Abstract Algebra Qualifying Exam

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.17.6%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20nav_menu%20%3D%20mo.nav_menu(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Findex.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Ahome')%7D%20Home%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20orientation%3D%22vertical%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20nav_menu%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Section%20A%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20Solve%20%242%24%20of%20the%20%243%24%20problems%20below.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%201%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24G%24%20be%20a%20group%20of%20order%20%242%5E4%5Ccdot%205%5E3%20%5Ccdot%2011%24%2C%20%24H%24%20be%20a%20group%20of%20order%20%245%5E3%20%5Ccdot%2011%24.%20Prove%20%24H%24%20has%20a%20normal%20Sylow%20%2411%24-subgroup.%20Suppose%20%24n_5(G)%20%3C%2016%24%2C%20prove%20%24G%24%20has%20a%20non-trivial%20normal%20subgroup%20of%20order%20divisible%20by%20%245%24.%20Suppose%20%24n_5(G)%20%3D%2016%24%2C%20use%20part%201%20to%20prove%20%24G%24%20has%20a%20normal%20(Sylow)%20%2411%24-subgroup**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%0A%0A%20%20%20%201.%20%241%24%20is%20the%20only%20number%20can%20divide%20%245%5E3%24%20and%20%24%5Cequiv%201%20%5Cpmod%7B11%7D%24%20thus%20%24n_%7B11%7D(H)%20%3D%201%24%20and%20that%20Sylow%20%2411%24-subgroup%20is%20normal%3B%0A%20%20%20%202.%20Given%20%24n_5(G)%20%3C%2016%24%2C%20it%20could%20be%20%241%24%20or%20%2411%24.%20If%20it%20is%20%241%24%20we%20are%20done.%20Otherwise%20consider%20%24G%24%20acts%20on%20%24N_G(S)%24%20where%20%24S%24%20is%20a%20Sylow%20%245%24-subgroup%2C%20this%20gives%20a%20homomorphism%20%24%5Cvarphi%3AG%20%5Cto%20S_%7B11%7D%24.%20Now%20%24%7C%20G%2F%5Cker%7B%5Cvarphi%7D%20%7C%24%20needs%20to%20divide%20%24%7C%20G%20%7C%20%3D%202%5E4%20%5Ccdot%205%5E3%20%5Ccdot%2011%24%20but%20also%20%24%7C%20S_%7B11%7D%20%7C%20%3D%2011!%24.%20Notice%20that%20%2411!%24%20has%20only%20two%20factors%20of%20%245%24%20come%20from%20%245%24%20and%20%2410%24%2C%20thus%20%24%7C%20G%2F%5Cker%7B%5Cvarphi%7D%20%7C%24%20cannot%20have%20%245%5E3%24%20as%20a%20factor%2C%20so%20%24%5Cker%7B%5Cvarphi%7D%24%20has%20%245%24%20as%20a%20factor%3B%0A%20%20%20%203.%20Let%20%24S%24%20be%20a%20Sylow%20%245%24-subgroup%2C%20we%20know%20then%20%24N_G(S)%24%20is%20of%20index%20%2416%24%20thus%20%24%7C%20N_G(S)%20%7C%20%3D%205%5E3%20%5Ccdot%2011%24%2C%20so%20it%20has%20a%20normal%20%2411%24-subgroup%20%24A%24.%20Consider%20%24N_G(A)%24%2C%20since%20%24A%20%5Clhd%20N_G(S)%24%20we%20must%20have%20that%20%24N_G(S)%20%5Cle%20N_G(A)%24%2C%20in%20particular%20%24%5BG%3AN_G(A)%5D%20%7C%2016%24.%20View%20%24A%24%20as%20a%20Sylow%20%2411%24-subgroup%20of%20%24G%24%2C%20we%20know%20also%20that%20%24%5BG%3AN_G(A)%5D%20%5Cequiv%201%20%5Cpmod%7B11%7D%24.%20Thus%20the%20only%20possibility%20is%20to%20have%20%24%5BG%3AN_G(A)%5D%20%3D%201%24%20thus%20the%20normalizer%20of%20%24A%24%20in%20%24G%24%20is%20%24G%24%20itself%2C%20thus%20%24A%24%20is%20normal.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%202%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24G%24%20be%20a%20group%20of%20order%20%2452%24%20with%20the%20following%20presentation**%3A%20%24%24%5Clangle%20a%2Cb%20%7C%20a%5E%7B13%7D%20%3D%20b%5E4%20%3D%201%2C%20bab%5E%7B-1%7D%20%3D%20a%5Et%20%5Crangle.%24%24%20**What%20is%20the%20correct%20value%20of%20%24t%24%3F%20What%20are%20the%20conjugacy%20classes%20of%20%24G%24%3F%20Write%20down%20the%20character%20table%20of%20%24G%24%2C%20show%20steps**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%0A%0A%20%20%20%20This%20is%20a%20typical%20question%20about%20character%20table.%20The%20answer%20is%20%24t%20%3D%208%24%20(or%20%245%24%20because%20%245%5Ccdot%208%20%5Cequiv%201%20%5Cpmod%7B13%7D%24).%20%24G'%20%3D%20%5Clangle%20a%20%5Crangle%24%20and%20%24G%24%20has%20%247%24%20conjugacy%20classes%2C%20following%20not%20hard%20from%20the%20presentation.%20For%20character%20table%2C%20see%20%5Bhere%5D(https%3A%2F%2Fpeople.maths.bris.ac.uk%2F~matyd%2FGroupNames%2F1%2FC13sC4.html).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%203%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**A%20problem%20about%20linear%20group.%20Let%20%24G%20%3D%20GL(n%2C%20%5Cmathbb%7BF%7D_q)%24%20where%20%24%5Cmathbb%7BF%7D_q%24%20is%20a%20field%20of%20order%20%24q%20%3D%20p%5Er%24%2C%20%24p%24%20is%20a%20prime.%20The%20first%20part%20asks%20what%20is%20the%20order%20of%20%24G%24%20and%20what%20is%20the%20order%20of%20%24U%20%3C%20G%24%20where%20%24U%24%20is%20the%20subgroup%20of%20%24G%24%20consists%20of%20upper%20triangular%20matrices%20with%20%241%24%20on%20the%20diagonal.%20Two%20more%20parts**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Section%20B%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20Solve%20%242%24%20of%20the%20%243%24%20problems%20below.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%204%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**What%20is%20the%20definition%20of%20simple%20module%3F%20State%20and%20prove%20Schur's%20Lemma.%20Let%20%24%5Crho%24%20be%20a%20representation%20of%20%24G%24%2C%20%24g%20%5Cin%20Z(G)%24.%20What%20can%20you%20say%20about%20%24%5Crho(g)%24%3F%20Let%20%24G%24%20be%20simple%2C%20%24g%20%5Cin%20G%24%20and%20%24g%20%5Cne%201%24%2C%20%24V%24%20be%20a%20simple%20%24%5Cmathbb%7BC%7DG%24-module%20with%20dimension%20%24k%24%20and%20%24%5Cchi%24%20be%20the%20corresponding%20character%2C%20show%20that%20%24%7C%20%5Cchi(g)%20%7C%20%3C%20k%24**.%0A%0A%20%20%20%20Idea%0A%0A%20%20%20%20For%20the%20definition%20and%20Schur's%20Lemma%2C%20see%20note.%20If%20%24g%20%5Cin%20Z(G)%24%20then%20%24%5Crho(g)%20%5Cin%20Z(GL(n%2C%20%5Cmathbb%7BC%7D))%24%20where%20we%20know%20%24Z(GL(n%2C%20%5Cmathbb%7BC%7D))%20%3D%20%5Clbrace%20%5Clambda%20I%20%7C%20%5Clambda%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BC%7D%5E%7B*%7D%20%5Crbrace%24.%20If%20%24G%24%20is%20simple%20then%20%24Z(G)%24%20must%20be%20%241%24%2C%20in%20particular%20%24g%20%5Cnotin%20Z(G)%24%20thus%20%24%5Crho(g)%20%5Cne%20%5Clambda%20I%24%2C%20but%20we%20also%20know%20%24%7C%20%5Cchi(g)%20%7C%20%5Cle%20k%24%20with%20equality%20holds%20if%20and%20only%20if%20%24%5Crho(g)%20%3D%20%5Clambda%20I%24%2C%20result%20follows.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%205%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24F%24%20be%20a%20field%2C%20%24R%20%3D%20F%5Bx_1%2C%5Cdots%2Cx_n%5D%24.%20Show%20that%20%24I%20%3D%20(x_1-c_1%2C%5Cdots%2Cx_n-c_n)%24%20is%20a%20maximal%20ideal%20in%20%24R%24%20for%20%24c_i%20%5Cin%20F%24.%20Suppose%20%24F%24%20is%20uncountable%20and%20%24E%24%20is%20of%20finite%20type%20as%20an%20%24F%24-algebra%20(i.e.%20%24E%20%3D%20R%2FI%24)%2C%20show%20that%20%24E%24%20is%20an%20algebraic%20extension%20of%20%24F%24.%20State%20and%20prove%20Weak%20Nullstellensatz**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%206%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**A%20problem%20about%20Galois%20Theory.%20The%20first%20part%20asks%20to%20prove%20%24%5Cmathbb%7BQ%7D%5B2%5Ccos(2%5Cpi%2F7)%5D%24%20is%20Galois%20and%20compute%20the%20Galois%20group.%20The%20second%20part%20asks%20whether%20a%20certain%20polynomial%20is%20solvable%20by%20radical%20or%20not**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Section%20C%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20Solve%20the%20problem%20below.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%207%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Let%20%24K%20%3D%20%5Cmathbb%7BQ%7D%5B%5Csqrt%7B-151%7D%5D%24%2C%20%24R%20%3D%20%5Cmathbb%7BZ%7D%5B%5Csqrt%7B-151%7D%5D%24.%20Show%20that%20%24R%24%20is%20not%20a%20Dedekind%20domain%20and%20give%20a%20non-invertible%20fractional%20ideal.%20What%20is%20%24O_K%24%20and%20what%20is%20the%20class%20group%20%24%5Ctext%7BCl%7D(K)%24**%3F%0A%0A%20%20%20%20Idea%0A%0A%20%20%20%20This%20is%20a%20typical%20question%20about%20Dedekind%20domain%20we%20did%20a%20lot%20before.%20%242%24%20is%20singular%20prime.%20Since%20%24-151%20%5Cequiv%201%20%5Cpmod%7B4%7D%24%20we%20know%20%24O_K%20%3D%20%5Cmathbb%7BZ%7D%5B%5Cfrac%7B1%2B%5Csqrt%7B-151%7D%7D%7B2%7D%5D%24.%20Class%20group%20is%20%24%5Cmathbb%7BZ%7D_7%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A