Calculus I 10

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.13.7%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20nav_menu%20%3D%20mo.nav_menu(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Findex.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Ahome')%7D%20Home%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20orientation%3D%22vertical%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20nav_menu%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%202.5%20The%20Chain%20Rule%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Motivation%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20The%20basic%20differentiation%20rule%2C%20product%20rule%20and%20quotient%20rules%20are%20helpful%20when%20we%20want%20to%20evaluate%20functions%20that%20are%20relatively%20simple.%0A%0A%20%20%20%20Consider%20the%20function%20%24f(x)%20%3D%20(1%2Bx%5E2)%5E%7B20%7D%24.%20If%20you%20want%20to%20calculate%20it%20derivative%20using%20basic%20differentiation%20rule%2C%20then%20you%20need%20to%20expand%20it%20using%20binomial%20formula%20-%20it%20is%20not%20undoable%2C%20but%20very%20unpractical.%20You%20can%20also%20try%20product%20rule%E2%80%A6%20for%20%2420%24%20times%2C%20which%20is%20again%20not%20a%20very%20nice%20approach.%0A%0A%20%20%20%20And%20there%20are%20functions%20those%20rules%20do%20not%20even%20apply%2C%20for%20example%2C%20what%20if%20%2420%24%20is%20replaced%20by%20%240.5%24%3F%20You%20simply%20cannot%20expand%20the%20function%2C%20in%20this%20case%2C%20to%20get%20to%20a%20form%20that%20basic%20differentiation%20rule%20applies.%0A%0A%20%20%20%20For%20more%20complex%20functions%2C%20we%20use%20need%20a%20more%20powerful%20method%20to%20calculate%20its%20derivative%2C%20which%20is%20the%20Chain%20Rule.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20The%20Chain%20Rule%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Suppose%20%24f%24%20and%20%24g%24%20are%20both%20differentiable%2C%20suppose%20their%20composition%20makes%20sense%20and%20%24h(x)%20%3D%20(f%20%5Ccirc%20g)(x)%24.%20Then%20%24h%24%20is%20differentiable%2C%20and%20%24%5Cboxed%7Bh'(x)%20%3D%20f'(g(x))%5Ccdot%20g'(x)%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20The%20Chain%20Rule%20is%20often%20written%20is%20another%20form%3A%20suppose%20%24y%20%3D%20f(u)%24%2C%20%24u%20%3D%20g(x)%24%2C%20and%20they%20are%20both%20differentiable%2C%20then%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cboxed%7B%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdu%7D%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7D%7D.%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20You%20can%20understand%20this%20expression%20as%20a%20product%20of%20fractions.%20**But%20you%20cannot%20cancel%20%24d%24**.%20'%24dy%24'%20is%20**one**%20variable%2C%20same%20for%20%24dx%24%20and%20%24du%24.%20We%20merely%20name%20them%20with%20two%20letters.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%23%20Example%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Let%20us%20evaluate%20the%20above%20function%20%24f(x)%20%3D%20(1%2Bx%5E2)%5E%7B20%7D%24%20using%20the%20Chain%20Rule.%0A%0A%20%20%20%20We%20can%20write%20it%20as%20that%20%24f(u)%20%3D%20u%5E%7B20%7D%24%20and%20%24u(x)%20%3D%201%2Bx%5E2%24.%20Then%20%24f'(u)%20%3D%2020u%5E%7B19%7D%24%20and%20%24u'(x)%20%3D%202x%24%2C%20thus%20the%20Chain%20Rule%20tells%20us%20the%20result%20%24f'(x)%20%3D%2020u%5E%7B19%7D%5Ccdot%202x%24%2C%20where%20now%20we%20should%20substitute%20%24u%20%3D%201%2Bx%5E2%24%20and%20get%20%24f'(x)%20%3D%2020(1%2Bx%5E2)%5E%7B19%7D%5Ccdot%202x%24%20%24%3D%2040%20x%20(1%2Bx%5E2)%5E%7B19%7D%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Apply%20More%20Than%20One%20Rules%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Suppose%20we%20want%20to%20find%20the%20derivative%20of%20%24f(x)%20%3D%20x%5Csin(%5Csqrt%7Bx%7D)%24.%20For%20the%20'first%20layer'%2C%20you%20may%20see%20the%20function%20as%20the%20product%20of%20two%20functions%2C%20%24x%24%20and%20%24%5Csin(%5Csqrt%7Bx%7D)%24%2C%20and%20apply%20the%20product%20rule%3A%20%24f'(x)%20%3D%20(x)'%20%5Csin(%5Csqrt%7Bx%7D)%20%2B%20x%20(%5Csin(%5Csqrt%7Bx%7D))'%24%20%24%3D%20%5Csin(%5Csqrt%7Bx%7D)%20%2B%20x(%5Csin(%5Csqrt%7Bx%7D))'%24.%0A%0A%20%20%20%20Now%20to%20find%20the%20derivative%20of%20%24%5Csin(%5Csqrt%7Bx%7D)%24%2C%20you%20can%20view%20it%20as%20a%20composition%20of%20functions%2C%20and%20apply%20the%20Chain%20Rule%3A%20Suppose%20%24y(x)%20%3D%20%5Csin(%5Csqrt%7Bx%7D)%24%2C%20then%20it%20can%20be%20viewed%20as%20%24y(u)%20%3D%20%5Csin(u)%24%20and%20%24u(x)%20%3D%20%5Csqrt%7Bx%7D%20%3D%20x%5E%7B1%2F2%7D%24%2C%20the%20Chain%20Rule%20tells%20us%20%24%5Cdisplaystyle%20y'(x)%20%3D%20(%5Ccos(u))%5Ccdot(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E%7B-1%2F2%7D)%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20(%5Ccos(x%5E%7B1%2F2%7D))%5Ccdot%20(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E%7B-1%2F2%7D)%24.%0A%0A%20%20%20%20Plugin%20to%20the%20above%20equation%2C%20we%20get%20%24f'(x)%20%3D%20%5Csin(%5Csqrt%7Bx%7D)%20%2B%20x(%5Csin(%5Csqrt%7Bx%7D))'%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Csin(%5Csqrt%7Bx%7D)%20%2B%20x%20(%5Ccos(x%5E%7B1%2F2%7D))%5Ccdot%20(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E%7B-1%2F2%7D)%24%2C%20which%20equals%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Csin(%5Csqrt%7Bx%7D)%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Csqrt%7Bx%7D%5Ccos(%5Csqrt%7Bx%7D)%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Apply%20Chain%20Rule%20More%20Than%20Once%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Suppose%20we%20want%20to%20find%20the%20derivative%20of%20%24f(x)%20%3D%20%5Csin(%5Ccos(x%5E3))%24.%0A%0A%20%20%20%20First%20we%20can%20take%20%24u%20%3D%20%5Ccos(x%5E3)%24%2C%20so%20that%20%24f(u)%20%3D%20%5Csin(u)%24.%20Then%20%24f'(x)%20%3D%20%5Ccos(u)%20%5Ccos'(x%5E3)%24.%20Now%20look%20at%20the%20part%20%24%5Ccos(x%5E3)%20%3D%20g(x)%24%3A%20we%20can%20take%20%24v%20%3D%20x%5E3%24%20so%20that%20%24g(v)%20%3D%20%5Ccos(v)%24%2C%20then%20%24g'(x)%20%3D%20-%5Csin(v)3x%5E2%24.%0A%0A%20%20%20%20Put%20things%20together%2C%20we%20get%20%24f'(x)%20%3D%20-%5Ccos(u)%5Csin(v)3x%5E2%24%2C%20or%20%24%3D%20-%20%5Ccos(%5Ccos(x%5E3))%20%5Csin(x%5E3)%203x%5E2%24%20after%20the%20substitution.%0A%0A%20%20%20%20In%20general%2C%20one%20have%20that%20%24%24%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3D%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdu%7D%5Ccdot%5Cfrac%7Bdu%7D%7Bdv%7D%5Ccdot%5Cfrac%7Bdv%7D%7Bdx%7D%2C%24%24%20where%20%24y%24%20is%20written%20as%20a%20function%20of%20%24u%24%2C%20%24u%24%20as%20a%20function%20of%20%24v%24%2C%20and%20%24v%24%20as%20a%20function%20of%20%24x%24.%20You%20should%20see%20the%20pattern%20and%20infer%20how%20to%20use%20chain%20rule%20with%20even%20more%20times.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20Substitution%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20info%0A%0A%20%20%20%20If%20you%20use%20Chain%20Rule%2C%20you%20should%20always%20substitute%20back%20to%20the%20original%20variables%20in%20the%20final%20answer.%0A%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A