Algebraic Topology Reference 2

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.17.6%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22full%22)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20nav_menu%20%3D%20mo.nav_menu(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Findex.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Ahome')%7D%20Home%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20orientation%3D%22vertical%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20nav_menu%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Basic%20Reference%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%7C%20%7C%20Homology%20%7C%20Cohomology%20%7C%20Cohomology%20Ring%20%7C%20Fundamental%20Group%20%7C%20Higher%20Homotopy%20Group%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20------------------------%20%7C%20---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%20%7C%20------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%20%7C%20------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%20%7C%20--------------------------------------------------------------------------------------------------%20%7C%20-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24S%5En%24%20%7C%20%24H_k(S%5En)%20%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cmathbb%7BZ%7D%2C%20%26k%20%3D%200%2Cn%5C%5C0%2C%20%26%5Ctext%7B%20otherwise%7D%5Cend%7Bcases%7D%24%20%7C%20%24H%5Ek(S%5En)%20%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cmathbb%7BZ%7D%2C%20%26k%20%3D%200%2Cn%5C%5C0%2C%20%26%5Ctext%7B%20otherwise%7D%5Cend%7Bcases%7D%24%20%7C%20%24H%5E*(S%5En)%20%3D%20%5Cmathbb%7BZ%7D%5B%5Calpha%5D%2F(%5Calpha%5E2)%24%20where%20%24%5Cmid%20%5Calpha%20%5Cmid%20%3D%20n%24%20%7C%20%24%5Cpi_1(S%5En)%20%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cmathbb%7BZ%7D%2C%26n%20%3D%201%5C%5C0%2C%26%5Ctext%7B%20otherwise%7D%5Cend%7Bcases%7D%24%20%7C%20all%20homotopy%20group%20of%20%24S%5E0%24%20is%20trivial%2C%3Cbr%2F%3E%20%24%5Cpi_n(S%5En)%20%3D%20%5Cmathbb%7BZ%7D%24%2C%3Cbr%2F%3E%20if%20%24n%20%3D%201%24%20then%20the%20only%20non-trivial%20homotopy%20group%20for%20%24S%5E1%24%20is%20%24%5Cpi_1(S%5E1)%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Genus%20%24g%24%20Orientable%20%7C%20%24H_k(%5CSigma_g)%20%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cmathbb%7BZ%7D%2C%20%26k%20%3D%200%2C2%5C%5C%5Cmathbb%7BZ%7D%5E%7B2g%7D%2C%26k%3D1%5C%5C0%2C%20%26%5Ctext%7B%20otherwise%7D%5Cend%7Bcases%7D%24%20%7C%20%24H%5Ek(%5CSigma_g)%20%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cmathbb%7BZ%7D%2C%20%26k%20%3D%200%2C2%5C%5C%5Cmathbb%7BZ%7D%5E%7B2g%7D%2C%26k%3D1%5C%5C0%2C%20%26%5Ctext%7B%20otherwise%7D%5Cend%7Bcases%7D%24%20%7C%20(surface%20when%20%24n%20%3D%202%24)%3Cbr%2F%3E%24H%5E*(T%5En)%20%3D%20%5CLambda%5Ba_1%2C%5Cdots%2Ca_n%5D%24%20with%20%24a_i%5E2%20%3D%200%24%20and%20%24a_ia_j%20%3D%20-a_ja_i%24%20%7C%20%24%5Cpi_1(%5CSigma_g)%20%3D%20%5Clangle%20a_1%2Cb_1%2C%5Cdots%2Ca_g%2Cb_g%5Cmid%5Ba_1%2Cb_1%5D%5Ccdot%5Cdots%5Ccdot%5Ba_g%2Cb_g%5D%20%3D%201%20%5Crangle%24%20%7C%20if%20%24g%20%3D%201%24%2C%20%24%5Cpi_k(%5Cmathbb%7BR%7DP%5E2)%20%5Ccong%20%5Cpi_k(S%5E2)%24%3Cbr%2F%3Eif%20%24g%3E%201%24%2C%20all%20higher%20homotopy%20groups%20are%20trivial%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Genus%20%24g%24%20Non-Orientable%20%7C%20%24H_k(M_g)%20%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cmathbb%7BZ%7D%2C%20%26k%20%3D%200%5C%5C%5Cmathbb%7BZ%7D%5E%7Bg-1%7D%5Coplus%20%5Cmathbb%7BZ%7D_2%2C%26k%20%3D%201%5C%5C0%2C%20%26%5Ctext%7B%20otherwise%7D%5Cend%7Bcases%7D%24%20%7C%20%24H%5Ek(M_g)%20%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cmathbb%7BZ%7D%2C%20%26k%20%3D%200%5C%5C%5Cmathbb%7BZ%7D%5E%7Bg-1%7D%2C%26k%3D1%5C%5C%5Cmathbb%7BZ%7D_2%2C%26k%20%3D%202%5C%5C0%2C%20%26%5Ctext%7B%20otherwise%7D%5Cend%7Bcases%7D%24%20%7C%20%7C%20%24%5Cpi_1(M_g)%20%3D%20%5Clangle%20a_1%2C%5Cdots%2Ca_g%20%5Cmid%20a_1%5E2%5Ccdot%5Cdots%5Ccdot%20a_g%5E2%20%3D%201%20%5Crangle%24%20%7C%20all%20higher%20homotopy%20groups%20are%20trivial%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5Cmathbb%7BR%7DP%5En%24%20%7C%20if%20%24n%24%20is%20odd%2C%20%24H_k(%5Cmathbb%7BR%7DP%5En)%20%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cmathbb%7BZ%7D%2C%26k%20%3D%200%2Cn%5C%5C%5Cmathbb%7BZ%7D_2%2C%260%3Ck%3Cn%2Ck%5Ctext%7B%20odd%7D%5C%5C0%2C%26%5Ctext%7B%20otherwise%7D%5Cend%7Bcases%7D%24%3Cbr%2F%3E%20if%20%24n%24%20is%20even%2C%20%24H_k(%5Cmathbb%7BR%7DP%5En)%20%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cmathbb%7BZ%7D%2C%26k%20%3D%200%5C%5C%5Cmathbb%7BZ%7D_2%2C%260%3Ck%3Cn%2Ck%5Ctext%7B%20odd%7D%5C%5C0%2C%26%5Ctext%7B%20otherwise%7D%5Cend%7Bcases%7D%24%20%7C%20if%20%24n%24%20is%20odd%2C%20%24H%5Ek(%5Cmathbb%7BR%7DP%5En)%20%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%5Cmathbb%7BZ%7D%2C%26k%20%3D%200%2Cn%5C%5C%5Cmathbb%7BZ%7D_2%2C%260%3Ck%3Cn%2C%20k%5Ctext%7B%20even%7D%5C%5C0%2C%26%5Ctext%7B%20otherwise%7D%5Cend%7Bcases%7D%24%3Cbr%2F%3E%20if%20%24n%24%20is%20even%2C%20%24H%5Ek(%5Cmathbb%7BR%7DP%5En)%20%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%5Cmathbb%7BZ%7D%2C%26k%20%3D%200%5C%5C%5Cmathbb%7BZ%7D_2%2C%260%3Ck%5Cle%20n%2C%20k%5Ctext%7B%20even%7D%5C%5C0%2C%26%5Ctext%7B%20otherwise%7D%5Cend%7Bcases%7D%24%20%7C%20%24H%5E*(%5Cmathbb%7BR%7DP%5En%3B%5Cmathbb%7BZ%7D_2)%20%3D%20%5Cmathbb%7BZ%7D_2%5B%5Calpha%5D%2F(%5Calpha%5E%7Bn%2B1%7D)%24%20where%20%24%5Cmid%20%5Calpha%20%5Cmid%20%3D%201%24%20%7C%20%24%5Cpi_1(%5Cmathbb%7BR%7DP%5En)%20%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cmathbb%7BZ%7D%2C%26n%3D1%5C%5C%5Cmathbb%7BZ%7D_2%2C%26%5Ctext%7B%20otherwise%7D%5Cend%7Bcases%7D%24%20%7C%20%24%5Cpi_k(%5Cmathbb%7BR%7DP%5En)%20%5Ccong%20%5Cpi_k(S%5En)%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5Cmathbb%7BR%7DP%5E%7B%5Cinfty%7D%24%20%7C%20inherit%20from%20%24%5Cmathbb%7BR%7DP%5En%24%20%7C%20inherit%20from%20%24%5Cmathbb%7BR%7DP%5En%24%20%7C%20%24H%5E*(%5Cmathbb%7BR%7DP%5E%7B%5Cinfty%7D%3B%5Cmathbb%7BZ%7D_2)%20%3D%20%5Cmathbb%7BZ%7D_2%5B%5Calpha%5D%24%20where%20%24%5Cmid%20%5Calpha%20%5Cmid%20%3D%201%24%2C%3Cbr%2F%3E%20%24H%5E*(%5Cmathbb%7BR%7DP%5E%7B%5Cinfty%7D)%20%3D%20%5Cmathbb%7BZ%7D%5B%5Calpha%5D%2F(2%5Calpha)%24%20where%20%24%5Cmid%20%5Calpha%20%5Cmid%20%3D%202%24%20%7C%20%24%5Cpi_1(%5Cmathbb%7BR%7DP%5E%7B%5Cinfty%7D)%20%3D%20%5Cmathbb%7BZ%7D_2%24%20%7C%20all%20higher%20homotopy%20groups%20are%20trivial%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5Cmathbb%7BC%7DP%5En%24%20%7C%20%24H_k(%5Cmathbb%7BC%7DP%5En)%20%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%5Cmathbb%7BZ%7D%2C%260%5Cle%20k%5Cle%202n%2C%20k%20%5Ctext%7B%20even%7D%5C%5C0%2C%20%26%5Ctext%7B%20otherwise%7D%20%5Cend%7Bcases%7D%24%20%7C%20%24H%5Ek(%5Cmathbb%7BC%7DP%5En)%20%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%5Cmathbb%7BZ%7D%2C%260%5Cle%20k%20%5Cle%202n%2C%20k%20%5Ctext%7B%20even%7D%5C%5C0%2C%26%5Ctext%7B%20otherwise%7D%5Cend%7Bcases%7D%24%20%7C%20%24H%5E*(%5Cmathbb%7BC%7DP%5En)%20%3D%20%5Cmathbb%7BZ%7D%5B%5Calpha%5D%2F(%5Calpha%5E%7Bn%2B1%7D)%24%20where%20%24%5Cmid%20%5Calpha%20%5Cmid%20%3D%202%24%20%7C%20%24%5Cpi_1(%5Cmathbb%7BC%7DP%5En)%24%20is%20trivial%20%7C%20%24%5Cpi_2(%5Cmathbb%7BC%7DP%5En)%20%5Ccong%20%5Cmathbb%7BZ%7D%24%2C%3Cbr%2F%3E%20%24%5Cpi_k(%5Cmathbb%7BC%7DP%5En)%20%5Ccong%20%5Cpi_k(S%5E%7B2n%2B1%7D)%24%20for%20%24n%20%3E%202%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5Cmathbb%7BC%7DP%5E%7B%5Cinfty%7D%24%20%7C%20inherit%20from%20%24%5Cmathbb%7BC%7DP%5En%24%20%7C%20inherit%20from%20%24%5Cmathbb%7BC%7DP%5En%24%20%7C%20%24H%5E*(%5Cmathbb%7BC%7DP%5E%7B%5Cinfty%7D)%20%3D%20%5Cmathbb%7BZ%7D%5B%5Calpha%5D%24%20where%20%24%5Cmid%20%5Calpha%20%5Cmid%20%3D%202%24%20%7C%20%24%5Cpi_1(%5Cmathbb%7BC%7DP%5E%7B%5Cinfty%7D)%24%20is%20trivial%20%7C%20%24%5Cpi_2(%5Cmathbb%7BC%7DP%5E%7B%5Cinfty%7D)%20%5Ccong%20%5Cmathbb%7BZ%7D%24%2C%3Cbr%2F%3E%20all%20higher%20homotopy%20groups%20are%20trivial%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24X%20%5Cvee%20Y%24%20%7C%20%24%5Ctilde%7BH_k%7D(X%20%5Cvee%20Y)%20%3D%20%5Ctilde%7BH_k%7D(X)%20%5Coplus%20%5Ctilde%7BH_k%7D(Y)%24%20%7C%20%24%5Ctilde%7BH%5Ek%7D(X%20%5Cvee%20Y)%20%3D%20%5Ctilde%7BH%5Ek%7D(X)%20%5Coplus%20%5Ctilde%7BH%5Ek%7D(Y)%24%20%7C%20%24%5Ctilde%7BH%5E*%7D(X%20%5Cvee%20Y)%20%3D%20%5Ctilde%7BH%5E*%7D(X)%20%5Coplus%20%5Ctilde%7BH%5E*%7D(Y)%24%20%7C%20%24%5Cpi_1(X%20%5Cvee%20Y)%20%3D%20%5Cpi_1(X)%20*%20%5Cpi_1(Y)%24%20%7C%20very%20complicated%20in%20general%2C%3Cbr%2F%3E%20%24%5Cpi_n(S%5En%20%5Cvee%20S%5En)%20%3D%20%5Cmathbb%7BZ%7D%5E2%24%3Cbr%2F%3E(consider%20CW%20structure)%2C%3Cbr%2F%3E%20%24%5Cpi_n(S%5E1%20%5Cvee%20S%5En)%20%3D%20%5Cmathbb%7BZ%7D%5E%7B%5Cmathbb%7BZ%7D%7D%24%3Cbr%2F%3E(consider%20universal%20cover)%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24X%20%5Ctimes%20Y%24%20%7C%20K%C3%BCnneth%20Formula%20%7C%20K%C3%BCnneth%20Formula%20%7C%20%24H%5E*(X%20%5Ctimes%20Y)%20%3D%20H%5E*(X)%20%5Cotimes%20H%5E*(Y)%24%20%7C%20%24%5Cpi_1(X%20%5Ctimes%20Y)%20%3D%20%5Cpi_1(X)%20%5Coplus%20%5Cpi_1(Y)%24%20%7C%20%24%5Cpi_k(X%20%5Ctimes%20Y)%20%3D%20%5Cpi_k(X)%20%5Coplus%20%5Cpi_k(Y)%24%20%7C%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Eilenberg-MacLane%20Spaces%20Examples%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%201.%20%24%5Cbigvee%5Climits_kS%5E1%24%20is%20a%20%24K(F_k%2C%201)%24%3B%0A%20%20%20%202.%20%24%5Cmathbb%7BR%7DP%5E%7B%5Cinfty%7D%24%20is%20a%20%24K(%5Cmathbb%7BZ%7D_2%2C%201)%24%3B%0A%20%20%20%203.%20%24%5Cmathbb%7BC%7DP%5E%7B%5Cinfty%7D%24%20is%20a%20%24K(%5Cmathbb%7BZ%7D%2C%202)%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Covering%20Spaces%20Reference%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%201.%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%24%20is%20universal%20cover%20of%20%24S%5E1%24%3B%0A%20%20%20%202.%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%5E2%24%20is%20universal%20cover%20of%20all%20closed%20orientable%20surfaces%20with%20genus%20%24g%20%5Cge%201%24%20and%20all%20closed%20non-orientable%20surfaces%20with%20genus%20%24g%20%5Cge%202%24%3B%0A%20%20%20%203.%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%5En%24%20is%20universal%20cover%20of%20%24T%5En%24%3B%0A%20%20%20%204.%20%24S%5E1%24%20is%20%24n%24-sheeted%20cover%20of%20%24S%5E1%24%3B%0A%20%20%20%205.%20%24S%5Ek%24%20is%20double-sheeted%20and%20universal%20cover%20of%20%24%5Cmathbb%7BR%7DP%5Ek%24%20for%20%24k%20%5Cge%202%24%3B%0A%20%20%20%206.%20Cayley%20graph%20on%20two%20generators%20is%20universal%20cover%20of%20%24S%5E1%20%5Cvee%20S%5E1%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A