb%20-%20a%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B0%7D%7Bb-a%7D%20%3D%200%24%20as%20stated%20in%20the%20Rolle's%20Theorem.%20Again%2C%20whenever%20you%20are%20asked%20to%2C%20or%20need%20to%20apply%20MVT%2C%20**you%20MUST%20verify%20the%20assumptions**.%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%201%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Verify%20the%20assumptions%20of%20MVT%20for%20the%20function%20%24%5Cdisplaystyle%20f(x)%20%3D%20%5Cfrac%7Bx%7D%7Bx%5E2-2x-3%7D%24%20on%20%24%5B1%2C2%5D%24.%20State%20a%20result%20that%20you%20may%20get%20from%20MVT%20applied%20to%20this%20function.%0A%0A%20%20%20%20Since%20%24f%24%20is%20a%20rational%20function%2C%20it%20is%20always%20continuous%20and%20differentiable%20unless%20the%20denominator%20is%20zero.%20In%20our%20case%2C%20it%20follows%20that%20%24f%24%20is%20continuous%20on%20%24%5B1%2C2%5D%24%20and%20differentiable%20on%20%24(1%2C2)%24%20because%20the%20problematic%20points%20are%20when%20%24x%5E2%20-%202x%20-%203%20%3D%200%24%20%24%5Cimplies%20(x%2B1)(x-3)%20%3D%200%24%20%24%5Cimplies%20x%20%3D%20-1%2C%203%24%2C%20neither%20is%20inside%20%24%5B1%2C2%5D%24.%20Thus%20the%20assumptions%20have%20been%20verified.%0A%0A%20%20%20%20The%20MVT%20in%20this%20case%20tells%20us%20there%20exists%20%24c%20%5Cin%20(1%2C2)%24%20such%20that%20%24%5Cdisplaystyle%20f'(c)%20%3D%20%5Cfrac%7Bf(2)%20-%20f(1)%7D%7B2%20-%201%7D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Cfrac%7B2%7D%7B2%5E2%20-%202%5Ccdot%202%20-%203%7D%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B1%5E2%20-%202%20%5Ccdot%201%20-%203%7D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20-%5Cfrac%7B5%7D%7B12%7D%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%202%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Suppose%20%24f%24%20is%20a%20function%20that%20is%20continuous%20and%20differentiable%20everywhere%2C%20and%20that%20%243%20%5Cle%20f'(x)%20%5Cle%205%24%20for%20all%20%24x%24.%20Show%20that%20%2418%20%5Cle%20f(8)%20-%20f(2)%20%5Cle%2030%24.%0A%0A%20%20%20%20Since%20%24f%24%20is%20continuous%20and%20differentiable%20everywhere%2C%20we%20can%20apply%20MVT%20on%20any%20(closed)%20interval.%20Apply%20MVT%20on%20%24%5B2%2C%208%5D%24%2C%20we%20get%20that%20there%20exists%20point%20%24c%24%20on%20%24(2%2C%208)%24%20such%20that%20%24%5Cdisplaystyle%20f'(c)%20%3D%20%5Cfrac%7Bf(8)%20-%20f(2)%7D%7B8%20-%202%7D%24.%20By%20the%20assumption%20of%20the%20question%2C%20we%20know%20that%20%24%5Cdisplaystyle%203%20%5Cle%20f'(c)%20%3D%20%5Cfrac%7Bf(8)%20-%20f(2)%7D%7B8%20-%202%7D%20%5Cle%205%24%2C%20or%20%24%5Cdisplaystyle%203%20%5Cle%20%5Cfrac%7Bf(8)%20-%20f(2)%7D%7B6%7D%20%5Cle%205%24.%20Multiply%20everything%20by%20%246%24%20we%20get%20that%20%2418%20%5Cle%20f(8)%20-%20f(2)%20%5Cle%2030%24%2C%20as%20desired.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20Open%20Interval%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20danger%0A%0A%20%20%20%20The%20point%20%24c%24%20such%20that%20%24%5Cdisplaystyle%20f'(c)%20%3D%20%5Cfrac%7Bf(b)-f(a)%7D%7Bb-a%7D%24%20**must**%20lie%20on%20the%20**open**%20interval%20%24(a%2Cb)%24.%20In%20particular%2C%20if%20a%20question%20asks%20you%20to%20find%20all%20%24c%24%20satisfy%20the%20MVT%2C%20you%20should%20**exclude**%20%24c%24%20that%20equals%20%24a%24%20or%20%24b%24.%20See%20the%20following%20example%3A%0A%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%203%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Consider%20the%20function%20%24f(x)%20%3D%20x%5E3%20-%202x%20%2B%204%24%20on%20%24%5B-2%2C1%5D%24.%20Why%20does%20the%20Mean%20Value%20Theorem%20apply%3F%20Find%20the%20value%20%24c%24%20that%20satisfy%20the%20conclusion%20of%20MVT.%0A%0A%20%20%20%20Since%20%24f%24%20is%20a%20polynomial%2C%20it%20is%20automatically%20continuous%20(on%20%24%5B-2%2C1%5D%24)%20and%20differentiable%20(on%20%24(-2%2C1)%24).%20By%20MVT%2C%20there%20are%20%24c%24%20on%20%24(-2%2C1)%24%20such%20that%20%24%5Cdisplaystyle%20f'(c)%20%3D%20%5Cfrac%7Bf(1)%20-%20f(-2)%7D%7B1-(-2)%7D%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B3%7D%20%3D%201%24%2C%20i.e.%20%24f'(c)%20%3D%203c%5E2%20-%202%20%3D%201%24%20or%20%24c%5E2%20%3D%201%24%2C%20which%20means%20%24c%20%3D%201%24%20or%20%24-1%24.%0A%0A%20%20%20%20However%2C%20%24c%24%20needs%20to%20be%20in%20the%20open%20interval%20%24(-2%2C1)%24%2C%20thus%20it%20can%20only%20be%20%24-1%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Corollary%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22Suppose%20%24f%24%20is%20a%20function%20defined%20on%20an%20open%20interval%20%24(a%2C%20b)%24%2C%20then%20%24f%24%20is%20a%20constant%20on%20%24(a%2C%20b)%24%20if%20and%20only%20if%20%24f'(x)%20%3D%200%24%20for%20all%20%24x%20%5Cin%20(a%2C%20b)%24.%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Corollary%20of%20Corollary%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22Suppose%20%24f%2C%20g%24%20are%20two%20functions%20defined%20on%20an%20open%20interval%20%24(a%2C%20b)%24%20and%20%24f'(x)%20%3D%20g'(x)%24%20for%20all%20%24x%20%5Cin%20(a%2C%20b)%24%2C%20then%20%24f%20-%20g%24%20is%20a%20constant%20on%20%24(a%2C%20b)%24.%20In%20other%20words%2C%20%24f(x)%20%3D%20g(x)%20%2B%20c%24%20for%20some%20constant%20%24c%24%20for%20all%20%24x%20%5Cin%20(a%2C%20b)%24.%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A