Calculus I 1

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.13.7%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20nav_menu%20%3D%20mo.nav_menu(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Findex.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Ahome')%7D%20Home%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20orientation%3D%22vertical%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20nav_menu%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%201.1-1.2%20Functions%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Functions%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Given%20two%20sets%20%24X%2C%20Y%24%20(they%20can%20be%20the%20same)%2C%20a%20function%20%24f%24%20is%20a%20rule%20to%20assign%20each%20element%20in%20%24X%24%20**exactly%20one%20element**%20in%20%24Y%24%2C%20we%20denote%20%24f%3A%20X%20%5Cto%20Y%24.%20%24X%24%20is%20called%20the%20domain%20of%20%24f%24%20and%20%24Y%24%20is%20called%20the%20codomain%20of%20%24f%24.%20In%20the%20scope%20of%20this%20course%2C%20%24Y%24%20is%20also%20called%20the%20range%20of%20%24f%24.%0A%0A%20%20%20%20In%20this%20course%2C%20**%24X%2C%20Y%24%20are%20always%20assumed%20to%20be%20subsets%20of%20the%20real%20numbers**.%20In%20particular%2C%20**we%20do%20not%20use%20complex%20numbers%20in%20this%20course**.%0A%0A%20%20%20%20If%20a%20question%20asks%20you%20what%20is%20the%20domain%20of%20a%20function%20%24f%24%2C%20it%20means%20to%20ask%20for%20the%20largest%20set%20where%20%24f%24%20is%20defined.%20For%20example%2C%20the%20domain%20of%20%24%5Cdisplaystyle%20f(x)%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%24%20is%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%20%5Csetminus%20%5Clbrace%200%20%5Crbrace%24%20(all%20real%20numbers%20except%20for%20%240%24).%0A%0A%20%20%20%20The%20abstract%20element%20in%20the%20set%20%24X%24%20is%20sometimes%20called%20the%20independent%20variable%2C%20and%20the%20abstract%20element%20in%20the%20set%20%24Y%24%20is%20sometimes%20called%20the%20dependent%20variable.%20You%20can%20replace%20an%20independent%20variable%20by%20another%20one%20by%20changing%20all%20the%20old%20variable%20to%20the%20new%20one%20in%20the%20expression%20of%20the%20function.%20For%20example%2C%20if%20%24%5Cdisplaystyle%20f(x)%20%3D%20%5Csin(x)%20%2B%20x%5E2%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%2B2%7D%24%2C%20then%20%24f(m%2B3)%24%20%24%5Cdisplaystyle%20%3D%20%5Csin(m%2B3)%20%2B%20(m%2B3)%5E2%24%20%24%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bm%2B3%2B2%7D%24%2C%20i.e.%20replace%20all%20%24x%24%20by%20%24m%2B3%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20Parenthesis%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20danger%0A%0A%20%20%20%20It%20is%20always%20a%20good%20habit%20to%20write%20parenthesis%20when%20you%20replace%20the%20variable.%20For%20example%2C%20the%20following%20is%20a%20**very%20common%20mistake**%3A%0A%0A%20%20%20%20Question%3A%20%24f(x)%20%3D%20-x%24%2C%20what%20is%20%24f(x-1)%24%3F%0A%0A%20%20%20%20Wrong%20answer%3A%20%24f(x-1)%20%3D%20-x-1%24.%0A%0A%20%20%20%20Correct%20answer%3A%20%24f(x-1)%20%3D%20-(x-1)%20%3D%20-x%2B1%24.%0A%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20If%20under%20an%20assignment%20%24f%24%2C%20no%20two%20elements%20in%20%24X%24%20correspond%20to%20the%20same%20element%20in%20%24Y%24%2C%20we%20say%20%24f%24%20is%20injective.%20In%20the%20scope%20of%20this%20course%2C%20in%20such%20case%20we%20also%20say%20%24f%24%20is%20bijective.%20For%20example%2C%20%24f(x)%20%3D%202x%24%20is%20injective.%20%24%5Csin(x)%24%20is%20not%20injective%2C%20because%20%24%5Csin(0)%20%3D%200%24%20but%20%24%5Csin(%5Cpi)%24%20is%20also%20%240%24.%0A%0A%20%20%20%20We%20may%20do%20operations%20of%20functions.%20Suppose%20%24f%2C%20g%24%20are%20two%20functions%2C%20we%20can%20do%20(point-wise)%20addition%2C%20multiplication%2C%20subtraction%2C%20of%20division%20(given%20the%20divisor%20is%20not%20%240%24)%20in%20the%20usual%20sense%2C%20that%20is%2C%20the%20sum%20of%20%24f%2C%20g%24%20(viewed%20as%20a%20new%20function)%20evaluated%20at%20%24x%24%20is%20defined%20to%20be%20the%20sum%20of%20%24f%24%20evaluated%20at%20%24x%24%20and%20%24g%24%20evaluated%20at%20%24x%24%2C%20i.e.%20%24(f%2Bg)(x)%20%3D%20f(x)%20%2B%20g(x)%24-%20of%20course%2C%20those%20operations%20only%20make%20sense%20when%20%24x%24%20lies%20in%20the%20domains%20of%20both%20%24f%24%20and%20%24g%24.%0A%0A%20%20%20%20We%20can%20compose%20two%20functions%20%24f%2C%20g%24%20to%20one%20function%20%24f%20%5Ccirc%20g%24%2C%20which%20is%20defined%20by%20the%20rule%20%24(f%20%5Ccirc%20g)(x)%20%3D%20f(g(x))%24.%20For%20example%2C%20if%20%24f(x)%20%3D%20e%5Ex%24%20and%20%24g(x)%20%3D%20x%2B5%24%2C%20then%20%24(f%20%5Ccirc%20g)(x)%24%20%24%3Df(g(x))%24%20%24%3D%20f(x%2B5)%24%20%24%3D%20e%5E%7Bx%2B5%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20We%20shall%20graph%20a%20function%20by%20plotting%20all%20possible%20points%20%24(x%2C%20f(x))%24.%20A%20curve%20needs%20to%20pass%20the%20vertical-line-test%20to%20be%20a%20graph%20of%20a%20function%3A%20any%20vertical%20line%20on%20the%20plane%20cannot%20intersect%20the%20graph%20of%20a%20function%20more%20than%20once.%20For%20example%2C%20a%20circle%20is%20not%20a%20graph%20of%20a%20function.%0A%0A%20%20%20%20We%20can%20transform%20a%20function%20%24f%24%20in%20the%20sense%20that%20we%20can%20shift%2C%20stretch%2C%20shrink%2C%20or%20flip%20the%20graph%20of%20%24f%24.%20Suppose%20the%20original%20function%20is%20%24y%20%3D%20f(x)%24%2C%20then%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20%24y%20%3D%20f(x)%20%2B%20c%24%20shift%20the%20graph%20of%20%24f(x)%24%20up%20by%20%24c%24%20units%20(if%20%24c%24%20is%20negative%2C%20this%20means%20shift%20down)%3B%0A%20%20%20%202.%20%24y%20%3D%20f(x%2Bc)%24%20shift%20the%20graph%20of%20%24f(x)%24%20to%20the%20left%20by%20%24c%24%20units%20(if%20%24c%24%20is%20negative%2C%20this%20means%20shift%20to%20the%20right)%3B%0A%20%20%20%203.%20%24y%20%3D%20cf(x)%24%20stretch%20the%20graph%20of%20%24f(x)%24%20vertically%20by%20a%20factor%20%24c%24%20(if%20%24c%24%20is%20smaller%20than%20%241%24%2C%20this%20means%20shrink)%3B%0A%20%20%20%204.%20%24y%20%3D%20f(cx)%24%20shrink%20the%20graph%20of%20%24f(x)%24%20horizontally%20by%20a%20factor%20%24c%24%20(if%20%24c%24%20is%20smaller%20than%20%241%24%2C%20this%20means%20stretch)%3B%0A%20%20%20%205.%20%24y%20%3D%20-f(x)%24%20flip%20the%20graph%20along%20%24x%24-axis%3B%0A%20%20%20%206.%20%24y%20%3D%20f(-x)%24%20flip%20the%20graph%20along%20%24y%24-axis.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20Graphing%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20info%0A%0A%20%20%20%20In%20this%20course%2C%20you%20should%20know%20how%20to%20graph%20%24y%20%3D%20ax%2Bb%24%2C%20%24y%20%3D%20x%5E2%24%2C%20%24y%20%3D%20x%5E3%24%2C%20%24y%20%3D%20%5Csqrt%7Br%5E2%20-%20x%5E2%7D%24%2C%20and%20%24y%20%3D%20%5Csqrt%7Bx%7D%24%20and%20how%20to%20transform%20these%20graphs.%20They%20will%20be%20used%20in%20the%20last%20two%20sections%20of%20this%20course%20(7.1%20and%207.2).%0A%0A%20%20%20%20We%20will%20learn%20another%20way%20to%20graph%20more%20complicated%20functions.%0A%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Those%20may%20not%20be%20easy%20to%20remember.%20Try%20to%20understand%20why%2C%20and%20remember%20that%20you%20can%20always%20try%20to%20plot%20few%20points%20and%20infer%20what%20is%20the%20transformation%20from%20there.%0A%0A%20%20%20%20A%20function%20is%20said%20to%20be%20even%20if%20by%20flipping%20its%20graph%20along%20%24y%24-axis%2C%20you%20get%20the%20exact%20same%20graph%2C%20i.e.%20%24f(x)%20%3D%20f(-x)%24%20for%20all%20%24x%20%5Cin%20X%24%3B%20odd%20if%20by%20flipping%20its%20graph%20along%20%24y%24-axis%20followed%20by%20flipping%20along%20%24x%24-axis%2C%20you%20get%20the%20exact%20same%20graph%2C%20i.e.%20%24f(x)%20%3D%20-f(-x)%24%20for%20all%20%24x%20%5Cin%20X%24.%20For%20example%2C%20%24f(x)%20%3D%20x%5E2%24%20is%20even%2C%20because%20%24f(x)%20%3D%20x%5E2%24%20and%20%24f(-x)%20%3D%20(-x)%5E2%20%3D%20x%5E2%24%20and%20they%20are%20the%20same%3B%20%24f(x)%20%3D%20x%5E3%24%20is%20odd%2C%20because%20%24f(x)%20%3D%20x%5E3%24%20and%20%24-f(-x)%20%3D%20-(-x)%5E3%20%3D%20x%5E3%24%20and%20again%20they%20are%20the%20same.%0A%0A%20%20%20%20A%20function%20is%20said%20to%20be%20decreasing%2C%20increasing%2C%20non-decreasing%2C%20non-increasing%20in%20the%20intuitive%20sense%20by%20looking%20at%20its%20graph%20(if%20we%20are%20given%20the%20graph%2C%20of%20course).%20Mathematically%20speaking%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20%24f%24%20is%20decreasing%20if%20%24f(x)%20%3C%20f(y)%24%20whenever%20%24x%20%3E%20y%24%3B%0A%20%20%20%202.%20%24f%24%20is%20non-increasing%20if%20%24f(x)%20%5Cle%20f(y)%24%20whenever%20%24x%20%3E%20y%24%3B%0A%20%20%20%203.%20%24f%24%20is%20increasing%20if%20%24f(x)%20%3E%20f(y)%24%20whenever%20%24x%20%3E%20y%24%3B%0A%20%20%20%204.%20%24f%24%20is%20non-decreasing%20if%20%24f(x)%20%5Cge%20f(y)%24%20whenever%20%24x%20%3E%20y%24.%0A%0A%20%20%20%20A%20function%20does%20not%20need%20to%20be%20decreasing%2Fincreasing%2Fnon-decreasing%2Fnon-increasing%20on%20its%20entire%20domain.%20For%20example%2C%20%24f(x)%20%3D%20%5Csin(x)%24%20is%20increasing%20on%20%24(0%2C%20%5Cpi%2F2)%24%20but%20decreasing%20on%20%24(%5Cpi%2F2%2C%20%5Cpi)%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20Open%20or%20Closed%20Interval%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20info%0A%0A%20%20%20%20It%20does%20not%20make%20too%20much%20sense%20to%20say%20a%20function%20is%20increasing%20or%20decreasing%20**at%20a%20point**%20(naturally%2C%20because%20it%20needs%20to%20compare%20with%20something).%0A%0A%20%20%20%20Because%20of%20this%2C%20it%20does%20not%20matter%20if%20we%20include%20the%20end-point%20or%20not%20for%20the%20interval%20of%20increasing%2Fdecreasing.%20For%20example%2C%20we%20can%20also%20say%20that%20%24f(x)%20%3D%20%5Csin(x)%24%20is%20increasing%20on%20%24%5B0%2C%20%5Cpi%2F2%5D%24%20and%20decreasing%20on%20%24%5B%5Cpi%2F2%2C%20%5Cpi%5D%24.%0A%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Polynomials%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20A%20polynomial%20(of%20%24x%24)%20is%20a%20function%20of%20the%20form%20%24f(x)%20%3D%20a_nx%5En%20%2B%20a_%7Bn-1%7Dx%5E%7Bn-1%7D%20%2B%20%5Ccdots%20%2B%20a_1x%20%2B%20a_0%24%20where%20%24n%24%20is%20a%20non-negative%20integer.%20For%20example%2C%20%24f(x)%20%3D%205x%5E4%2B2x%2B1%24%20is%20a%20polynomial%3B%20%24f(x)%20%3D%20x%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%24%20is%20not%2C%20%24f(x)%20%3D%20x%5E%7B-2%7D%24%20also%20is%20not.%0A%0A%20%20%20%20If%20%24n%20%3D%200%24%2C%20then%20%24f(x)%20%3D%20a_0%24%20is%20just%20a%20constant.%0A%0A%20%20%20%20If%20%24n%20%3D%201%24%2C%20such%20function%20is%20said%20to%20be%20linear%2C%20they%20have%20the%20form%20%24f(x)%20%3D%20ax%20%2B%20b%24.%20%24a%24%20is%20called%20the%20slope%20and%20%24b%24%20is%20called%20the%20intercept.%20The%20graph%20of%20a%20linear%20function%20is%20a%20straight%20line%2C%20it%20grows%20at%20a%20constant%20rate.%0A%0A%20%20%20%20**Two%20(different)%20linear%20functions%20have%20the%20same%20slope%20if%20and%20only%20if%20their%20graphs%20are%20parallel%20straight%20lines**.%20If%20two%20different%20straight%20lines%20are%20parallel%2C%20then%20they%20have%20no%20intersection%20point%3B%20otherwise%20they%20have%20exactly%20one%20intersection%20point.%0A%0A%20%20%20%20**The%20product%20of%20slopes%20of%20two%20linear%20functions%20is%20%24-1%24%20if%20and%20only%20if%20their%20graphs%20are%20perpendicular%20(or%20orthogonal)%20straight%20lines**.%20For%20example%2C%20the%20graphs%20of%20%24y%20%3D%202x%24%20and%20%24%5Cdisplaystyle%20y%20%3D%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%24%20are%20perpendicular.%0A%0A%20%20%20%20You%20should%20be%20able%20to%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20**Given%20the%20slope%20of%20a%20linear%20function%20and%20one%20point%20it%20passes%2C%20find%20the%20full%20expression%20of%20the%20function**.%20For%20example%2C%20for%20a%20linear%20function%20%24f(x)%20%3D%20mx%2Bb%24%20and%20that%20%24m%20%3D%202%24%20and%20it%20passes%20%24(3%2C%204)%24%2C%20then%20we%20have%20%24f(x)%20%3D%202x%2Bb%24%20and%20it%20satisfies%20%244%20%3D%202%5Ccdot%203%20%2Bb%24.%20So%20%24b%20%3D%204-6%20%3D%20-2%24%2C%20thus%20the%20full%20expression%20of%20%24f(x)%24%20is%20%24f(x)%20%3D%202x-2%24%3B%0A%20%20%20%202.%20**Given%20the%20slope%20of%20a%20linear%20function%20and%20one%20point%20it%20passes%2C%20find%20the%20full%20expression%20of%20the%20line%20that%20is%20perpendicular%20to%20the%20given%20line%20that%20passes%20the%20given%20point**.%20For%20example%2C%20for%20a%20linear%20function%20%24f(x)%20%3D%20mx%2Bb%24%20and%20that%20%24m%20%3D%202%24%20and%20it%20passes%20%24(3%2C%204)%24%2C%20then%20the%20line%20perpendicular%20to%20this%20line%20should%20have%20slope%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7B-1%7D%7B2%7D%20%3D%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%24%2C%20the%20line%20that%20has%20slope%20%24%5Cdisplaystyle%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%24%20that%20passes%20%24(3%2C4)%24%20is%20%24%5Cdisplaystyle%20(y-4)%20%3D%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D(x-3)%24%3B%0A%20%20%20%203.%20Given%20two%20linear%20functions%20(with%20non-parallel%20graphs)%2C%20find%20their%20intersection%20point.%20For%20example%2C%20if%20%24f(x)%20%3D%20x%2B2%24%20and%20%24g(x)%20%3D%205x-3%24%2C%20you%20may%20set%20them%20to%20be%20equal%2C%20i.e.%20%24x%2B2%20%3D%205x-3%24%20which%20gives%20%245%20%3D%204x%24%20thus%20%24%5Cdisplaystyle%20x%20%3D%20%5Cfrac%7B5%7D%7B4%7D%24%2C%20thus%20the%20intersection%20point%20has%20coordinate%20%24%5Cdisplaystyle%20(%5Cfrac%7B5%7D%7B4%7D%2C%5Cfrac%7B13%7D%7B4%7D)%24%20by%20plug%20in%20%24%5Cdisplaystyle%20x%20%3D%20%5Cfrac%7B5%7D%7B4%7D%24%20to%20either%20%24f%24%20or%20%24g%24%3B%0A%20%20%20%204.%20Given%20two%20points%20on%20the%20plane%2C%20find%20the%20line%20that%20pass%20through%20both%20of%20them.%20You%20do%20this%20by%20solving%20a%20linear%20system.%20For%20example%2C%20to%20find%20a%20linear%20function%20passes%20both%20%24(1%2C2)%24%20and%20%24(5%2C4)%24%2C%20you%20solve%20the%20system%20%24%5Cbegin%7Bcases%7D%202%20%3D%20m%20%2B%20b%20%5C%5C%204%20%3D%205m%20%2B%20b%5Cend%7Bcases%7D%24%2C%20and%20the%20result%20should%20be%20%24%5Cbegin%7Bcases%7D%20m%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5C%5C%20b%20%3D%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%20%5Cend%7Bcases%7D%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Lemma%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Another%20rather%20simple%20class%20of%20polynomial%20functions%20is%20the%20power%20function%2C%20those%20are%20the%20functions%20of%20the%20form%20%24f(x)%20%3D%20x%5En%24.%20If%20%24n%24%20is%20odd%2C%20%24x%5En%24%20is%20an%20odd%20function%2C%20and%20if%20%24n%24%20is%20even%2C%20%24x%5En%24%20is%20an%20even%20function.%0A%0A%20%20%20%20If%20a%20function%20is%20of%20the%20form%20%24%5Cdisplaystyle%20f(x)%20%3D%20%5Cfrac%7Bp(x)%7D%7Bq(x)%7D%24%20where%20%24p(x)%24%20and%20%24q(x)%24%20are%20polynomials%2C%20we%20say%20%24f%24%20is%20a%20rational%20function.%20The%20domain%20of%20a%20rational%20function%20is%20the%20collection%20of%20%24x%24%20such%20that%20%24q(x)%20%5Cne%200%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%23%23%20Trigonometric%20Functions%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20There%20are%20six%20basic%20trigonometric%20functions.%20**You%20should%20at%20least%20remember%20what%20do%20%24%5Csin(x)%24%20and%20%24%5Ccos(x)%24%20look%20like%2C%20and%20how%20the%20other%20four%20functions%20are%20derived%20from%20sine%20and%20cosine**%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Ctan(x)%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Csin(x)%7D%7B%5Ccos(x)%7D%24%2C%20in%20particular%2C%20it%20is%20not%20defined%20at%20the%20points%20where%20%24%5Ccos(x)%20%3D%200%24%2C%20i.e.%20when%20%24%5Cdisplaystyle%20x%20%3D%20(n%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)%5Cpi%24%3B%0A%20%20%20%202.%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Ccot(x)%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Ccos(x)%7D%7B%5Csin(x)%7D%24%2C%20in%20particular%2C%20it%20is%20not%20defined%20at%20the%20points%20where%20%24%5Csin(x)%20%3D%200%24%2C%20i.e.%20when%20%24x%20%3D%20n%5Cpi%24%3B%0A%20%20%20%203.%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Csec(x)%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Ccos(x)%7D%24%3B%0A%20%20%20%204.%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Ccsc(x)%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csin(x)%7D%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20Distributivity%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20danger%0A%0A%20%20%20%20Not%20every%20operation%20is%20distributive%20(over%20another%20operation)%20-%20in%20fact%2C%20most%20operations%20are%20*not*%20distributive.%20%0A%20%20%20%20This%20means%2C%20for%20example%2C%20in%20general%2C%20%24%5Csin(x%20%2B%20y)%20%5Cne%20%5Csin(x)%20%2B%20%5Csin(y)%24%20and%20%24%5Csin(x%20%5Ccdot%20y)%20%5Cne%20%5Csin(x)%20%5Ccdot%20%5Csin(y)%24.%0A%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20There%20are%20some%20special%20values%2C%20you%20should%20know%20that%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Csin(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cpi)%20%3D%201%24%2C%20%24%5Csin(0)%20%3D%20%5Csin(%5Cpi)%20%3D%200%24%2C%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Csin(%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%5Cpi)%20%3D%20-1%24%2C%20and%20that%20%24%5Csin(x)%24%20is%20%242%5Cpi%24-periodic%2C%20meaning%20that%2C%20for%20example%2C%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Csin(%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D%5Cpi)%24%20is%20also%20%241%24%3B%0A%20%20%20%202.%20%24%5Ccos(0)%20%3D%201%24%2C%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Ccos(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cpi)%20%3D%20%5Ccos(%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%5Cpi)%20%3D%200%24%2C%20%24%5Ccos(%5Cpi)%20%3D%20-1%24%2C%20and%20that%20%24%5Ccos(x)%24%20is%20%242%5Cpi%24-periodic.%0A%0A%20%20%20%20It%20is%20good%20to%20know%20that%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Csin(%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B6%7D)%20%3D%20%5Ccos(%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B3%7D)%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%24%3B%0A%20%20%20%202.%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Csin(%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B3%7D)%20%3D%20%5Ccos(%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B6%7D)%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B2%7D%24%3B%0A%20%20%20%203.%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Csin(%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D)%20%3D%20%5Ccos(%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D)%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%24%2C%0A%0A%20%20%20%20and%20other%20special%20values%2C%20though%20they%20are%20not%20much%20needed%20in%20this%20course.%0A%0A%20%20%20%20There%20are%20several%20identities%20and%20formulas%20regards%20trigonometric%20functions.%20You%20should%20know%20the%20basic%20ones%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20%20%20%24%5Csin%5E2(x)%20%2B%20%5Ccos%5E2(x)%20%3D%201%24%3B%0A%20%20%20%202.%20%20%20%24%5Ctan%5E2(x)%20%2B%201%20%3D%20%5Csec%5E2(x)%24%3B%0A%20%20%20%203.%20%20%20%24%5Ccot%5E2(x)%2B1%20%3D%20%5Ccsc%5E2(x)%24.%0A%0A%20%20%20%20The%20double-angle%20formulas%2C%20half-angle%20formulas%2C%20and%20summation%20formulas%20are%20not%20much%20needed%20in%20this%20course%20thus%20are%20omitted%20from%20the%20notes%2C%20but%20it%20is%20good%20to%20review%20them.%20They%20will%20be%20used%20more%20frequently%20in%20Calculus%20II.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A