Calculus I 14

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.13.7%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20plotly.graph_objects%20as%20go%0A%0A%20%20%20%20return%20go%2C%20mo%2C%20np%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20nav_menu%20%3D%20mo.nav_menu(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Findex.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Ahome')%7D%20Home%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20orientation%3D%22vertical%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20nav_menu%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%203.1%20Maximum%20and%20Minimum%20Values%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Extremums%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20The%20concepts%20of%20maximum%20and%20minimum%20value%20of%20a%20function%20should%20be%20intuitive%20-%20they%20corresponds%20to%20the%20highest%20and%20lowest%20points%20of%20the%20graph%20of%20the%20function.%0A%0A%20%20%20%20To%20be%20more%20specific%2C%20we%20have%20the%20following%20definitions.%20Suppose%20%24f%3A%20X%20%5Cto%20Y%24%20is%20a%20function%2C%20then%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20We%20say%20that%20%24f%24%20has%20an%20absolute%20maximum%20(point)%20at%20%24c%24%2C%20if%20%24f(x)%20%5Cle%20f(c)%24%20for%20all%20%24x%20%5Cin%20X%24.%20We%20may%20also%20say%20that%20%24f(c)%24%20is%20the%20absolute%20maximum%20value%20of%20%24f%24%3B%0A%20%20%20%202.%20We%20say%20that%20%24f%24%20has%20an%20absolute%20minimum%20(point)%20at%20%24c%24%2C%20if%20%24f(x)%20%5Cge%20f(c)%24%20for%20all%20%24x%20%5Cin%20X%24.%20We%20may%20also%20say%20that%20%24f(c)%24%20is%20the%20absolute%20minimum%20value%20of%20%24f%24%3B%0A%20%20%20%203.%20We%20say%20that%20%24f%24%20has%20a%20local%20maximum%20(point)%20at%20%24c%24%2C%20if%20%24f(x)%20%5Cle%20f(c)%24%20for%20all%20%24x%24%20in%20some%20open%20interval%20containing%20%24c%24.%20We%20may%20also%20say%20that%20%24f(c)%24%20is%20a%20local%20maximum%20value%20of%20%24f%24%3B%0A%20%20%20%204.%20We%20say%20that%20%24f%24%20has%20a%20local%20minimum%20(point)%20at%20%24c%24%2C%20if%20%24f(x)%20%5Cge%20f(c)%24%20for%20all%20%24x%24%20in%20some%20open%20interval%20containing%20%24c%24.%20We%20may%20also%20say%20that%20%24f(c)%24%20is%20a%20local%20minimum%20value%20of%20%24f%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(go%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Define%20function%20and%20domain%0A%20%20%20%20x_vals_b%20%3D%20np.linspace(-np.pi%2C%20np.pi%20-%200.5%2C%20800)%0A%20%20%20%20f_b%20%3D%20lambda%20x%3A%20np.sin(2%20*%20x)%20%2B%20x%20%2F%202%0A%20%20%20%20y_vals_b%20%3D%20f_b(x_vals_b)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Critical%20points%20(approximate%20using%20derivative)%0A%20%20%20%20from%20scipy.signal%20import%20argrelextrema%0A%0A%20%20%20%20%23%20Detect%20interior%20extrema%0A%20%20%20%20local_max_idx_b%20%3D%20argrelextrema(y_vals_b%2C%20np.greater)%5B0%5D.tolist()%0A%20%20%20%20local_min_idx_b%20%3D%20argrelextrema(y_vals_b%2C%20np.less)%5B0%5D.tolist()%0A%0A%20%20%20%20%23%20Manually%20include%20endpoints%20if%20they%20qualify%0A%20%20%20%20if%20y_vals_b%5B0%5D%20%3E%20y_vals_b%5B1%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20local_max_idx_b.insert(0%2C%200)%0A%20%20%20%20elif%20y_vals_b%5B0%5D%20%3C%20y_vals_b%5B1%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20local_min_idx_b.insert(0%2C%200)%0A%0A%20%20%20%20if%20y_vals_b%5B-1%5D%20%3E%20y_vals_b%5B-2%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20local_max_idx_b.append(len(y_vals_b)%20-%201)%0A%20%20%20%20elif%20y_vals_b%5B-1%5D%20%3C%20y_vals_b%5B-2%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20local_min_idx_b.append(len(y_vals_b)%20-%201)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Absolute%20extrema%20at%20endpoints%0A%20%20%20%20abs_min_x_b%20%3D%20x_vals_b%5Bnp.argmin(y_vals_b)%5D%0A%20%20%20%20abs_max_x_b%20%3D%20x_vals_b%5Bnp.argmax(y_vals_b)%5D%0A%20%20%20%20abs_min_y_b%20%3D%20min(y_vals_b)%0A%20%20%20%20abs_max_y_b%20%3D%20max(y_vals_b)%0A%0A%20%20%20%20fig_b%20%3D%20go.Figure()%0A%0A%20%20%20%20%23%20Plot%20the%20function%0A%20%20%20%20fig_b.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_vals_b%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dy_vals_b%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Graph%20of%20function%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22blue%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Local%20maxima%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20local_max_idx_b%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig_b.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5Bx_vals_b%5Bi%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5By_vals_b%5Bi%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22markers%2Btext%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5Bf%22Local%20Max%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20textposition%3D%22top%20right%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(size%3D8%2C%20color%3D%22red%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Local%20Max%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Local%20minima%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20local_min_idx_b%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig_b.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5Bx_vals_b%5Bi%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5By_vals_b%5Bi%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22markers%2Btext%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5Bf%22Local%20Min%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20textposition%3D%22bottom%20center%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(size%3D8%2C%20color%3D%22green%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Local%20Min%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Absolute%20min%0A%20%20%20%20fig_b.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5Babs_min_x_b%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5Babs_min_y_b%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22markers%2Btext%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5Bf%22Abs%20Min%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20textposition%3D%22top%20right%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(size%3D10%2C%20color%3D%22black%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Abs%20Min%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Absolute%20max%0A%20%20%20%20fig_b.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5Babs_max_x_b%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5Babs_max_y_b%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22markers%2Btext%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5Bf%22Abs%20Max%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20textposition%3D%22top%20left%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(size%3D10%2C%20color%3D%22orange%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Abs%20Max%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Layout%0A%20%20%20%20fig_b.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Distinct%20Local%20and%20Absolute%20Extrema%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22x%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22f(x)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis%3Ddict(range%3D%5B-5%2C%204%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20template%3D%22plotly_white%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20Value%20vs%20Point%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20info%0A%0A%20%20%20%20The%20convention%20is%20that%20'**%E2%80%A6%20value'%20means%20for%20the%20%24y%24-coordinate**%20value%20and%20**'%E2%80%A6%20point'%20means%20for%20the%20%24x%24-coordinate**%20value.%0A%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20It%20particular%2C%20if%20the%20graph%20of%20the%20function%20is%20given%2C%20then%20absolute%20maximum%20correspond%20to%20the%20highest%20point(s)%20on%20the%20graph.%20There%20could%20be%20multiple%20absolute%20maximum%20because%20we%20used%20%24%5Cle%24%20in%20the%20definition.%20For%20example%2C%20%24%5Csin(x)%24%20has%20infinitely%20absolute%20maximum.%0A%0A%20%20%20%20It%20should%20be%20clear%20that%20an%20absolute%20minimum%20(resp.%20maximum)%20is%20also%20a%20local%20minimum%20(resp.%20maximum).%20But%20a%20local%20minimum%20(resp.%20maximum)%20is%20not%20necessarily%20an%20absolute%20minimum%20(resp.%20maximum).%0A%0A%20%20%20%20There%20are%20also%20other%20names%20of%20the%20above%20terms%2C%20here%20are%20some%20that%20you%20should%20know%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20If%20%24f%24%20has%20an%20absolute%20maximum%20or%20an%20absolute%20minimum%20at%20%24c%24%2C%20we%20say%20%24f%24%20has%20an%20extremum%2C%20or%20an%20absolute%20extremum%2C%20at%20%24c%24.%20We%20may%20also%20say%20that%20%24f(c)%24%20is%20an%20extreme%20value%2C%20or%20absolute%20extreme%20value%2C%20of%20%24f%24%3B%0A%20%20%20%202.%20If%20%24f%24%20has%20a%20local%20maximum%20or%20a%20local%20minimum%20at%20%24c%24%2C%20we%20say%20%24f%24%20has%20a%20local%20extremum%20at%20%24c%24.%20We%20may%20also%20say%20that%20%24f(c)%24%20is%20a%20local%20extreme%20value%20of%20%24f%24.%0A%0A%20%20%20%20Recall%20that%20%24%5Cinfty%24%20is%20NOT%20a%20real%20number%2C%20which%20means%20**we%20never%20have%20(absolute)%20extreme%20at%20%24%5Cinfty%24%2C%20or%20have%20%24%5Cinfty%24%20being%20the%20(absolute)%20extreme%20value**.%20There%20are%20concepts%20that%20allow%20%24%5Cinfty%24%20to%20be%20'extreme%20values'%2C%20called%20supremum%20and%20infimum%2C%20but%20they%20are%20out%20of%20scope%20of%20this%20course.%20In%20particular%2C%20absolute%20extremums%20may%20not%20exist.%0A%0A%20%20%20%20Local%20extremums%20also%20may%20not%20exist%2C%20though%20for%20a%20different%20reason.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Extreme%20Value%20Theorem%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22If%20%24f%24%20is%20**continuous**%20and%20is%20defined%20on%20a%20**closed%20interval**%20%24%5Ba%2Cb%5D%24%2C%20then%20%24f%24%20attains%20its%20**absolute%20maximum%20value%20and%20absolute%20minimum%20value**%20on%20the%20**closed%20interval**%20%24%5Ba%2Cb%5D%24.%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Remark%201%20Assumptions%20of%20the%20Theorem%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20We%20have%20two%20assumptions%3A%20%24f%24%20is%20**continuous**%2C%20and%20%24f%24%20is%20defined%20on%20a%20**closed**%20interval%2C%20neither%20of%20them%20can%20be%20omitted%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20Consider%20a%20function%20with%20graph%20below%2C%20then%3A%0A%20%20%20%20%09%24f%24%20is%20defined%20on%20a%20closed%20interval%20%24%5B1%2C3%5D%24%20but%20%24f%24%20is%20not%20continuous%20on%20%24%5B1%2C3%5D%24.%20%24f%24%20does%20not%20have%20absolute%20maximum%20nor%20absolute%20minimum%20on%20%24%5Ba%2Cb%5D%24%3B%0A%20%20%20%202.%20Consider%20the%20function%20%24f(x)%20%3D%20x%24%20defined%20on%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%20%3D%20(-%5Cinfty%2C%20%5Cinfty)%24.%20%24f%24%20is%20continuous%2C%20but%20it%20is%20not%20defined%20on%20a%20closed%20interval.%20%24f%24%20does%20not%20have%20absolute%20maximum%20nor%20absolute%20minimum%20on%20%24(-%5Cinfty%2C%20%5Cinfty)%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(go%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Left%20and%20right%20of%20the%20discontinuity%0A%20%20%20%20x1_evt%20%3D%20np.linspace(1%2C%201.99%2C%20400)%0A%20%20%20%20x2_evt%20%3D%20np.linspace(2.01%2C%203%2C%20400)%0A%20%20%20%20f_evt%20%3D%20lambda%20x%3A%201%20%2F%20(x%20-%202)%0A%0A%20%20%20%20y1_evt%20%3D%20f_evt(x1_evt)%0A%20%20%20%20y2_evt%20%3D%20f_evt(x2_evt)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Vertical%20asymptote%20at%20x%20%3D%202%0A%20%20%20%20x_asym_evt%20%3D%20%5B2%2C%202%5D%0A%20%20%20%20y_asym_evt%20%3D%20%5B-20%2C%2020%5D%0A%0A%20%20%20%20%23%20Plot%0A%20%20%20%20fig_evt%20%3D%20go.Figure()%0A%0A%20%20%20%20%23%20Left%20and%20right%20branches%0A%20%20%20%20fig_evt.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx1_evt%2C%20y%3Dy1_evt%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3D%22Graph%20of%20f%22%2C%20line%3Ddict(color%3D%22blue%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20fig_evt.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx2_evt%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dy2_evt%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22blue%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20fig_evt.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B2%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B0%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22markers%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22blue%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Vertical%20asymptote%0A%20%20%20%20fig_evt.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_asym_evt%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dy_asym_evt%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Discontinuity%20at%20x%20%3D%202%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22red%22%2C%20dash%3D%22dot%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Layout%0A%20%20%20%20fig_evt.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Function%20Discontinuous%20on%20%5B1%2C%203%5D%20%E2%80%94%20EVT%20Fails%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22x%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22f(x)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis%3Ddict(range%3D%5B0.9%2C%203.1%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis%3Ddict(range%3D%5B-20%2C%2020%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20template%3D%22plotly_white%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20f_evt%2C%20x_asym_evt%2C%20y_asym_evt%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Remark%202%20How%20to%20Correctly%20Use%20a%20Theorem%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Whenever%20you%20want%20to%20use%20a%20theorem%2C%20you%20have%20to%20check%20its%20assumptions**.%20Here%20is%20an%20easy%20example%20of%20how%20should%20you%20write%20down%20a%20solution%20of%20a%20problem%20involving%20using%20a%20theorem%3A%0A%0A%20%20%20%20Use%20the%20EVT%20to%20show%20%24f%3A%20%5B0%2C%201%5D%20%5Cto%20%5Cmathbb%7BR%7D%24%20given%20by%20%24f(x)%20%3D%202x%5E2%20%2B%203%24%20has%20absolute%20extremes.%0A%0A%20%20%20%20By%20the%20description%20of%20the%20problem%2C%20%24f%24%20is%20defined%20on%20a%20closed%20interval%20%24%5B0%2C1%5D%24.%20%24f%24%20is%20continuous%20because%20%24f%24%20is%20a%20polynomial.%20Thus%20by%20EVT%2C%20%24f%24%20has%20absolute%20extremes%20on%20%24%5B0%2C1%5D%24.%0A%0A%20%20%20%20Does%20%24f(x)%20%3D%202x%5E2%20%2B3%24%20have%20absolute%20extremes%20on%20%24(-10%2C10)%24%3F%20Probably%20it%20does%2C%20but%20that%20is%20NOT%20the%20result%20of%20EVT%2C%20since%20it%20is%20defined%20on%20%24(-10%2C%2010)%24%20which%20is%20an%20open%20interval%2C%20but%20the%20assumption%20is%20that%20the%20interval%20should%20be%20closed.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Critical%20Point%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Suppose%20%24f(x)%24%20is%20a%20function%2C%20then%20we%20say%20that%20%24c%24%20is%20a%20critical%20point%20(or%20a%20critical%20number)%20of%20%24f%24%2C%20if%20%24f'(c)%20%3D%200%24%20**or%20%24f'(c)%24%20does%20not%20exist**.%20In%20this%20case%2C%20we%20also%20say%20%24f(c)%24%20is%20a%20critical%20value%20of%20%24f%24.%0A%0A%20%20%20%20**In%20particular%2C%20if%20%24f%24%20is%20defined%20on%20a%20closed%20interval%2C%20then%20the%20end-points%20of%20its%20domain%20are%20always%20critical%20points**%20(because%20the%20derivative%20is%20never%20defined%20there).%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Fermat's%20Theorem%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Let%20%24f(x)%24%20be%20a%20function.%20Suppose%20%24f%24%20has%20an%20absolute%20extremum%20or%20local%20extremum%20at%20%24c%24%2C%20then%20%24c%24%20is%20a%20critical%20point%20of%20%24f%24.%0A%0A%20%20%20%20The%20converse%20is%20not%20true.%20Consider%20%24f(x)%20%3D%20x%5E3%24%20defined%20on%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%24%2C%20then%20%240%24%20is%20a%20critical%20point%20because%20%24f'(0)%20%3D%203%5Ccdot%200%5E2%20%3D%200%24%20but%20it%20is%20not%20an%20(absolute%20or%20local)%20extremum%20point.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(go%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Define%20function%0A%20%20%20%20x_cp%20%3D%20np.linspace(-5%2C%205%2C%20400)%0A%20%20%20%20y_cp%20%3D%20x_cp**3%0A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20figure%0A%20%20%20%20fig_cp%20%3D%20go.Figure()%0A%0A%20%20%20%20%23%20Plot%20f(x)%20%3D%20x%5E3%0A%20%20%20%20fig_cp.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_cp%2C%20y%3Dy_cp%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3D%22f(x)%20%3D%20x%C2%B3%22%2C%20line%3Ddict(color%3D%22blue%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Mark%20the%20critical%20point%20at%20(0%2C%200)%0A%20%20%20%20fig_cp.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B0%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B0%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22markers%2Btext%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(size%3D10%2C%20color%3D%22red%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5B%22Critical%20Point%20(0%2C%200)%3Cbr%3ENot%20a%20Local%20Extrema%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20textposition%3D%22top%20right%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Critical%20Point%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Layout%0A%20%20%20%20fig_cp.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22f(x)%20%3D%20x%C2%B3%20%E2%80%94%20Critical%20Point%20with%20No%20Local%20Min%20or%20Max%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22x%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22f(x)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20template%3D%22plotly_white%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis%3Ddict(range%3D%5B-6%2C%206%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis%3Ddict(range%3D%5B-10%2C%2010%5D)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Fermat's%20Theorem%20tells%20us%20to%20find%20the%20extremums%20of%20%24f%24%2C%20we%20only%20need%20to%20check%20the%20critical%20points.%20However%2C%20remember%20that%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20Say%20%24c%24%20is%20a%20critical%20point%20of%20%24f%24%2C%20if%20we%20only%20use%20Fermat's%20Theorem%2C%20it%20will%20not%20tell%20us%20if%20this%20point%20is%20absolute%20maximum%2Fminimum%20or%20local%20maximum%2Fminimum%3B%0A%20%20%20%202.%20None%20of%20absolute%20or%20local%20extremums%20has%20to%20exist.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(f_evt%2C%20go%2C%20np%2C%20x_asym_evt%2C%20y_asym_evt)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Left%20and%20right%20of%20the%20discontinuity%0A%20%20%20%20x1_evt_2%20%3D%20np.linspace(1%2C%201.99%2C%20400)%0A%20%20%20%20x2_evt_2%20%3D%20np.linspace(2.01%2C%203%2C%20400)%0A%20%20%20%20f_evt_2%20%3D%20lambda%20x%3A%201%20%2F%20(x%20-%202)%0A%0A%20%20%20%20y1_evt_2%20%3D%20f_evt(x1_evt_2)%0A%20%20%20%20y2_evt_2%20%3D%20f_evt(x2_evt_2)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Vertical%20asymptote%20at%20x%20%3D%202%0A%20%20%20%20x_asym_evt_2%20%3D%20%5B2%2C%202%5D%0A%20%20%20%20y_asym_evt_2%20%3D%20%5B-20%2C%2020%5D%0A%0A%20%20%20%20%23%20Plot%0A%20%20%20%20fig_evt_2%20%3D%20go.Figure()%0A%0A%20%20%20%20%23%20Left%20and%20right%20branches%0A%20%20%20%20fig_evt_2.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx1_evt_2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dy1_evt_2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Graph%20of%20f%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22blue%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20fig_evt_2.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx2_evt_2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dy2_evt_2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22blue%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20fig_evt_2.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B2%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B0%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22markers%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22blue%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Vertical%20asymptote%0A%20%20%20%20fig_evt_2.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_asym_evt%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dy_asym_evt%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Discontinuity%20at%20x%20%3D%202%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22red%22%2C%20dash%3D%22dot%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Layout%0A%20%20%20%20fig_evt_2.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Function%20Discontinuous%20on%20%5B1%2C%203%5D%20%E2%80%94%20EVT%20Fails%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22x%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22f(x)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis%3Ddict(range%3D%5B0.9%2C%203.1%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis%3Ddict(range%3D%5B-20%2C%2020%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20template%3D%22plotly_white%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20For%20example%2C%20consider%20the%20function%20with%20the%20above%20graph%20again%3A%0A%0A%20%20%20%20%242%24%20is%20a%20critical%20point%20of%20%24f%24%20because%20%24%5Cdisplaystyle%20f'(2)%24%20does%20not%20exist%20(why%3F).%20It%20is%20not%20an%20(absolute%20or%20local)%20extremum.%20%241%24%20and%20%243%24%20are%20also%20critical%20points%20(they%20are%20end-points)%2C%20from%20the%20graph%20we%20can%20see%20they%20are%20local%20maximum%20%2F%20minimum%20respectively%2C%20but%20it%20is%20not%20a%20direct%20result%20from%20Fermat's%20Theorem.%0A%0A%20%20%20%20Nevertheless%2C%20we%20can%20have%20specific%20solution%20for%20a%20much%20restricted%20type%20of%20question%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Closed%20Interval%20Method%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20By%20Fermat's%20Theorem%2C%20we%20can%20find%20the%20**absolute**%20extremums%20of%20a%20**continuous**%20function%20%24f%24%20on%20a%20**closed**%20interval%20%24%5Ba%2C%20b%5D%24.%20Here%20are%20the%20steps%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20Find%20the%20critical%20points%20of%20%24f%24%2C%20that%20is%2C%20%24c%20%5Cin%20%5Ba%2C%20b%5D%24%20such%20that%20%24f'(c)%20%3D%200%24%20or%20%24f'(c)%24%20does%20not%20exist.%20**Remember%20to%20include%20%24a%2C%20b%24**%20because%20the%20end-points%20are%20always%20critical%20points%3B%0A%20%20%20%202.%20Evaluate%20%24f(c)%24%20at%20all%20the%20critical%20points%20%24c%24%20we%20found%20above%3B%0A%20%20%20%203.%20Compare%20those%20values%2C%20the%20largest%20value%20from%20step%202%20is%20the%20absolute%20maximum%20value%20of%20%24f%24%20and%20the%20corresponding%20%24c%24%20is%20the%20absolute%20maximum%20of%20%24f%24%3B%20the%20smallest%20value%20from%20step%202%20is%20the%20absolute%20minimum%20value%20of%20%24f%24%20and%20the%20corresponding%20%24c%24%20is%20the%20absolute%20minimum%20of%20%24f%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20End-points%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20danger%0A%0A%20%20%20%20When%20you%20apply%20the%20closed%20interval%20method%2C%20always%20remember%20to%20include%20the%20end-points.%20They%20are%20crucial.%0A%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Find%20the%20absolute%20maximum%20and%20minimum%20of%20%24f(x)%20%3D%20(x%5E2-1)%5E5%24%20defined%20on%20%24%5B0%2C2%5D%24.%0A%0A%20%20%20%20First%2C%20we%20need%20to%20find%20the%20critical%20points%2C%20these%20are%20%24c%24's%20inside%20%24%5B0%2C2%5D%24%20that%20satisfy%20%24f'(c)%20%3D%200%24%20or%20%24f'(c)%24%20does%20not%20exist.%20We%20evaluate%20the%20derivative%20of%20%24f%24%20first%3A%20%24f'(x)%20%3D%205(x%5E2-1)%5E4(2x)%24%20(apply%20Chain%20Rule)%20%24%3D%2010x(x%5E2-1)%5E4%24.%0A%0A%20%20%20%20Do%20not%20expand%20the%20expression%20here%3A%20to%20find%20%24c%24%20such%20that%20%24f'(c)%20%3D%200%24%2C%20we%20want%20to%20have%20%2410x(x%5E2-1)%5E4%20%3D%200%24%2C%20that%20is%20either%20%24x%20%3D%200%24%20or%20%24x%5E2%20-%201%20%3D%200%20%5Cimplies%20x%20%3D%20%5Cpm%201%24.%20Since%20%240%24%20is%20an%20end-point%2C%20technically%20%24f'(0)%24%20is%20not%20%240%24%2C%20but%20%240%24%20is%20a%20critical%20point%20anyway.%20We%20also%20need%20to%20include%20%242%24%20(it%20is%20an%20end-point)%20and%20exclude%20%24-1%24%20(it%20is%20not%20in%20%24%5B0%2C2%5D%24).%0A%0A%20%20%20%20So%20the%20candidates%20for%20the%20extremums%20are%20%240%2C%201%2C%202%24.%20We%20evaluate%20the%20function%20at%20these%20points%3A%20%24f(0)%20%3D%20(0%5E2%20-%201)%5E5%20%3D%20-1%24%2C%20%24f(1)%20%3D%20(1%5E2-1)%5E5%20%3D%200%24%2C%20and%20%24f(2)%20%3D%20(4-1)%5E5%20%3D%20243%24.%0A%0A%20%20%20%20Compare%20these%20values%2C%20we%20shall%20see%20the%20absolute%20maximum%20is%20achieved%20at%20%240%24%20with%20value%20%24-1%24%2C%20absolute%20minimum%20is%20achieved%20at%20%242%24%20with%20value%20%24243%24.%0A%0A%20%20%20%20On%20the%20exam%20the%20question%20may%20specifically%20ask%20you%20to%20provide%20%24(x%2Cy)%24%20coordinates%20for%20the%20extremum%20points%2C%20in%20that%20case%2C%20you%20should%20write%20%24(0%2C-1)%24%20and%20%24(2%2C%20243)%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A