Calculus I 13

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.13.7%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20nav_menu%20%3D%20mo.nav_menu(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Findex.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Ahome')%7D%20Home%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20orientation%3D%22vertical%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20nav_menu%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20MTH%20161%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20danger%0A%0A%20%20%20%202.8%20is%20part%20of%20MTH%20151%20curriculum%2C%20but%20not%20in%20MTH%20161.%0A%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%202.8%20Linear%20Approximation%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Linear%20Approximation%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Recall%20the%20definition%20of%20derivative%20of%20%24f%24%20at%20a%20point%20%24a%24%20is%20given%20by%20%24%24f'(a)%20%3D%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%20a%7D%20%5Cfrac%7Bf(x)%20-%20f(a)%7D%7Bx%20-%20a%7D.%24%24%20This%20means%20that%20%24%24f'(a)%20%5Capprox%20%5Cfrac%7Bf(x)%20-%20f(a)%7D%7Bx%20-%20a%7D%2C%20%5Ctext%7B%20if%20%7Dx%5Ctext%7B%20is%20close%20to%20%7Da.%24%24%20Rearrange%20this%20expression%2C%20we%20get%20%24%24f(x)%20%5Capprox%20f(a)%20%2B%20f'(a)(x-a)%2C%24%24%20again%20given%20that%20%24x%24%20and%20%24a%24%20are%20close.%0A%0A%20%20%20%20We%20denote%20the%20RHS%20as%20%24L(x)%24%20or%20%24L_f(x%2Ca)%24%2C%20and%20it%20is%20called%20the%20linearization%20of%20%24f%24%20at%20%24a%24%2C%20it%20is%20a%20function%20of%20%24x%24.%20%24L(x)%24%20is%20the%20linear%20approximation%20of%20%24f(x)%24%20for%20%24x%24%20close%20to%20%24a%24.%20It%20is%20also%20called%20the%20tangent%20linear%20approximation%3A%20since%20the%20expression%20of%20%24L(x)%24%20is%20given%20by%20%24%24L(x)%20%3D%20f(a)%20%2B%20f'(a)(x-a)%24%24%20where%20%24a%2C%20f(a)%2C%20f'(a)%24%20are%20all%20constant%2C%20the%20graph%20of%20%24L(x)%24%20is%20a%20straight%20line%2C%20passing%20the%20point%20%24(a%2C%20f(a))%24%20which%20is%20on%20the%20graph%20of%20%24f(x)%24%2C%20and%20has%20slope%20%24f'(a)%24.%20Thus%20%24L(x)%24%20is%20exactly%20the%20tangent%20line%20of%20the%20graph%20of%20%24f(x)%24%20at%20%24x%20%3D%20a%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%201%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Use%20linear%20approximation%20to%20approximate%20%24%5Csin(0.1)%24.%0A%0A%20%20%20%20We%20approximate%20%24%5Csin(0.1)%24%20by%20sine%20at%20%240%24.%20By%20the%20above%20formula%2C%20%24%24f(x)%20%5Capprox%20L(x)%20%3D%20%5Csin(0)%20%2B%20%5Csin'(0)(x%20-%200)%20%3D%20%5Ccos(0)x%20%3D%20x%24%24%20if%20%24x%24%20is%20close%20to%20%24a%24.%20In%20particular%2C%20%24f(0.1)%20%5Capprox%200.1%24.%0A%0A%20%20%20%20Use%20a%20calculator%2C%20we%20can%20check%20that%20%24%24%5Csin(0.1)%20%5Capprox%200.0998334%E2%80%A6%2C%24%24%20so%20our%20approximation%20is%20pretty%20good.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Non-Example%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Approximate%20%24%5Csin(%5Cpi)%24%20using%20the%20linearization%20of%20%24f%24%20at%20%240%24.%0A%0A%20%20%20%20By%20above%2C%20if%20we%20do%20the%20linearization%20at%20%240%24%2C%20we%20get%20%24f(x)%20%5Capprox%20x%24%2C%20thus%20%24%24%5Csin(%5Cpi)%20%5Capprox%20%5Cpi%20%5Capprox%203.1415926%E2%80%A6%2C%24%24%20but%20we%20know%20%24%5Csin(%5Cpi)%20%3D%200%24.%20The%20approximation%20is%20pretty%20bad%20because%20%24%5Cpi%24%20is%20not%20considered%20'close%20to%20%240%24'.%20However%2C%20there%20is%20no%20general%20way%20to%20indicate%20which%20%24x%24's%20are%20considered%20%22close%20to%20%24a%24%22%20for%20a%20given%20%24a%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%202%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Use%20linearization%20of%20%24%24f(x)%20%3D%20(1%2Bx)%5Ep%24%24%20to%20approximate%20%24%5Csqrt%7B0.99%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20Use%20the%20formula%2C%20we%20get%2C%20when%20%24x%24%20is%20close%20to%20%240%24%2C%20%24%24f(x)%20%5Capprox%20L(x)%20%3D%20(1%2B0)%5Ep%20%2B%20f'(0)(x%20-%200)%20%3D%201%20%2B%20px.%24%24%20In%20our%20case%2C%20we%20plugin%20%24x%20%3D%20-0.01%24%2C%20%24p%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%24%20so%20that%20%24%24f(-0.01)%20%3D%20%5Csqrt%7B1-0.01%7D%20%3D%20%5Csqrt%7B0.99%7D.%24%24%20The%20linear%20approximation%20gives%20%24%24f(x)%20%5Capprox%201%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D0.01%20%3D%200.995.%24%24%20A%20calculator%20will%20tell%20us%20%24%5Csqrt%7B0.99%7D%20%5Capprox%200.994987%E2%80%A6%24%2C%20so%20again%20we%20get%20a%20pretty%20good%20approximation.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Differential%20Approximation%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Recall%20again%20we%20have%20the%20definition%20of%20derivative%20%24%24f'(a)%20%3D%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%20a%7D%20%5Cfrac%7Bf(x)%20-%20f(a)%7D%7Bx%20-%20a%7D%2C%24%24%20with%20Leibniz%20notation%20we%20can%20write%20it%20as%20%24%24%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%20%3D%20f'(x).%24%24%20Notice%20here%20%24dy%24%20and%20%24dx%24%20are%20merely%20notations%2C%20we%20can%20think%20%24dx%24%20as%20a%20variable%20(that%20is%20independent%20from%20%24x%24)%20and%20%24dy%24%20is%20a%20function%20of%20%24dx%24%20and%20%24x%24.%20We%20can%20write%20the%20above%20expression%20as%20%24%24dy%20%3D%20f'(x)dx%2C%24%24%20and%20%24dy%24%20is%20known%20as%20the%20differential%20of%20%24y%24.%0A%0A%20%20%20%20Differentials%20can%20be%20used%20to%20estimate%20the%20change%20in%20the%20value%20of%20a%20function%20resulting%20from%20a%20small%20change%20in%20input%20values.%20Consider%20a%20function%20%24f%24%20that%20is%20differentiable%20at%20%24a%24.%20Suppose%20the%20input%20is%20changed%20by%20a%20small%20amount%2C%20and%20we%20want%20to%20find%20how%20much%20is%20the%20output%20changed.%0A%0A%20%20%20%20Suppose%20%24x%24%20is%20changed%20from%20%24a%24%20to%20%24a%20%2B%20dx%24%2C%20so%20that%20the%20change%20is%20%24dx%24%20(or%20denoted%20as%20%24%5CDelta%20x%24)%2C%20then%20the%20change%20in%20%24y%24%20is%20given%20by%20%24%24%5CDelta%20y%20%3D%20f(a%20%2B%20dx)%20-%20f(a)%24%24%20(this%20is%20not%20approximation).%20Instead%20of%20calculating%20the%20actual%20change%20in%20%24y%24%2C%20it%20is%20often%20easier%20to%20approximate%20the%20change%20in%20%24y%24%20using%20a%20linear%20approximation.%20By%20above%2C%20%24%24f(x)%20%5Capprox%20L(x)%20%3D%20f(a)%20%2B%20f'(a)(x-a)%2C%24%24%20if%20%24dx%24%20is%20small%2C%20then%20we%20have%20%24%24f(a%2Bdx)%20%5Capprox%20L(a%20%2B%20dx)%20%3D%20f(a)%20%2B%20f'(a)(a%2Bdx%20-%20a)%2C%24%24%20rearrange%20we%20get%20%24%24f(a%2Bdx)%20-%20f(a)%20%5Capprox%20f'(a)dx%2C%24%24%20but%20LHS%20is%20exactly%20%24%5CDelta%20y%24%2C%20and%20RHS%20is%20%24dy%24%20as%20discussed%20above%2C%20thus%20%24%24%5CDelta%20y%20%5Capprox%20dy%20%3D%20f'(a)dx.%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%3Cimg%20src%3D%22public%2FPasted%20image%2020220315182352.png%22%20width%3D%22600%22%20%2F%3E%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%201%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Suppose%20%24y%20%3D%20x%5E2%20%2B%20x%24%2C%20compute%20and%20compare%20%24%5CDelta%20y%24%20and%20%24dy%24%20at%20%24x%20%3D%205%24%20with%20%24dx%20%3D%200.1%24.%0A%0A%20%20%20%20The%20actual%20change%20of%20%24y%24%20from%20%24x%20%3D%205%24%20to%20%24x%20%3D%205.1%24%20is%20%24%24%5CDelta%20y%20%3D%205.1%5E2%20%2B%205.1%20-%205%5E2%20-%205%20%3D%201.11.%24%24%20The%20approximation%20%24%24dy%20%3D%20f'(a)dx%20%3D%20f'(5)%5Ccdot%200.1%20%3D%2011%20%5Ccdot%200.1%20%3D%201.1.%24%24%20The%20difference%20is%20%240.01%24%2C%20which%20is%20pretty%20good.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%202%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Suppose%20we%20have%20a%20container%20of%20a%20shape%20of%20semi-sphere.%20We%20measure%20the%20radius%20of%20the%20(large%20circle%20of%20the)%20container%20to%20be%20%241%24%20meter%2C%20but%20the%20measure%20is%20not%20exact%2C%20that%20the%20actual%20radius%20is%20%241%20%5Cpm%200.01%24%20meters.%20Use%20differentials%20to%20estimate%20the%20error%20in%20the%20computed%20volume%20of%20the%20container.%0A%0A%20%20%20%20The%20volume%20of%20the%20container%20is%20given%20by%20%24%24V%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%20%5Cpi%20r%5E3%20%3D%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Cpi%20r%5E3%2C%24%24%20which%20is%20a%20function%20depends%20on%20%24r%24.%20By%20the%20formula%2C%20%24%24%5CDelta%20V%20%5Capprox%20dV%20%3D%202%5Cpi%20r%5E2dr%20%3D%20%5Cpm%200.02%20%5Cpi.%24%24%20The%20actual%20possible%20error%20is%20%24%24%5CDelta%20V%20%3D%20f(1%20%5Cpm%200.01)%20-%20f(1)%20%3D%200.0202007%20%5Cpi%2C%20%5Ctext%7B%20or%20%7D-0.0198007%5Cpi.%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A