Algebraic Topology Past Qualifying Exam

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.17.6%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20nav_menu%20%3D%20mo.nav_menu(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Findex.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Ahome')%7D%20Home%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20orientation%3D%22vertical%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20nav_menu%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%201%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Compute%20the%20fundamental%20group%20and%20homology%20groups%20of%20the%20topological%20space%20obtained%20by%20removing%20the%20three%20coordinate%20axes%20from%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%5E3%24**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%0A%0A%20%20%20%20This%20space%20is%20homotopic%20with%20%24S%5E2%24%20with%20%246%24%20points%20removed%2C%20or%20%24%5Cbigvee%5Climits_5%20S%5E1%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%202%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24X%24%20be%20a%20topological%20space%2C%20let%20%24A%20%5Csubset%20X%24%20be%20its%20retract.%20Prove%20that%20%24H_*(X)%20%5Ccong%20H_*(A)%20%5Coplus%20H_*(X%2C%20A)%24**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%0A%0A%20%20%20%20%24A%20%5Csubset%20X%24%20being%20a%20retract%20means%20we%20can%20obtain%20a%20short%20exact%20sequence%20%24%240%20%5Cto%20H_*(A)%20%5Cto%20H_*(X)%20%5Cto%20H_*(X%2C%20A)%20%5Cto%200.%24%24%20By%20Splitting%20Lemma%2C%20this%20sequence%20splits.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%203%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**The%20topological%20space%20%24X%24%20is%20obtained%20by%20attaching%20a%20M%C3%B6bius%20band%20%24M%24%20to%20the%20projective%20plane%20%24%5Cmathbb%7BR%7DP%5E2%24%20via%20a%20homeomorphism%20of%20the%20boundary%20circle%20of%20%24M%24%20to%20the%20standard%20%24%5Cmathbb%7BR%7DP%5E1%24%20in%20%24%5Cmathbb%7BR%7DP%5E2%24**.%0A%0A%20%20%20%201.%20**Compute%20%24%5Cpi_1(X)%24**%3B%0A%20%20%20%202.%20**Compute%20%24H_*(X)%24%20and%20%24H%5E*(X)%24**%3B%0A%20%20%20%203.%20**Compute%20%24H_*(X%3B%5Cmathbb%7BZ%7D_2)%24%20and%20%24H%5E*(X%3B%20%5Cmathbb%7BZ%7D_2)%24**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%0A%0A%20%20%20%20By%20Seifert-Van%20Kampen%20Theorem%2C%20%24%5Cpi_1(X)%20%3D%20%5Clangle%20a%2C%20b%20%7C%20b%5E2%20%3D%201%2C%20a%5E2%20%3D%20b%20%5Crangle%24%20%24%5Ccong%20%5Clangle%20a%20%7C%20a%5E4%20%3D%201%20%5Crangle%24%20%24%5Ccong%20%5Cmathbb%7BZ%7D_4%24.%20%24H_1(X)%24%20is%20abelianization%20of%20%24%5Cmathbb%7BZ%7D_4%24%20which%20is%20also%20%24%5Cmathbb%7BZ%7D_4%24.%20%24H_0(X)%24%20is%20of%20course%20%24%5Cmathbb%7BZ%7D%24.%20Use%20Mayer-Vietoris%20Sequence%20to%20get%20%24H_2(X)%20%3D%200%24.%20Use%20definition%20of%20cohomology%20and%20Universal%20Coefficient%20Theorem%20to%20find%20the%20others.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%204%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24X%24%20be%20a%20closed%20connected%20orientable%20%244%24-manifold%20whose%20second%20homology%20group%20%24H_2(X)%24%20has%20rank%20%241%24.%20Prove%20that%20there%20does%20not%20exist%20a%20free%20action%20of%20the%20group%20%24%5Cmathbb%7BZ%7D_2%24%20on%20%24X%24**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%0A%0A%20%20%20%20Rank%20of%20%24H_4(X)%24%20is%20%241%24%20because%20%24X%24%20is%20orientable%2C%20rank%20of%20%24H_0(X)%24%20is%20%241%24%20because%20%24X%24%20is%20connected.%20Rank%20of%20%24H_3(X)%24%20and%20%24H_1(X)%24%20are%20equal%20due%20to%20Poincar%C3%A9%20duality.%20Since%20%24H_2(X)%24%20has%20rank%20%241%24%2C%20%24%5Cchi(X)%24%20must%20be%20odd.%20But%20free%20action%20on%20%24%5Cmathbb%7BZ%7D_2%24%20gives%20a%20covering%20space%20%24X%20%5Cto%20X%2F%5Cmathbb%7BZ%7D_2%24%20so%20%24%5Cchi(X)%20%3D%202%5Cchi(X%2F%5Cmathbb%7BZ%7D_2)%24%2C%20contradiction.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%205%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24f%3A%20X%20%5Cto%20Y%24%20be%20a%20continuous%20map%20between%20two%20closed%20connected%20oriented%20%24n%24-manifolds%20such%20that%20%24%5Cdeg(f)%20%3D%201%24.%20Prove%20that%20the%20induced%20homomorphism%20%24f_*%3A%20%5Cpi_1(X)%20%5Cto%20%5Cpi_1(Y)%24%20is%20surjective**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%0A%0A%20%20%20%20%24f_*(%5Cpi_1(X))%24%20is%20a%20subgroup%20of%20%24%5Cpi_1(Y)%24%2C%20so%20we%20have%20%24p%3A%20%5Ctilde%7BY%7D%20%5Cto%20Y%24%20corresponds%20to%20%24f_*(%5Cpi_1(X))%24%20(i.e.%20%24p_*(%5Cpi_1(%5Ctilde%7BY%7D))%20%3D%20f_*(%5Cpi_1(X))%24).%20Map%20Lifting%20Property%20implies%20that%20there%20exists%20%24%5Ctilde%7Bf%7D%24%20such%20that%20%24f%20%3D%20%5Ctilde%7Bf%7D%20%5Ccirc%20p%24%20so%20%24%5Cdeg(f)%20%3D%20%5Cdeg(%5Ctilde%7Bf%7D)%20%5Ccdot%20%5Cdeg(p)%24.%20Since%20%24%5Cdeg(f)%20%3D%201%24%2C%20%24%5Cdeg(p)%24%20must%20be%20%24%5Cpm%201%24%20thus%20%24p%24%20is%20a%20homeomorphism.%20In%20particular%2C%20%24f_*(%5Cpi_1(X))%20%3D%20p_*(%5Cpi_1(%5Ctilde%7BY%7D))%20%3D%20%5Cpi_1(Y)%24%2C%20meaning%20%24f_*%24%20is%20surjective.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%206%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24%5CSigma_g%24%20be%20a%20closed%20connected%20orientable%20surface%20of%20genus%20%24g%20%5Cge%201%24**.%0A%0A%20%20%20%201.%20**Prove%20that%20%24%5Cpi_k(%5CSigma_g)%20%3D%200%24%20for%20%24k%20%5Cge%202%24**%3B%0A%20%20%20%202.%20**Use%20part%201%20to%20prove%20that%20%24%5Cpi_1(%5CSigma_g)%24%20is%20not%20isomorphic%20to%20a%20free%20group**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%0A%0A%20%20%20%20The%20first%20part%20is%20because%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%5E2%24%20is%20the%20universal%20cover%20of%20%24%5CSigma_g%24%20and%20is%20contractible.%20In%20particular%2C%20%24%5CSigma_g%24%20is%20a%20%24K(%5Cpi_1(%5CSigma_g)%2C%201)%24.%20We%20also%20know%20%24%5Cbigvee_nS%5E1%24%20is%20%24K(F_n%2C%201)%24.%20If%20%24%5Cpi_1(%5CSigma_g)%20%5Ccong%20F_n%24%20then%20%24%5CSigma_g%20%5Ccong%20%5Cbigvee_nS%5E1%24%20which%20is%20not.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A