Calculus I 0

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.17.6%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20nav_menu%20%3D%20mo.nav_menu(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Findex.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Ahome')%7D%20Home%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20orientation%3D%22vertical%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20nav_menu%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%200%20Review%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20These%20are%20some%20preliminary%20formulas%20or%20facts%20that%20you%20should%20have%20learnt%20in%20your%20pre-calculus%20course(s).%20They%20are%20considered%20as%20prerequisite%20and%20will%20be%20used%20through%20out%20the%20course.%0A%0A%20%20%20%20The%20boxed%20or%20colored%20ones%20are%20in%20particular%20important%2C%20they%20will%20be%20the%20keys%20to%20solve%20problems%20on%20your%20tests.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Arithmetic%20Operations%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%201.%20%24ab%20%2B%20ac%20%3D%20a(b%2Bc)%24%3B%0A%20%20%20%202.%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%20%2B%20%5Cfrac%7Bc%7D%7Bd%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bad%2Bbc%7D%7Bbd%7D%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Exponent%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%201.%20%24a%5E0%20%3D%201%24%20for%20any%20real%20number%20%24a%24%3B%0A%20%20%20%202.%20%24a%5Ena%5Em%20%3D%20a%5E%7Bn%2Bm%7D%24%3B%0A%20%20%20%203.%20%24(a%5En)%5Em%20%3D%20a%5E%7Bnm%7D%24%3B%0A%20%20%20%204.%20%24(ab)%5En%20%3D%20a%5Enb%5En%24%3B%0A%20%20%20%205.%20%24%5Cdisplaystyle%20a%5E%7B-n%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%5En%7D%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Radical%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%201.%20%24%5Csqrt%5Bn%5D%7Ba%7D%24%20and%20%24a%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%7D%24%20are%20two%20different%20notations%20for%20the%20same%20thing%3B%20for%20%24n%3D2%24%2C%20we%20simplify%20the%20notation%20to%20%24%5Csqrt%7Ba%7D%24%20(which%20is%20the%20same%20as%20%24a%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%24)%3B%0A%20%20%20%202.%20%24%5Csqrt%5Bn%5D%7Bab%7D%20%3D%20%5Csqrt%5Bn%5D%7Ba%7D%5Csqrt%5Bn%5D%7Bb%7D%24%3B%0A%20%20%20%203.%20%24%5Csqrt%5Bm%5D%7B%5Csqrt%5Bn%5D%7Ba%7D%7D%20%3D%20%5Csqrt%5Bmn%5D%7Ba%7D%24%3B%0A%20%20%20%204.%20%24%5Csqrt%5Bn%5D%7Ba%5En%7D%20%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20a%2C%26n%5Ctext%7B%20odd%7D%20%5C%5C%20%7C%20a%20%7C%2C%26n%5Ctext%7B%20even%7D%5Cend%7Bcases%7D%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20Square-root%20vs.%20Square%0A%20%20%20%20%20%20%20%20type%3A%20danger%0A%0A%20%20%20%20There%20is%20a%20difference%20between%20%24x%5E2%20%3D%20a%24%20and%20%24x%20%3D%20%5Csqrt%7Ba%7D%24.%20The%20former%20admits%20two%20solutions%20for%20%24x%24%20but%20the%20latter%20**only%20admits%20one**.%0A%0A%20%20%20%20For%20example%2C%20if%20we%20write%20%24x%5E2%20%3D%204%24%2C%20then%20%24x%20%3D%202%24%20or%20%24-2%24.%20However%2C%20if%20we%20write%20%24x%20%3D%20%5Csqrt%7B4%7D%24%2C%20then%20the%20**only%20solution**%20is%20that%20%24x%20%3D%202%24%20(i.e.%20the%20positive%20root).%20%24x%20%3D%20-2%24%20is%20not%20a%20solution%20for%20%24x%20%3D%20%5Csqrt%7B4%7D%24.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Absolute%20Value%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%201.%20%24%7C%20ab%20%7C%20%3D%20%7C%20a%20%7C%20%7C%20b%20%7C%24%3B%0A%20%20%20%202.%20%24%7C%20a%20%2B%20b%20%7C%20%5Cle%20%7C%20a%20%7C%20%2B%20%7C%20b%20%7C%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Inequality%20and%20Equality%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%201.%20%24%7C%20a%20%7C%20%3C%20b%20%5Cimplies%20-b%20%3C%20a%20%3C%20b%24%3B%0A%20%20%20%202.%20%24%7C%20a%20%7C%20%3E%20b%20%5Cimplies%20a%20%3C%20-b%20%5Ctext%7B%20or%20%7D%20a%20%3E%20b%24%3B%0A%20%20%20%203.%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%20%3C%200%20%5Cimplies%20(a%20%3C%200%5Ctext%7B%20and%20%7Db%20%3E%200)%5Ctext%7B%20or%20%7D(a%20%3E%200%5Ctext%7B%20and%20%7Db%20%3C%200)%24%3B%0A%20%20%20%204.%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%20%3E%200%20%5Cimplies%20(a%20%3C%200%5Ctext%7B%20and%20%7Db%20%3C%200)%5Ctext%7B%20or%20%7D(a%20%3E%200%5Ctext%7B%20and%20%7Db%20%3E%200)%24%3B%0A%20%20%20%205.%20%24%5Cboxed%7B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%20%3D%200%5Ctext%7B%20if%20%7Da%3D0%5Ctext%7B%20and%20%7Db%5Cne%200%7D%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Factoring%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%201.%20%24%5Cboxed%7Ba%5E2%20-%20b%5E2%20%3D%20(a%2Bb)(a-b)%7D%24%3B%0A%20%20%20%202.%20%24a%5E2%20%2B%202ab%20%2B%20b%5E2%20%3D%20(a%2Bb)%5E2%24%3B%0A%20%20%20%203.%20%24a%5E2%20-%202ab%20%2B%20b%5E2%20%3D%20(a-b)%5E2%24%3B%0A%20%20%20%204.%20If%20%24n%24%20is%20odd%2C%20then%20%24%24a%5En%20%2B%20b%5En%20%3D%20(a%20%2B%20b)(a%5E%7Bn-1%7D%20-%20ba%5E%7Bn-2%7D%20%2B%20b%5E2a%5E%7Bn-3%7D%20-%20%5Cdots%20%2B%20b%5E%7Bn-1%7D)%24%24%20and%20%24%24a%5En%20-%20b%5En%20%3D%20(a%20-%20b)(a%5E%7Bn-1%7D%20%2B%20ba%5E%7Bn-2%7D%20%2B%20b%5E2a%5E%7Bn-3%7D%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20b%5E%7Bn-1%7D).%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%0A%0A%20%20%20%20%5BSee%20here%5D(https%3A%2F%2Fmath.libretexts.org%2FBookshelves%2FAlgebra%2FAlgebra_and_Trigonometry_(OpenStax)%2F01%253A_Prerequisites%2F1.05%253A_Factoring_Polynomials)%20for%20a%20detailed%20explanation%20for%20factoring%20polynomials.%20Factoring%20polynomials%20will%20be%20a%20crucial%20technique%20in%20the%20second%20half%20of%20this%20course.%0A%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Quadratic%20Formula%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20The%20root(s)%20for%20%24ax%5E2%20%2B%20bx%20%2B%20c%20%3D%200%2C%20a%20%5Cne%200%24%20is(are)%20%24%24%5Cboxed%7Bx%20%3D%20%5Cfrac%7B-b%20%5Cpm%20%5Csqrt%7Bb%5E2%20-%204ac%7D%7D%7B2a%7D%7D.%24%24%20In%20particular%20if%20%24b%5E2-4ac%24%20is%20positive%2C%20there%20are%20two%20distinct%20real%20roots%2C%20if%20it%20is%20%240%24%2C%20there%20is%20one%20double-root%20(i.e.%20technically%20they%20are%20still%20two%20roots%2C%20but%20they%20are%20equal)%2C%20if%20it%20is%20negative%2C%20there%20is%20no%20real%20root.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Common%20Mistakes%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%201.%20%24(x%5E2)%5E3%20%3D%20x%5E%7B2%5Ccdot%203%7D%20%3D%20x%5E6%24%2C%20not%20%24x%5E%7B2%2B3%7D%20%3D%20x%5E5%24%3B%0A%20%20%20%202.%20Except%20for%20special%20cases%2C%20%24(a%2Bb)%5En%20%5Cne%20a%5En%20%2B%20b%5En%24%2C%20and%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%5En%20%2B%20b%5En%7D%20%5Cne%20%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%5En%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bb%5En%7D%24%3B%0A%20%20%20%203.%20%242(x%2B1)%5E2%20%5Cne%20(2x%2B2)%5E2%24%3B%0A%20%20%20%204.%20Notice%20the%20difference%20between%20%24a%5E%7B-n%7D%24%20and%20%24a%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%7D%24.%20%24a%5E%7B-n%7D%24%20means%20'one%20over%20%24a%24%20to%20%24n%24-th%20power'%2C%20%24a%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%7D%24%20means%20'%24n%24-th%20root%20of%20%24a%24'.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Example%201%20(Simplification)%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%26(%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%2By%7D)%5Ccdot%20(x%2By)%5E%7B-2%7D%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7Bx%5E2%20-%20y%5E2%7D%7By%5E2%7D%20%5C%5C%20%3D%26%20(%5Cfrac%7B1%5Ccdot(x%2By)%7D%7Bx%5Ccdot(x%2By)%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B1%20%5Ccdot%20x%7D%7B(x%2By)%20%5Ccdot%20x%7D)%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B1%7D%7B(x%2By)%5E2%7D%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B(x%2By)(x-y)%7D%7By%5E2%7D%5C%5C%20%3D%26%20%5Cfrac%7Bx%2By%2Bx%7D%7Bx(x%2By)%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7B1%7D%7B(x%2By)%5E2%7D%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B(x%2By)(x-y)%7D%7By%5E2%7D%20%5C%5C%20%3D%26%20%5Cfrac%7B(x%2By%2Bx)(x%2By)(x-y)%7D%7Bx(x%2By)(x%2By)%5E2y%5E2%7D%20%5C%5C%20%3D%26%5Cfrac%7B(2x%2By)(x-y)%7D%7Bx(x%2By)%5E2y%5E2%7D%20%5Cend%7Baligned%7D%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Example%202%20(Inequality)%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20Solve%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7Bx%20%2B%202%7D%7Bx%20-%205%7D%20%3C%200%24.%0A%0A%20%20%20%20There%20are%20two%20possibilities%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20%24x%2B2%20%3C%200%5Ctext%7B%20and%20%7Dx-5%20%3E%200%24%2C%20which%20implies%20that%20%24x%20%3C%20-2%20%5Ctext%7B%20and%20%7Dx%3E5%24%2C%20which%20cannot%20happen%3B%0A%20%20%20%202.%20%24x%2B2%20%3E%200%5Ctext%7B%20and%20%7Dx-5%20%3C%200%24%2C%20which%20implies%20that%20%24x%20%3E%20-2%20%5Ctext%7B%20and%20%7Dx%20%3C5%24%2C%20which%20means%20%24-2%3Cx%3C5%24%20or%20%24x%20%5Cin%20(-2%2C5)%24.%0A%0A%20%20%20%20Thus%20the%20answer%20is%20%24x%20%5Cin%20(-2%2C%205)%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Example%203%20(Factoring%20Polynomial)%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20Write%20the%20summation%20%24%243x%5E3(x-3)%5E%7B-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%7D%2B2(x-3)%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%7D%24%24%20as%20a%20product.%0A%0A%20%20%20%201.%20Pick%20any%20one%20of%20the%20summand%2C%20say%20%243x%5E3(x-3)%5E%7B-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%7D%24%3B%0A%20%20%20%202.%20Within%20this%20summand%2C%20look%20at%20its%20terms%20one%20by%20one%2C%20i.e.%20%243%24%2C%20%24x%5E3%24%2C%20and%20%24(x-3)%5E%7B-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%7D%24%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20%243%24%20is%20a%20constant%20term%2C%20is%20there%20a%20constant%20term%20in%20the%20other%20summand%3F%20Yes%2C%20we%20have%20%242%24%20in%20the%20second%20summand.%20What%20is%20the%20greatest%20common%20factor%20of%20%243%24%20and%20%242%24%3F%20It%20is%20%241%24.%20Since%20it%20is%20in%20a%20product%2C%20%241%24%20can%20be%20omitted%20so%20we%20move%20to%20next%20term%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20%24x%5E3%24%20has%20base%20%24x%24%2C%20is%20there%20an%20%24x%24-based%20term%20in%20the%20other%20summand%3F%20No.%20We%20move%20to%20the%20next%20term%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%203.%20%24(x-3)%5E%7B-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%7D%24%20has%20base%20%24(x-3)%24%2C%20is%20there%20an%20%24(x-3)%24-based%20term%20in%20the%20other%20summand%3F%20Yes%2C%20we%20have%20%24(x-3)%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%7D%24.%20Within%20%24(x-3)%5E%7B-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%7D%24%20and%20%24(x-3)%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%7D%24%2C%20choose%20the%20one%20with%20the%20**least**%20power%20as%20the%20greatest%20common%20factor.%20In%20this%20case%20we%20have%20%24(x-3)%5E%7B-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%7D%24%3B%0A%20%20%20%203.%20Collect%20the%20common%20factors%2C%20in%20this%20case%20we%20just%20have%20one%2C%20that%20is%20%24(x-3)%5E%7B-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%7D%24%3B%0A%20%20%20%204.%20Write%20%24%24(x-3)%5E%7B-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%7D%5Ccdot(%24%24%20Now%2C%20what%20are%20left-overs%20for%20each%20of%20the%20original%20summand%3F%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20For%20the%20first%20summand%20%243x%5E3(x-3)%5E%7B-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%7D%24%2C%20if%20we%20take%20out%20%24(x-3)%5E%7B-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%7D%24%2C%20we%20are%20left%20with%20%243x%5E3%24%2C%20so%20we%20write%20%24%24(x-3)%5E%7B-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%7D%5Ccdot(3x%5E3%24%24%20and%20move%20to%20the%20next%20summand%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20For%20the%20second%20summand%20%242(x-3)%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%7D%24%2C%20if%20we%20take%20out%20%24(x-3)%5E%7B-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%7D%24%2C%20we%20are%20left%20with%20%242(x-3)%24.%20Why%3F%20because%20%24%5Cdisplaystyle%20%5Cfrac%7B2(x-3)%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%7D%7D%7B(x-3)%5E%7B-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%7D%7D%24%20%24%3D%202(x-3)%24%2C%20using%20the%20rules%20in%20'Exponent'%20above.%20So%20we%20write%20%24%24(x-3)%5E%7B-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%7D(3x%5E3%2B2(x-3)).%24%24%20We%20close%20the%20parentheses%20because%20there%20is%20no%20more%20summand.%0A%20%20%20%205.%20Finally%2C%20we%20can%20clean%20things%20up%20by%20expand%20%242(x-3)%24%20and%20get%20%24%24(x-3)%5E%7B-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%7D(3x%5E3%2B2x-6).%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A