Abstract Algebra Homework 1

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.17.6%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20nav_menu%20%3D%20mo.nav_menu(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Findex.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Ahome')%7D%20Home%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20orientation%3D%22vertical%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20nav_menu%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Fall%20Semester%20Homework%201%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Section%200.7%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Exercise%200%0A%0A%20%20%20%20**Recalling%20that%20%24%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20n%20%5C%5C%20k%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20%5Coverset%7B%5Ctext%7Bdef%7D%7D%7B%3D%7D%20%5Cfrac%7Bn!%7D%7Bk!(n%20-%20k)!%7D%24%2C%20prove%20that%20for%20any%20integers%20%24n%20%5Cge%20k%20%5Cge%201%24%20one%20has%3A%20%24%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20n%20%2B%201%20%5C%5C%20k%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20n%20%5C%5C%20k%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20%2B%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20n%20%5C%5C%20k-1%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%24**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20We%20have%20%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20n%20%2B%201%20%5C%5C%20k%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20%26%5Coverset%7B%5Ctext%7Bdef%7D%7D%7B%3D%7D%20%5Cfrac%7B(n%20%2B%201)!%7D%7Bk!(n%20%2B%201%20-%20k)!%7D%20%5C%5C%20%26%3D%20%5Cfrac%7B(n)!(n%20%2B%201)%7D%7Bk!(n%20%2B%201%20-%20k)!%7D%20%5C%5C%20%26%3D%20%5Cfrac%7B(n)!(n%20%2B%201%20%2B%20k%20-%20k)%7D%7Bk!(n%20%2B%201%20-%20k)!%7D%20%5C%5C%20%26%3D%20%5Cfrac%7B(n)!(n%20%2B%201%20-%20k)%20%2B%20(n!)k%7D%7Bk!(n%20%2B%201%20-%20k)!%7D%20%5C%5C%20%26%3D%20%5Cfrac%7B(n)!(n%20%2B%201%20-%20k)%7D%7Bk!(n%20%2B%201%20-%20k)!%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B(n)!k%7D%7Bk!(n%20%2B%201%20-%20k)!%7D%20%5C%5C%20%26%3D%20%5Cfrac%7B(n)!(n%20%2B%201%20-%20k)%7D%7Bk!(n%20-%20k)!(n%20%2B%201%20-%20k)%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B(n)!k%7D%7B(k%20-%201)!(n%20-%20k%20%2B%201)!k%7D%20%5C%5C%20%26%3D%20%5Cfrac%7B(n)!%7D%7Bk!(n%20-%20k)!%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B(n)!%7D%7B(k%20-%201)!(n%20-%20k%20%2B%201)!%7D%20%5C%5C%20%26%5Coverset%7B%5Ctext%7Bdef%7D%7D%7B%3D%7D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20n%20%5C%5C%20k%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20%2B%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20n%20%5C%5C%20k-1%20%5Cend%7Bpmatrix%7D.%5Cend%7Baligned%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Exercise%201%0A%0A%20%20%20%20**Use%20induction%20on%20%24n%24%20to%20prove%20Newton's%20formula%3A%20%24(a%20%2B%20b)%5En%20%3D%20%5Csum%5Climits_%7Bk%20%3D%200%7D%5E%7Bn%7D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20n%20%5C%5C%20k%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20a%5Ek%20b%5E%7Bn%20-%20k%7D%24**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20If%20%24n%20%3D%200%24%2C%20%24(a%20%2B%20b)%5En%20%3D%201%24%2C%20%24%5Csum%5Climits_%7Bk%20%3D%200%7D%5E%7Bn%7D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20n%20%5C%5C%20k%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20a%5Ek%20b%5E%7Bn%20-%20k%7D%20%3D%201%20%5Ccdot%201%20%5Ccdot%201%20%3D%201%24%2C%20thus%20equality%20holds.%0A%0A%20%20%20%20Suppose%20equality%20holds%20for%20%24m%24%2C%20then%3A%20%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D(a%20%2B%20b)%5E%7Bm%20%2B%201%7D%20%26%3D%20(a%20%2B%20b)(a%20%2B%20b)%5Em%20%5C%5C%20%26%3D%20(a%20%2B%20b)%20%5Csum%5Climits_%7Bk%20%3D%200%7D%5E%7Bm%7D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20m%20%5C%5C%20k%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20a%5Ek%20b%5E%7Bm%20-%20k%7D%20%5C%5C%20%26%3D%20%5Csum%5Climits_%7Bk%20%3D%200%7D%5E%7Bm%7D%20(%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20m%20%5C%5C%20k%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20a%5Ek%20b%5E%7Bm%20-%20k%7Da%20%2B%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20m%20%5C%5C%20k%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20a%5Ek%20b%5E%7Bm%20-%20k%7Db)%20%5C%5C%20%26%3D%20%5Csum%5Climits_%7Bk%20%3D%200%7D%5E%7Bm%7D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20m%20%5C%5C%20k%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20a%5E%7Bk%20%2B%201%7D%20b%5E%7Bm%20-%20k%7D%20%2B%20%5Csum%5Climits_%7Bk%20%3D%200%7D%5E%7Bm%7D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20m%20%5C%5C%20k%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20a%5Ek%20b%5E%7Bm%20%2B%201%20-%20k%7D%20%5C%5C%20%26%3D%20%5Csum%5Climits_%7Bk%20%3D%201%7D%5E%7Bm%20%2B%201%7D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20m%20%5C%5C%20k%20-%201%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20a%5E%7Bk%7D%20b%5E%7Bm%20%2B%201%20-%20k%7D%20%2B%20%5Csum%5Climits_%7Bk%20%3D%200%7D%5E%7Bm%7D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20m%20%5C%5C%20k%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20a%5Ek%20b%5E%7Bm%20%2B%201%20-%20k%7D%20%5C%5C%20%26%3D%20%5Csum%5Climits_%7Bk%20%3D%201%7D%5E%7Bm%7D%20%5B(%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20m%20%5C%5C%20k%20-%201%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20%2B%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20m%20%5C%5C%20k%20%5Cend%7Bpmatrix%7D)%20a%5E%7Bk%7D%20b%5E%7Bm%20%2B%201%20-%20k%7D%5D%20%5C%5C%20%26~~~~~~~~~%2B%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20m%20%5C%5C%20m%20%2B%201%20-%201%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20a%5E%7Bm%20%2B%201%7Db%5E%7Bm%20%2B%201%20-%20m%20-%201%7D%20%2B%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20m%20%5C%5C%200%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20a%5E0%20b%5E%7Bm%20%2B%201%20-%200%7D%20%5C%5C%20%26%3D%20%5Csum%5Climits_%7Bk%20%3D%201%7D%5E%7Bm%7D%20%5B%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20m%20%2B%201%20%5C%5C%20k%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20a%5E%7Bk%7D%20b%5E%7Bm%20%2B%201%20-%20k%7D%5D%20%2B%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20m%20%5C%5C%20m%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20a%5E%7Bm%20%2B%201%7Db%5E%7B0%7D%20%2B%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20m%20%5C%5C%200%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20a%5E0%20b%5E%7Bm%20%2B%201%7D%20%5C%5C%20%26%3D%20%5Csum%5Climits_%7Bk%20%3D%201%7D%5E%7Bm%7D%20(%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20m%20%2B%201%20%5C%5C%20k%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20a%5E%7Bk%7D%20b%5E%7Bm%20%2B%201%20-%20k%7D)%20%2B%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20m%20%2B%201%20%5C%5C%20m%20%2B%201%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20a%5E%7Bm%20%2B%201%7Db%5E%7B0%7D%20%2B%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20m%20%5C%5C%200%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20a%5E0%20b%5E%7Bm%20%2B%201%7D%20%5C%5C%20%26%3D%20%5Csum%5Climits_%7Bk%20%3D%200%7D%5E%7Bm%20%2B%201%7D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20m%20%2B%201%20%5C%5C%20k%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20a%5E%7Bk%7D%20b%5E%7Bm%20%2B%201%20-%20k%7D.%5Cend%7Baligned%7D%24%24%20Thus%20by%20induction%2C%20equality%20holds%20for%20all%20natural%20%24n%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Exercise%202%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24n%24%20be%20a%20positive%20integer.%20Prove%20that%20for%20any%20%24k%20%5Cin%20%5Clbrace%200%2C%20%5Cdots%2C%20n%20%5Crbrace%24%2C%20one%20has%20%24%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20n%20%5C%5C%20k%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20%3C%202%5En%24**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20By%20Newton's%20formula%2C%20%242%5En%20%3D%20(1%20%2B%201)%5En%20%3D%20%5Csum%5Climits_%7Bk%20%3D%200%7D%5E%7Bn%7D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20n%20%5C%5C%20k%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%201%5Ek%201%5E%7Bn%20-%20k%7D%20%3D%20%5Csum%5Climits_%7Bk%20%3D%200%7D%5E%7Bn%7D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20n%20%5C%5C%20k%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%24%2C%20since%20each%20%24%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20n%20%5C%5C%20k%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20%5Cge%201%24%20by%20definition%2C%20and%20if%20%24n%24%20positive%2C%20there%20is%20more%20than%20%241%24%20term%20in%20the%20summation%2C%20clearly%20%24%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20n%20%5C%5C%20k%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20%3C%202%5En%24%20for%20each%20possible%20%24k%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Exercise%203%0A%0A%20%20%20%20**Use%20induction%20to%20prove%20the%20pigeonhole%20principle%3A%20any%20map%20from%20a%20set%20with%20%24n%20%2B%201%24%20objects%20to%20a%20set%20with%20n%20objects%20is%20not%20injective**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20If%20%24n%20%3D%200%24%2C%20clearly%20%241%24%20object%20cannot%20be%20assigned%20injectively%20to%20%240%24%20object%20(I%20will%20use%20'box'%20to%20reduce%20confusion).%0A%0A%20%20%20%20Assume%20that%20any%20map%20from%20a%20set%20with%20%24m%20%2B%201%24%20objects%20to%20a%20set%20with%20%24m%24%20boxes%20is%20not%20injective%2C%20then%20if%20we%20have%20%24m%20%2B%202%24%20objects%20and%20%24m%20%2B%201%24%20boxes%3A%0A%0A%20%20%20%20For%20any%20map%20from%20%24m%20%2B%202%24%20objects%20and%20%24m%20%2B%201%24%20boxes%2C%20for%20convenience%20and%20without%20losing%20generality%2C%20index%20the%20boxes%20from%20%241%24%20to%20%24m%20%2B%201%24.%0A%0A%20%20%20%20If%20%242%24%20or%20more%20objects%20are%20assigned%20to%20box%20No.%201%2C%20then%20clearly%20this%20map%20is%20not%20injective%3B%20if%20%241%24%20object%20is%20assigned%20to%20box%20No.%201%2C%20then%20we%20have%20%24m%20%2B%201%24%20objects%20and%20%24m%24%20boxes%20to%20be%20assigned.%20By%20assumption%2C%20there%20is%20no%20injective%20map%20to%20do%20so%3B%20if%20%240%24%20object%20is%20assigned%20to%20box%20No.%201%2C%20then%20we%20have%20%24m%20%2B%202%24%20objects%20and%20%24m%24%20boxes%20to%20be%20assigned.%20By%20assumption%2C%20there%20is%20no%20injective%20map%20to%20assign%20%24m%20%2B%201%24%20objects%20to%20%24m%24%20boxes%20injectively%2C%20thus%20clearly%20there%20is%20no%20injective%20map%20to%20assign%20%24m%20%2B%202%20-%20(m%20%2B%201)%20%3D%201%24%20more%20object.%0A%0A%20%20%20%20Thus%20by%20induction%2C%20any%20map%20from%20a%20set%20with%20%24n%20%2B%201%24%20objects%20to%20a%20set%20with%20n%20objects%20is%20not%20injective.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Exercise%208%0A%0A%20%20%20%20**Compute%20the%20%24GCD(528%2C%20303)%24%20using%20the%20Euclidean%20algorithm**.%0A%0A%20%20%20%20Solution%0A%0A%20%20%20%20By%20the%20Euclidean%20algorithm%2C%20%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D528%20%26%3D%201%20%5Ccdot%20303%20%2B%20225%20%5C%5C%20303%20%26%3D%201%20%5Ccdot%20225%20%2B%2078%20%5C%5C%20225%20%26%3D%202%20%5Ccdot%2078%20%2B%2069%20%5C%5C%2078%20%26%3D%201%20%5Ccdot%2069%20%2B%209%20%5C%5C%2069%20%26%3D%207%20%5Ccdot%209%20%2B%206%20%5C%5C%209%20%26%3D%201%20%5Ccdot%206%20%2B%203%20%5C%5C%206%20%26%3D%202%20%5Ccdot%203%20%2B%200%5Cend%7Baligned%7D%24%24%20thus%20%24GCD(528%2C%20303)%20%3D%203%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Exercise%209%0A%0A%20%20%20%20**Prove%20the%20'Euclidean%20division%20for%20%24%5Cmathbb%7BZ%7D%24%20'%3A%20Given%20two%20integers%20%24a%2C%20b%24%20with%20%24b%20%5Cne%200%24%2C%20there%20exists%20a%20unique%20pair%20of%20integers%20%24(r%2C%20q)%24%20such%20that%20%24a%20%3D%20b%20q%20%2B%20r%20%5Ctext%7B%2C%20and%7D0%20%5Cle%20r%20%3C%20%7C%20b%20%7C%24**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20Consider%20the%20set%20%24A%20%3D%20%5Clbrace%20a%20-%20b%20n%20%7C%20n%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BZ%7D%2C%20a%20-%20b%20n%20%5Cge%200%20%5Crbrace%24.%20If%20%24a%20%5Cge%200%24%2C%20then%20%24a%20-%20b%5Ccdot%200%20%5Cin%20A%24%3B%0A%0A%20%20%20%20If%20%24a%20%3C%200%24%20and%20%24b%20%3E%200%24%2C%20since%20%24a%2C%20b%2C%20n%24%20are%20all%20finite%2C%20clearly%20there%20exists%20large%20enough%20%24-n%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BZ%7D_%2B%24%20such%20that%20%24b%20(-n)%20%5Cge%20-a%24%20thus%20%24a%20-%20b%20n%20%5Cin%20A%24%3B%20if%20%24a%20%3C%200%24%20and%20%24b%20%3C%200%24%2C%20similarly%20there%20exist%20large%20enough%20%24n%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BZ%7D_%2B%24%20such%20that%20%24(-b)%20n%20%5Cge%20-a%24%20thus%20%24a%20-b%20n%20%5Cin%20A%24.%0A%0A%20%20%20%20Since%20%24a%2C%20b%20%2Cn%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BZ%7D%2C%20%5Cforall%20a%2C%20b%2C%20n%24%2C%20%24a%20-%20bn%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BZ%7D%24%3B%20since%20%24a%20-%20bn%20%5Cge%200%24%2C%20by%20definition%20%24a%20-%20bn%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BN%7D%24%2C%20thus%20%24A%20%5Csubseteq%20%5Cmathbb%7BN%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20Take%20the%20least%20element%20%24a%20-%20b%20n%20%5Cin%20A%24%20and%20name%20it%20%24r%24%2C%20let%20%24q%24%20be%20the%20corresponding%20%24n%24.%0A%0A%20%20%20%20If%20%24r%20%5Cge%20%7C%20b%20%7C%24%20and%20%24b%20%3E%200%24%2C%20then%20%24a%20-%20b(n%20%2B%201)%20%3D%20a%20-%20b%20n%20-%20b%20%3D%20r%20-%20b%20%5Cge%200%24%20thus%20%24a%20-%20b(n%20%2B%201)%20%3D%20r%20-%20b%20%5Cin%20A%24%20and%20%24r%20-%20b%20%3C%20r%24%2C%20thus%20%24r%24%20is%20not%20the%20least%20element%20in%20%24A%24%2C%20which%20is%20a%20contradiction.%0A%0A%20%20%20%20Similarly%2C%20if%20%24r%20%5Cge%20%7C%20b%20%7C%24%20and%20%24b%20%3C%200%24%2C%20then%20%24a%20-%20b(n%20-%201)%20%3D%20a%20-%20b%20n%20%2B%20b%20%3D%20r%20%2B%20b%20%5Cin%20A%24%20and%20smaller%20than%20%24r%24%2C%20which%20is%20another%20contradiction.%0A%0A%20%20%20%20Thus%20%240%20%5Cle%20r%20%3C%20%7C%20b%20%7C%24%20and%20thus%20the%20pair%20%24(r%2C%20q)%24%20exists.%0A%0A%20%20%20%20Suppose%20now%20that%20there%20is%20another%20pair%20of%20%24(r'%2C%20p')%24%20that%20satisfy%20the%20condition.%20I.e.%20%24a%20-%20b%20q'%20%3D%20r'%24%20and%20%240%20%5Cle%20r'%20%3C%20%7C%20b%20%7C%24.%0A%0A%20%20%20%20Then%20%240%20%5Cle%20a%20-%20b%20q'%20%3C%20%7C%20b%20%7C%20%5Cimplies%20b%20q'%20%5Cle%20a%20%3C%20%7C%20b%20%7C%20%2B%20b%20q'%24.%0A%0A%20%20%20%20Similarly%20for%20the%20origin%20pair%20%24(r%2C%20q)%24%2C%20we%20also%20have%20%24b%20q%20%5Cle%20a%20%3C%20%7C%20b%20%7C%20%2B%20b%20q%24.%0A%0A%20%20%20%20By%20assumption%2C%20%24q%20%5Cne%20q'%24%2C%20without%20losing%20generality%20assume%20%24q%20%3C%20q'%24%20thus%20%24q%20%2B%201%20%5Cle%20q'%24.%20Without%20losing%20generality%20assume%20%24b%20%3E%200%24%2C%20then%20%24b%20q%20%5Cle%20a%20%3C%20%7C%20b%20%7C%20%2B%20b%20q%20%3D%20b%20%2B%20b%20q%20%3D%20b%20(q%20%2B%201)%20%5Cle%20b%20q'%20%5Cle%20a%20%3C%20%7C%20b%20%7C%20%2B%20b%20q'%24%20thus%20%24a%20%3C%20a%24%20which%20is%20a%20contradiction.%0A%0A%20%20%20%20Thus%20the%20pair%20%24(r%2C%20q)%24%20is%20unique.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Fall%20Semester%20Homework%202%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Section%200.7%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Exercise%2014%0A%0A%20%20%20%20**Think%20of%20a%20number.%20Square%20it.%20Divide%20the%20result%20by%20%243%24.%20Why%20is%20the%20remainder%20always%20%240%24%20or%20%241%24%2C%20but%20never%20%242%24%3F%20Justify%20your%20answer**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20Let%20%24n%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BZ%7D%24%20be%20an%20arbitrary%20number.%20Then%20in%20%24%5Cmathbb%7BZ%7D_3%24%2C%20%24%5Chat%7Bn%7D%24%20is%20equivalent%20to%20exactly%20one%20of%20%24%5Chat%7B0%7D%2C%20%5Chat%7B1%7D%24%20or%20%24%5Chat%7B2%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20If%20%24%5Chat%7Bn%7D%20%3D%20%5Chat%7B0%7D%24%2C%20then%20%24%5Chat%7Bn%7D%20%5Ccdot%20%5Chat%7Bn%7D%20%3D%20%5Chat%7B0%7D%20%5Ccdot%20%5Chat%7Bn%7D%20%3D%20%5Chat%7B0%20%5Ccdot%20n%7D%20%3D%20%5Chat%7B0%7D%24%2C%20i.e.%20remainder%20of%20the%20square%20is%20%240%24%3B%20if%20%24%5Chat%7Bn%7D%20%3D%20%5Chat%7B1%7D%24%2C%20then%20%24%5Chat%7Bn%7D%20%5Ccdot%20%5Chat%7Bn%7D%20%3D%20%5Chat%7B1%7D%20%5Ccdot%20%5Chat%7Bn%7D%20%3D%20%5Chat%7B1%20%5Ccdot%20n%7D%20%3D%20%5Chat%7Bn%7D%20%3D%20%5Chat%7B1%7D%24%2C%20i.e.%20remainder%20of%20the%20square%20is%20%241%24%3B%20if%20%24%5Chat%7Bn%7D%20%3D%20%5Chat%7B2%7D%24%2C%20then%20%24%5Chat%7Bn%7D%20%3D%20%5Chat%7B-1%7D%24%2C%20thus%20%24%5Chat%7Bn%7D%20%5Ccdot%20%5Chat%7Bn%7D%20%3D%20%5Chat%7B-1%7D%20%5Ccdot%20%5Chat%7B-1%7D%20%3D%20%5Chat%7B-1%20%5Ccdot%20-1%7D%20%3D%20%5Chat%7B1%7D%24%2C%20i.e.%20remainder%20of%20the%20square%20is%20%241%24.%0A%0A%20%20%20%20Since%20we%20listed%20all%20the%20situations%20above%2C%20we%20may%20see%20that%20the%20remainder%20of%20a%20square%20is%20never%20%242%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Exercise%2016%0A%0A%20%20%20%20**What%20are%20the%20last%20two%20digits%20of%20%24913250946798%5E6%24**%3F%0A%0A%20%20%20%20Solution%0A%0A%20%20%20%20Since%20we%20need%20to%20know%20the%20last%20'two'%20digits%2C%20we%20work%20in%20%24%5Cmathbb%7BZ%7D_%7B100%7D%24%2C%20then%3A%0A%0A%20%20%20%20%24913250946798%5E6%20%3D%20(9132509468%20%5Ccdot%20100%20-%202)%5E6%20%5Cequiv%20(2)%5E6%20%3D%2064%24%20mod%20%24100%24.%20I.e.%20the%20last%20two%20digits%20are%20%2464%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Exercise%2017%0A%0A%20%20%20%20**Compute%20%2412345678%5E%7B23456789%7D%24%20mod%20%243%24**.%0A%0A%20%20%20%20Solution%0A%0A%20%20%20%20Notice%20that%20%2412345678%20%5Cequiv%200%24%20mod%20%243%24%20as%20the%20summation%20of%20its%20digits%20are%20%241%2B2%2B3%2B4%2B5%2B6%2B7%2B8%20%3D%2036%24%20is%20divisible%20by%20%243%24.%20Thus%20%2412345678%5E%7B23456789%7D%20%5Cequiv%200%5E%7B23456789%7D%20%5Cequiv%200%24%20mod%20%243%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Exercise%2018%0A%0A%20%20%20%20**Suppose%20that%20a%20number%20%24x%24%20can%20be%20written%20in%20the%20decimal%20representation%20as%20'%24abcabc%24'%2C%20with%20%24a%2C%20b%2C%20c%24%20decimal%20digits.%20(For%20example%2C%20%24x%20%3D%20285285%24.)%20Show%20that%20%24x%24%20is%20always%20a%20multiple%20of%20%2413%24**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20Let%20%24x%24%20be%20a%20number%20which%20can%20be%20written%20in%20the%20form%20'%24abcabc%24'.%20Then%20%24x%20%3D%20100000a%20%2B%2010000b%20%2B%201000c%20%2B%20100a%20%2B%2010b%20%2B%20c%20%3D100100a%20%2B%2010010b%20%2B%201001c%24%20%24%3D%201001(100a%20%2B%2010b%20%2B%20c)%24.%20Note%20that%20%241001%20%3D%2013%20%5Ccdot%2077%24%2C%20i.e.%20%2413%20%7C%201001%24%2C%20thus%20%2413%20%7C%201001%20%5Ccdot%20n%24%20for%20any%20%24n%24%20thus%20%2413%20%7C%20x%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Exercise%2019%0A%0A%20%20%20%20**Find%20the%20remainder%20of%20the%20division%20of%20%2411%5E%7B118%7D%24%20by%20%2459%24**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20Note%20that%20%2459%24%20is%20a%20prime.%0A%0A%20%20%20%20Then%20%2411%5E%7B118%7D%20%3D%2011%5E%7B59%20%2B%2059%7D%20%3D%2011%5E%7B59%7D%20%5Ccdot%2011%5E%7B59%7D%20%5Cequiv%5E%7B%5Ctext%7Bby%20Fermats%20little%20theorem%7D%7D%2011%20%5Ccdot%2011%20%3D%20121%20%3D%202%20%5Ccdot%2059%20%2B%203%20%5Cequiv%203%24%20mod%20%2459%24.%20I.e.%20the%20remainder%20of%20the%20division%20is%20%243%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Exercise%2020%0A%0A%20%20%20%20**Write%20the%20number%20%2473%24%20on%20a%20piece%20of%20paper%2C%20fold%20it%20up%2C%20and%20give%20it%20to%20an%20unsuspecting%20friend.%20Ask%20your%20friend%20to%20write%20his%2Fher%20birth%20year%20twice%20in%20a%20calculator.%20Then%20ask%20your%20friend%20if%20the%20number%20is%20divisible%20by%20any%20chance%20by%20%24137%24%3B%20ask%20him%2Fher%20to%20verify%20with%20the%20calculator.%20Then%20say%2C%20'please%20divide%20the%20result%20by%20your%20birth%20year'.%20Ask%20your%20friend%20to%20unwrap%20the%20paper%3A%20the%20calculator%20and%20the%20piece%20of%20paper%20will%20magically%20tell%20the%20same%20number%2C%20%2473%24!%20Can%20you%20spoil%20the%20magic%20and%20explain%20the%20trick**%3F%0A%0A%20%20%20%20Solution%0A%0A%20%20%20%20Let%20%24x%24%20be%20a%20number%20which%20can%20be%20written%20in%20the%20form%20'%24abcdabcd%24'.%20Then%20%24x%20%3D%2010000000a%20%2B%201000000b%20%2B%20100000c%20%2B%2010000d%20%2B%201000a%20%2B%20100b%20%2B%2010c%20%2B%201d%24%20%24%3D%2010001000a%20%2B%201000100b%20%2B%20100010c%20%2B10001d%3D%2010001(1000a%20%2B%20100b%20%2B%2010c%20%2B%201d)%24%2C%20notice%20that%20%2410001%20%3D%20137%20%5Ccdot%2073%24%20and%20%241000a%20%2B%20100b%20%2B%2010c%20%2B%201d%24%20is%20exactly%20the%20number%20written%20as%20'%24abcd%24'%2C%20i.e.%20the%20birth%20year.%20Thus%20%24x%20%3D%20137%20%5Ccdot%2073%20%5Ccdot%20B%24%20if%20we%20denote%20the%20birth%20year%20as%20%24B%24%2C%20and%20thus%20clearly%20the%20number%20written%20down%2C%20%24x%24%2C%20is%20divisible%20by%20%24137%24%2C%20and%20the%20answer%20of%20the%20division%20is%20divisible%20by%20%24B%24%2C%20and%20the%20answer%20of%20the%20division%20is%20%2473%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Fall%20Semester%20Homework%203%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Section%201.5%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Exercise%203%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24A%24%20be%20a%20C-ring%20with%20%241%24.%20Show%20that%20%24(-1)%5Ccdot(-1)%20%3D%201%24.%20Show%20that%20for%20any%20%24a%24%20in%20%24A%24%2C%20%24(-1)%5Ccdot%20a%3D-a%24**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20Assume%20that%20%24A%20%5Cne%20%5Clbrace%200%20%5Crbrace%24.%20By%20the%20property%20of%20%240%24%2C%20%240%20%3D%20(-1)%5Ccdot%200%24%2C%20and%20%24(-1)%5Ccdot%200%24%20%24%3D%20(-1)%5Ccdot%20(1%20%2B%20(-1))%24%20%24%3D%20(-1)%5Ccdot%20(1)%20%2B%20(-1)%5Ccdot(-1)%24%20by%20distributivity.%20Since%20%241%24%20is%20the%20multiplication%20identity%2C%20%240%20%3D%20-1%20%2B%20(-1)%5Ccdot(-1)%24%20thus%20%24(-1)%5Ccdot(-1)%24%20is%20the%20inverse%20of%20%24-1%24%20with%20respect%20to%20addition.%20Since%20inverse%20is%20unique%2C%20it%20must%20be%20%241%24.%0A%0A%20%20%20%20Similarly%2C%20%240%20%3D%20a%5Ccdot%200%20%3D%20a%5Ccdot%20(1%20%2B%20(-1))%20%3D%20a%20%5Ccdot%201%20%2B%20a%20%5Ccdot%20(-1)%20%3D%20a%20%2B%20a%5Ccdot%20(-1)%24%20thus%20%24a%5Ccdot(-1)%20%3D%20(-1)%5Ccdot%20a%24%20act%20as%20inverse%20of%20%24a%24%20with%20respect%20to%20addition%20thus%20it%20is%20%24-a%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Exercise%208%0A%0A%20%20%20%20**Consider%20%24A%20%3D%20%5Clbrace%20f%3A%20%5Cmathbb%7BR%7D%20%5Crightarrow%20%5Cmathbb%7BR%7D%2C%20f%20%5Ctext%7B%20is%20continuous%7D%20%5Crbrace%24.%20The%20sum%20of%20two%20functions%20%24f%24%20and%20%24g%24%20in%20%24A%24%20is%20defined%20as%20the%20function%20that%20maps%20%24x%24%20to%20the%20real%20number%20%24f(x)%20%2B%20g(x)%24.%20Similarly%2C%20the%20product%20of%20two%20functions%20%24f%24%20and%20%24g%24%20in%20%24A%24%20is%20the%20function%20that%20sends%20%24x%24%20to%20%24f(x)g(x)%24.%20Show%20that%20with%20these%20two%20operations%2C%20%24A%24%20is%20a%20C-ring**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20Follow%20the%20definition%20of%20a%20C-ring%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20For%20all%20%24f%2C%20g%20%5Cin%20A%24%2C%20%24f%2C%20g%24%20continuous%20%24%5Cimplies%20%5Cforall%20a%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%2C%20%5Cforall%20%5Cvarepsilon0%2C%20%7C%20x%20-%20a%20%7C%20%3C%20%5Cdelta_f%20%5Cimplies%20%7C%20f(x)%20-%20f(a)%20%7C%20%3C%20%5Cvarepsilon%24%2C%20and%20%24%7C%20x%20-%20a%20%7C%20%3C%20%5Cdelta_g%20%5Cimplies%20%7C%20g(x)%20-%20g(a)%20%7C%20%3C%20%5Cvarepsilon%24%3A%0A%20%20%20%20%09Then%20take%20%24%5Cdelta_f'%2C%20%5Cdelta_g'%24%20satisfying%20that%20%24%5Cforall%20a%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%24%2C%20%24%5Cforall%20%5Cvarepsilon%20%3E%20%5Cvarepsilon%2F2%20%3E%200%24%2C%20%24%7C%20x%20-%20a%20%7C%20%3C%20%5Cdelta_f'%20%5Cimplies%20%7C%20f(x)%20-%20f(a)%20%7C%20%3C%20%5Cvarepsilon%2F2%24%2C%20and%20%24%7C%20x%20-%20a%20%7C%20%3C%20%5Cdelta_g'%20%5Cimplies%20%7C%20g(x)%20-%20g(a)%20%7C%20%3C%20%5Cvarepsilon%2F2%24%2C%20take%20%24%5Cdelta%20%3D%20%5Cmin(%5Cdelta_f'%2C%20%5Cdelta_g')%24%20we%20have%20%24%7C%20x%20-%20a%20%7C%20%3C%20%5Cdelta%24%20%24%5Cimplies%20%7C%20f(x)%20%2B%20g(x)%20-%20(f(a)%20%2B%20g(a))%20%7C%24%20%24%3D%20%7C%20(f(x)%20-%20f(a))%20%2B%20(g(x)%20-%20g(a))%20%7C%24%20%24%5Cle%20%7C%20(f(x)%20-%20f(a))%20%7C%20%2B%20%7C%20(g(x)%20-%20g(a))%20%7C%24%20%24%3C%20%5Cvarepsilon%2F2%20%2B%20%5Cvarepsilon%2F2%24%20%24%3D%20%5Cvarepsilon%2C%20%5Cforall%20%5Cvarepsilon%2C%20a%24%2C%20thus%20the%20point-wise%20addition%20of%20two%20continuous%20functions%20is%20continuous%20thus%20in%20%24A%24%3B%0A%20%20%20%20%09Similarly%20take%20%24%5Cdelta_f'%24%20such%20that%20%24%7C%20x%20-%20a%20%7C%20%3C%20%5Cdelta_f'%20%5Cimplies%20%7C%20f(x)%20-%20f(a)%20%7C%20%3C%20%5Cfrac%7B%5Cvarepsilon%7D%7B2(%7C%20g(a)%20%7C%20%2B%20%5Cvarepsilon)%7D%24%3B%20%24%5Cdelta_g'%24%20such%20that%20%24%7C%20x%20-%20a%20%7C%20%3C%20%5Cdelta_g'%24%20%24%5Cimplies%20%7C%20g(x)%20-%20g(a)%20%7C%20%3C%20%5Cfrac%7B%5Cvarepsilon%7D%7B2%20%7C%20f(a)%20%7C%20%2B1%7D%24%3B%20%24%5Cdelta'%24%20such%20that%20%24%7C%20x%20-%20a%20%7C%20%3C%20%5Cdelta'%24%20%24%5Cimplies%20%7C%20g(x)%20-%20g(a)%20%7C%20%3C%20%5Cvarepsilon%24%3B%0A%20%20%20%20%09Pick%20%24%5Cdelta%20%3D%20%5Cmin(%5Cdelta_f'%2C%20%5Cdelta_g'%2C%20%5Cdelta')%24%20then%3A%20%24%7C%20f(x)g(x)%20-%20f(a)g(a)%20%7C%24%20%24%3D%20%7C%20f(x)g(x)%20-%20f(a)g(x)%24%20%24%2B%20f(a)g(x)%20-%20f(a)g(a)%20%7C%24%20%24%5Cle%20%7C%20f(x)%20-%20f(a)%20%5C%7C%20g(x)%20%7C%24%20%24%2B%20%7C%20g(x)%20-%20g(a)%20%5C%7C%20f(a)%20%7C%24%20%24%5Cle%20%5Cfrac%7B%5Cvarepsilon%7D%7B2(%7C%20g(a)%20%7C%20%2B%20%5Cvarepsilon)%7D%20%7C%20g(a)%24%20%24%2B%20%5Cvarepsilon%20%7C%20%2B%20%5Cfrac%7B%5Cvarepsilon%7D%7B2%20%7C%20f(a)%20%7C%20%2B1%7D%20%7C%20f(a)%20%7C%20%5C%5C%20%3C%20%5Cvarepsilon%2F2%20%2B%20%5Cvarepsilon%2F2%20%3D%20%5Cvarepsilon%2C%20%5Cforall%20%5Cvarepsilon%2C%20a%24%2C%20thus%20the%20point-wise%20product%20of%20two%20continuous%20functions%20is%20continuous%20thus%20in%20%24A%24%3B%0A%20%20%20%202.%20Addition%20associativity%20holds%20as%20%24f%24%20are%20real-valued%20functions%3B%0A%20%20%20%203.%20Addition%20commutativity%20holds%20as%20%24f%24%20are%20real-valued%20functions%3B%0A%20%20%20%204.%20Take%20%24f_0%3A%20%5Cmathbb%7BR%7D%20%5Crightarrow%20%5Cmathbb%7BR%7D%24%20given%20by%20%24f_0(x)%20%3D%200%2C%20%5Cforall%20x%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%24.%20Clearly%20this%20%24f_0%24%20is%20continuous%2C%20and%20for%20all%20%24f%20%5Cin%20A%24%2C%20%24f%20%2B%20f_0%24%20is%20defined%20as%20the%20function%20that%20maps%20%24x%24%20to%20the%20real%20number%20%24f(x)%20%2B%20f_0(x)%20%3D%20f(x)%20%2B%200%20%3D%20f(x)%24%2C%20since%20the%20domain%20and%20the%20codomain%20are%20also%20the%20same%2C%20%24f%20%2B%20f_0%20%3D%20f%24%2C%20thus%20we%20have%20%24f_0%24%20(act%20as)%20the%20neutral%20element%3B%0A%20%20%20%205.%20For%20any%20%24f%20%5Cin%20A%24%2C%20define%20%24f_%7B-%7D%24%20as%20%24f_%7B-%7D(x)%20%3D%20-f(x)%2C%20%5Cforall%20x%24%2C%20then%20for%20all%20%24x%24%2C%20%24f_-(x)%20%2B%20f(x)%20%3D%20-f(x)%20%2B%20f(x)%20%3D%200%20%3D%20f_0(x)%24%2C%20thus%20we%20have%20%24f_-%24%20(act%20as)%20the%20additive%20inverse%3B%0A%20%20%20%206.%20Multiplication%20associativity%20holds%20as%20%24f%24%20are%20real-valued%20functions%3B%0A%20%20%20%207.%20Multiplication%20commutativity%20holds%20as%20%24f%24%20are%20real-valued%20functions%3B%0A%20%20%20%208.%20Distributivity%20holds%20as%20%24f%24%20are%20real-valued%20functions.%0A%0A%20%20%20%20Thus%20by%20definition%2C%20%24A%24%20with%20the%20defined%20two%20operations%20is%20a%20C-ring.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Exercise%2010%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24A%24%20be%20a%20C-ring.%20Suppose%20in%20%24A%24%20there%20is%20a%20non-zero%20nilpotent%20element.%20Is%20it%20true%20that%20in%20%24A%24%20there%20is%20a%20non-zero%20element%20%24a%24%20such%20that%20%24a%5E2%20%3D%200%24**%3F%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20Suppose%20%24b%20%5Cne%200%24%20is%20a%20nilpotent%20element%20and%20let%20%24N%24%20be%20the%20smallest%20positive%20integer%20such%20that%20%24b%5EN%20%3D%200%24%2C%20let's%20assume%20%24N%20%5Cge%202%24%2C%20otherwise%20the%20proof%20is%20trivial%3B%20then%20%24(b%5E%7BN%20-%201%7D)%5E2%20%3D%20b%5E%7B2N%20-%202%7D%24%20with%20%242N%20-%202%20%5Cge%202%24%20and%20notice%20that%20%242N%20-2%20%5Cge%20N%24%2C%20thus%20%24(b%5E%7BN%20-%201%7D)%5E2%20%3D%200%24.%0A%0A%20%20%20%20By%20construct%20%24b%5E%7BN%20-%201%7D%20%5Cne%200%24%20thus%20we%20find%20the%20element%20we%20want.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Exercise%2011%0A%0A%20%20%20%20**Is%20there%20an%20element%20%24a%24%20in%20%24%5Cmathbb%7BZ%7D_%7B10%7D%24%20such%20that%20%24a%5E2%20%3D%200%24%3F%20What%20about%20in%20%24%5Cmathbb%7BZ%7D_%7B20%7D%24**%3F%0A%0A%20%20%20%20Solution%0A%0A%20%20%20%20By%20Exercise%2012%20below%2C%20%24%5Cmathbb%7BZ%7D_%7B10%7D%24%20is%20reduce%20thus%20such%20%24a%24%20does%20not%20exist.%20On%20the%20other%20hand%20%2410%5E2%20%3D%200%24%20in%20%24%5Cmathbb%7BZ%7D_%7B20%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Exercise%2012%0A%0A%20%20%20%20**A%20positive%20integer%20%24m%24%20is%20called%20square-free%20if%20either%20%24m%24%20is%20a%20prime%20or%20%24m%24%20is%20a%20product%20of%20distinct%20primes.%20Show%20that%20%24%5Cmathbb%7BZ%7D_m%24%20is%20reduced%20if%20and%20only%20if%20%24m%24%20is%20a%20square-free**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20(%24%5Cimplies%24)%20Suppose%20%24m%24%20not%20square-free%2C%20then%20%24m%24%20contains%20product%20of%20non-distinct%20prime%2C%20say%20%24m%20%3D%20ppm'%24%20with%20%24p%24%20prime.%20Then%20%24%5Cwidehat%7Bpm'%7D%5E2%20%3D%20%5Cwidehat%7Bpm'%20p%20m'%7D%20%3D%20%5Cwidehat%7Bppm'%7D%20%5Cwidehat%7Bm'%7D%20%3D%20%5Chat%7B0%7D%20%5Cwidehat%7Bm'%7D%20%3D%200%24%20thus%20%24%5Cmathbb%7BZ%7D_m%24%20not%20reduced%2C%20i.e.%20negation%20holds%3B%0A%0A%20%20%20%20(%24%5Cimpliedby%24)%20Suppose%20%24%5Cmathbb%7BZ%7D_m%24%20is%20not%20reduced%2C%20thus%20there%20exist%20non-zero%20%24a%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BZ%7D_m%24%20and%20%24N%24%20the%20smallest%20positive%20integer%20such%20that%20%24a%5EN%20%3D%200%24%2C%20clearly%20%24N%20%3E%201%24%20otherwise%20%24a%5E1%20%3D%20a%20%3D%200%24.%20%24a%20%5Cne%201%24%20because%20%241%24%20is%20invertible.%20Then%20we%20can%20write%20%24a%20%3D%20p_1%5E%7Bn_1%7D%20%5Cdots%20p_k%5E%7Bn_k%7D%24%20with%20%24p_i%24%20distinct%20primes%2C%20and%20%24n_j%20%5Cge%201%24%20(for%20example%2C%206%20%3D%202%5E1%203%5E1)%2C%20and%20%24a%5EN%20%3D%20(p_1%5E%7Bn_1%7D%20%5Cdots%20p_k%5E%7Bn_k%7D)%5EN%20%3D%20p_1%5E%7Bn_1%20N%7D%20%5Cdots%20p_k%5E%7Bn_k%20N%7D%3D0%24%2C%20then%20by%20definition%20%24mm'%20%3D%20p_1%5E%7Bn_1%20N%7D%20%5Cdots%20p_k%5E%7Bn_k%20N%7D%24%20for%20some%20%24m'%24.%20If%20%24m%24%20is%20square-free%2C%20then%20%24m%20%3D%20p_%7Bi_1%7D%20%5Cdots%20p_%7Bi_j%7D%24%20with%20%24i%24's%20%24%5Cin%20%5Clbrace%201%2C%202%2C%20%5Cdots%2C%20k%20%5Crbrace%24%2C%20then%20%24m%20%7C%20p_1%5E%7Bn_1%7D%20%5Cdots%20p_k%5E%7Bn_k%7D%20%7C%20p_1%5E%7Bn_1%20(N-1)%7D%20%5Cdots%20p_k%5E%7Bn_k%20(N-1)%7D%24%20thus%20%24a%5E%7BN%20-%201%7D%20%3D%200%24%20which%20is%20a%20contradiction.%20Thus%20%24m%24%20is%20not%20square-free%20and%20the%20negation%20holds.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Exercise%2013%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24A%24%20be%20a%20C-ring.%20Prove%20that%20if%20%24a%2C%20b%24%20are%20nilpotent%2C%20%24a%20%2B%20b%24%20is%20also%20nilpotent**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20If%20%24a%24%20or%20%24b%24%20is%20%240%24%20it%20is%20trivial.%0A%0A%20%20%20%20Suppose%20%24a%2C%20b%24%20nilpotent%20with%20%24n%2C%20m%24%20smallest%20positive%20integer%20make%20%24a%5En%20%3D%200%24%20and%20%24b%5Em%20%3D%200%24.%20Then%20%24(a%20%2B%20b)%5E%7Bn%20%2B%20m%7D%20%3D%20%5Csum%5Climits_%7Bk%20%3D%200%7D%5E%7Bn%20%2B%20m%7D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20n%2Bm%20%5C%5C%20k%20%5Cend%7Bpmatrix%7Da%5E%7Bn%2Bm-k%7Db%5E%7Bk%7D%24.%20While%20if%20%24k%20%5Cle%20m%24%20then%20%24a%5E%7Bn%2Bm-k%7D%3Da%5Ena%5E%7Bm-k%7D%20%3D%200%24%2C%20otherwise%20%24b%5Ek%20%3D%20b%5Emb%5E%7Bk-m%7D%20%3D%200%24%2C%20thus%20every%20term%20in%20the%20summation%20is%20%240%24%20thus%20the%20summation%20is%20%240%24%20with%20clearly%20%24n%2Bm%24%20is%20a%20positive%20integer%20thus%20by%20definition%20%24(a%20%2B%20b)%24%20nilpotent.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Fall%20Semester%20Homework%204%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Section%204.5%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Exercise%203%0A%0A%20%20%20%20**Show%20that%20%24%5Cmathbb%7BZ%7D%20%5Bx%2C%20y%5D%2F(y)%24%20is%20isomorphic%20to%20%24%5Cmathbb%7BZ%7D%20%5Bx%5D%24**.%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20Consider%20the%20function%20%24%5Cvarphi%3A%20%5Cmathbb%7BZ%7D%20%5Bx%2C%20y%5D%20%5Crightarrow%20%5Cmathbb%7BZ%7D%20%5Bx%5D%24%20with%20%24f(x%2C%20y)%20%5Cmapsto%20f(x%2C%200)%24.%0A%0A%20%20%20%20Clearly%20we%20want%20to%20use%20the%20First%20Isomorphic%20Theorem%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20%24%5Cvarphi%24%20is%20a%20homomorphism%3A%20this%20is%20clear%20by%20the%20definition%20of%20polynomial%20addition%20and%20multiplication%3B%0A%20%20%20%202.%20%24%5Cvarphi%24%20is%20surjective%3A%20for%20any%20%24f(x)%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BZ%7D%20%5Bx%5D%24%2C%20%24%5Cvarphi(f(x))%24%20itself%20would%20map%20%24f(x)%24%20(considered%20as%20polynomial%20of%20%24x%24%20and%20%24y%24)%20to%20%24f(x)%24%3B%0A%20%20%20%203.%20%24%5Cker%7B%5Cvarphi%7D%20%3D%20(y)%24%3A%0A%20%20%20%20%091.%20For%20any%20%24g(x%2C%20y)%20%5Cin%20(y)%2C%20g(x%2C%20y)%20%3D%20y%20%5Ccdot%20h(x%2C%20y)%24%20for%20some%20%24h(x%2C%20y)%24%2C%20and%20%24%5Cvarphi(g(x%2C%20y))%20%3D%20%5Cvarphi(y%20%5Ccdot%20h(x%2C%20y))%20%3D%20%5Cvarphi(y)%20%5Cvarphi(h(x%2C%20y))%20%3D%200%20%5Ccdot%20h(x%2C%200)%20%3D%200%24%20thus%20%24g(x%2C%20y)%24%20is%20in%20the%20kernel%3B%0A%20%20%20%20%092.%20For%20any%20%24g(x%2C%20y)%24%20in%20the%20kernel%2C%20by%20definition%20a%20polynomial%20of%20%24x%24%20and%20%24y%24%20can%20be%20written%20in%20the%20form%20%24g(x%2C%20y)%20%3D%20h_0(x)%20%2B%20h_1(x)y%20%2B%20h_2(x)y%5E2%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20h_n(x)y%5En%24%20where%20%24h_i(x)%24's%20are%20polynomials%20of%20%24x%24%2C%20thus%20by%20definition%20%240%20%3D%20g(x%2C%200)%20%3D%20h_0(x)%20%2B%20h_1(x)0%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20h_n(x)0%5En%24%20thus%20%24h_0(x)%20%3D%200%24%2C%20which%20means%20%24g(x%2Cy)%20%3D%20h_1(x)y%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20h_n(x)%20y%5En%20%5Cin%20(y)%24.%0A%0A%20%20%20%20Thus%20by%20the%20First%20Isomorphic%20Theorem%2C%20%24%5Cvarphi%24%20induces%20an%20isomorphism%20from%20%24%5Cmathbb%7BZ%7D%20%5Bx%2C%20y%5D%2F(y)%24%20to%20%24%5Cmathbb%7BZ%7D%5Bx%5D%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Section%205.5%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Exercise%201%0A%0A%20%20%20%20**Consider%20the%20ideal%20%24J%20%3D%20(x%2B1%2C%20x-1)%24%20in%20%24%5Cmathbb%7BZ%7D%20%5Bx%5D%24.%20Is%20it%20proper%3F%20Is%20it%20prime%3F%20Is%20it%20maximal**%3F%0A%0A%20%20%20%20Solution%0A%0A%20%20%20%20It%20is%20proper%2C%20notice%20that%20%24x%20%2B%201%20%3D%201%20%5Ccdot%20(x%20-%201)%20%2B%202%24%20thus%20%241%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BZ%7D%20%5Bx%5D%24%20would%20never%20be%20achieved%3B%0A%0A%20%20%20%20We%20need%20to%20understand%20the%20quotient%20%24%5Cmathbb%7BZ%7D%20%5Bx%5D%2F(x%2B1%2C%20x-1)%24.%20From%20above%20we%20have%20%24(x%2B1%2C%20x-1)%20%3D%20(2%2C%20x%2B1)%24%20thus%20%24%5Cmathbb%7BZ%7D%20%5Bx%5D%2F%20(x%2B1%2C%20x-1)%20%5Ccong%20%5Cmathbb%7BZ%7D%20%5Bx%5D%2F(2%2C%20x%2B1)%20%5Ccong%20%5Cmathbb%7BZ%7D_2%20%5Bx%5D%2F(x%2B1)%20%5Ccong%20%5Cmathbb%7BZ%7D_2%24%2C%20which%20is%20a%20field.%20Thus%20it%20is%20maximal%20and%20prime.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Exercise%202%0A%0A%20%20%20%20**How%20many%20ideals%20with%20less%20than%20%2410%24%20elements%20does%20%24%5Cmathbb%7BZ%7D%24%20have**%3F%0A%0A%20%20%20%20Solution%0A%0A%20%20%20%20All%20ideals%20of%20%24%5Cmathbb%7BZ%7D%24%20are%20of%20the%20form%20%24(n)%20%3D%20%5Clbrace%20kn%2C%20k%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BZ%7D%20%5Crbrace%24%2C%20each%20of%20the%20set%20%24(n)%24%20clearly%20has%20infinitely%20many%20elements%20unless%20%24n%20%3D%200%24%2C%20thus%20there%20is%20one%20ideal%20with%20less%20than%20%2410%24%20elements%20in%20%24%5Cmathbb%7BZ%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Exercise%203%0A%0A%20%20%20%20**Show%20that%20a%20domain%20%24A%24%20is%20a%20field%20if%20and%20only%20if%20%24A%24%20has%20finitely%20many%20ideals**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20(%24%5Cimplies%24)%20Clearly%20%24(0)%24%20is%20an%20ideal%20of%20%24A%24.%20Suppose%20%24(a)%24%20is%20another%20ideal%20of%20%24A%24%20with%20%24a%20%5Cne%200%24.%20Since%20%24A%24%20is%20a%20field%2C%20%24a%24%20is%20invertible%20thus%20%24a%20a'%20%3D%201%24%20for%20some%20%24a'%20%5Cin%20A%20%5Cimplies%201%20%5Cin%20(a)%24%20thus%20%24(a)%20%3D%20A%24%20by%20Explosion%20Lemma.%20In%20other%20words%2C%20there%20are%20only%20two%20ideals%20in%20%24A%24%3B%0A%0A%20%20%20%20(%24%5Cimpliedby%24)%20Since%20%24A%24%20is%20a%20domain%2C%20at%20least%20%24A%24%20contains%20an%20%24a%20%5Cne%200%24.%20%24(a)%2C%20(a%5E2)%2C%20(a%5E3)%2C%20%5Cdots%24%20are%20all%20ideals.%20Since%20%24A%24%20only%20have%20finitely%20many%20ideals%2C%20we%20must%20have%20%24(a%5En)%20%3D%20(a%5Em)%24%20for%20some%20%24n%2C%20m%24.%20Thus%20%24a%5En%20b%20%3D%20a%5Em%24%20for%20some%20%24b%20%5Cin%20A%24%20thus%20%24a%5Em(1-a%5E%7Bn-m%7Db)%20%3D%200%24.%20Since%20%24A%24%20is%20a%20domain%2C%20%24a%5Em%20%5Cne%200%20%5Cimplies%20a%5E%7Bn-m%7Db%20%3D%201%24%2C%20WLOG%20say%20%24n%20%3E%20m%24%20then%20%24a(a%5E%7Bn-m-1%7Db)%20%3D%201%24%2C%20in%20other%20word%2C%20%24a%24%20is%20invertible.%20Thus%20%24A%24%20is%20a%20field.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Exercise%204%0A%0A%20%20%20%20**If%20every%20proper%20ideal%20of%20%24A%24%20is%20prime%2C%20show%20that%20%24A%24%20is%20a%20field**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20For%20an%20arbitrary%20%240%20%5Cne%20a%20%5Cin%20A%24%2C%20consider%20the%20ideal%20%24(a%5E2)%24.%0A%0A%20%20%20%20If%20it%20is%20not%20a%20proper%20ideal%2C%20then%20%24(a%5E2)%20%3D%20A%24.%20Thus%20%241%20%5Cin%20(a%5E2)%24%2C%20thus%20there%20exists%20%24b%20%5Cin%20A%24%20such%20that%20%241%20%3D%20a%5E2%20b%20%3D%20a(ab)%24%2C%20thus%20%24a%24%20is%20invertible.%0A%0A%20%20%20%20If%20it%20is%20a%20proper%20ideal%2C%20then%20it%20is%20prime.%20Since%20%24a%20%5Ccdot%20a%20%3D%20a%5E2%20%5Cin%20(a%5E2)%24%2C%20we%20have%20%24a%20%5Cin%20(a%5E2)%24.%20Thus%20there%20exists%20%24b%20%5Cin%20A%24%20such%20that%20%24a%20%3D%20a%5E2%20b%20%5Cimplies%20a(1%20-%20ab)%20%3D%200%24.%20Now%20if%20%24a%20%5Cne%200%24%2C%20we%20must%20have%20%241%20-%20ab%20%3D%200%20%5Cimplies%20ab%20%3D%201%24%2C%20thus%20%24a%24%20is%20invertible.%0A%0A%20%20%20%20Since%20%24a%24%20is%20arbitrary%2C%20we%20conclude%20%24A%24%20is%20a%20field.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Exercise%205%0A%0A%20%20%20%20**Prove%20that%20%24(5)%24%20is%20not%20prime%20in%20%24%5Cmathbb%7BZ%7D%20%5Bi%5D%24**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20Consider%20that%20%245%20%3D%20(2%20%2B%20i)%20(2%20-i)%24%2C%20clearly%20%242%2Bi%20%5Cnotin%20(5)%24%20and%20%242%20-%20i%20%5Cnotin%20(5)%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Fall%20Semester%20Homework%205%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Section%206.5%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Exercise%201%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24f(x)%20%3D%202x%5E7%20%2B%2025x%5E3%20%2B%2010x%5E2%20-%2030%24.%20Prove%20that%20%24%5Cmathbb%7BQ%7D%20%5Bx%5D%2F(f)%24%20is%20a%20field**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20By%20Eisenstein's%20criterion%2C%20take%20%24p%20%3D%205%24%2C%20then%20it%20is%20easy%20to%20see%20that%20%245%24%20does%20not%20divide%20%242%24%2C%20%2425%24%20does%20not%20divide%20%24-30%24%2C%20and%20%245%24%20divides%20%2425%2C%2010%24%2C%20and%20%24-30%24%2C%20thus%20%24f%24%20is%20irreducible%20over%20%24%5Cmathbb%7BZ%7D%20%5Bx%5D%24.%20%24f%24%20is%20clearly%20primitive%2C%20thus%20it%20is%20also%20irreducible%20over%20%24%5Cmathbb%7BQ%7D%20%5Bx%5D%24.%20Since%20%24%5Cmathbb%7BQ%7D%24%20is%20a%20PID%2C%20we%20have%20%24(f)%24%20is%20a%20maximal%20ideal%2C%20which%20implies%20that%20%24%5Cmathbb%7BQ%7D%20%5Bx%5D%2F(f)%24%20is%20a%20field.%0A%0A%20%20%20%20I%20think%20it%20would%20also%20work%20if%20we%20use%20Modulo-%20%24m%24%20criterion%20with%20%24m%20%3D%207%24%2C%20which%20however%20would%20take%20much%20more%20effort.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Exercise%202%0A%0A%20%20%20%20**For%20what%20integer%20values%20of%20%24b%24%20is%20the%20polynomial%20%242x%5E2%20%2B%20b%24%20is%20irreducible%20in%20%24%5Cmathbb%7BZ%7D%20%5Bx%5D%24**%3F%0A%0A%20%20%20%20Solution%0A%0A%20%20%20%20In%20%24%5Cmathbb%7BZ%7D%20%5Bx%5D%24%2C%20a%20polynomial%20of%20the%20form%20%242x%5E2%20%2B%20m%24%20can%20only%20possibly%20be%20written%20as%20%24(ax%5E2%20%2B%20b)(c)%24%20or%20%24(ax%20%2B%20b)(cx%20%2B%20d)%24.%0A%0A%20%20%20%20If%20it%20is%20the%20first%20case%20then%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20%24a%20%3D%202%2C%20c%20%3D%201%24%2C%20then%20%24c%24%20is%20invertible%3B%0A%20%20%20%202.%20%24a%20%3D%201%2C%20c%20%3D%202%24%2C%20then%20%242x%5E2%20%2B%20m%24%20can%20never%20be%20irreducible%2C%20as%20%24(a%20x%5E2%20%2B%20b)%24%20and%20%24(c)%24%20are%20both%20not%20invertible%20over%20%24%5Cmathbb%7BZ%7D%20%5Bx%5D%24.%20In%20other%20word%2C%20if%20we%20want%20%242x%5E2%20%2B%20m%24%20be%20irreducible%20then%20we%20cannot%20have%20even%20%24m%24.%0A%0A%20%20%20%20If%20it%20is%20the%20second%20case%20then%3A%0A%0A%20%20%20%20WLOG%20say%20%24a%20%3D%202%2C%20c%20%3D%201%24%2C%20then%20we%20have%20to%20have%20%24ad%20%2B%20cb%20%3D%200%20%5Cimplies%20-2%20d%20%3D%20b%24%2C%20for%20example%20%24(2x%20-%202)(x%20%2B%201)%20%3D%202x%5E2%20-%202%24%20is%20reducible.%0A%0A%20%20%20%20The%20second%20case%20is%20actually%20weaker%20than%20the%20first%20case%20(for%20example%2C%20it%20does%20not%20show%20that%20%242x%5E2%20-%204%24%20is%20reducible)%2C%20so%20in%20conclusion%2C%20odd%20%24b%24%20would%20make%20%242x%5E2%20%2B%20m%24%20irreducible%20in%20%24%5Cmathbb%7BZ%7D%20%5Bx%5D%24.%0A%0A%20%20%20%20And%20a%20quick%20check%3A%20if%20%24m%20%3D%202k%24%20(is%20even)%20then%20clearly%20%242x%5E2%20%2B%20m%20%3D%202(x%5E2%20%2B%20k)%24%20is%20a%20non-trivial%20factorization%3B%20otherwise%20%24m%24%20is%20odd%20then%20use%20quadratic%20formula%20it%20is%20easy%20to%20see%20%242x%5E2%20%2B%20m%24%20has%20no%20integer%20solutions.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Exercise%203%0A%0A%20%20%20%20**Prove%20that%3A%20(Eisenstein%20for%20domains)%20Let%20%24A%24%20be%20a%20domain%20with%20%241%24.%20Let%20%24f%20%3D%20a_0%20%2B%20a_1%20x%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20a_n%20x%5En%24%20be%20a%20polynomial%20in%20%24A%5Bx%5D%24.%20If%20there%20exists%20a%20prime%20ideal%20%24P%24%20such%20that**%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20**%24a_n%24%20does%20not%20belong%20to%20%24P%24**%3B%0A%20%20%20%202.%20**%24a_i%24%20belongs%20to%20%24P%24%20for%20all%20%24i%20%3C%20n%24**%3B%0A%20%20%20%203.%20**%24a_0%24%20does%20not%20belong%20to%20%24P%5E2%24**.%0A%0A%20%20%20%20**Then%20%24f%24%20cannot%20be%20written%20as%20product%20of%20polynomials%20of%20lower%20degree.%20In%20particular%2C%20if%20%24f%24%20is%20not%20a%20multiple%20of%20a%20constant%20polynomial%2C%20then%20%24f%24%20is%20irreducible**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20Suppose%20%24f%20%3D%20g%20h%24%20where%20%24g%20%3D%20%5Csum%5Climits_%7Bi%20%3D%200%7D%5E%7Bm%5Cprime%20%3C%20n%7D%20g_i%20x%5Ei%2C%20h%20%3D%20%5Csum%5Climits_%7Bj%20%3D%200%7D%5E%7Bm%5Cprime%5Cprime%20%3C%20n%7D%20h_j%20x%5Ej%20%5Cin%20A%5Bx%5D%24.%20Set%20%24D%20%5Coverset%7B%5Ctext%7Bdef%7D%7D%7B%3D%7D%20A%2FP%24%2C%20since%20%24P%24%20is%20prime%2C%20%24D%24%20is%20a%20domain.%20Consider%20%24%5Coverline%7Bf%7D%24%20over%20%24D%24%2C%20then%20for%20each%20%24a_i%2C%20i%3Cn%2C%20a_i%20%5Cin%20P%20%5Cimplies%20a_i%20%5Cequiv%200%20%5Cimplies%20%5Coverline%7Bf%7D%20%3D%20%5Coverline%7Ba_n%7Dx%5En%24.%0A%0A%20%20%20%20On%20the%20other%20hand%2C%20%24%5Coverline%7Bf%7D%20%3D%20%5Coverline%7Bg%7D%20%5Coverline%7Bh%7D%20%3D%20(%5Csum%5Climits_%7Bi%20%3D%200%7D%5E%7Bm%5Cprime%7D%20%5Coverline%7Bg_i%7Dx%5Ei)(%5Csum%5Climits_%7Bj%20%3D%200%7D%5E%7Bm%5Cprime%5Cprime%7D%20%5Coverline%7Bh_j%7Dx%5Ej)%20%3D%20%5Csum%5Climits_%7Bm%20%3D%200%7D%5E%7Bn%7D%20(%5Csum%5Climits_%7Bi%20%2B%20j%20%3D%20m%7D%20%5Coverline%7Bg_i%20h_j%7Dx%5Em)%20%5Cimplies%20%5Coverline%7Bg_0%7D%20%3D%200%24%20and%20%24%5Coverline%7Bh_0%7D%20%3D%200%24%2C%20i.e.%20%24%5Coverline%7Bg%7D%2C%20%5Coverline%7Bh%7D%24%20have%20zero%20constant%20term%2C%20i.e.%20the%20constant%20terms%20%24g_0%2C%20h_0%24%20of%20them%20are%20both%20in%20%24P%24.%20But%20then%20%24f_0%20%3D%20g_0%20h_0%20%5Cin%20P%5E2%24%2C%20which%20is%20a%20contradiction.%0A%0A%20%20%20%20The%20last%20part%20(In%20particular%E2%80%A6)%20follows%20immediately%3A%20such%20%24f%24%20can%20be%20only%20written%20as%20%24f%20%3D%20cf'%24%20(where%20%24f'%24%20has%20the%20same%20degree%20with%20%24f%24)%20otherwise%20we%20cannot%20factor%20it%20anymore.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Exercise%204%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24p%24%20be%20a%20prime.%20Factor%20the%20polynomial%20%24f%20%3D%20x%5E%7Bp-1%7D-1%24%20in%20%24%5Cmathbb%7BZ%7D_p%5Bx%5D%24**.%0A%0A%20%20%20%20Solution%0A%0A%20%20%20%20By%20Fermat's%20little%20theorem%20%24x%20%3D%201%2C%20%5Cdots%2C%20p%20-%201%24%20are%20solutions%20(and%20obviously%20they%20are%20distinct)%20for%20%24f%24.%20Since%20%24f%24%20is%20a%20polynomial%20of%20degree%20%24p-1%24%20it%20has%20at%20most%20%24p-1%24%20solutions.%20In%20other%20word%2C%20%24x%20%3D%201%2C%20%5Cdots%2C%20p%20-%201%24%20are%20exact%20these%20%24p%20-%201%24%20solutions.%0A%0A%20%20%20%20Thus%20we%20can%20factor%20%24f%24%20as%20%24f%20%3D%20(x%20-%201)(x%20-%202)%20%5Cdots(x%20-%20p%20%2B%201)%24%20in%20%24%5Cmathbb%7BZ%7D_p%5Bx%5D%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Exercise%205%0A%0A%20%20%20%20**Is%20%24x%5E3%20%2B%202%24%20irreducible%20in%20%24%5Cmathbb%7BZ%7D_7%5Bx%5D%24**%3F%0A%0A%20%20%20%20Solution%0A%0A%20%20%20%20The%20degree%20is%20only%20%243%24%20so%20it%20suffices%20to%20check%20if%20it%20has%20root(s)%20in%20%24%5Cmathbb%7BZ%7D_7%24%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20%240%5E3%20%2B%202%20%3D%202%20%5Cequiv%202%24%3B%0A%20%20%20%202.%20%241%5E3%20%2B%202%20%3D%203%20%5Cequiv%203%24%3B%0A%20%20%20%203.%20%242%5E3%20%2B%202%20%3D%2010%20%5Cequiv%203%24%3B%0A%20%20%20%204.%20%243%5E3%20%2B%202%20%3D%2029%20%5Cequiv%201%24%3B%0A%20%20%20%205.%20%244%5E3%20%2B%202%20%3D%2066%20%5Cequiv%203%24%3B%0A%20%20%20%206.%20%245%5E3%20%2B%202%20%3D%20127%20%5Cequiv%201%24%3B%0A%20%20%20%207.%20%246%5E3%20%2B%202%20%3D%20218%20%5Cequiv%201%24.%0A%0A%20%20%20%20It%20admits%20no%20roots%2C%20thus%20it%20is%20irreducible.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Spring%20Semester%20Homework%201%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Section%207.5%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Exercise%201%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24p%24%20be%20a%20prime%20number%2C%20is%20there%20a%20field%20%24K%24%20such%20that%20%24%5Cmathbb%7BQ%7D%20%5Csubset%20K%20%5Csubset%20%5Cmathbb%7BQ%7D%5B%5Csqrt%5Bp%5D%7B2%7D%5D%24**%3F%0A%0A%20%20%20%20Solution%0A%0A%20%20%20%20It%20is%20clear%20that%20%24%5Csqrt%5Bp%5D%7B2%7D%24%20is%20algebraic%20over%20%24%5Cmathbb%7BQ%7D%24%2C%20because%20it%20is%20(a)%20root%20for%20%24x%5Ep-2%24.%20Thus%20by%20Theorem%20369%20we%20have%20that%20%24%5Cmathbb%7BQ%7D%5B%5Csqrt%5Bp%5D%7B2%7D%5D%20%3D%20%5Cmathbb%7BQ%7D(%5Csqrt%5Bp%5D%7B2%7D)%24%20is%20by%20definition%20the%20smallest%20(sub-)field%20containing%20both%20%24%5Cmathbb%7BQ%7D%24%20and%20%24%5Csqrt%5Bp%5D%7B2%7D%24%2C%20also%20clearly%20%24deg(%5Csqrt%5Bp%5D%7B2%7D)%20%3D%20p%24.%0A%0A%20%20%20%20If%20there%20is%20a%20field%20%24K%24%20with%20%24%5Cmathbb%7BQ%7D%20%5Csubseteq%20K%20%5Csubseteq%20%5Cmathbb%7BQ%7D%5B%5Csqrt%5Bp%5D%7B2%7D%5D%24%2C%20by%20Lagrange%20we%20have%20%24%5B%5Cmathbb%7BQ%7D%5B%5Csqrt%5Bp%5D%7B2%7D%5D%3A%5Cmathbb%7BQ%7D%5D%20%3D%20p%20%3D%20%5B%5Cmathbb%7BQ%7D%5B%5Csqrt%5Bp%5D%7B2%7D%5D%3AK%5D%5BK%3A%5Cmathbb%7BQ%7D%5D%24%2C%20since%20%24p%24%20is%20prime%2C%20either%20%24%5B%5Cmathbb%7BQ%7D%5B%5Csqrt%5Bp%5D%7B2%7D%5D%3AK%5D%20%3D%201%24%20or%20%24%5BK%3A%5Cmathbb%7BQ%7D%5D%20%3D%201%24%2C%20which%20means%20either%20%24%5Cmathbb%7BQ%7D%5B%5Csqrt%5Bp%5D%7B2%7D%5D%20%3D%20K%24%20or%20%24K%20%3D%20%5Cmathbb%7BQ%7D%24.%20In%20other%20words%2C%20there%20is%20no%20%24K%24%20strictly%20in%20between%20%24%5Cmathbb%7BQ%7D%5B%5Csqrt%5Bp%5D%7B2%7D%5D%24%20and%20%24%5Cmathbb%7BQ%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Exercise%202%0A%0A%20%20%20%20**Prove%20that%20%24%5Cmathbb%7BQ%7D(%5Csqrt%7B3%7D%2Bi)%20%3D%20%5Cmathbb%7BQ%7D(%5Csqrt%7B3%7D%2Ci)%24%20and%20find%20the%20minimal%20polynomial%20of%20%24%5Csqrt%7B3%7D%2Bi%24%20over%20%24%5Cmathbb%7BQ%7D%24**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20If%20a%20field%20contains%20both%20%24%5Csqrt%7B3%7D%24%20and%20%24i%24%20it%20clearly%20contains%20%24%5Csqrt%7B3%7D%2Bi%24%2C%20so%20%24%5Cmathbb%7BQ%7D(%5Csqrt%7B3%7D%2Bi)%20%5Csubseteq%20%5Cmathbb%7BQ%7D(%5Csqrt%7B3%7D%2Ci)%24.%0A%0A%20%20%20%20If%20a%20field%20%24F%24%20contains%20%24%5Csqrt%7B3%7D%20%2B%20i%24%2C%20then%20it%20must%20contain%20%24%5Csqrt%7B3%7D%20%2B%20i%24%20rise%20to%20the%20power%20%243%24%2C%20which%20is%20exactly%20%248i%24%2C%20now%20%248%24%20is%20clearly%20invertible%20in%20%24%5Cmathbb%7BQ%7D%24%2C%20thus%20%24F%24%20contains%20%24i%24%2C%20and%20thus%20%24%5Csqrt%7B3%7D%24%2C%20so%20%24%5Cmathbb%7BQ%7D(%5Csqrt%7B3%7D%2Bi)%20%5Csupseteq%20%5Cmathbb%7BQ%7D(%5Csqrt%7B3%7D%2Ci)%24%20and%20thus%20the%20equality%20holds.%0A%0A%20%20%20%20Starting%20with%20something%20simple%3A%20it%20is%20easy%20to%20verify%20that%20%24(%5Csqrt%7B3%7D%2Bi)%5E6%20%3D%20-64%24%2C%20which%20is%20clearly%20a%20rational%20number.%20So%20%24x%5E6%2B64%24%20is%20a%20polynomial%20in%20%24%5Cmathbb%7BQ%7D%5Bx%5D%24%20with%20%24%5Csqrt%7B3%7D%2Bi%24%20as%20root.%20Now%20we%20want%20to%20see%20if%20we%20can%20factor%20it%3A%20notice%20%24x%5E6%2B64%20%3D%20(x%5E2)%5E3%2B4%5E3%20%3D%20(x%5E2%2B4)(x%5E4%20-%204x%5E2%20%2B%2016)%24.%20So%20%24x%5E4%20-%204x%5E2%20%2B%2016%24%20is%20now%20a%20polynomial%20in%20%24%5Cmathbb%7BQ%7D%5Bx%5D%24%20with%20%24%5Csqrt%7B3%7D%2Bi%24%20as%20root.%20It%20is%20irreducible%3A%20clearly%20it%20does%20not%20have%20rational%20roots%2C%20and%20there%20is%20no%20way%20to%20factor%20it%20to%20the%20form%20%24(x%5E2%2Bax%2Bb)(x%5E2%2Bcx%2Bd)%24%20with%20%24a%2Cb%2Cc%2Cd%24%20in%20%24%5Cmathbb%7BQ%7D%24.%20Thus%20by%20Proposition%20362%2C%20%24x%5E4%20-%204x%5E2%20%2B%2016%24%20is%20the%20minimal%20polynomial%20of%20%24%5Csqrt%7B3%7D%2Bi%24%20over%20%24%5Cmathbb%7BQ%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Exercise%203%0A%0A%20%20%20%20**Find%20the%20minimal%20polynomial%20of%20%24%5Csqrt%5B3%5D%7B7%7D-1%24%20over%20%24%5Cmathbb%7BQ%7D%24**.%0A%0A%20%20%20%20Solution%0A%0A%20%20%20%20Let's%20check%20generally%20how%20do%20we%20proceed%20%24%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%7D-1%24%3A%0A%0A%20%20%20%20Since%20we%20have%20a%20cubic%20root%20it%20is%20natural%20to%20rise%20it%20to%20power%20%243%24%20first%3A%20we%20have%20%24x%20-%203x%5E%7B2%2F3%7D%20%2B%203x%5E%7B1%2F3%7D%20-%201%24.%20Now%20we%20get%20rid%20of%20the%20%24x%5E%7B2%2F3%7D%24%20term%20by%20adding%20%243(%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%7D-1)%5E2%24%20to%20it%2C%20we%20will%20get%20%24x%20-%203x%5E%7B1%2F3%7D%20%2B%202%24.%20Now%20it%20is%20easy%3A%20adding%20%243(%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%7D-1)%24%20to%20it%20and%20we%20will%20have%20something%20rational%20leftover%3A%20%24x-1%24.%0A%0A%20%20%20%20Now%2C%20for%20our%20case%3A%0A%0A%20%20%20%20Going%20backwards%20(and%20plug%20in%20%24x%20%3D%207%24)%20we%20will%20get%20that%20%24y%5E3%2B3y%5E2%2B3y-6%24%20is%20a%20rational%20polynomial%20with%20%24%5Csqrt%5B3%5D%7B7%7D-1%24%20as%20root.%20Since%20it%20is%20a%20polynomial%20of%20degree%20%243%24%20it%20is%20easy%20to%20check%20that%20it%20has%20no%20rational%20root%20thus%20irreducible.%20Thus%20%24y%5E3%2B3y%5E2%2B3y-6%24%20is%20the%20minimal%20polynomial%20of%20%24%5Csqrt%5B3%5D%7B7%7D-1%24%20over%20%24%5Cmathbb%7BQ%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Exercise%204%0A%0A%20%20%20%20**Find%20the%20minimal%20polynomial%20of%20%24%5Csqrt%5B3%5D%7B3%7D-%5Csqrt%5B3%5D%7B9%7D%24%20over%20%24%5Cmathbb%7BQ%7D%24**.%0A%0A%20%20%20%20Solution%0A%0A%20%20%20%20Notice%20that%20we%20can%20re-write%20%24%5Csqrt%5B3%5D%7B3%7D-%5Csqrt%5B3%5D%7B9%7D%24%20as%20%243%5E%7B1%2F3%7D-3%5E%7B2%2F3%7D%24.Replace%20%243%24%20with%20%24x%24.%0A%0A%20%20%20%20Proceed%20as%20before%2C%20rise%20it%20to%20power%20%243%24%20we%20have%20%24(x%5E%7B1%2F3%7D)%5E3%20-%203%20(x%5E%7B1%2F3%7D)%5E2%20x%5E%7B2%2F3%7D%20%2B%203%20x%5E%7B1%2F3%7D%20(x%5E%7B2%2F3%7D)%5E2%20-%20(x%5E%7B2%2F3%7D)%5E3%20%3D%20x-3x%5E%7B4%2F3%7D%2B3x%5E%7B5%2F3%7D-x%5E2%24%2C%20now%20we%20can%20add%20%243x(x%5E%7B1%2F3%7D-x%5E%7B2%2F3%7D)%24%20to%20it%20to%20have%20%24x-x%5E2%24.%0A%0A%20%20%20%20Again%2C%20go%20backwards%20and%20plugin%20%24x%20%3D%203%24%2C%20we%20get%20%24x%5E3%2B9x%2B6%24%20is%20a%20polynomial%20in%20%24%5Cmathbb%7BQ%7D%24%20with%20root%20%24%5Csqrt%5B3%5D%7B3%7D-%5Csqrt%5B3%5D%7B9%7D%24.%20It%20does%20not%20have%20rational%20root%20so%20it%20is%20irreducible.%20Thus%20%24x%5E3%2B9x%2B6%24%20is%20the%20minimal%20polynomial%20we%20want.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Exercise%206%0A%0A%20%20%20%20**Prove%20that%20%24%5B%5Coverline%7B%5Cmathbb%7BQ%7D%7D(%5Cpi)%3A%5Coverline%7B%5Cmathbb%7BQ%7D%7D%5D%24%20is%20infinite**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20Suppose%20that%20%24%5B%5Coverline%7B%5Cmathbb%7BQ%7D%7D(%5Cpi)%3A%5Coverline%7B%5Cmathbb%7BQ%7D%7D%5D%20%3D%20d%24.%20By%20Theorem%20373%2C%20it%20means%20that%20there%20is%20a%20polynomial%20%24a_0%20%2B%20a_1x%5E1%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20a_dx%5Ed%24%20with%20%24a_i%20%5Cin%20%5Coverline%7B%5Cmathbb%7BQ%7D%7D%24%20and%20%24a_0%20%2B%20a_1%5Cpi%5E1%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20a_d%5Cpi%5Ed%20%3D%200%24.%0A%0A%20%20%20%20Since%20%24a_i%20%5Cin%20%5Coverline%7B%5Cmathbb%7BQ%7D%7D%24%2C%20%24a_i%24%20is%20algebraic%20over%20%24%5Cmathbb%7BQ%7D%24%2C%20it%20follows%20that%20%24%5Cpi%24%20is%20algebraic%20over%20%24%5Cmathbb%7BQ%7D(a_0%2C%5Cdots%2Ca_d)%24.%20But%20then%20%24%5B%5Cmathbb%7BQ%7D(%5Cpi%2Ca_0%2C%5Cdots%2Ca_d)%3A%5Cmathbb%7BQ%7D%5D%24%2C%20which%20equals%20to%20%24%5B%5Cmathbb%7BQ%7D(%5Cpi%2Ca_0%2C%5Cdots%2Ca_d)%3A%5Cmathbb%7BQ%7D(a_0%2C%5Cdots%2Ca_d)%5D%5B%5Cmathbb%7BQ%7D(a_0%2C%5Cdots%2Ca_d)%3A%5Cmathbb%7BQ%7D%5D%24%2C%20is%20finite%2C%20thus%20%24%5Cpi%24%20is%20algebraic%20over%20%24%5Cmathbb%7BQ%7D%24%2C%20which%20is%20a%20contradiction.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Exercise%208%0A%0A%20%20%20%20**Prove%20that%20there%20are%20%24p(p-1)%2F2%24%20monic%20irreducible%20quadratic%20polynomials%20in%20%24%5Cmathbb%7BZ%7D_p%5Bx%5D%24**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20For%20each%20%241%3Cp%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BN%7D%24%2C%20there%20are%20%24p%5Ccdot%20p%24%20many%20distinct%20monic%20quadratic%20polynomials%20in%20total.%20So%20it%20is%20the%20same%20to%20show%20there%20are%20%24p%5E2%20-%20p(p-1)%2F2%20%3D%20p(p%2B1)%2F2%24%20reducible%20quadratic%20polynomials.%0A%0A%20%20%20%20For%20each%20%24p%24%2C%20clearly%20%24x%2Bc%2C%200%20%5Cle%20c%20%3C%20p%2C%20c%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BZ%7D%24%20are%20the%20only%20(irreducible)%20monic%20polynomial%20with%20degree%20%241%24.%20If%20a%20monic%20quadratic%20polynomial%20may%20be%20factorized%2C%20it%20must%20be%20factored%20into%20two%20monic%20degree%20%241%24%20polynomials.%20But%20there%20are%20exactly%20%241%2B2%2B%5Cdots%2Bp%20%3D%20p(1%2Bp)%2F2%24%20distinct%20ways%20to%20combine%20the%20monic%20degree%20%241%24%20polynomials.%0A%0A%20%20%20%20For%20example%20in%20%24%5Cmathbb%7BZ%7D_3%24%2C%20%24x%2B0%2C%20x%2B1%2C%20x%2B2%24%20are%20the%20only%20monic%20degree%20%241%24%20polynomials%2C%20thus%20the%20possible%20monic%20reducible%20quadratic%20polynomials%20are%20%24(x%2B0)(x%2B0)%24%2C%20%24(x%2B0)(x%2B1)%24%2C%20%24(x%2B0)(x%2B2)%24%2C%20%24(x%2B1)(x%2B1)%24%2C%20%24(x%2B1)(x%2B2)%24%2C%20and%20%24(x%2B2)(x%2B2)%24.%20There%20are%20%243%2B2%2B1%24%20of%20them.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Spring%20Semester%20Homework%202%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Section%208.9%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Exercise%201%0A%0A%20%20%20%20**In%20%24GL_2(%5Cmathbb%7BR%7D)%24%2C%20what%20is%20the%20period%20of%20the%20element%20%24a%20%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%201%261%5C%5C-1%260%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%24**%3F%0A%0A%20%20%20%20Solution%0A%0A%20%20%20%20Calculate%20that%3A%20%24a%5E1%20%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%201%261%5C%5C-1%260%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%24%3B%20%24a%5E2%20%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%200%261%5C%5C-1%26-1%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%24%3B%20%24a%5E3%20%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20-1%260%5C%5C0%26-1%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20And%20now%20it%20is%20clear%20we%20would%20get%20%24a%5E6%20%3D%20I%24%20being%20the%20identity%2C%20and%20we%20would%20not%20get%20it%20earlier%20(%244%2C5%24%20not%20divisor%20of%20%246%24)%20thus%20period%20is%20%246%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Exercise%202%0A%0A%20%20%20%20**Is%20the%20multiplicative%20group%20of%20non-zero%20real%20numbers%20isomorphic%20to%20the%20additive%20group%20of%20all%20real%20numbers**%3F%0A%0A%20%20%20%20Solution%0A%0A%20%20%20%20Let%20%24f%24%20be%20a%20group%20homomorphism%20between%20%24G%20%3D%20(%5Cmathbb%7BR%7D-%5Clbrace%200%20%5Crbrace%2C%5Ctimes)%24%20and%20%24H%20%3D%20(%5Cmathbb%7BR%7D%2C%20%2B)%24.%20We%20know%20that%20%24f%24%20maps%20identity%20to%20identity%2C%20so%20%24f(1)%20%3D%200%24%2C%20but%20by%20definition%20of%20a%20homomorphism%2C%20%24f(ab)%20%3D%20f(a)%2Bf(b)%24%2C%20and%20we%20have%20%24-1%5Ccdot%20-1%20%3D%201%20%5Cimplies%20f(-1)%2Bf(-1)%20%3D%20f(-1%5Ccdot%20-1)%20%3D%20f(1)%20%3D%200%24%2C%20but%20then%20%24f%24%20is%20not%20injective%2C%20so%20there%20is%20no%20%24f%24%20being%20isomorphism.%20Indeed%2C%20however%2C%20the%20multiplicative%20group%20of%20positive%20real%20numbers%20is%20isomorphic%20to%20the%20additive%20group%20of%20all%20real%20numbers.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Exercise%205%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24x%2Cy%24%20be%20two%20group%20elements%20such%20that%20%24x%5E%7B2018%7D%20%3D%20y%5E%7B2019%7D%24%20and%20%24xyx%3Dyxy%24%2C%20prove%20that%20%24x%20%3D%20y%20%3D%20e%24**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20%24xyx%20%3D%20yxy%24%2C%20multiple%20both%20side%20%24y%5E%7B-1%7Dx%5E%7B-1%7D%24%20to%20the%20right%20we%20have%3A%0A%0A%20%20%20%20%24xyxy%5E%7B-1%7Dx%5E%7B-1%7D%20%3D%20y%24%20(%24*%24).%0A%0A%20%20%20%20Take%20square%20of%20(%24*%24)%20we%20have%20%24y%5E2%20%3D%20xyxy%5E%7B-1%7Dx%5E%7B-1%7Dxyxy%5E%7B-1%7Dx%5E%7B-1%7D%20%3D%20xyx%5E2y%5E%7B-1%7Dx%5E%7B-1%7D%24%3B%0A%0A%20%20%20%20Take%20cube%20of%20(%24*%24)%20we%20have%20%24y%5E3%20%3D%20xyx%5E2y%5E%7B-1%7Dx%5E%7B-1%7Dxyxy%5E%7B-1%7Dx%5E%7B-1%7D%20%3D%20xyx%5E3y%5E%7B-1%7Dx%5E%7B-1%7D%24%3B%0A%0A%20%20%20%20Similarly%20we%20can%20see%20%24y%5E%7B2019%7D%20%3D%20x%5E%7B2018%7D%20%3D%20xyx%5E%7B2019%7Dy%5E%7B-1%7Dx%5E%7B-1%7D%24%2C%20thus%20%24x%5E%7B-1%7Dx%5E%7B2018%7Dx%20%3D%20x%5E%7B2018%7D%20%3D%20y%5E%7B2019%7D%20%3D%20yx%5E%7B2019%7Dy%5E%7B-1%7D%24%2C%20similarly%20%24y%5E%7B-1%7Dy%5E%7B2019%7Dy%20%3D%20y%5E%7B2019%7D%20%3D%20x%5E%7B2019%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20But%20then%20%24y%5E%7B2019%7D%20%3D%20x%5E%7B2018%7Dx%20%3D%20y%5E%7B2019%7Dx%24%20thus%20%24x%20%3D%20e%24.%0A%0A%20%20%20%20Plug%20into%20%24xyx%3Dyxy%24%20we%20have%20%24y%20%3D%20yy%24%20thus%20%24y%20%3D%20e%24%20as%20well.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Exercise%2010%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24G%24%20be%20a%20group%20where%20%24x%5E2%20%3D%20e%24%20for%20all%20%24x%20%5Cin%20G%24%2C%20prove%20that%20%24G%24%20is%20abelian**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20For%20any%20%24x%2C%20y%24%20in%20%24G%24%2C%20since%20%24G%24%20is%20a%20group%2C%20clearly%20%24xy%20%5Cin%20G%24%2C%20thus%20%24(xy)(xy)%20%3D%20e%24%20by%20construction.%20Which%20means%20%24xy%24%20is%20the%20inverse%20of%20%24xy%24.%0A%0A%20%20%20%20On%20the%20other%20hand%2C%20consider%20%24(xy)(yx)%20%3D%20x(yy)x%20%3D%20xx%20%3D%20e%24%2C%20thus%20%24yx%24%20is%20the%20inverse%20of%20%24xy%24%20as%20well.%0A%0A%20%20%20%20We%20know%20in%20a%20group%2C%20inverse%20is%20unique%2C%20thus%20%24xy%20%3D%20yx%24%2C%20i.e.%20%24G%24%20is%20abelian.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Exercise%2011%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24G%24%20be%20a%20group%20with%20%242p%24%20elements%20with%20%24p%24%20prime%2C%20prove%20that%20%24G%24%20contains%20a%20subgroup%20with%20%2413%24%20elements**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20By%20Cauchy%2C%20there%20exists%20%24g%20%5Cin%20G%24%20with%20%24%5Cpi(g)%20%3D%20p%24%2C%20now%20%24%5Clangle%20g%20%5Crangle%24%20is%20a%20subgroup%20of%20%24G%24%20and%20has%20exactly%20%24p%24%20elements.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A