Algebraic Topology Exams

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.17.6%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20nav_menu%20%3D%20mo.nav_menu(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Findex.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Ahome')%7D%20Home%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20orientation%3D%22vertical%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20nav_menu%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Fall%20Semester%20Midterm%20Exam%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%201%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24X%24%20be%20the%20solid%20triangle%20%24%5CDelta%20PQR%24%20with%20identifications%20of%20all%20three%20oriented%20edges%20as%20%24%5Coverrightarrow%7BPQ%7D%20%3D%20%5Coverrightarrow%7BQR%7D%20%3D%20%5Coverrightarrow%7BRP%7D%24**.%0A%0A%20%20%20%201.%20**Find%20a%20%24%5CDelta%24-complex%20structure%20on%20%24X%24**%3B%0A%20%20%20%202.%20**Using%20this%20%24%5CDelta%24-complex%20structure%2C%20compute%20the%20simplicial%20homology%20groups%20of%20%24X%24**.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%202%0A%0A%20%20%20%20**Assume%20%24X%24%20retracts%20to%20a%20subspace%20%24A%20%5Csubset%20X%24**.%0A%0A%20%20%20%201.%20**Show%20that%20a%20retraction%20%24r%3A%20X%20%5Cto%20A%24%20induces%20a%20surjection%20%24r_*%3AH_n(X)%20%5Cto%20H_n(A)%24**%3B%0A%20%20%20%202.%20**Prove%20that%20if%20%24X%24%20is%20contractible%2C%20then%20%24A%24%20is%20also%20contractible**.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%203%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24X%24%20be%20the%20theta%20graph%2C%20i.e.%20the%20graph%20homeomorphic%20to%20the%20union%20of%20a%20circle%20and%20a%20diameter.%20Prove%20the%20following**%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20**%24X%24%20retracts%20to%20any%20point%20%24x%20%5Cin%20X%24**%3B%0A%20%20%20%202.%20**%24X%24%20does%20not%20deformation%20retract%20to%20any%20point%20%24x%20%5Cin%20X%24**%3B%0A%20%20%20%203.%20**%24CX%24%2C%20the%20cone%20on%20%24X%24%2C%20deformation%20retracts%20to%20any%20point%20%24x%24%20in%20its%20base%20%24X%24**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Fall%20Semester%20Final%20Exam%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%201%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24X%24%20be%20the%20space%20obtained%20by%20attaching%20two%20%242%24-cells%20to%20%24S%5E1%24%20so%20that%20the%20one%20attaching%20map%20has%20degree%20%24a%24%20and%20the%20other%20has%20degree%20%24b%24**.%0A%0A%20%20%20%201.%20**Compute%20the%20homology%20and%20cohomology%20groups%20of%20%24X%24**%3B%0A%20%20%20%202.%20**Compute%20the%20homology%20and%20cohomology%20groups%20of%20%24X%24%20with%20%24%5Cmathbb%7BZ%7D_2%24%20coefficients**.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%202%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24Y%24%20be%20the%20space%20obtained%20by%20gluing%20the%20two%20ends%20of%20%24S%5E1%20%5Ctimes%20I%24%20together%20via%20a%20map%20%24S%5E1%20%5Cto%20S%5E1%24%20of%20degree%20%24d%20%3E%200%24.%20Use%20Mayer-Vietoris%20to%20calculate%20the%20homology%20of%20%24Y%24**.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%203%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24M%24%20be%20a%20compact%20connected%20%243%24-manifold%20with%20boundary%20%24S_0%20%5Csqcup%20S_1%20%5Csubset%20%5Cpartial%20M%24.%20Suppose%20%24M%24%20retracts%20to%20%24S_0%24**.%0A%0A%20%20%20%201.%20**Show%20that%20%24H_2(M)%20%3D%20H_2(S_0)%20%5Coplus%20H_2(M%2CS_0)%24**%3B%0A%20%20%20%202.%20**Suppose%20%24H_2(M%2CS_0)%20%3D%200%24.%20Show%20that%20the%20retraction%20must%20induce%20an%20isomorphism%20%24H_2(S_1)%20%5Cto%20H_2(S_0)%24**%3B%0A%20%20%20%203.%20**Show%20that%20there%20is%20no%20retraction%20from%20the%20solid%20torus%20minus%20an%20open%20ball%20to%20its%20torus%20boundary%20component**.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%204%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24W%24%20be%20the%20%24%5CDelta%24-complex%20obtained%20from%20one%20%242%24-simplex%20whose%20three%20edges%20are%20all%20identified**.%0A%0A%20%20%20%201.%20**Compute%20the%20simplicial%20cohomology%20of%20%24W%24%20with%20coefficients%20in%20%24%5Cmathbb%7BQ%7D%24**%3B%0A%20%20%20%202.%20**Regard%20%24W%24%20as%20a%20topological%20space%2C%20compute%20the%20local%20homology%20of%20the%20vertex**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Spring%20Semester%20Midterm%20Exam%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%201%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24p%24%20and%20%24q%24%20be%20points%20in%20a%20path%20connected%20topological%20space%20%24X%24.%20Let%20%24u%24%20and%20%24w%24%20be%20paths%20from%20%24p%24%20to%20%24w%24.%20Then%20we%20have%20isomorphisms%20%24%5Cbeta_u%24%20and%20%24%5Cbeta_w%24%20from%20%24%5Cpi_1(X%2Cp)%24%20to%20%24%5Cpi_1(X%2Cq)%24.%20Under%20what%20conditions%20on%20%24u%24%20and%20%24w%24%20are%20these%20the%20same%20isomorphisms%3F%20That%20is%2C%20discuss%20what%20must%20hold%20true%20about%20the%20paths%20%24u%24%20and%20%24w%24%20if%20%24%5Cbeta_u(%5B%5Cgamma%5D)%20%3D%20%5Cbeta_w(%5B%5Cgamma%5D)%24%20for%20every%20%24%5B%5Cgamma%5D%20%5Cin%20%5Cpi_1(X%2Cp)%24**.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%202%0A%0A%20%20%20%20**Given%20an%20embedding%20%24f%3A%20S%5E1%20%5Ctimes%20D%5E2%20%5Cto%20S%5E3%24%2C%20let%20%24V%24%20be%20its%20image.%20Let%20%24X%20%3D%20S%5E3%20-%20%5Ctext%7Bint%7D(V)%24%20be%20the%20complement%20of%20its%20interior.%20Compute%20the%20homology%20groups%20%24H_*(X%3B%5Cmathbb%7BZ%7D)%24%20and%20%24H_*(X%2C%5Cpartial%20X%3B%20%5Cmathbb%7BZ%7D)%24**.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%203%0A%0A%20%20%20%20**Show%20that%20%24S%5E1%20%5Ctimes%20S%5E2%24%20and%20%24S%5E1%20%5Cvee%20S%5E2%20%5Cvee%20S%5E3%24%20have%20isomorphic%20cohomology%20groups.%20Are%20they%20homotopy%20equivalent%3F%20Explain%20why%20or%20why%20not**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Spring%20Semester%20Final%20Exam%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%201%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24X%24%20be%20the%20CW-complex%20obtained%20from%20two%20copies%20of%20the%20M%C3%B6bius%20band%20by%20identifying%20their%20boundary%20circles%20with%20some%20orientation%20via%20a%20map%20%24f%24%20of%20degree%20%24n%24.%20Calculate%20%24%5Cpi_1(X%2Cx)%24%20for%20some%20base%20point%20%24x%24**.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%202%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24%5CSigma_g%24%20be%20a%20closed%20orientable%20surface%20of%20genus%20%24g%24%2C%20the%20connected%20sum%20of%20%24g%24%20tori%20%24T%5E2%24.%20Recall%20that%20for%20%24g%20%5Cge%202%24%2C%20the%20universal%20cover%20of%20%24%5CSigma_g%24%20is%20the%20hyperbolic%20plane%2C%20which%20is%20homeomorphic%20to%20%24%5Cmathbb%7BR%7D%5E2%24**.%0A%0A%20%20%20%201.%20**Show%20that%20any%20continuous%20map%20%24f%3A%20%5Cmathbb%7BR%7DP%5E2%20%5Cto%20%5CSigma_3%24%20must%20be%20homotopic%20to%20a%20constant%20map**%3B%0A%20%20%20%202.%20**Describe%20a%20map%20%24T%5E2%20%5Cto%20%5CSigma_3%24%20that%20is%20not%20homotopic%20to%20a%20constant%20map.%20Prove%20that%20it%20is%20not%20homotopic%20to%20a%20constant%20map**%3B%0A%20%20%20%203.%20**For%20which%20%24g%24%20does%20%24%5CSigma_g%24%20cover%20%24%5CSigma_3%24%3F%20Describe%20the%20covering%20maps**.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%203%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24M%24%20be%20a%20compact%20oriented%20closed%20manifold%20of%20dimension%20%242k%24.%20Prove%20that%20if%20%24H_%7Bk-1%7D(M%3B%5Cmathbb%7BZ%7D)%24%20is%20torsion-free%2C%20then%20the%20group%20%24H_k(M%3B%5Cmathbb%7BZ%7D)%24%20is%20also%20torsion-free**.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%204%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24Y%20%3D%20S%5E2%20%5Ctimes%20%5Cmathbb%7BR%7DP%5E3%24%20and%20%24Z%20%3D%20S%5E3%20%5Ctimes%20%5Cmathbb%7BR%7DP%5E2%24.%20Let%20%24y%20%5Cin%20Y%24%20and%20%24z%20%5Cin%20Z%24%20be%20base%20points**.%0A%0A%20%20%20%201.%20**Compute%20%24%5Cpi_1(Y%2Cy)%24%20and%20%24%5Cpi_1(Z%2Cz)%24**%3B%0A%20%20%20%202.%20**Show%20that%20%24%5Cpi_k(Y%2Cy)%20%3D%20%5Cpi_k(Z%2Cz)%24%20for%20all%20integers%20%24k%20%5Cge%201%24**%3B%0A%20%20%20%203.%20**Are%20these%20spaces%20homotopy%20equivalent%3F%20Justify%20your%20answer**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A