Calculus I 11

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.13.7%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20plotly.graph_objects%20as%20go%0A%0A%20%20%20%20return%20go%2C%20mo%2C%20np%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20nav_menu%20%3D%20mo.nav_menu(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Findex.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Ahome')%7D%20Home%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20orientation%3D%22vertical%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20nav_menu%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%202.6%20Application%20of%20Chain%20Rule%20Implicit%20Differentiation%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Motivation%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Recall%20a%20function%20%24f%3A%20X%20%5Cto%20Y%24%20is%20a%20rule%20that%20assigns%20**each**%20%24x%20%5Cin%20X%24%20**exactly%20one**%20value%20%24f(x)%20%3D%20y%20%5Cin%20Y%24.%20If%20a%20rule%20assigns%20an%20%24x%24%20more%20than%20one%20value%20in%20%24Y%24%2C%20its%20graph%20will%20fail%20the%20vertical-line-test%2C%20and%20this%20rule%20cannot%20be%20a%20function.%0A%0A%20%20%20%20**(Throughout%20this%20section%2C%20%24y%24%20is%20always%20a%20variable%20that%20depends%20on%20%24x%24)**%0A%0A%20%20%20%20Sometimes%20this%20restriction%20makes%20our%20life%20(unnecessarily)%20hard.%20For%20example%2C%20if%20we%20want%20to%20consider%20a%20(set%20of)%20rule%2C%20such%20that%20it's%20graph%20is%20a%20circle%2C%20then%20we%20have%20to%20use%20(at%20least)%20two%20functions%2C%20otherwise%20it%20will%20fail%20the%20vertical-line-test%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(go%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Unit%20circle%20parameterization%0A%20%20%20%20theta%20%3D%20np.linspace(0%2C%202%20*%20np.pi%2C%20500)%0A%20%20%20%20x_circle%20%3D%20np.cos(theta)%0A%20%20%20%20y_circle%20%3D%20np.sin(theta)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Vertical%20line%20at%20x%20%3D%200.5%0A%20%20%20%20x_line%20%3D%20np.full(500%2C%200.5)%0A%20%20%20%20y_line%20%3D%20np.linspace(-1.2%2C%201.2%2C%20500)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20figure%0A%20%20%20%20fig_1%20%3D%20go.Figure()%0A%0A%20%20%20%20%23%20Circle%0A%20%20%20%20fig_1.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_circle%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dy_circle%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Unit%20Circle%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22blue%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Vertical%20line%0A%20%20%20%20fig_1.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_line%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dy_line%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22x%20%3D%200.5%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22red%22%2C%20dash%3D%22dot%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Intersections%20(for%20clarity)%0A%20%20%20%20intersect_y%20%3D%20np.sqrt(1%20-%200.5**2)%0A%20%20%20%20fig_1.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B0.5%2C%200.5%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5Bintersect_y%2C%20-intersect_y%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22markers%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(size%3D10%2C%20color%3D%22black%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Intersections%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Layout%0A%20%20%20%20fig_1.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Unit%20Circle%20and%20Vertical%20Line%20(Fails%20Vertical%20Line%20Test)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22x%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22y%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis%3Ddict(scaleanchor%3D%22y%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis%3Ddict(scaleanchor%3D%22x%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20template%3D%22plotly_white%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20So%20in%20certain%20cases%2C%20we%20would%20like%20to%20lift%20this%20restriction%2C%20and%20write%20the%20rule%20differently.%20For%20example%2C%20a%20point%20is%20on%20the%20unit%20circle%20if%20and%20only%20if%20its%20coordinate%20%24(x%2C%20y)%24%20satisfies%20%24x%5E2%20%2B%20y%5E2%20%3D%201%24%20(this%20is%20not%20a%20function!).%20A%20rule%20described%20in%20this%20way%20is%20called%20an%20implicit%20function.%0A%0A%20%20%20%20Sometimes%20it%20is%20possible%20to%20solve%20this%20equation%20so%20that%20we%20can%20express%20%24y%24%20as%20one%20or%20more%20functions%20of%20%24x%24%2C%20but%20not%20always.%0A%0A%20%20%20%20(To%20differ%20implicit%20function%20and%20function%20in%20the%20usual%20sense%2C%20sometimes%20we%20call%20function%20in%20the%20usual%20sense%20'explicit%20function'.%20Technically%2C%20explicit%20function%20is%20a%20type%20of%20implicit%20function.)%0A%0A%20%20%20%20For%20example%2C%20the%20implicit%20function%20%24x%5E2%20%2B%20y%5E2%20%3D%201%24%20can%20be%20expresses%20by%20two%20explicit%20functions%20%24y%20%3D%20%5Csqrt%7B1%20-%20x%5E2%7D%24%20and%20%24y%20%3D%20-%5Csqrt%7B1%20-%20x%5E2%7D%24%20(their%20graphs%20are%20the%20upper%20%26%20lower%20half-circles%2C%20respectively).%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%20(Folium%20of%20Descartes)%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22The%20curve%20described%20by%20%24x%5E3%20%2B%20y%5E3%20-%203axy%20%3D%200%24%20for%20some%20positive%20%24a%24%20is%20known%20as%20the%20folium%20of%20Descartes%3A%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(go%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20a%20grid%20over%20x%20and%20y%0A%20%20%20%20x%20%3D%20np.linspace(-4%2C%204%2C%20400)%0A%20%20%20%20y%20%3D%20np.linspace(-4%2C%204%2C%20400)%0A%20%20%20%20X%2C%20Y%20%3D%20np.meshgrid(x%2C%20y)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Define%20the%20implicit%20function%3A%20F(x%2C%20y)%20%3D%20x%5E3%20%2B%20y%5E3%20-%206xy%0A%20%20%20%20Z%20%3D%20X**3%20%2B%20Y**3%20-%206%20*%20X%20*%20Y%0A%0A%20%20%20%20%23%20Plot%20the%20zero-level%20contour%3A%20F(x%2C%20y)%20%3D%200%0A%20%20%20%20fig_2%20%3D%20go.Figure()%0A%0A%20%20%20%20fig_2.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Contour(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dy%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20z%3DZ%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20contours%3Ddict(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20coloring%3D%22none%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlabels%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20labelfont%3Ddict(size%3D12%2C%20color%3D%22black%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20end%3D0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20size%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22blue%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showscale%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3Dr%22%24x%5E3%20%2B%20y%5E3%20-%206xy%20%3D%200%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Make%20it%20square%0A%20%20%20%20fig_2.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Dr%22Implicit%20Curve%3A%20%24x%5E3%20%2B%20y%5E3%20-%206xy%20%3D%200%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22x%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22y%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis%3Ddict(scaleanchor%3D%22y%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis%3Ddict(scaleanchor%3D%22x%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20template%3D%22plotly_white%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22This%20curve%20fails%20the%20vertical-line-test%2C%20but%20can%20be%20expressed%20as%20few%20pieces%20of%20graphs%20of%20functions%20together%3A%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(go%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20a%20grid%0A%20%20%20%20x_e%20%3D%20np.linspace(-3%2C%204%2C%208000)%0A%20%20%20%20y_e%20%3D%20np.linspace(-3%2C%204%2C%208000)%0A%20%20%20%20X_e%2C%20Y_e%20%3D%20np.meshgrid(x_e%2C%20y_e)%0A%20%20%20%20Z_e%20%3D%20X_e**3%20%2B%20Y_e**3%20-%206%20*%20X_e%20*%20Y_e%0A%0A%20%20%20%20%23%20Approximate%20zero%20level%20set%0A%20%20%20%20tol%20%3D%200.001%0A%20%20%20%20mask%20%3D%20np.abs(Z_e)%20%3C%20tol%0A%20%20%20%20x_vals%20%3D%20X_e%5Bmask%5D%0A%20%20%20%20y_vals%20%3D%20Y_e%5Bmask%5D%0A%0A%20%20%20%20%23%20Categorize%20by%20quadrant%0A%20%20%20%20branches%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22lower-right%22%3A%20(x_vals%20%3E%200)%20%26%20(y_vals%20%3C%200)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22upper-left%22%3A%20((x_vals%20%3C%200)%20%26%20(y_vals%20%3E%200))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20((x_vals%20%3E%200)%20%26%20(y_vals%20%3E%200)%20%26%20(x_vals%20%3E%20y_vals))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22upper-right%22%3A%20(x_vals%20%3E%200)%20%26%20(y_vals%20%3E%200)%20%26%20(x_vals%20%3C%20y_vals)%2C%0A%20%20%20%20%7D%0A%0A%20%20%20%20styles%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22lower-right%22%3A%20dict(color%3D%22red%22%2C%20dash%3D%22dot%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22upper-left%22%3A%20dict(color%3D%22green%22%2C%20dash%3D%22dash%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22upper-right%22%3A%20dict(color%3D%22blue%22%2C%20dash%3D%22solid%22)%2C%0A%20%20%20%20%7D%0A%0A%20%20%20%20fig_3%20%3D%20go.Figure()%0A%0A%20%20%20%20%23%20For%20each%20branch%2C%20extract%2C%20sort%2C%20and%20plot%0A%20%20%20%20for%20name%2C%20cond%20in%20branches.items()%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_branch%20%3D%20x_vals%5Bcond%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y_branch%20%3D%20y_vals%5Bcond%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Sort%20by%20x%20if%20x%20variation%20is%20dominant%2C%20else%20by%20y%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20np.ptp(x_branch)%20%3E%20np.ptp(y_branch)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20sorted_indices%20%3D%20np.argsort(x_branch)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20sorted_indices%20%3D%20np.argsort(y_branch)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_sorted%20%3D%20x_branch%5Bsorted_indices%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y_sorted%20%3D%20y_branch%5Bsorted_indices%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig_3.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_sorted%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dy_sorted%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22markers%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Dstyles%5Bname%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3Dname.replace(%22-%22%2C%20%22%20%22).title()%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Layout%0A%20%20%20%20fig_3.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Dr%22Smooth%20Explicit%20Branches%20of%20%24x%5E3%20%2B%20y%5E3%20-%206xy%20%3D%200%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22x%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22y%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis%3Ddict(scaleanchor%3D%22y%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis%3Ddict(scaleanchor%3D%22x%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20template%3D%22plotly_white%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20(The%20above%20picture%20is%20not%20an%20*exactly*%20correct%20illustration%2C%20can%20you%20see%20why%3F)%0A%0A%20%20%20%20It%20is%20hard%2C%20though%20possible%2C%20to%20write%20down%20these%20functions%20explicitly.%20So%20why%20do%20we%20need%20implicit%20functions%3F%20Because%20sometimes%20it%20is%20impossible%20to%20write%20an%20implicit%20function%20into%20multiple%20explicit%20ones.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Motivation%2C%20Continued%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20In%20general%2C%20implicit%20functions%20like%20above%2C%20i.e.%20implicit%20functions%20of%20the%20form%20%24P_n(x)y%5En%20%2B%20P_%7Bn-1%7D(x)y%5E%7Bn-1%7D%2B%5Cdots%20%2B%20P_1(x)y%20%2B%20P_0(x)%20%3D%200%24%2C%20where%20%24P_i(x)%24's%20are%20polynomials%20of%20%24x%24%2C%20are%20called%20algebraic%20functions%20(in%20particular%2C%20there%20is%20no%20terms%20like%20%24%5Csin(x)%24%2C%20etc.).%0A%0A%20%20%20%20You%20may%20think%20that%20implicit%20functions%2C%20or%20at%20least%20algebraic%20functions%2C%20can%20always%20be%20written%20as%20a%20collection%20of%20explicit%20functions.%20But%20this%20is%20not%20true.%20In%20fact%2C%20this%20is%20not%20true%20even%20for%20algebraic%20functions.%20**In%20general%2C%20quintic%20polynomials%20(polynomials%20with%20degree%20%245%24)%20do%20not%20have%20explicit%20solutions**%2C%20thus%20in%20general%20an%20algebraic%20function%20with%20highest%20degree%20of%20%24y%24%20being%20greater%20than%20or%20equals%20to%20%245%24%20cannot%20be%20expressed%20as%20a%20collection%20of%20explicit%20functions%20(of%20%24x%24).%0A%0A%20%20%20%20The%20point%20is%3A%20for%20an%20implicit%20function%2C%20%24y%24%20still%20depends%20on%20%24x%24%2C%20so%20it%20still%20makes%20sense%20to%20talk%20about%20'rate%20of%20change%20of%20%24y%24%20with%20respect%20to%20%24x%24'%2C%20or%20in%20other%20words%2C%20derivative%20of%20%24y%24%20with%20respect%20to%20%24x%24.%20For%20some%20of%20the%20implicit%20functions%2C%20like%20the%20circle%2C%20we%20can%20write%20it%20as%20a%20collection%20of%20explicit%20functions%20and%20evaluate%20the%20derivative%20in%20the%20old%20way.%20However%2C%20**we%20need%20a%20different%20method%20if%20we%20cannot%20find%20the%20explicit%20functions%2C%20or%20if%20these%20functions%20are%20too%20hard%20to%20be%20written**.%20We%20call%20the%20procedure%20of%20differentiating%20an%20implicit%20function%20'implicit%20differentiation'.%20It%20is%20done%20as%20follow%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Implicit%20Differentiation%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Implicit%20differentiation%20(with%20respect%20to%20%24x%24)%20is%20done%20by%20viewing%20%24y%24%20as%20a%20function%20of%20%24x%24.%20We%20calculate%20the%20derivative%20in%20the%20usual%20manner%20-%20with%20the%20only%20difference%20that%20whenever%20we%20see%20%24y%24%2C%20we%20treat%20it%20with%20the%20Chain%20Rule.%0A%0A%20%20%20%20Let%20us%20calculate%20%24y'%24%20for%20the%20implicit%20function%20%24x%5E3%20%2B%20y%5E3%20%3D%206xy%24%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20Write%20differential%20signs%20at%20each%20sides%3A%20%24(x%5E3%20%2B%20y%5E3)'%20%3D%20(6xy)'%24.%20**Keep%20in%20mind%20that%20we%20are%20differentiating%20with%20respect%20to%20%24x%24**%3B%0A%20%20%20%202.%20For%20LHS%2C%20first%20we%20use%20summation%20rule%3A%20%24(x%5E3%20%2B%20y%5E3)'%20%3D%20(x%5E3)'%20%2B%20(y%5E3)'%24.%20The%20derivative%20of%20%24x%5E3%24%20is%20%243x%5E2%24%20as%20usual.%20The%20derivative%20of%20%24y%5E3%24%20can%20be%20more%20carefully%20written%20as%20%24%5Cbigg(%5CBig(y(x)%5CBig)%5E3%5Cbigg)'%24%20and%20we%20apply%20the%20Chain%20Rule%2C%20which%20says%20it%20equals%20the%20product%20of%3A%0A%20%20%20%20%091.%20The%20derivative%20of%20%24y%5E3%24%20with%20respect%20to%20%24y%24%2C%20which%20is%20%243y%5E2%24%2C%20and%0A%20%20%20%20%092.%20The%20derivative%20of%20%24y%24%20with%20respect%20to%20%24x%24%2C%20which%20we%20do%20not%20know%20(*this%20is%20what%20we%20are%20looking%20for*!)%2C%20so%20we%20just%20put%20%24y'%24%20here.%20That%20is%2C%20the%20derivative%20of%20%24y%5E3%24%20with%20respect%20to%20%24x%24%20is%20%243y%5E2y'%24.%20Put%20things%20together%2C%20the%20LHS%20equals%20%243x%5E2%20%2B%203y%5E2y'%24%3B%0A%20%20%20%203.%20For%20RHS%2C%20**there%20is%20a%20product%20%24x%24%20times%20%24y%24%2C%20so%20we%20need%20to%20apply%20the%20product%20rule**%3A%20%24(6xy)'%20%3D%20(6x)'y%20%2B%206x(y)'%24%2C%20which%20equals%20%246y%20%2B%206xy'%24%3B%0A%20%20%20%204.%20Put%20things%20together%2C%20we%20get%20that%20%24%243x%5E2%20%2B%203y%5E2y'%20%3D%206y%20%2B%206xy'%3B%24%24%0A%20%20%20%205.%20We%20are%20not%20done%20just%20yet.%20The%20ultimate%20goal%20is%20to%20find%20the%20derivative%20of%20%24y%24%20with%20respect%20to%20%24x%24%2C%20which%20is%20%24y'%24%20in%20our%20notation.%20Thus%20our%20final%20answer%20should%20be%20in%20the%20format%20%24y'%20%3D%20f(x%2C%20y)%24%20where%20%24f(x%2Cy)%24%20is%20some%20expression%20in%20terms%20of%20%24x%24%20and%20%24y%24.%20We%20can%20achieve%20this%20by%20some%20basic%20algebra.%20The%20result%20is%20%24%24y'%20%3D%20%5Cfrac%7B2y%20-%20x%5E2%7D%7By%5E2%20-%202x%7D.%24%24%0A%0A%20%20%20%20To%20find%20the%20(implicit)%20derivative%20at%20a%20specific%20point%2C%20just%20plugin%20values.%20For%20example%2C%20the%20(implicit)%20derivative%20of%20the%20above%20implicit%20function%20at%20%24(3%2C%203)%24%20(check%2C%20is%20this%20point%20on%20the%20graph%3F)%20is%20%24%24y'%20%3D%20%5Cfrac%7B2%20%5Ccdot%203%20-%203%5E2%7D%7B3%5E2%20-%202%20%5Ccdot%203%7D%20%3D%20-1.%24%24%20As%20usual%2C%20this%20value%20can%20be%20viewed%20as%20the%20slope%20of%20tangent%20line%20to%20the%20curve%20of%20Folium%20of%20Descartes%20at%20point%20%24(3%2C3)%24%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(go%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Grid%20for%20implicit%20function%0A%20%20%20%20x_t%20%3D%20np.linspace(-1%2C%204%2C%20500)%0A%20%20%20%20y_t%20%3D%20np.linspace(-1%2C%204%2C%20500)%0A%20%20%20%20X_t%2C%20Y_t%20%3D%20np.meshgrid(x_t%2C%20y_t)%0A%20%20%20%20Z_t%20%3D%20X_t**3%20%2B%20Y_t**3%20-%206%20*%20X_t%20*%20Y_t%0A%0A%20%20%20%20%23%20Tangent%20line%20at%20(3%2C%203)%3A%20y%20%3D%20-x%20%2B%206%0A%20%20%20%20x_line_t%20%3D%20np.linspace(1%2C%205%2C%20200)%0A%20%20%20%20y_tangent_t%20%3D%20-x_line_t%20%2B%206%0A%0A%20%20%20%20%23%20Plot%0A%20%20%20%20fig_4%20%3D%20go.Figure()%0A%0A%20%20%20%20%23%20Implicit%20curve%20(contour%20at%20level%200)%0A%20%20%20%20fig_4.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Contour(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_t%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dy_t%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20z%3DZ_t%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20contours%3Ddict(start%3D0%2C%20end%3D0%2C%20size%3D1%2C%20coloring%3D%22none%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22blue%22%2C%20width%3D3)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showscale%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Descartes%20Folium%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Tangent%20line%0A%20%20%20%20fig_4.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_line_t%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dy_tangent_t%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22red%22%2C%20dash%3D%22dash%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Tangent%20at%20(3%2C%203)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Mark%20the%20point%20(3%2C%203)%0A%20%20%20%20fig_4.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B3%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B3%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22markers%2Btext%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5B%22(3%2C%203)%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20textposition%3D%22top%20right%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(size%3D8%2C%20color%3D%22black%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Point%20(3%2C%203)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Layout%0A%20%20%20%20fig_4.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Dr%22Descartes%20Folium%20and%20Tangent%20Line%20at%20(3%2C%203)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22x%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22y%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis%3Ddict(scaleanchor%3D%22y%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis%3Ddict(scaleanchor%3D%22x%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20template%3D%22plotly_white%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Like%20the%20usual%20derivative%2C%20**the%20implicit%20derivative%20may%20not%20be%20well-defined**.%0A%0A%20%20%20%20Let%20us%20still%20consider%20the%20Folium%20of%20Descartes%20%24x%5E3%20%2B%20y%5E3%20%3D%206xy%24.%20Can%20we%20make%20sense%20of%20the%20derivative%20at%20%24(0%2C0)%24%3F%20In%20the%20above%20sense%2C%20we%20cannot%20-%20because%20both%20lines%20%24x%20%3D%200%24%20and%20%24y%20%3D%200%24%20are%20tangential%20to%20the%20curve.%20These%20two%20lines%20obviously%20have%20different%20slopes%2C%20but%20we%20should%20only%20have%20one%20derivative.%20In%20fact%2C%20one%20of%20the%20two%20lines%20even%20has%20infinite%20slope%20because%20the%20direction%20is%20vertical%20(and%20recall%20that%20we%20don't%20allow%20infinite%20derivative)!%0A%0A%20%20%20%20There%20are%20in%20fact%20ways%20to%20make%20sense%20of%20this%20derivative.%20One%20of%20them%20is%20called%20parametrization.%20It%20is%20a%20rather%20important%20topic%20especially%20in%20physics%20and%20engineering%2C%20but%20it%20is%20beyond%20the%20scope%20of%20this%20course.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Implicit%20Differentiation%20Made%20Simple%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20To%20simply%20describe%20the%20above%20method%2C%20first%20we%20need%20to%20decide%20what%20is%20the%20independent%20variable%20and%20which%20is%20the%20dependent%20one.%20This%20should%20be%20specified%20in%20the%20question.%20For%20example%2C%20if%20a%20question%20is%20asking%20for%20%24%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%24%20then%20it%20means%20that%20%24x%24%20is%20the%20independent%20variable%20and%20%24y%24%20is%20the%20dependent%20one.%0A%0A%20%20%20%20Now%2C%20to%20evaluate%20derivative%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20If%20you%20need%20to%20take%20derivative%20of%20an%20expression%20that%20contains%20both%20the%20independent%20and%20the%20dependent%20variables%2C%20then%20you%20need%20to%20use%20rules%20to%20separate%20them%20first%2C%20then%20apply%20the%20following%20two%20(or%20you%20may%20need%20to%20separate%20further).%20E.g.%20to%20evaluate%20%24(x%5E2y%5E2)'%24%20you%20need%20to%20realize%20this%20is%20a%20product%20and%20do%20%24%3D%20(x%5E2)'y%5E2%20%2B%20x%5E2(y%5E2)'%24%3B%0A%20%20%20%202.%20If%20you%20need%20to%20take%20derivative%20of%20an%20expression%20that%20**contains%20the%20independent%20variable%20only**%2C%20then%20you%20just%20take%20derivative%20in%20the%20usual%20way.%20E.g.%20%24(3x%5E2)'%20%3D%206x%24%3B%0A%20%20%20%203.%20If%20you%20need%20to%20take%20derivative%20of%20an%20expression%20that%20**contains%20the%20dependent%20variable%20only**%2C%20then%20you%20take%20derivative%20in%20the%20usual%20way%2C%20then%20multiply%20it%20by%20derivative%20of%20the%20dependent%20variable%2C%20which%20is%20what%20we%20are%20looking%20for.%20E.g.%20%24(3y%5E2)'%20%3D%206y%20%5Ccdot%20y'%24%2C%20because%20%246y%24%20is%20the%20usual%20derivative%2C%20and%20%24y'%24%20is%20just%20the%20notation%20for%20derivative.%0A%0A%20%20%20%20Do%20algebra%20to%20finish%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20First%2C%20put%20every%20term%20with%20%24y'%24%20to%20one%20side%2C%20and%20everything%20else%20to%20the%20other%20side%20of%20the%20equation%3B%0A%20%20%20%202.%20Factor%20out%20%24y'%24%20on%20the%20first%20side%3B%0A%20%20%20%203.%20Take%20quotient%20and%20get%20expression%20of%20%24y'%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20A%20Very%20Common%20Mistake%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22When%20you%20take%20derivative%20of%20a%20constant%2C%20it%20goes%20away.%20**In%20particular%2C%20derivative%20of%20%24%5Cpi%24%20is%20%240%24%2C%20so%20does%20%24%5Cpi%5E2%24-%20that%20is%20still%20a%20constant**.%20For%20example%2C%20if%20you%20have%20%24y%5E2%20%3D%20x%5E2%20%2B%20%5Csin(%5Cpi%5E2)%24%2C%20then%20by%20taking%20derivative%20we%20just%20get%20%242yy'%20%3D%202x%24.%20%24(%5Csin(%5Cpi%5E2))'%20%3D%200%24%20no%20matter%20how%20complex%20it%20looks%2C%20it%20is%20a%20constant%20number.%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%201%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Many%20things%20that%20we%20know%20about%20derivative%20still%20work%20for%20implicit%20derivative.%0A%0A%20%20%20%20Assume%20%24y%24%20is%20a%20function%20of%20%24x%24%2C%20find%20%24y'%24%20for%20%24%24y%5E2%20%3D%204%20x%5E2%20(1%20%E2%88%92%20x%5E2).%24%24%20When%20is%20this%20derivative%20not%20existing%3F%20When%20is%20the%20tangent%20line%20horizontal%3F%20Give%20answers%20in%20%24(x%2Cy)%24%20coordinates.%0A%0A%20%20%20%20Answer%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24y'%20%3D%20%5Cfrac%7B4x-8x%5E3%7D%7By%7D%2C%24%24%20thus%20it%20does%20not%20exist%20when%20%24y%20%3D%200%24.%20To%20find%20the%20%24x%24%20values%20corresponds%20to%20%24y%20%3D%200%24%2C%20we%20solve%20for%20%244%20x%5E2%20(1-x%5E2)%20%3D%200%24%20-%20this%20should%20be%20easy%20because%20it%20is%20already%20factored%20for%20you%2C%20the%20solutions%20are%20%24x%20%3D%200%24%2C%20%24-1%24%20or%20%241%24.%20That%20is%2C%20the%20implicit%20function%20is%20not%20differentiable%20at%20%24(0%2C0)%2C%20(-1%2C%200)%24%20and%20%24(1%2C%200)%24.%0A%0A%20%20%20%20Horizontal%20tangent%20line%20happens%20when%20%24y'%20%3D%200%24%2C%20that%20is%20%244x%20-%208x%5E3%20%3D%200%24%2C%20or%20%244x(1-2x%5E2)%20%3D%200%24.%20We%20get%20that%20%24x%20%3D%200%24%2C%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%24%20or%20%24%5Cdisplaystyle%20-%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%24.%20However%2C%20plug%20it%20back%20to%20the%20original%20implicit%20function%20we%20get%20that%20%24x%20%3D%200%24%20corresponds%20to%20%24y%20%3D%200%24%2C%20and%20we%20just%20showed%20that%20at%20the%20point%20%24(0%2C0)%24%20the%20implicit%20function%20is%20not%20differentiable.%20Thus%20%24%5Cdisplaystyle%20x%20%3D%20%5Cpm%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%24%2C%20plug%20them%20back%20to%20the%20original%20implicit%20function%2C%20we%20get%20that%20in%20both%20case%20%24y%20%3D%20%5Cpm%201%24.%20So%20there%20are%20four%20points%20with%20horizontal%20tangent%2C%20%24%5Cdisplaystyle%20(%5Cpm%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%2C%20%5Cpm%201)%24%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(go%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Define%20a%20grid%0A%20%20%20%20x_f%20%3D%20np.linspace(-1.2%2C%201.2%2C%20100)%0A%20%20%20%20y_f%20%3D%20np.linspace(-1.5%2C%201.5%2C%20100)%0A%20%20%20%20X_f%2C%20Y_f%20%3D%20np.meshgrid(x_f%2C%20y_f)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Define%20the%20implicit%20function%3A%20F(x%2C%20y)%20%3D%20y%C2%B2%20-%204x%C2%B2(1%20-%20x%C2%B2)%0A%20%20%20%20Z_f%20%3D%20Y_f**2%20-%204%20*%20X_f**2%20*%20(1%20-%20X_f**2)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Define%20the%20four%20labeled%20points%0A%20%20%20%20from%20math%20import%20sqrt%0A%0A%20%20%20%20x_pts%20%3D%20%5Bsqrt(2)%20%2F%202%2C%20sqrt(2)%20%2F%202%2C%20-sqrt(2)%20%2F%202%2C%20-sqrt(2)%20%2F%202%5D%0A%20%20%20%20y_pts%20%3D%20%5B1%2C%20-1%2C%201%2C%20-1%5D%0A%20%20%20%20labels%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%24(%2B%5Csqrt%7B2%7D%2F2%2C%20%2B1)%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%24(%2B%5Csqrt%7B2%7D%2F2%2C%20-1)%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%24(-%5Csqrt%7B2%7D%2F2%2C%20%2B1)%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%24(-%5Csqrt%7B2%7D%2F2%2C%20-1)%24%22%2C%0A%20%20%20%20%5D%0A%0A%20%20%20%20%23%20Create%20figure%0A%20%20%20%20fig_5%20%3D%20go.Figure()%0A%0A%20%20%20%20%23%20Plot%20the%20curve%20implicitly%0A%20%20%20%20fig_5.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Contour(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_f%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dy_f%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20z%3DZ_f%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20contours%3Ddict(start%3D0%2C%20end%3D0%2C%20size%3D1%2C%20coloring%3D%22none%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3Ddict(color%3D%22blue%22%2C%20width%3D3)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showscale%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3Dr%22%24y%5E2%20%3D%204x%5E2(1%20-%20x%5E2)%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Add%20the%20four%20points%0A%20%20%20%20fig_5.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dx_pts%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dy_pts%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22markers%2Btext%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3Ddict(color%3D%22red%22%2C%20size%3D8)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3Dlabels%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Horizontal%20Tangent%20Points%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Layout%0A%20%20%20%20fig_5.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Dr%22Curve%20%24y%5E2%20%3D%204x%5E2(1%20-%20x%5E2)%24%20with%20Horizontal%20Tangent%20Points%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22x%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22y%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis%3Ddict(scaleanchor%3D%22y%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis%3Ddict(scaleanchor%3D%22x%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20template%3D%22plotly_white%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%202%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Assume%20%24y%24%20is%20a%20function%20of%20%24x%24%2C%20find%20%24y'%24%20for%20%24%24%5Ccos%5E2(x)%20%2B%20%5Ccos%5E2(y)%20%3D%20%5Ccos(2x%2B2y).%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20answer%20is%3A%20%24%24y'%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Ccos(x)%5Csin(x)%20-%20%5Csin(2x%2B2y)%7D%7B%5Csin(2x%2B2y)%20-%20%5Ccos(y)%5Csin(y)%7D.%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A