Algebraic Topology Reference 1

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.17.6%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20nav_menu%20%3D%20mo.nav_menu(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Findex.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Ahome')%7D%20Home%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20orientation%3D%22vertical%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20nav_menu%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Summary%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%201.%20Deformation%20retraction%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23BBFABBA6%3B%22%3EA%20subspace%20%24A%20%5Csubset%20X%24%20is%20a%20deformation%20retract%20if%20there%20is%20a%20homotopy%20%24F%3A%20X%20%5Ctimes%20I%20%5Cto%20X%24%20such%20that%20%24f_0%20%3D%20%5Ctext%7Bid%7D%24%2C%20%24f_1(X)%20%3D%20A%24%20and%20%24f_t%7C_A%20%3D%20%5Ctext%7Bid%7D%24%3C%2Fmark%3E%3B%0A%0A%20%20%20%202.%20Retraction%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23BBFABBA6%3B%22%3EA%20subspace%20%24A%20%5Csubset%20X%24%20is%20a%20retract%20if%20there%20is%20a%20continuous%20map%20%24r%3A%20X%20%5Cto%20A%24%20such%20that%20%24r%20%5Ccirc%20i%20%3D%20%5Ctext%7Bid%7D%24%20where%20%24i%3A%20A%20%5Cto%20X%24%20is%20inclusion%20map%3C%2Fmark%3E%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20If%20%24X%24%20retracts%20to%20%24A%24%2C%20then%20the%20induced%20homomorphism%20of%20the%20inclusion%20%24i%3A%20A%20%5Cto%20X%24%20is%20injective%3B%0A%0A%20%20%20%203.%20Homotopy%20equivalence%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23BBFABBA6%3B%22%3E%24f%3A%20X%20%5Cto%20Y%24%20is%20called%20a%20homotopy%20equivalence%20if%20there%20is%20a%20map%20%24g%3A%20Y%20%5Cto%20X%24%20such%20that%20%24f%5Ccirc%20g%20%5Csimeq%20%5Ctext%7Bid%7D%24%20and%20%24g%20%5Ccirc%20f%20%5Csimeq%20%5Ctext%7Bid%7D%24%3C%2Fmark%3E%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20If%20there%20exist%20maps%20%24g%2C%20h%3A%20Y%20%5Cto%20X%24%20such%20that%20%24f%20%5Ccirc%20g%20%5Csimeq%20%5Ctext%7Bid%7D%24%20and%20%24h%20%5Ccirc%20f%20%5Csimeq%20%5Ctext%7Bid%7D%24%20for%20%24f%3A%20X%20%5Cto%20Y%24%2C%20then%20%24f%24%20is%20a%20homotopy%20equivalence%3B%0A%0A%20%20%20%204.%20Contractible%20space%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23BBFABBA6%3B%22%3EA%20space%20that%20is%20homotopy%20equivalent%20with%20a%20point%20is%20a%20contractible%20space%3C%2Fmark%3E%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20Retract%20of%20a%20contractible%20space%20is%20contractible%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%203.%20%24X%24%20is%20contractible%20if%20and%20only%20if%20every%20map%20%24f%3A%20X%20%5Cto%20Y%24%20is%20null-homotopic%2C%20also%20if%20and%20only%20if%20every%20map%20%24f%3A%20Y%20%5Cto%20X%24%20is%20null-homotopic%3B%0A%0A%20%20%20%205.%20Homology%20(CW-complex)%0A%0A%20%20%20%206.%20Simplicial%20homology%20(%24%5CDelta%24%20or%20simplicial%20complex)%0A%0A%20%20%20%207.%20Singular%20homology%20(topological%20space)%0A%0A%20%20%20%208.%20Universal%20Mapping%20Property%20of%20Quotient%20Space%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20Let%20%24h%3A%20X%20%5Crightarrow%20Y%24%20be%20a%20map%20which%20is%20constant%20on%20the%20equivalence%20classes%20of%20%24(X%2C%20%5Csim)%24%20(meaning%20that%20%24x%20%5Csim%20y%20%5Cimplies%20h(x)%20%3D%20h(y)%24)%2C%20then%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%201.%20%24%5Cexists%20f%3A%20X%2F%20%5Csim%20%5Crightarrow%20Y%24%20such%20that%20%24f%20%5Ccirc%20%5Cpi%20%3D%20h%24%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%202.%20%24f%24%20is%20continuous%20if%20and%20only%20if%20%24h%24%20is%20continuous%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%203.%20%24f%24%20is%20a%20quotient%20map%20if%20and%20only%20if%20%24h%24%20is%20a%20quotient%20map%3B%0A%0A%20%20%20%209.%20Construction%20of%20spaces%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23BBFABBA6%3B%22%3ECone%20of%20%24X%24%3A%20%24CX%20%3D%20(X%20%5Ctimes%20I)%2F(X%20%5Ctimes%20%5Clbrace%201%20%5Crbrace)%24%3C%2Fmark%3E%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23BBFABBA6%3B%22%3ESuspension%20of%20%24X%24%3A%20%24SX%20%3D%20CX%2F(X%20%5Ctimes%20%5Clbrace%200%20%5Crbrace)%24%3C%2Fmark%3E%2C%20%24SS%5En%20%3D%20S%5E%7Bn%2B1%7D%24%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%203.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23BBFABBA6%3B%22%3EReduced%20suspension%20of%20%24(X%2Cx)%24%3A%20%24%5CSigma%20X%20%3D%20SX%2F(x%20%5Ctimes%20I)%24%3C%2Fmark%3E%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%204.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23BBFABBA6%3B%22%3EWedge%20sum%20of%20%24X%24%20and%20%24Y%24%3A%20%24X%20%5Cvee%20Y%20%3D%20(X%20%5Ccup%20Y)%2F(x%20%5Csim%20y)%24%3C%2Fmark%3E%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%205.%20If%20%24A%20%5Csubset%20Y%24%20is%20a%20sub-complex%2C%20%24f%2C%20g%3A%20A%20%5Cto%20X%24%20are%20homotopic%2C%20then%20%24X%20%5Ccup_f%20Y%20%5Csimeq%20X%20%5Ccup_g%20Y%24%3B%0A%0A%20%20%20%2010.%20Homotopy%20Extension%20Property%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23BBFABBA6%3B%22%3EA%20subspace%20%24A%20%5Csubset%20X%24%20is%20said%20to%20have%20HEP%20if%20for%20all%20homotopy%20%24H%3A%20A%20%5Cto%20Y%24%20and%20all%20map%20%24f_0%3A%20X%20%5Cto%20Y%24%20such%20that%20%24f_0%7C_A%20%3D%20h_0%24%2C%20there%20exists%20a%20homotopy%20%24F%3A%20X%20%5Cto%20Y%24%20such%20that%20%24f_t%7C_A%20%3D%20h_t%24%3C%2Fmark%3E%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20If%20%24A%20%5Csubset%20X%24%20is%20sub-complex%2C%20then%20%24A%24%20has%20HEP%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%203.%20If%20%24A%20%5Csubset%20X%24%20with%20HEP%20is%20contractible%2C%20then%20%24X%20%5Csimeq%20X%2FA%24%20via%20projection%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%204.%20If%20%24A%20%5Csubset%20X%24%20is%20sub-complex%2C%20then%20%24(X%20%5Ccup%20CA)%2FCA%20%5Csimeq%20X%20%5Ccup%20CA%24%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%205.%20If%20%24A%20%5Csubset%20X%24%20has%20HEP%20and%20the%20inclusion%20%24i%3A%20A%20%5Cto%20X%24%20is%20a%20homotopy%20equivalence%2C%20then%20%24A%24%20is%20a%20deformation%20retract%20of%20%24X%24%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%206.%20Two%20spaces%20%24X%2C%20Y%24%20are%20homotopy%20equivalent%20if%20and%20only%20if%20there%20is%20a%20third%20space%20containing%20both%20%24X%2C%20Y%24%20as%20deformation%20retracts%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%207.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23FFB86CA6%3B%22%3E%24S%5En%2FS%5Em%20%5Csimeq%20S%5En%20%5Cvee%20S%5E%7Bm%2B1%7D%24%3C%2Fmark%3E%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%208.%20If%20%24X%24%20is%20a%20CW-complex%2C%20then%20%24SX%20%5Csimeq%20%5CSigma%20X%24%3B%0A%0A%20%20%20%2011.%20Chain%20maps%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23BBFABBA6%3B%22%3EA%20sequence%20%24f_n%24%20is%20a%20chain%20map%20if%20for%20all%20%24n%24%2C%20the%20diagram%20commutes%3C%2Fmark%3E%3A%20%24%24%5Cbegin%7Barray%7D%7Brrr%7DC_n(X)%20%26%5Cto%26%20C_%7Bn-1%7D(X)%20%5C%5C%20%5Cdownarrow_%7Bf_n%7D%20%26%20%26%20%5Cdownarrow_%7Bf_%7Bn-1%7D%7D%20%5C%5C%20C_n(Y)%26%5Cto%26C_%7Bn-1%7D(Y)%5Cend%7Barray%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%2012.%20Chain%20homotopy%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23BBFABBA6%3B%22%3EA%20sequence%20of%20homomorphism%20%24p_n%3A%20C_n(X)%20%5Cto%20C_%7Bn%2B1%7D(Y)%24%20is%20a%20chain%20homotopy%20between%20%24f_n%24%20and%20%24g_n%24%20if%20%24p_%7Bn-1%7D%20%5Ccirc%20%5Cpartial_n%5EX%20%2B%20%5Cpartial_%7Bn%2B1%7D%5EY%20%5Ccirc%20p_%7Bn%7D%20%3D%20g_n%20-%20f_n%24%20for%20each%20%24n%24%3C%2Fmark%3E%3B%0A%0A%20%20%20%2013.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23FF5582A6%3B%22%3ELong%20exact%20sequence%20of%20a%20pair%3C%2Fmark%3E%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20Let%20%24A%20%5Csubset%20X%24%20be%20a%20subspace%2C%20then%20the%20inclusion%20%24i%3A%20A%20%5Cto%20X%24%20induces%3A%20%24%24%5Cbegin%7Barray%7D%7Brrr%7D%26H_*(A)%20%26%5C%5C%5Cnearrow_%7B-1%7D%26%5Csearrow_%7Bi_*%7D%5C%5CH_*(X%2CA)%26%5Cxleftarrow%7B%7D%26H_*(X)%20%5Cend%7Barray%7D%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20If%20%24%5Cvarnothing%20%5Cne%20A%20%5Csubset%20X%24%20is%20sub-complex%2C%20then%20%24H_n(X%2CA)%20%5Ccong%20%5Ctilde%7BH_n%7D(X%2FA)%24%20induced%20by%20the%20map%20%24q%3A%20(X%2C%20A)%20%5Cto%20(X%2FA%2C%20A%2FA)%24%20that%20is%20induced%20by%20quotient%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%203.%20If%20%24%5Cvarnothing%20%5Cne%20A%20%5Csubset%20X%24%2C%20then%20%24H_n(X%2C%20A)%20%5Ccong%20%5Ctilde%7BH_n%7D(X%20%5Ccup%20CA)%24%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%201.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23FFB86CA6%3B%22%3E%24H_n(%5CSigma%20X)%20%5Ccong%20H_n(SX)%20%5Ccong%20H_%7Bn-1%7D(X)%24%3C%2Fmark%3E%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%202.%20%24H_n(S%5Ek)%20%5Ccong%20H_%7Bn-1%7D(S%5E%7Bk-1%7D)%24%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%204.%20%24H_n(X%2C%5Clbrace%20x%20%5Crbrace)%20%5Ccong%20%5Ctilde%7BH_n%7D(X)%24%2C%20%24H_n(X%2C%20%5Cvarnothing)%20%5Ccong%20H_n(X)%24%2C%20%24H_n(X%2CX)%20%3D%200%24%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%205.%20%24H_0(X%2C%20A)%20%3D%200%24%20if%20and%20only%20if%20%24A%24%20meets%20each%20path-component%20of%20%24X%24%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%206.%20%24H_1(X%2C%20A)%20%3D%200%24%20if%20and%20only%20if%20%24H_1(A)%20%5Cto%20H_1(X)%24%20is%20surjective%20and%20each%20path-component%20of%20%24X%24%20contains%20at%20most%20one%20path-component%20of%20%24A%24%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%207.%20If%20%24X%24%20is%20an%20%24n%24-dimensional%20CW-complex%2C%20then%20%24H_n(X)%24%20is%20free%3B%0A%0A%20%20%20%2014.%20Long%20exact%20sequence%20of%20a%20triple%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20Let%20%24A%20%5Csubset%20V%20%5Csubset%20X%24%20be%20subspaces%2C%20then%20the%20inclusions%20induce%3A%20%24%24%5Cbegin%7Barray%7D%7Brrr%7D%26H_*(V%2CA)%20%26%5C%5C%5Cnearrow_%7B-1%7D%26%5Csearrow%5C%5CH_*(X%2CA)%26%5Cxleftarrow%7B%7D%20%26%20H_*(X%2CV)%20%5Cend%7Barray%7D%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20(Excision)%20If%20%24A%20%5Csubset%20V%20%5Csubset%20X%24%20with%20%24%5Coverline%7BA%7D%20%5Csubset%20V%5E%7B%5Ccirc%7D%20%5Csubset%20X%24%2C%20then%20the%20induced%20homomorphism%20for%20inclusion%20%24i%3A%20(X%20-%20A%2C%20V%20-%20A)%20%5Cto%20(X%2C%20V)%24%20is%20isomorphism%20for%20each%20%24n%24%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%203.%20If%20%24A%20%5Csubset%20X%24%20is%20a%20sub-complex%2C%20then%20there%20exists%20open%20neighborhood%20%24V%24%20of%20%24A%24%20such%20that%20%24A%20%5Csubset%20V%24%20is%20a%20deformation%20retract%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%204.%20If%20%24A%2C%20B%20%5Csubset%20X%24%20are%20sub-complexes%20with%20%24A%20%5Ccup%20B%20%3D%20X%24%2C%20then%20the%20induced%20homomorphism%20for%20inclusion%20%24i%3A%20(B%2C%20A%20%5Ccap%20B)%20%5Cto%20(X%2C%20A)%24%20is%20isomorphism%20for%20each%20%24n%24%3B%0A%0A%20%20%20%2015.%20Five%20Lemma%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20Consider%3A%20%24%24%5Cbegin%7Barray%7D%20%7Bccccccccc%7D%20A%20%26%20%5Cto%20%26B%20%26%5Cto%20%26C%26%5Cto%26D%26%20%5Cto%26%20E%20%5C%5C%20%5Cdownarrow%5E%7B%5Calpha%7D%26%5Ccirc%26%5Cdownarrow%5E%7B%5Cbeta%7D%20%26%5Ccirc%26%5Cdownarrow%5E%7B%5Cgamma%7D%26%5Ccirc%26%5Cdownarrow%5E%7B%5Cdelta%7D%26%5Ccirc%26%5Cdownarrow%5E%7B%5Cvarepsilon%7D%20%5C%5CA'%20%26%20%5Cto%20%26B'%20%26%5Cto%20%26C'%26%5Cto%26%20D'%26%20%5Cto%26%20E'%5Cend%7Barray%7D%24%24%20where%20the%20two%20rows%20are%20exact%2C%20%24%5Cbeta%2C%20%5Cdelta%24%20are%20isomorphisms%2C%20%24%5Calpha%24%20is%20epimorphism%2C%20and%20%24%5Cvarepsilon%24%20is%20monomorphism%2C%20then%20%24%5Cgamma%24%20is%20isomorphism%3B%0A%0A%20%20%20%2016.%20Local%20homology%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23BBFABBA6%3B%22%3EThe%20groups%20%24H_n(X%2C%20X%20-%20%5Clbrace%20x%20%5Crbrace)%24%20are%20called%20the%20local%20homology%20groups%20of%20%24X%24%20at%20%24x%24%3C%2Fmark%3E%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20If%20%24X%24%20is%20an%20%24n%24-manifold%2C%20then%20%24H_k(X%2C%20X%20-%20%5Clbrace%20x%20%5Crbrace)%20%5Ccong%20H_k(%5Cmathbb%7BR%7D%5En%2C%20%5Cmathbb%7BR%7D%5En%20-%20%5Clbrace%20x%20%5Crbrace)%20%3D%20%5Cmathbb%7BZ%7D%24%20if%20%24k%20%3D%20n%24%20and%20%240%24%20otherwise%3B%0A%0A%20%20%20%2017.%20Cellular%20homology%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20%24H_n(X)%20%5Ccong%20H_n(X%5E%7B(n%2B1)%7D)%20%5Ccong%20H_n(X%5E%7B(n%2B2)%7D)%20%5Ccong%20%5Cdots%24%20if%20%24%5Cdim(X)%20%3C%20%5Cinfty%24%3B%0A%0A%20%20%20%2018.%20Degree%20of%20%24f%3A%20S%5En%20%5Cto%20S%5En%24%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23BBFABBA6%3B%22%3ELet%20%24f%3A%20S%5En%20%5Cto%20S%5En%24%2C%20then%20%24f_*%3A%20%5Ctilde%7BH_n%7D(S%5En)%20%5Cto%20%5Ctilde%7BH_n%7D(S%5En)%24%20is%20a%20homomorphism%20%24f_*%3A%20%5Cmathbb%7BZ%7D%20%5Cto%20%5Cmathbb%7BZ%7D%24%20thus%20a%20multiplication%20by%20%24d%24%2C%20define%20%24%5Cdeg(f)%20%3D%20d%24%3C%2Fmark%3E%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20If%20%24f%20%5Csimeq%20g%24%2C%20then%20%24%5Cdeg(f)%20%3D%20%5Cdeg(g)%24%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%203.%20%24%5Cdeg(f%5Ccirc%20g)%20%3D%20%5Cdeg(f)%5Ccdot%20%5Cdeg(g)%24%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%204.%20%24%5Cdeg(Sf)%20%3D%20%5Cdeg(f)%24%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%205.%20If%20%24f%3A%20S%5En%20%5Cto%20S%5En%24%20has%20no%20fixed%20point%2C%20then%20%24%5Cdeg(f)%20%3D%20(-1)%5E%7Bn%2B1%7D%24%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%206.%20Identity%20map%20on%20%24S%5En%24%20has%20degree%20%241%24%2C%20antipodal%20map%20on%20%24S%5En%24%20has%20degree%20%24(-1)%5E%7Bn%2B1%7D%24%3B%0A%0A%20%20%20%2019.%20Local%20degree%20of%20%24f%3A%20X%20%5Cto%20Y%24%20between%20%24n%24-manifolds%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23BBFABBA6%3B%22%3ELet%20%24f%3A%20X%20%5Cto%20Y%24%20where%20%24X%2C%20Y%24%20are%20%24n%24-manifolds%2C%20then%20for%20each%20%24x%20%5Cin%20X%24%2C%20%24f_*%3A%20H_n(X%2C%20X-%5Clbrace%20x%5Crbrace)%20%5Cto%20H_n(Y%2C%20Y%20-%20%5Clbrace%20f(x)%20%5Crbrace)%24%20is%20a%20homomorphism%20%24f_*%3A%20%5Cmathbb%7BZ%7D%20%5Cto%20%5Cmathbb%7BZ%7D%24%20thus%20a%20multiplication%20by%20%24d%24%2C%20define%20%24%5Cdeg_x(f)%20%3D%20d%24%3C%2Fmark%3E%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20If%20%24f%3A%20S%5En%20%5Cto%20S%5En%24%20and%20pre-image%20of%20%24y%24%20is%20%24%5Clbrace%20x_1%2C%20%5Cdots%2C%20x_n%20%5Crbrace%24%2C%20then%20%24%5Cdeg(f)%20%3D%20%5Csum%5Climits_%7Bi%7D%5Cdeg_%7Bx_i%7D(f)%24%3B%0A%0A%20%20%20%2020.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23FF5582A6%3B%22%3EEuler%20Characteristic%3C%2Fmark%3E%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23BBFABBA6%3B%22%3EIf%20%24X%24%20is%20a%20finite%20CW-complex%2C%20then%20%24%5Cchi(X)%20%3D%20%5Csum%5Climits_i(-1)%5Ei%5Ccdot(%5C%23%5Ctext%7B%20of%20%7Di%5Ctext%7B%20-cells%7D)%24%3C%2Fmark%3E%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20%24%5Cchi(X)%20%3D%20%5Csum%5Climits_i(-1)%5Ei%5Ctext%7Brank%7D(H_i(X))%24%20%24%3D%20%5Csum%5Climits_i(-1)%5Ei%5Ctext%7Brank%7D(H%5Ei(X))%24%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%203.%20If%20%24X%20%5Csimeq%20Y%24%2C%20then%20%24%5Cchi(X)%20%3D%20%5Cchi(Y)%24%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%204.%20If%20%24X%24%20and%20%24Y%24%20are%20finite%20CW-complexes%2C%20then%20%24%5Cchi(X%20%5Ctimes%20Y)%20%3D%20%5Cchi(X)%5Ccdot%5Cchi(Y)%24%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%205.%20If%20%24p%3A%20%5Ctilde%7BX%7D%20%5Cto%20X%24%20is%20an%20%24n%24-fold%20cover%2C%20then%20%24%5Cchi(%5Ctilde%7BX%7D)%20%3D%20n%5Ccdot%20%5Cchi(X)%24%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%206.%20Let%20%24A_n%2C%20B_n%2C%20C_n%24%20be%20finitely%20generated%20abelian%20groups%20with%20the%20long%20exact%20sequence%20%24%5Cdots%20%5Cto%20A_n%20%5Cto%20B_n%24%20%24%5Cto%20C_n%20%5Cto%20A_%7Bn-1%7D%20%5Cto%20B_%7Bn-1%7D%24%20%24%5Cto%20C_%7Bn-1%7D%20%5Cto%20%5Cdots%20%5Cto%20C_0%20%5Cto%200%24%2C%20let%20%24%5Cchi(A)%20%3D%20%5Csum%5Climits_%7Bi%20%3D%200%7D%5E%7B%5Cinfty%7D(-1)%5Ei%5Ctext%7Brank%7D(A_i)%24%20(resp.%20%24B%2C%20C%24)%2C%20then%20%24%5Cchi(B)%20%3D%20%5Cchi(A)%20%2B%20%5Cchi(C)%24%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%207.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23FFB86CA6%3B%22%3EIf%20%24X%24%20is%20closed%20odd-dimensional-manifold%2C%20then%20%24%5Cchi(X)%20%3D%200%24%3C%2Fmark%3E%3B%0A%0A%20%20%20%2021.%20Splitting%20Lemma%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20For%20a%20short%20exact%20sequence%20%240%20%5Cto%20A%20%5Cxrightarrow%7Bi%7D%20B%20%5Cxrightarrow%7Bj%7D%20C%20%5Cto%200%24%20of%20abelian%20groups%2C%20%24B%20%5Ccong%20A%20%5Coplus%20C%24%20if%20and%20only%20if%20there%20is%20a%20homomorphism%20%24p%3A%20B%20%5Cto%20A%24%20such%20that%20%24p%20%5Ccirc%20i%20%3D%20%5Ctext%7Bid%7D%24%2C%20also%20if%20and%20only%20if%20there%20is%20a%20homomorphism%20%24q%3A%20C%20%5Cto%20B%24%20such%20that%20%24j%5Ccirc%20q%20%3D%20%5Ctext%7Bid%7D%24%3B%0A%0A%20%20%20%2022.%20Mayer-Vietoris%20Long%20Exact%20Sequence%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23BBFABBA6%3B%22%3ELet%20%24X%24%20be%20a%20CW-complex%20with%20sub-complexes%20%24A%2C%20B%24%20such%20that%20%24A%20%5Ccup%20B%20%3D%20X%24%2C%20let%20%24i_A%3A%20A%5Ccap%20B%20%5Cto%20A%24%2C%20%24i_B%3A%20A%20%5Ccap%20B%20%5Cto%20B%24%2C%20%24j_A%3A%20A%20%5Cto%20X%24%20and%20%24j_B%3A%20B%20%5Cto%20X%24%2C%20define%20%24i(e)%20%3D%20(i_%7BA*%7D(e)%2C%20-i_%7BB*%7D(e))%24%20and%20%24j(e_A%2C%20e_B)%20%3D%20j_%7BA*%7D(e_A)%20%2B%20j_%7BB*%7D(e_B)%24%2C%20then%20they%20induces%20the%20Mayer-Vietoris%20LES%3C%2Fmark%3E%20%24%24%5Cbegin%7Barray%7D%7Brrr%7D%26H_*(A%5Ccap%20B)%20%26%5C%5C%5Cnearrow_%7B-1%7D%26%5Csearrow_%7Bi%7D%5C%5CH_*(X)%26%5Cxleftarrow%7Bj%7D%26H_*(A)%20%5Coplus%20H_*(B)%20%5Cend%7Barray%7D%24%24%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23BBFABBA6%3B%22%3Eworks%20also%20with%20reduced%20homology%3C%2Fmark%3E%3B%0A%0A%20%20%20%2023.%20Cohomology%20with%20coefficient%0A%0A%20%20%20%2024.%20Reduced%20cohomology%0A%0A%20%20%20%2025.%20Relative%20cohomology%0A%0A%20%20%20%2026.%20Long%20exact%20sequence%20of%20a%20pair%20for%20cohomology%3A%20%24%24%5Cbegin%7Barray%7D%7Brrr%7D%26H%5E*(X%2CA%3BG)%20%26%5C%5C%5Cnearrow_%7B%2B1%7D%26%5Csearrow%5C%5CH%5E*(A%3BG)%26%5Cxleftarrow%7Bi%5E*%7D%26H%5E*(X%3BG)%20%5Cend%7Barray%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%2027.%20Mayer-Vietoris%20Long%20Exact%20Sequence%20for%20Cohomology%3A%20%24%24%5Cbegin%7Barray%7D%7Brrr%7D%26H%5E*(X%3BG)%20%26%5C%5C%5Cnearrow_%7B%2B1%7D%26%5Csearrow%5E%7B(j_A%5E*%2Cj_B%5E*)%7D%5C%5CH%5E*(A%5Ccap%20B%3BG)%26%5Cxleftarrow%7Bi_A%5E*-i_b%5E*%7D%26H%5E*(A%3BG)%5Coplus%20H%5E*(B%3BG)%20%5Cend%7Barray%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%2028.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23FFB86CA6%3B%22%3EUniversal%20Coefficient%20Theorem%20for%20Cohomology%3C%2Fmark%3E%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20%24H%5En(X%3B%20G)%20%5Ccong%20%5Ctext%7BHom%7D(H_n(X)%2C%20G)%20%5Coplus%20%5Ctext%7BExt%7D(H_%7Bn-1%7D(X)%2C%20G)%24%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20%24%5Ctext%7Brank%7D(H_n(X))%20%3D%20%5Ctext%7Brank%7D(H%5En(X))%24%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%203.%20%24H%5E0(X%3B%20G)%20%5Ccong%20%5Ctext%7BHom%7D(H_0(X)%2C%20G)%24%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%204.%20%24H%5E1(X%3B%20G)%20%5Ccong%20%5Ctext%7BHom%7D(H_1(X)%2C%20G)%24%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%205.%20%24H%5En(X%3B%20%5Cmathbb%7BQ%7D)%20%5Ccong%20%5Ctext%7BHom%7D(H_n(X)%2C%20%5Cmathbb%7BQ%7D)%24%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%206.%20If%20the%20homology%20groups%20%24H_n(X)%24%20and%20%24H_%7Bn-1%7D(X)%24%20are%20finitely%20generated%2C%20denote%20%24T_i(X)%24%20to%20be%20the%20torsion%20subgroup%20of%20%24H_i(X)%24%2C%20then%20%24H%5En(X)%20%5Ccong%20(H_n(X)%2FT_n(X))%5Coplus%20T_%7Bn-1%7D(X)%24%3B%0A%0A%20%20%20%2029.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23FFB86CA6%3B%22%3ETensor%20product%20%24A%20%5Cotimes%20B%24%3C%2Fmark%3E%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20%24%24%5Cbegin%7Barray%7D%20%7B%7Cr%7Cr%7Cr%7C%7D%5Chline%20A%5Cdiagdown%20B%20%26%20%5Cmathbb%7BZ%7D%20%26%20%5Cmathbb%7BZ%7D_m%20%5C%5C%20%5Chline%20%5Cmathbb%7BZ%7D%20%26%20%5Cmathbb%7BZ%7D%20%26%20%5Cmathbb%7BZ%7D_m%20%5C%5C%20%5Chline%20%5Cmathbb%7BZ%7D_n%20%26%20%5Cmathbb%7BZ%7D_n%20%26%20%5Cmathbb%7BZ%7D_%7B%5Cgcd(n%2Cm)%7D%20%5C%5C%20%5Chline%20%5Cend%7Barray%7D%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20%24A%20%5Cotimes%20B%20%5Ccong%20B%20%5Cotimes%20A%24%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%203.%20%24A%20%5Cotimes%20%5Cmathbb%7BQ%7D%20%5Ccong%20%5Cmathbb%7BQ%7D%5E%7B%5Ctext%7Brank%7D(A)%7D%24%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%204.%20%24A%20%5Cotimes%20%5Cmathbb%7BZ%7D%20%5Ccong%20A%24%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%205.%20Distributivity%20with%20direct%20sum%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%206.%20For%20a%20given%20%24G%24%2C%20%24f%3A%20A%20%5Cto%20B%24%20between%20abelian%20groups%20induces%20%24f%5E*%3A%20A%5Cotimes%20G%20%5Cto%20B%20%5Cotimes%20G%24%20with%20%24a%20%5Cotimes%20g%20%5Cmapsto%20f(a)%20%5Cotimes%20g%24%3B%20%24f%3A%20%5Cmathbb%7BZ%7D%20%5Cxrightarrow%7B%5Ccdot%20n%7D%20%5Cmathbb%7BZ%7D%24%20induces%20%24f%5E*%3A%20G%20%5Cxrightarrow%7B%5Ccdot%20n%7D%20G%24%3B%0A%0A%20%20%20%2030.%20Homology%20with%20coefficient%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23FFB86CA6%3B%22%3E%24H%5En(X%3B%20%5Cmathbb%7BZ%7D_p)%20%5Ccong%20%5Ctext%7BHom%7D(H_n(X%3B%5Cmathbb%7BZ%7D_p)%2C%20%5Cmathbb%7BZ%7D_p)%24%3C%2Fmark%3E%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20If%20%24f%3A%20S%5En%20%5Cto%20S%5En%24%20has%20degree%20%24d%24%2C%20then%20%24f_*%3A%20H_k(S%5Ek%3B%20G)%20%5Cto%20H_k(S%5Ek%3B%20G)%24%20is%20multiplication%20by%20%24d%24%3B%0A%0A%20%20%20%2031.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23FFB86CA6%3B%22%3EUniversal%20Coefficient%20Theorem%20for%20Homology%3C%2Fmark%3E%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20%24H_n(X%3B%20G)%5Ccong%20(H_n(X)%20%5Cotimes%20G)%20%5Coplus%20%5Ctext%7BTor%7D(H_%7Bn-1%7D(X)%2C%20G)%24%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20%24H_n(X%3B%20%5Cmathbb%7BQ%7D)%20%5Ccong%20H_n(X)%20%5Cotimes%20%5Cmathbb%7BQ%7D%24%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%203.%20%24H_n(X%2C%20A%3B%20G)%20%5Ccong%20(H_n(X%2CA)%20%5Cotimes%20G)%20%5Coplus%20%5Ctext%7BTor%7D(H_%7Bn-1%7D(X%2C%20A)%2C%20G)%24%3B%0A%0A%20%20%20%2032.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23FFB86CA6%3B%22%3E%24%5Ctext%7BHom%7D(A%2C%20B)%24%3C%2Fmark%3E%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20%24%24%5Cbegin%7Barray%7D%20%7B%7Cr%7Cr%7Cr%7C%7D%5Chline%20A%5Cdiagdown%20B%20%26%20%5Cmathbb%7BZ%7D%20%26%20%5Cmathbb%7BZ%7D_m%20%5C%5C%20%5Chline%20%5Cmathbb%7BZ%7D%20%26%20%5Cmathbb%7BZ%7D%20%26%20%5Cmathbb%7BZ%7D_m%20%5C%5C%20%5Chline%20%5Cmathbb%7BZ%7D_n%20%26%200%20%26%20%5Cmathbb%7BZ%7D_%7B%5Cgcd(n%2Cm)%7D%20%5C%5C%20%5Chline%20%5Cend%7Barray%7D%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20%24%5Ctext%7BHom%7D(A%2C%20%5Cmathbb%7BQ%7D)%20%3D%20%5Cmathbb%7BQ%7D%5E%7B%5Ctext%7Brank%7D(A)%7D%24%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%203.%20For%20a%20given%20%24G%24%2C%20%24f%3A%20A%20%5Cto%20B%24%20between%20abelian%20groups%20induces%20%24f%5E*%3A%20%5Ctext%7BHom%7D(B%2C%20G)%20%5Cto%20%5Ctext%7BHom%7D(A%2C%20G)%24%3B%20%24f%3A%20%5Cmathbb%7BZ%7D%20%5Cxrightarrow%7B%5Ccdot%20n%7D%20%5Cmathbb%7BZ%7D%24%20induces%20%24f%5E*%3A%20G%20%5Cxrightarrow%7B%5Ccdot%20n%7D%20G%24%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%204.%20Naturality%20with%20direct%20sum%3B%0A%0A%20%20%20%2033.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23FFB86CA6%3B%22%3E%24%5Ctext%7BExt%7D(A%2C%20B)%24%3C%2Fmark%3E%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20%24%24%5Cbegin%7Barray%7D%20%7B%7Cr%7Cr%7Cr%7C%7D%5Chline%20A%5Cdiagdown%20B%20%26%20%5Cmathbb%7BZ%7D%20%26%20%5Cmathbb%7BZ%7D_m%20%5C%5C%20%5Chline%20%5Cmathbb%7BZ%7D%20%26%200%20%26%200%20%5C%5C%20%5Chline%20%5Cmathbb%7BZ%7D_n%20%26%20%5Cmathbb%7BZ%7D_n%20%26%20%5Cmathbb%7BZ%7D_%7B%5Cgcd(n%2Cm)%7D%20%5C%5C%20%5Chline%20%5Cend%7Barray%7D%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20%24%5Ctext%7BExt%7D(A%2C%20%5Cmathbb%7BQ%7D)%20%3D%200%24%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%203.%20Naturality%20with%20direct%20sum%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%204.%20%24%5Ctext%7BExt%7D(H%2C%20%5Cmathbb%7BZ%7D)%24%20is%20isomorphic%20to%20the%20torsion%20subgroup%20of%20%24H%24%20if%20it%20is%20finitely%20generated%3B%0A%0A%20%20%20%2034.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23FFB86CA6%3B%22%3E%24%5Ctext%7BTor%7D(A%2C%20B)%24%3C%2Fmark%3E%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20%24%24%5Cbegin%7Barray%7D%20%7B%7Cr%7Cr%7Cr%7C%7D%5Chline%20A%5Cdiagdown%20B%20%26%20%5Cmathbb%7BZ%7D%20%26%20%5Cmathbb%7BZ%7D_m%20%5C%5C%20%5Chline%20%5Cmathbb%7BZ%7D%20%26%200%20%26%200%20%5C%5C%20%5Chline%20%5Cmathbb%7BZ%7D_n%20%26%200%20%26%20%5Cmathbb%7BZ%7D_%7B%5Cgcd(n%2Cm)%7D%20%5C%5C%20%5Chline%20%5Cend%7Barray%7D%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20%24%5Ctext%7BTor%7D(A%2C%20B)%20%3D%200%24%20if%20either%20%24A%24%20or%20%24B%24%20is%20torsion%20free%3B%0A%0A%20%20%20%2035.%20Geometric%20meaning%20of%20generators%20of%20%24H%5E1(F)%24%20and%20%24H%5E2(F)%24%20where%20%24F%24%20is%20closed%20surface%0A%0A%20%20%20%2036.%20Cup%20product%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23BBFABBA6%3B%22%3EFor%20%24%5Cvarphi%20%5Cin%20C%5Ek(X%3B%20R)%24%20and%20%24%5Cpsi%20%5Cin%20C%5El(X%3B%20R)%24%2C%20define%20%24%5Cvarphi%20%5Ccup%20%5Cpsi%20%5Cin%20C%5E%7Bk%2Bl%7D(X%3B%20R)%24%20by%20%24(%5Csigma%3A%20%5CDelta%5E%7Bk%2Bl%7D%20%5Cto%20X)%24%20%24%5Cmapsto%20%5Cvarphi(%5Csigma%7C_%7B%5Bv_0%2C%5Cdots%2C%20v_k%5D%7D)%24%20%24%5Ccdot%20%5Cpsi(%5Csigma%7C_%7B%5Bv_k%2C%20%5Cdots%2C%20v_%7Bk%2Bl%7D%5D%7D)%24%2C%20it%20is%20well%20defined%20on%20%24H%5E%7Bk%7D(X%3BR)%20%5Ctimes%20H%5El(X%3BR)%20%5Cto%20H%5E%7Bk%2Bl%7D(X%3BR)%24%3C%2Fmark%3E%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20Induced%20homomorphism%20%24f%5E*%3A%20H%5En(Y%3B%20R)%20%5Cto%20H%5En(X%3B%20R)%24%20satisfies%20%24f%5E*(%5Calpha%20%5Ccup%20%5Cbeta)%20%3D%20f%5E*(%5Calpha)%20%5Ccup%20f%5E*(%5Cbeta)%24%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%203.%20If%20%24%5Calpha%20%5Cin%20H%5Ek(X%2C%20A%3B%20R)%24%20and%20%24%5Cbeta%20%5Cin%20H%5El(X%2C%20A%3B%20R)%24%2C%20then%20%24%5Calpha%20%5Ccup%20%5Cbeta%20%3D%20(-1)%5E%7Bkl%7D(%5Cbeta%20%5Ccup%20%5Calpha)%24%3B%0A%0A%20%20%20%2037.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23FF5582A6%3B%22%3EOrientation%3C%2Fmark%3E%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23BBFABBA6%3B%22%3EA%20local%20orientation%20of%20an%20%24n%24-manifold%20%24X%24%20at%20%24x%24%20is%20a%20choice%20of%20generator%20of%20%24H_n(X%2C%20X%20-%20%5Clbrace%20x%20%5Crbrace)%20%5Ccong%20%5Cmathbb%7BZ%7D%24%2C%20an%20orientation%20of%20%24X%24%20is%20a%20consistent%20choice%20of%20local%20orientation%3C%2Fmark%3E%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20If%20%24X%24%20is%20closed%20%24n%24-manifold%2C%20then%20%24H_n(X)%20%5Ccong%20%5Cmathbb%7BZ%7D%24%20if%20%24X%24%20is%20orientable%2C%20%24H_n(X)%20%3D%200%24%20if%20%24X%24%20is%20non-orientable%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%203.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23BBFABBA6%3B%22%3EThe%20fundamental%20class%20%24%5BX%5D%24%20of%20an%20orientable%20%24n%24-manifold%20%24X%24%20is%20a%20choice%20of%20generator%20of%20%24H_n(X)%20%5Ccong%20%5Cmathbb%7BZ%7D%24%3C%2Fmark%3E%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%204.%20If%20%24X%24%20is%20closed%20%24n%24-manifold%2C%20then%20%24H_n(X%3B%20R)%20%5Ccong%20R%24%20if%20and%20only%20if%20%24X%24%20is%20%24R%24-orientable%2C%20all%20closed%20%24n%24-manifold%20is%20%24%5Cmathbb%7BZ%7D_2%24-orientable%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%205.%20If%20%24X%24%20is%20compact%20%24n%24-manifold%20with%20boundary%2C%20then%20%24H_n(X%2C%20%5Cpartial%20X%3B%20R)%20%5Ccong%20R%24%20if%20and%20only%20if%20%24X%24%20is%20%24R%24-orientable%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%206.%20If%20%24X%24%20is%20simply-connected%2C%20then%20%24X%24%20is%20orientable%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%207.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23FFB86CA6%3B%22%3EIf%20%24X%24%20is%20closed%20%24n%24-manifold%2C%20then%20the%20torsion%20subgroup%20of%20%24H_%7Bn-1%7D(X)%24%20is%20trivial%20if%20%24X%24%20is%20orientable%20and%20%24%5Cmathbb%7BZ%7D_2%24%20if%20%24X%24%20is%20non-orientable%3C%2Fmark%3E%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%208.%20Covering%20space%20of%20an%20orientable%20manifold%20is%20orientable%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%209.%20%24X%24%20and%20%24Y%24%20are%20orientable%20if%20and%20only%20if%20%24X%5Ctimes%20Y%24%20is%20orientable%3B%0A%0A%20%20%20%2038.%20Degree%20of%20%24f%3A%20X%20%5Cto%20Y%24%20between%20orientable%20%24n%24-manifolds%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20Definitions%20with%20homology%20and%20cohomology%20are%20equivalent%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20%24f%3A%20S%5E2%20%5Cto%20%5CSigma_g%24%20has%20%24%5Cdeg(f)%20%3D%200%24%3B%0A%0A%20%20%20%2039.%20Cap%20product%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23BBFABBA6%3B%22%3EFor%20%24%5Csigma%20%5Cin%20C_k(X%2C%20R)%24%20and%20%24%5Cvarphi%20%5Cin%20C%5El(X%2C%20R)%24%20such%20that%20%24l%3Ck%24%2C%20define%20%24%5Csigma%20%5Ccap%20%5Cvarphi%24%20%24%3D%20%5Cvarphi(%5Csigma%7C_%7B%5Bv_0%2C%20%5Cdots%2C%20v_l%20%5D%7D)%24%20%24%5Ccdot%20%5Csigma%7C_%7B%5Bv_l%2C%5Cdots%2C%20v_k%5D%7D%24%20%24%5Cin%20C_%7Bk-l%7D(X%2CR)%24%2C%20it%20is%20well%20defined%20on%20%24H_k(X%3BR)%20%5Ctimes%20H%5El(X%3BR)%20%5Cto%20H_%7Bk-l%7D(X%3BR)%24%3C%2Fmark%3E%3B%0A%0A%20%20%20%2040.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23FF5582A6%3B%22%3ECohomology%20ring%3C%2Fmark%3E%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20Give%20%24H%5E*(X)%20%5Cotimes%20H%5E*(Y)%24%20a%20ring%20structure%20%24%5Cbigoplus%5Climits_m%5Cleft(%5Cbigoplus%5Climits_%7Bk%2Bl%20%3D%20m%7D%5Cleft(H%5Ek(X)%20%5Cotimes%20H%5El(Y)%5Cright)%5Cright)%24%20by%20defining%20product%20%24(a%20%5Cotimes%20b)%5Ccdot(c%5Cotimes%20d)%20%3D%20(-1)%5E%7B%7C%20b%20%5C%7C%20c%20%7C%7D(a%20%5Ccup%20c)%5Cotimes%20(b%20%5Ccup%20d)%24%3B%0A%0A%20%20%20%2041.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23FF5582A6%3B%22%3EPoincar%C3%A9%20Duality%3C%2Fmark%3E%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23FFB86CA6%3B%22%3EIf%20%24X%24%20is%20closed%20orientable%20%24n%24-manifold%2C%20then%20%24H_k(X)%20%5Ccong%20H%5E%7Bn-k%7D(X)%24%2C%20where%20the%20isomorphism%20is%20given%20by%20%24%5Cvarphi%20%5Cmapsto%20%5BX%5D%20%5Ccap%20%5Cvarphi%24%3B%20in%20particular%2C%20%24%5Ctext%7Brank%7D(H_k(X))%20%3D%20%5Ctext%7Brank%7D(H_%7Bn-k%7D(X))%24%3C%2Fmark%3E%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20If%20%24X%24%20is%20closed%20%24n%24-manifold%2C%20then%20%24H_k(X%3B%20%5Cmathbb%7BZ%7D_2)%20%5Ccong%20H%5E%7Bn-k%7D(X%3B%20%5Cmathbb%7BZ%7D_2)%24%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%203.%20If%20%24X%24%20is%20compact%20%24R%24-orientable%20%24n%24-manifold%20where%20%24%5Cpartial%20X%24%20can%20be%20written%20as%20%24A%20%5Ccup%20B%24%20where%20%24A%20%5Ccap%20B%24%20is%20common%20boundary%20for%20%24A%24%20and%20%24B%24%2C%20then%20%24H_k(X%2CA%3BR)%20%5Ccong%20H%5E%7Bn-k%7D(X%2CB%3BR)%24%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%204.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23FFB86CA6%3B%22%3EIf%20%24X%24%20is%20closed%20orientable%20%24n%24-manifold%20and%20%24K%24%20is%20a%20compact%2C%20locally%20contractible%20subspace%2C%20then%20%24H_k(X%2C%20X%20-%20K)%20%5Ccong%20H%5E%7Bn-k%7D(K)%24%3C%2Fmark%3E%3B%0A%0A%20%20%20%2042.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23FFB86CA6%3B%22%3EPoincar%C3%A9%20Lefschetz%20Duality%3C%2Fmark%3E%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20If%20%24X%24%20is%20compact%20%24R%24-orientable%20%24n%24-manifold%20with%20boundary%2C%20then%20%24H%5Ek(X%3B%20R)%20%5Ccong%20H_%7Bn-k%7D(X%2C%20%5Cpartial%20X%3B%20R)%24%20and%20%24H%5Ek(X%2C%20%5Cpartial%20X%3B%20R)%20%5Ccong%20H_%7Bn-k%7D(X%3B%20R)%24%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20If%20%24X%24%20is%20compact%20odd-dimensional-manifold%20with%20boundary%2C%20then%20%24%5Cchi(%5Cpartial%20X)%20%3D%202%5Cchi(X)%24%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%203.%20Compact%20manifold%20does%20not%20retract%20onto%20its%20boundary%3B%0A%0A%20%20%20%2043.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23FFB86CA6%3B%22%3EAlexander%20Duality%3C%2Fmark%3E%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20If%20%24K%20%5Csubset%20S%5En%24%20is%20compact%20and%20locally%20contractible%20proper%20subspace%2C%20then%20%24%5Ctilde%7BH_i%7D(S%5En%20%5Csetminus%20K)%20%5Ccong%20%5Ctilde%7BH%7D%5E%7Bn-i-1%7D(K)%24%3B%20note%20that%20%24K%20%5Csubset%20%5Cmathbb%7BR%7D%5En%24%20can%20also%20be%20viewed%20as%20lying%20in%20%24S%5En%24%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20If%20%24X%20%5Csubset%20%5Cmathbb%7BR%7D%5En%24%20is%20compact%20and%20locally%20contractible%2C%20then%20%24H_%7Bn-1%7D(X)%24%20and%20%24H_%7Bn-2%7D(X)%24%20is%20torsion%20free%3B%20in%20particular%2C%20a%20closed%20non-orientable%20%24n%24-manifold%20cannot%20be%20embedded%20in%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7Bn%2B1%7D%24%3B%0A%0A%20%20%20%2044.%20Half-Lives-Half-Dies%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23FFB86CA6%3B%22%3EIf%20%24X%24%20is%20an%20orientable%20%243%24-manifold%20with%20boundary%2C%20then%20%24%5Ctext%7Brank%7D(%5Cker%20i_*%3A%20H_1(%5Cpartial%20X)%20%5Cto%20H_1(X))%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ctext%7Brank%7D(H_1(%5Cpartial%20X))%24%3C%2Fmark%3E%3B%0A%0A%20%20%20%2045.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23FF5582A6%3B%22%3EK%C3%BCnneth%20Formula%3C%2Fmark%3E%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23FFB86CA6%3B%22%3E%24H%5Em(X%20%5Ctimes%20Y)%20%5Ccong%20%5Cleft(%5Cbigoplus%5Climits_%7Bk%2Bl%3Dm%7D(H%5Ek(X)%20%5Cotimes%20H%5El(Y))%5Cright)%20%5Coplus%20%5Cleft(%5Cbigoplus%5Climits_%7Bp%2Bq%20%3D%20m%2B1%7D%5Ctext%7BTor%7D(H%5Ep(X)%2C%20H%5Eq(Y))%5Cright)%24%3B%20if%20either%20%24H%5En(X)%24%20or%20%24H%5En(Y)%24%20are%20free%20abelian%20for%20all%20%24n%24%2C%20then%20%24H%5E*(X%20%5Ctimes%20Y)%20%5Ccong%20H%5E*(X)%20%5Cotimes%20H%5E*(Y)%24%20as%20graded%20ring%3C%2Fmark%3E%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20If%20%24A%20%5Csubset%20X%24%20and%20%24B%20%5Csubset%20Y%24%20are%20sub-complexes%2C%20and%20if%20either%20%24H%5En(X%2CA%3BR)%24%20or%20%24H%5En(Y%2C%20B%3BR)%24%20are%20free%20abelian%20for%20all%20n%2C%20then%20%24H%5E*(X%20%5Ctimes%20Y%2C%20A%5Ctimes%20Y%20%5Ccup%20B%20%5Ctimes%20X%3B%20R)%24%20%24%5Ccong%20H%5E*(X%2CA%3BR)%20%5Cotimes%20H%5E*(Y%2CB%3BR)%24%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%203.%20%24H_m(X%20%5Ctimes%20Y)%20%5Ccong%20%5Cleft(%5Cbigoplus%5Climits_%7Bk%2Bl%3Dm%7D(H_k(X)%20%5Cotimes%20H_l(Y))%5Cright)%20%5Coplus%20%5Cleft(%5Cbigoplus%5Climits_%7Bp%2Bq%20%3D%20m-1%7D%5Ctext%7BTor%7D(H_p(X)%2C%20H_q(Y))%5Cright)%24%3B%0A%0A%20%20%20%2046.%20Fundamental%20group%0A%0A%20%20%20%2047.%20Change%20of%20base-point%20isomorphism%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20Let%20%24x_0%2C%20x_1%20%5Cin%20X%24%2C%20%24X%24%20be%20path-connected%2C%20and%20%24%5Cgamma%24%20be%20a%20path%20connecting%20%24x_0%24%20and%20%24x_1%24%2C%20then%20%24%5Cbeta_%7B%5Cgamma%7D%3A%20%5Cpi_1(X%2Cx_0)%20%5Cto%20%5Cpi_1(X%2Cx_1)%24%20defined%20by%20%24%5Bf%5D%20%5Cmapsto%20%5B%5Cgamma%5E%7B-1%7D%5Ccdot%20f%20%5Ccdot%20%5Cgamma%5D%24%20is%20the%20change%20of%20base-point%20isomorphism%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20%24%5Cpi_1(X)%24%20is%20abelian%20if%20and%20only%20if%20all%20change%20of%20base-point%20homomorphism%20%24%5Cbeta_%7B%5Cgamma%7D%24%20depend%20only%20on%20the%20end-points%20of%20%24%5Cgamma%24%3B%0A%0A%20%20%20%2048.%20Seifert-Van%20Kampen%20Theorem%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20Suppose%20that%20%24X%20%3D%20U_1%20%5Ccup%20U_2%24%20such%20that%20%24U_1%2CU_2%2CU_1%5Ccap%20U_2%24%20are%20non-empty%2C%20open%20and%20path%20connected.%20Choose%20a%20base%20point%20%24x%20%5Cin%20U_1%20%5Ccap%20U_2%24%20and%20assume%20%24%5Cpi_1(U_1%20%5Ccap%20U_2%2C%20x)%20%3D%20%5Clangle%20S%3BR%20%5Crangle%24%2C%20%24%5Cpi_1(U_j%2Cx)%20%3D%20%5Clangle%20S_j%3BR_j%20%5Crangle%24%20for%20%24j%20%3D%201%2C2%24.%20Denote%20%24R_S%24%20be%20the%20set%20of%20relations%20%24%5Cvarphi_%7B1%7B*%7D%7D(s)%20%3D%20%5Cvarphi_%7B2%7B*%7D%7D(s)%24%20for%20%24s%20%5Cin%20S%24%20(%24%5Cvarphi_j%24%20is%20the%20inclusion%20map%20from%20%24U_1%20%5Ccap%20U_2%24%20to%20%24U_j%24)%2C%20then%20%24%5Cpi_1(X%2Cx)%24%20is%20isomorphic%20to%20the%20group%20defined%20by%20the%20generators%20%24S_1%20%5Ccup%20S_2%24%20and%20the%20relations%20%24R_1%20%5Ccup%20R_2%20%5Ccup%20R_S%24%3B%0A%0A%20%20%20%2049.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23FF5582A6%3B%22%3ECovering%20space%3C%2Fmark%3E%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20If%20%24p%3A%20%5Ctilde%7BX%7D%20%5Cto%20X%24%20and%20%24q%3A%20%5Ctilde%7BY%7D%20%5Cto%20Y%24%20are%20coverings%2C%20then%20%24p%20%5Ctimes%20q%3A%20%5Ctilde%7BX%7D%20%5Ctimes%20%5Ctilde%7BY%7D%20%5Cto%20X%20%5Ctimes%20Y%24%20is%20covering%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20If%20%24p%3A%20%5Ctilde%7BX%7D%20%5Cto%20X%24%20and%20%24q%3A%20%5Ctilde%7BY%7D%20%5Cto%20Y%24%20are%20coverings%20where%20%24%5Ctilde%7BX%7D%2C%20%5Ctilde%7BY%7D%24%20are%20simply-connected%20and%20%24X%2C%20Y%24%20are%20path-connected%20and%20locally%20path-connected%2C%20then%20if%20%24X%20%5Csimeq%20Y%24%20then%20%24%5Ctilde%7BX%7D%20%5Csimeq%20%5Ctilde%7BY%7D%24%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%203.%20If%20%24p%3A%20%5Ctilde%7BX%7D%20%5Cto%20X%24%20is%20a%20covering%2C%20choose%20%24x%20%5Cin%20X%24%20and%20%24%5Ctilde%7Bx%7D%20%5Cin%20p%5E%7B-1%7D(x)%24%2C%20then%20%24p_*%3A%5Cpi_1(%5Ctilde%7BX%7D%2C%5Ctilde%7Bx%7D)%20%5Cto%20%5Cpi_1(X%2C%20x)%24%20is%20injective%20and%20%24%5B%5Cpi_1(X%2Cx)%3A%20p_*(%5Cpi_1(%5Ctilde%7BX%7D%2C%5Ctilde%7Bx%7D))%5D%24%20equals%20the%20number%20of%20sheets%20of%20the%20covering%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%204.%20Equivalence%20class%20of%20coverings%20of%20%24X%24%20is%20in%20bijective%20correspondence%20with%20conjugacy%20classes%20of%20subgroups%20of%20%24%5Cpi_1(X%2C%20x)%24%3B%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23BBFABBA6%3B%22%3Ethe%20covering%20is%20said%20to%20be%20regular%20if%20the%20corresponding%20subgroup%20is%20normal%2C%20universal%20if%20the%20corresponding%20subgroup%20is%20%241%24%3C%2Fmark%3E%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%205.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23BBFABBA6%3B%22%3ETwo%20coverings%20%24p_1%3A%5Ctilde%7BX_1%7D%20%5Cto%20X%24%20and%20%24p_2%3A%20%5Ctilde%7BX_2%7D%20%5Cto%20X%24%20are%20said%20to%20be%20equivalent%20if%20there%20is%20a%20homeomorphism%20%24f%3A%20%5Ctilde%7BX_1%7D%20%5Cto%20%5Ctilde%7BX_2%7D%24%3C%2Fmark%3E%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%206.%20Induced%20homomorphism%20of%20covering%20map%20is%20isomorphism%20on%20%24%5Cpi_n%24%20if%20%24n%20%5Cge%202%24%3B%0A%0A%20%20%20%2050.%20Deck%20transformation%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23BBFABBA6%3B%22%3EFor%20a%20covering%20%24p%3A%20%5Ctilde%7BX%7D%20%5Cto%20X%24%2C%20the%20homeomorphisms%20%24d%3A%20%5Ctilde%7BX%7D%20%5Cto%20%5Ctilde%7BX%7D%24%20such%20that%20%24p%5Ccirc%20d%20%3D%20p%24%20are%20called%20deck%20transformations%2C%20they%20form%20a%20group%20%24G(%5Ctilde%7BX%7D)%24%3C%2Fmark%3E%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20A%20covering%20%24p%3A%20%5Ctilde%7BX%7D%20%5Cto%20X%24%20is%20regular%20if%20for%20each%20%24x%20%5Cin%20X%24%20and%20each%20pair%20%24%5Ctilde%7Bx%7D_1%2C%20%5Ctilde%7Bx%7D_2%20%5Cin%20p%5E%7B-1%7D(x)%24%20there%20exists%20a%20deck%20transformation%20taking%20%24%5Ctilde%7Bx%7D_1%24%20to%20%24%5Ctilde%7Bx%7D_2%24%3B%0A%0A%20%20%20%2051.%20Path%20Lifting%20Property%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20If%20%24p%3A%20%5Ctilde%7BX%7D%20%5Cto%20X%24%20is%20a%20covering%2C%20then%20for%20each%20path%20%24f%3A%20I%20%5Cto%20X%24%20which%20starts%20at%20%24x%24%2C%20there%20exists%20a%20unique%20lift%20%24%5Ctilde%7Bf%7D%3A%20I%20%5Cto%20%5Ctilde%7BX%7D%24%20that%20starts%20at%20each%20%24%5Ctilde%7Bx%7D%20%5Cin%20p%5E%7B-1%7D(x)%24%3B%0A%0A%20%20%20%2052.%20Homotopy%20Lifting%20Property%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20If%20%24p%3A%20%5Ctilde%7BX%7D%20%5Cto%20X%24%20is%20a%20covering%2C%20%24F%3A%20Y%20%5Ctimes%20I%20%5Cto%20X%24%20is%20a%20homotopy%2C%20and%20%24%5Ctilde%7Bf%7D_0%3A%20Y%20%5Cto%20%5Ctilde%7BX%7D%24%20lifts%20%24f_0%3A%20Y%20%5Cto%20X%24%2C%20then%20there%20exists%20a%20unique%20homotopy%20%24%5Ctilde%7BF%7D%3A%20Y%20%5Ctimes%20I%20%5Cto%20%5Ctilde%7BX%7D%24%20of%20%24%5Ctilde%7Bf%7D_0%24%20that%20lifts%20%24F%24%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20Let%20%24%5Cgamma_0%24%20and%20%24%5Cgamma_1%24%20be%20paths%20in%20%24X%24%20homotopic%20rel%20%24%5Clbrace%200%2C%201%20%5Crbrace%24%2C%20then%20their%20lifts%20%24%5Ctilde%7B%5Cgamma_0%7D%2C%20%5Ctilde%7B%5Cgamma_1%7D%24%20such%20that%20%24%5Ctilde%7B%5Cgamma_0%7D(0)%20%3D%20%5Ctilde%7B%5Cgamma_1%7D(0)%24%20are%20still%20homotopic%20rel%20%24%5Clbrace%200%20%2C1%20%5Crbrace%24%3B%0A%0A%20%20%20%2053.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23FF5582A6%3B%22%3EMap%20Lifting%20Lemma%3C%2Fmark%3E%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20If%20%24p%3A%20%5Ctilde%7BX%7D%20%5Cto%20X%24%20is%20a%20covering%2C%20%24f%3A%20Y%20%5Cto%20X%24%20with%20%24Y%24%20path-connected%20and%20locally%20path-connected%2C%20then%20a%20lift%20%24%5Ctilde%7Bf%7D%3A%20Y%20%5Cto%20%5Ctilde%7BX%7D%24%20exists%20if%20and%20only%20if%20%24f_*(%5Cpi_1(Y))%20%5Csubset%20p_*(%5Cpi_1(%5Ctilde%7BX%7D))%24%3B%0A%0A%20%20%20%2054.%20Unique%20Lifting%20Property%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20If%20%24p%3A%20%5Ctilde%7BX%7D%20%5Cto%20X%24%20is%20a%20covering%2C%20%24f%3A%20Y%20%5Cto%20X%24%20with%20%24Y%24%20connected%20lifts%20to%20%24%5Ctilde%7Bf_1%7D%24%20and%20%24%5Ctilde%7Bf_2%7D%24%20that%20agree%20at%20a%20point%20of%20%24Y%24%2C%20then%20%24%5Ctilde%7Bf_1%7D%20%3D%20%5Ctilde%7Bf_2%7D%24%3B%0A%0A%20%20%20%2055.%20Subgroup%20of%20free%20group%20is%20free%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23FFB86CA6%3B%22%3EIf%20%24A%20%5Csubset%20F_n%24%20has%20index%20%24k%24%2C%20then%20%24%5Ctext%7Brank%7D(A)%20%3D%201%20%2B%20k(n-1)%24%3C%2Fmark%3E%3B%0A%0A%20%20%20%2056.%20Covering%20space%20action%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23BBFABBA6%3B%22%3EAn%20action%20%24G%24%20on%20%24Y%24%20is%20a%20homomorphism%20%24G%20%5Cto%20%5Ctext%7BHomeo%7D(Y)%24%2C%20under%20this%20context%20we%20view%20%24g%24%20as%20a%20homeomorphism%20%24Y%20%5Cto%20Y%24%3C%2Fmark%3E%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23BBFABBA6%3B%22%3EAn%20action%20%24G%24%20on%20%24Y%24%20is%20a%20covering%20space%20action%20if%20each%20%24y%20%5Cin%20Y%24%20has%20an%20open%20neighborhood%20%24U%24%20such%20that%20%24g(U)%24%20are%20disjoint%20for%20all%20%24g%20%5Cin%20G%24%3C%2Fmark%3E%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%203.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23BBFABBA6%3B%22%3EAn%20action%20%24G%24%20on%20%24Y%24%20is%20a%20free%20action%20if%20no%20%24g%3A%20Y%20%5Cto%20Y%24%20has%20a%20fixed%20point%20except%20for%20%24g%20%3D%20%5Ctext%7Bid%7D%24%3C%2Fmark%3E%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%204.%20If%20%24G%24%20acts%20on%20%24Y%24%20by%20a%20covering%20space%20action%2C%20then%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%201.%20The%20quotient%20map%20%24p%3A%20Y%20%5Cto%20Y%2FG%24%20is%20a%20regular%20covering%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%202.%20%24G%24%20is%20the%20group%20of%20deck%20transformations%20of%20%24p%3A%20Y%20%5Cto%20Y%2FG%24%20if%20%24Y%24%20is%20path-connected%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%203.%20%24G%24%20is%20isomorphic%20to%20%24%5Cpi_1(Y%2FG)%2Fp_*(%5Cpi_1(Y))%24%20if%20%24Y%24%20is%20path-connected%20and%20locally%20path-connected%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%205.%20Every%20regular%20covering%20is%20equivalent%20to%20a%20covering%20%24Y%20%5Cto%20Y%2FG%24%20for%20some%20%24Y%24%20and%20%24G%24%3B%0A%0A%20%20%20%2057.%20If%20%24M%24%20is%20non-orientable%2C%20then%20there%20exists%20an%20epimorphism%20%24%5Cpi_1(M)%20%5Cto%20%5Cmathbb%7BZ%7D_2%24%20(corresponding%20to%20this%20is%20the%20orientation%20double%20cover)%3B%20in%20particular%2C%20if%20%24%5Cpi_1(M)%24%20does%20not%20have%20a%20subgroup%20of%20index%20%242%24%2C%20then%20%24M%24%20is%20orientable%3B%0A%0A%20%20%20%2058.%20Higher%20homotopy%20group%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23BBFABBA6%3B%22%3EAn%20%24n%24-spheriod%20in%20%24X%24%20based%20at%20%24x%24%20is%20a%20continuous%20map%20%24f%3A%20(I%5En%2C%20%5Cpartial%20I%5En)%20%5Cto%20(X%2C%20x)%24%3B%20%24%5Cpi_n(X%2C%20x)%24%20is%20defined%20to%20be%20the%20set%20of%20homotopy%20classes%20of%20%24n%24-spheriods%20for%20%24n%20%5Cge%201%24%3B%20%24%5Cpi_i(X%2C%20x)%24%20has%20a%20group%20structure%20for%20%24i%20%5Cge%201%24%2C%20%24%5Cpi_i(X%2C%20x)%24%20is%20abelian%20for%20%24i%20%5Cge%202%24%3C%2Fmark%3E%3B%0A%0A%20%20%20%2059.%20Cellular%20Approximation%20Theorem%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23BBFABBA6%3B%22%3E%24f%3A%20X%20%5Cto%20Y%24%20between%20CW-complexes%20is%20a%20cellular%20map%20if%20it%20takes%20%24n%24-skeleton%20of%20%24X%24%20to%20%24n%24-skeleton%20of%20%24Y%24%20for%20each%20%24n%24%3C%2Fmark%3E%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20Every%20map%20%24f%3A%20X%20%5Cto%20Y%24%20of%20CW-complexes%20is%20homotopic%20to%20a%20cellular%20map%3B%20if%20%24f%24%20is%20already%20cellular%20on%20a%20sub-complex%20%24A%20%5Csubset%20X%24%2C%20then%20the%20homotopy%20can%20be%20taken%20rel%20%24A%24%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%203.%20%24%5Cpi_n(X)%20%5Ccong%20%5Cpi_n(X%5E%7B(n%2B1)%7D)%24%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%204.%20There%20exists%20a%20%242%24-dimensional%20CW-complex%20%24X%24%20with%20%24%5Cpi_1(X)%20%5Ccong%20G%24%20for%20any%20(finitely%20presented)%20group%20%24G%24%3B%0A%0A%20%20%20%2060.%20Relative%20homotopy%20group%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23BBFABBA6%3B%22%3EA%20relative%20%24n%24-spheriod%20in%20%24(X%2C%20A)%24%20based%20at%20%24x%24%20is%20a%20continuous%20map%20%24f%3A%20(D%5En%2C%20S%5E%7Bn-1%7D%2C%20s)%20%5Cto%20(X%2C%20A%2C%20x)%24%3B%20%24%5Cpi_n(X%2C%20A%2C%20x)%24%20is%20defined%20to%20be%20the%20set%20of%20homotopy%20classes%20of%20relative%20%24n%24-spheriods%20for%20%24n%20%5Cge%201%24%3B%20%24%5Cpi_0(X%2C%20A%2C%20x)%24%20is%20not%20defined%2C%20%24%5Cpi_i(X%2C%20A%2C%20x)%24%20has%20a%20group%20structure%20for%20%24i%20%5Cge%202%24%2C%20%24%5Cpi_i(X%2C%20A%2Cx)%24%20is%20abelian%20for%20%24i%20%5Cge%203%24%3C%2Fmark%3E%3B%0A%0A%20%20%20%2061.%20Long%20exact%20sequence%20of%20a%20pair%20for%20homotopy%20group%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20%24%24%5Cbegin%7Barray%7D%7Brrr%7D%26%5Cpi_*(A)%20%26%5C%5C%5Cnearrow%5E%7B%5Cpartial%7D_%7B-1%7D%26%5Csearrow_%7Bi_*%7D%5C%5C%5Cpi_*(X%2CA)%26%5Cxleftarrow%7Bj_*%7D%26%5Cpi_*(X)%20%5Cend%7Barray%7D%24%24%20where%20%24%5Cpartial%24%20is%20restriction%20to%20%24S%5E%7Bn-1%7D%24%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20%24%5Cpi_n(X%2C%20A%2C%20x)%20%5Cne%20%5Cpi_n(X%2FA%2C%20x)%24%3B%0A%0A%20%20%20%2062.%20%24n%24-connectedness%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23BBFABBA6%3B%22%3EA%20space%20%24X%24%20is%20%24n%24-connected%20if%20%24%5Cpi_i(X)%20%3D%200%24%20for%20all%20%24i%20%5Cle%20n%24%3C%2Fmark%3E%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23BBFABBA6%3B%22%3EA%20CW%20pair%20%24(X%2C%20A)%24%20is%20%24n%24-connected%20if%20%24X%20%5Csetminus%20A%24%20has%20no%20cell%20of%20dimension%20%24%3E%20n%24%20up%20to%20homotopy%20equivalence%3C%2Fmark%3E%3B%0A%0A%20%20%20%2063.%20Freudanthal%20Theorem%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23BBFABBA6%3B%22%3EThe%20map%20%24%5Cpi_n(X)%20%5Cto%20%5Cpi_%7Bn%2B1%7D(%5CSigma%20X)%24%20defined%20by%20%24%5Bf%5D%20%5Cmapsto%20%5B%5CSigma%20f%5D%24%20is%20called%20the%20suspension%20homomorphism%3C%2Fmark%3E%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23FFB86CA6%3B%22%3EIf%20%24X%24%20is%20an%20%24(n-1)%24-connected%20CW-complex%2C%20then%20the%20suspension%20homomorphism%20%24%5Cpi_k(X)%20%5Cto%20%5Cpi_%7Bk%2B1%7D(%5CSigma%20X)%24%20is%20an%20isomorphism%20for%20%24k%3C2n-1%24%20and%20epimorphism%20for%20%24k%20%3D%202n-1%24%3C%2Fmark%3E%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%203.%20If%20%24A%20%5Csubset%20X%24%20is%20a%20sub-complex%2C%20%24A%24%20is%20%24s%24-connected%2C%20%24X%24%20is%20%24r%24-connected%2C%20then%20the%20map%20%24%5Cpi_k(X%2CA)%20%5Cto%20%5Cpi_k(X%2FA)%24%20induced%20by%20quotient%20map%20%24X%20%5Cto%20X%2FA%24%20is%20an%20isomorphism%20for%20%24k%3Cr%2Bs%2B1%24%20and%20epimorphism%20for%20%24k%20%3D%20r%2Bs%2B1%24%3B%0A%0A%20%20%20%2064.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23FF5582A6%3B%22%3EWhitehead%20Theorem%3C%2Fmark%3E%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20If%20a%20map%20%24f%3A%20X%20%5Cto%20Y%24%20between%20CW-complexes%20induces%20isomorphisms%20%24f_*%3A%20%5Cpi_n(X)%20%5Cto%20%5Cpi_n(Y)%24%20for%20all%20%24n%24%2C%20then%20%24f%24%20is%20a%20homotopy%20equivalence%3B%20if%20%24f%24%20is%20an%20inclusion%20map%2C%20then%20%24X%24%20is%20a%20deformation%20retract%20of%20%24Y%24%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20If%20%24X%24%20is%20a%20CW-complex%20with%20%24%5Cpi_n(X)%20%3D%200%24%20for%20all%20%24n%24%2C%20then%20%24X%24%20is%20contractible%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%203.%20If%20a%20map%20%24f%3A%20X%20%5Cto%20Y%24%20between%20simply-connected%20CW-complexes%20induces%20isomorphisms%20%24f_*%3A%20H_n(X)%20%5Cto%20H_n(Y)%24%20for%20all%20%24n%24%2C%20then%20%24f%24%20is%20a%20homotopy%20equivalence%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%204.%20If%20%24X%24%20is%20a%20simply-connected%20CW-complex%20with%20%24%5Ctilde%7BH_n%7D(X)%20%3D%200%24%20for%20all%20%24n%24%2C%20then%20%24X%24%20is%20contractible%3B%0A%0A%20%20%20%2065.%20Compression%20Lemma%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23FFB86CA6%3B%22%3ELet%20%24A%20%5Csubset%20X%24%20be%20sub-complex%20and%20%24%5Cvarnothing%20%5Cne%20B%20%5Csubset%20Y%24%20be%20subspace%2C%20if%20%24%5Cpi_n(Y%2C%20B%2C%20y)%20%3D%200%24%20for%20each%20%24y%20%5Cin%20B%24%20for%20each%20%24n%24%20such%20that%20%24X%20%5Csetminus%20A%24%20has%20cells%20of%20dimension%20%24n%24%2C%20then%20every%20map%20%24f%3A%20(X%2C%20A)%20%5Cto%20(Y%2C%20B)%24%20is%20homotopic%20rel%20%24A%24%20to%20a%20map%20%24g%3A%20X%20%5Cto%20B%24%3C%2Fmark%3E%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20Let%20%24A%20%5Csubset%20X%24%20be%20sub-complex%2C%20%24Y%24%20be%20path-connected%2C%20%24f%3A%20A%20%5Cto%20Y%24%2C%20if%20%24%5Cpi_%7Bn-1%7D(Y)%20%3D%200%24%20for%20each%20%24n%24%20such%20that%20%24X%20%5Csetminus%20A%24%20has%20cells%20of%20dimension%20%24n%24%2C%20then%20%24f%24%20can%20be%20extended%20to%20%24F%3A%20X%20%5Cto%20Y%24%3B%0A%0A%20%20%20%2066.%20Hurewicz%20Theorem%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23BBFABBA6%3B%22%3EGiven%20a%20space%20%24X%24%2C%20define%20the%20Hurewicz%20homomorphism%20%24h%3A%20%5Cpi_n(X)%20%5Cto%20H_n(X)%24%20by%20%24%5Bf%5D%20%5Cmapsto%20f_*(%5BS%5En%5D)%24%3B%20similarly%2C%20define%20%24h%3A%20%5Cpi_n(X%2CA)%20%5Cto%20H_n(X%2CA)%24%20by%20%24%5Bf%5D%20%5Cmapsto%20f_*(%5BD%5En%2C%20%5Cpartial%20D%5En%5D)%24%3C%2Fmark%3E%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23FFB86CA6%3B%22%3EIf%20%24X%24%20is%20%24(n-1)%24-connected%2C%20%24n%20%5Cge%202%24%2C%20then%20%24%5Ctilde%7BH_i%7D(X)%20%3D%200%24%20for%20%24i%20%3C%20n%24%20and%20%24%5Cpi_n(X)%20%5Ccong%20H_n(X)%24%3C%2Fmark%3E%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%203.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23FFB86CA6%3B%22%3EIf%20%24(X%2CA)%24%20is%20%24(n-1)%24-connected%20(or%2C%20if%20%24%5Cpi_0(X%2FA)%20%3D%200%24%20and%20%24%5Cpi_i(X%2CA)%20%3D%200%24%20for%20%241%5Cle%20i%20%3Cn%24)%2C%20%24n%20%5Cge%202%24%2C%20%24A%24%20is%20simply-connected%20and%20non-empty%2C%20then%20%24H_i(X%2CA)%20%3D%200%24%20for%20%24i%20%3C%20n%24%20and%20%24%5Cpi_n(X%2CA)%20%5Ccong%20H_n(X%2C%20A)%24%3C%2Fmark%3E%3B%0A%0A%20%20%20%2067.%20Eilenberg-MacLane%20Space%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23BBFABBA6%3B%22%3EA%20connected%20topological%20space%20%24X%24%20is%20called%20an%20Eilenberg-MacLane%20Space%20of%20type%20%24K(G%2C%20n)%24%20if%20the%20only%20non-trivial%20homotopy%20group%20of%20%24X%24%20is%20%24%5Cpi_n(X)%20%5Ccong%20G%24%3C%2Fmark%3E%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20For%20any%20%24n%20%5Cge%201%24%20and%20%24G%24%20(abelian%20if%20%24n%20%5Cge%202%24)%2C%20there%20exists%20a%20CW-complex%20that%20is%20%24K(G%2C%20n)%24%20that%20is%20unique%20up%20to%20homotopy%20equivalence%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%203.%20If%20a%20finite-dimensional%20CW-complex%20%24X%24%20is%20a%20%24K(G%2C%201)%24%2C%20then%20%24G%24%20is%20torsion%20free%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%204.%20%3Cmark%20style%3D%22background%3A%20%23FFB86CA6%3B%22%3EDenote%20%24%5BX%2CY%5D%24%20to%20be%20the%20set%20of%20homotopy%20classes%20of%20maps%20%24X%20%5Cto%20Y%24%3B%20if%20%24X%24%20is%20a%20path-connected%20CW-complex%20and%20%24G%24%20is%20an%20abelian%20group%2C%20%24n%20%5Cge%20%201%24%2C%20then%20there%20is%20a%20natural%20bijection%20%24%5BX%2C%20K(G%2Cn)%5D%20%5Cto%20H%5En(X%3BG)%24%3C%2Fmark%3E%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%205.%20%24%5BX%2C%20S%5En%5D%20%5Ccong%20H%5En(X%3B%5Cmathbb%7BZ%7D)%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A