Algebraic Topology Qualifying Exam

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.17.6%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20nav_menu%20%3D%20mo.nav_menu(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Findex.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Ahome')%7D%20Home%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20orientation%3D%22vertical%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20nav_menu%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%201%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24X%24%20be%20the%20CW-complex%20obtained%20from%20a%20M%C3%B6bius%20band%20and%20%24%5Cmathbb%7BR%7DP%5E2%24%20by%20identifying%20the%20boundary%20of%20the%20M%C3%B6bius%20band%20with%20%24%5Cmathbb%7BR%7DP%5E1%20%5Csubset%20%5Cmathbb%7BR%7DP%5E2%24**.%0A%0A%20%20%20%201.%20**Calculate%20the%20fundamental%20group%20of%20%24X%24**%3B%0A%20%20%20%202.%20**Calculate%20the%20homology%20groups%20of%20%24X%24**%3B%0A%20%20%20%203.%20**Calculate%20the%20cohomology%20groups%20of%20%24X%24%20with%20%24%5Cmathbb%7BZ%7D_2%24%20coefficients**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%0A%0A%20%20%20%20Part%201%20and%202%3A%20direct%20calculation.%20Part%203%3A%20use%20Universal%20Coefficient%20Theorems.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%202%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Is%20the%20one%20point%20union%20%24S%5E2%20%5Cvee%20S%5E4%24%20homotopy%20equivalent%20to%20a%20closed%20manifold%3F%20Explain%20why%20or%20why%20not**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%0A%0A%20%20%20%20Argue%20that%20the%20cap%20product%20structure%20that%20realizes%20Poincar%C3%A9%20Duality%20fails.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%203%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Determine%20the%20connected%20covers%20of%20%24%5Cmathbb%7BR%7DP%5E2%20%5Cvee%20%5Cmathbb%7BR%7DP%5E2%24%20of%20degrees%20%242%2C%203%24%20and%20%244%24%2C%20if%20any**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%0A%0A%20%20%20%20Calculate%20the%20fundamental%20group%2C%20find%20index%20%242%24%20and%20%244%24%20subgroups%2C%20and%20argue%20that%20there%20is%20no%20index%20%243%24%20subgroup.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%204%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%201.%20**Prove%20that%20a%20closed%20odd%20dimensional%20manifold%20has%20zero%20Euler%20characteristic**%3B%0A%20%20%20%202.%20**Can%20%24%5Cmathbb%7BR%7DP%5E4%24%20be%20the%20boundary%20of%20a%20compact%20manifold%3F%20Explain**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%0A%0A%20%20%20%20Part%201%3A%20for%20orientable%20manifold%2C%20use%20Poincar%C3%A9%20Duality%3B%20for%20non-orientable%20manifold%2C%20consider%20orientation%20double%20cover.%0A%0A%20%20%20%20Part%202%3A%20use%20part%201%20to%20show%20it%20is%20impossible.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%205%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**The%20%24n%24-dimensional%20torus%20%24T%5En%24%20is%20the%20%24n%24-fold%20product%20%24S%5E1%20%5Ctimes%20%5Ccdots%20%5Ctimes%20S%5E1%24.%20For%20each%20positive%20integer%20%24k%24%2C%20determine%20%24H_k(T%5E%7B2k%7D)%24%20and%20%24%5Cpi_k(T%5E%7B2k%7D)%24**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%0A%0A%20%20%20%20Direct%20calculation.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%206%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Recall%20that%20%24%5BX%2C%20Y%5D%24%20denotes%20the%20set%20of%20homotopy%20classes%20of%20continuous%20maps%20from%20%24X%24%20to%20%24Y%24%20.%20Suppose%20%24M%24%20is%20a%20closed%20%244%24-manifold%20with%20a%20CW-structure%2C%20prove%20that%20%24%5BM%2C%20%5Cmathbb%7BC%7DP%5E%7B%5Cinfty%7D%5D%20%3D%20%5BM%2C%20%5Cmathbb%7BC%7DP%5E2%5D%24**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%0A%0A%20%20%20%20Use%20the%20fact%20that%20the%20%24(%5Cdim(M)%20%2B%201)%24-skeleton%20of%20%24%5Cmathbb%7BC%7DP%5E%7B%5Cinfty%7D%24%20is%20%24%5Cmathbb%7BC%7DP%5E2%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A