Abstract Algebra Exams

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.17.6%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20nav_menu%20%3D%20mo.nav_menu(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2Findex.html%22%3A%20f%22%7Bmo.icon('lucide%3Ahome')%7D%20Home%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20orientation%3D%22vertical%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20nav_menu%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Fall%20Semester%20Midterm%20Exam%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%201%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24%5Calpha%20%3D%20%5Csqrt%7B6%2B%5Csqrt%7B11%7D%7D%24%20and%20%24L%20%3D%20%5Cmathbb%7BQ%7D%5B%5Calpha%5D%24.%20The%20minimal%20polynomial%20of%20%24%5Calpha%24%20is%20%24p(x)%20%3D%20x%5E4-12x%5E2%2B25%24**%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20**Explain%20why%20the%20inclusion%20%24%5Cmathbb%7BQ%7D%5B%5Csqrt%7B11%7D%5D%20%5Csubset%20L%24%20is%20strict**%3B%0A%20%20%20%202.%20**Show%20that%20%24%5Cbeta%20%3D%20%5Csqrt%7B6-%5Csqrt%7B11%7D%7D%24%20lies%20in%20%24L%24%20and%20give%20its%20expression%20in%20the%20basis%20%24%5Clbrace%201%2C%20%5Calpha%2C%20%5Calpha%5E2%2C%5Calpha%5E3%5Crbrace%24**%3B%0A%20%20%20%203.%20**%24L%24%20is%20Galois%20over%20%24%5Cmathbb%7BQ%7D%24.%20Explain%20why%20and%20determine%20its%20Galois%20group%20%24G%24.%20Is%20%24G%24%20cyclic**%3F%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%201.%20If%20not%2C%20then%20there%20is%20some%20%24a%2Cb%5Cin%20%5Cmathbb%7BQ%7D%24%20so%20that%20%24a%2Bb%5Csqrt%7B11%7D%20%3D%20%5Csqrt%7B6%2B%5Csqrt%7B11%7D%7D%24%20so%20that%20%24a%5E2%2Bb%5E2%5Ccdot%2011%20%2B%202ab%5Csqrt%7B11%7D%20%3D%206%2B%5Csqrt%7B11%7D%24%2C%20but%20those%20%24a%2C%20b%24%20are%20not%20rational%3B%0A%20%20%20%202.%20Factor%20%24p(x)%24%20%24%3D%20(x-%5Csqrt%7B6%2B%5Csqrt%7B11%7D%7D)(x-%5Csqrt%7B6-%5Csqrt%7B11%7D%7D)%24%20%24(x%2B%5Csqrt%7B6%2B%5Csqrt%7B11%7D%7D)(x%2B%5Csqrt%7B6-%5Csqrt%7B11%7D%7D)%24%2C%20result%20follows.%20We%20may%20calculate%20%24%5Calpha%20%5Cbeta%20%3D%205%20%5Cimplies%20%5Cbeta%20%3D%205%5Calpha%5E%7B-1%7D%24%2C%20now%20use%20%24%5Calpha%5E4-12%5Calpha%5E2%2B25%20%3D%200%24%20%24%5Cimplies%20%5Calpha(%5Calpha%5E3-12%5Calpha)%20%3D%20-25%24%20%24%5Cimplies%20%5Calpha%5E%7B-1%7D%20%3D%20(-%5Calpha%5E3%2B12%5Calpha)%2F25%24%2C%20plugin%20and%20get%20the%20expression.%0A%20%20%20%203.%20Because%20it%20is%20the%20splitting%20field%20of%20a%20rational%20polynomial%20in%20%24%5Cmathbb%7BQ%7D%24.%20The%20group%20is%20%24C_2%5E2%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%202%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24%5Calpha%20%3D%202%5E%7B1%2F4%7D%24.%20Claim%3A%20There%20exists%20%24n%24%20such%20that%20%24%5Calpha%24%20belongs%20to%20the%20cyclotomic%20field%20%24%5Cmathbb%7BQ%7D_n%24.%20Is%20this%20claim%20true%20or%20false%3F%20Either%20produce%20some%20appropriate%20%24n%24%20or%20disprove%20its%20existence**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20We%20know%20Galois%20group%20of%20%24%5Cmathbb%7BQ%7D%20%5Csubset%20%5Cmathbb%7BQ%7D_n%24%20is%20abelian%2C%20in%20particular%20every%20subgroup%20of%20the%20Galois%20group%20is%20a%20normal%20subgroup%20and%20the%20corresponding%20intermediate%20field%20extension%20is%20normal.%20If%20%24%5Calpha%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BQ%7D_n%24%20then%20%24%5Cmathbb%7BQ%7D(%5Calpha)%24%20should%20be%20a%20normal%20extension%20of%20%24%5Cmathbb%7BQ%7D%24%2C%20but%20it%20is%20not%3A%20%24x%5E4-2%24%20does%20not%20split%20in%20%24%5Cmathbb%7BQ%7D(%5Calpha)%24%20(because%20we%20will%20need%20the%20complex%20numbers).%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%203%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24E%20%3D%20%5Cmathbb%7BQ%7D_f%24%20be%20the%20splitting%20field%20of%20%24f(x)%20%3D%20x%5E7-5%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BQ%7D%5Bx%5D%24.%20Then%20%24E%24%20is%20a%20composite%20of%20two%20simple%20extensions%20%24L_1%20%3D%20%5Cmathbb%7BQ%7D(5%5E%7B1%2F7%7D)%24%20and%20%24L_2%20%3D%20%5C_%5C_%5C_%5C_%5C_%24**%3F%0A%0A%20%20%20%201.%20**Determine%20%24%5BE%3A%20%5Cmathbb%7BQ%7D%5D%24%20without%20using%20Galois%20theory**%3B%0A%20%20%20%202.%20**Determine%20the%20Galois%20group%20%24G%3DG_f%24.%20What%20subgroups%20of%20%24G%24%20correspond%20to%20%24L_1%24%20and%20%24L_2%24%3F%20Is%20%24G%24%20solvable**%3F%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%201.%20%24L_2%20%3D%20%5Cmathbb%7BQ%7D(e%5E%7B2%5Cpi%20i%2F7%7D)%24%20%24%3D%5Cmathbb%7BQ%7D_7%24%20is%20a%20degree%20%246%24%20extension%2C%20and%20%24L_1%24%20is%20a%20degree%20%247%24%20extension.%20Since%20%246%2C7%24%20are%20coprime%2C%20we%20know%20the%20composition%20is%20a%20degree%20%246%5Ccdot%207%20%3D%2042%24%20extension%3B%0A%20%20%20%202.%20%24L_2%24%20corresponds%20to%20a%20subgroup%20%24C_7%24%20and%20it%20should%20be%20a%20normal%20subgroup%20because%20the%20extension%20is%20normal%3B%20%24L_1%24%20corresponds%20to%20a%20subgroup%20%24C_6%24%20and%20it%20is%20not%20a%20normal%20subgroup.%20%24G_f%20%3D%20C_7%20%5Crtimes%20C_6%20(%3D%20F_7)%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%204%0A%0A%20%20%20%20**Explain%20why%20the%20regular%20%2465%24-gon%20is%20not%20constructible**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20If%20it%20is%2C%20then%20regular%20%2413%24-gon%20should%20be%20constructible%2C%20which%20happens%20if%20and%20only%20if%20%24%5Ccos(2%5Cpi%2F13)%24%20is%20constructible%2C%20but%20%24%5B%5Cmathbb%7BQ%7D(%5Ccos(2%5Cpi%2F13))%3A%5Cmathbb%7BQ%7D%5D%24%20is%20a%20degree%20%246%24%20extension%3A%20this%20degree%20should%20be%20half%20of%20%24%5B%5Cmathbb%7BQ%7D(e%5E%7B2%5Cpi%20i%20%2F13%7D)%3A%5Cmathbb%7BQ%7D%5D%20%3D%20%5B%5Cmathbb%7BQ%7D_%7B13%7D%3A%5Cmathbb%7BQ%7D%5D%20%3D%2012%24.%20Since%20%246%24%20has%20a%20factor%20that%20is%20not%20%242%24%2C%20%2413%24-gon%20is%20not%20constructible.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Spring%20Semester%20Midterm%20Practice%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%201%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24R%24%20be%20a%20ring%20with%20%241%24%2C%20%24M%24%20be%20an%20%24R%24-module%2C%20consider%20an%20ascending%20chain**%20%24%24M_1%20%5Csubsetneq%20M_2%20%5Csubsetneq%20%5Cdots%24%24%20**of%20submodules%20of%20%24M%24%2C%20prove%20the%20union%20is%20a%20submodule%20of%20%24M%24**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20Call%20the%20union%20%24U%24%2C%20we%20need%20to%20show%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20%24x%20%2B%20y%20%5Cin%20U%24%20whenever%20%24x%2C%20y%20%5Cin%20U%24%20so%20that%20it%20maintains%20a%20group%20structure%3B%0A%20%20%20%202.%20%24rx%20%5Cin%20U%24%20whenever%20%24x%20%5Cin%20U%24%20and%20%24r%20%5Cin%20R%24.%0A%0A%20%20%20%20For%201%3A%20if%20%24x%20%2C%20y%20%5Cin%20U%24%20then%20%24x%20%5Cin%20M_n%2C%20y%20%5Cin%20M_m%24%20for%20some%20%24n%2C%20m%24%2C%20WLOG%20%24m%20%5Cge%20n%24%20then%20%24x%20%2Cy%20%5Cin%20M_m%24%2C%20then%20%24x%20%2B%20y%20%5Cin%20M_m%20%5Csubseteq%20U%24.%20For%20%242%24%2C%20%24x%20%5Cin%20M_n%24%20for%20some%20%24n%24%2C%20which%20has%20a%20submodule%20structure.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%202%0A%0A%20%20%20%20**If%20%24M%24%20is%20a%20finite%20abelian%20group%20then%20it%20is%20naturally%20a%20%24%5Cmathbb%7BZ%7D%24-module%2C%20can%20the%20action%20on%20%24M%24%20be%20extended%20so%20that%20%24M%24%20is%20a%20%24%5Cmathbb%7BQ%7D%24-module**%3F%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20The%20answer%20is%20no%2C%20and%20we%20prove%20by%20a%20counter-example.%20Suppose%20%24M%20%3D%20%5Cmathbb%7BZ%7D_2%24%20and%20the%20action%20on%20%24M%24%20is%20extended%20to%20%24%5Cmathbb%7BQ%7D%24%2C%20then%20in%20particular%20for%20any%20%24x%20%5Cin%20M%24%2C%20we%20must%20have%20%24%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Ccdot%20x%20%3D%20y%20%5Cin%20M%24.%20But%20then%20%24%24x%20%3D%201%20%5Ccdot%20x%20%3D%202%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Ccdot%20x%20%3D%202%5Ccdot%20y%20%3D%200.%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%203%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24M%24%20be%20an%20%24R%24-module%2C%20then**%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20**%240m%20%3D%200%24%20for%20all%20%24m%20%5Cin%20M%24**%3B%0A%20%20%20%202.%20**%24r0%20%3D%200%24%20for%20all%20%24r%20%5Cin%20R%24**%3B%0A%20%20%20%203.%20**%24(-1)m%20%3D%20-m%24%20for%20all%20%24m%24**%3B%0A%20%20%20%204.%20**If%20%24rm%20%3D%200%24%20for%20some%20%24r%20%5Cin%20R%24%20and%20non-zero%20%24m%20%5Cin%20M%24%2C%20then%20%24r%24%20does%20not%20have%20a%20left%20inverse**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%201.%20%240m%20%3D%20(0%2B0)m%20%3D%200m%20%2B%200m%20%5Cimplies%200%20%3D%200m%24%3B%0A%20%20%20%202.%20%24r0%20%3D%20r(0%2B0)%20%3D%20r0%20%2B%20r0%20%5Cimplies%200%20%3D%20r0%24%3B%0A%20%20%20%203.%20%24m%20%2B%20(-1)m%20%3D%201m%20%2B%20(-1)m%20%3D%200m%20%3D%200%20%5Cimplies%20(-1)m%20%3D%20-m%24%3B%0A%20%20%20%204.%20Suppose%20%24sr%20%3D%201%24%20for%20some%20%24s%20%5Cin%20R%24.%20%24s(rm)%20%3D%20s0%20%3D%200%24%2C%20but%20LHS%20also%20%24%3D%20(sr)m%20%3D%201m%20%3D%20m%24%2C%20contradicts%20assumption.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%204%0A%0A%20%20%20%201.%20**Let%20%24R%24%20be%20a%20commutative%20ring%20viewed%20as%20an%20%24R%24-module%2C%20then%20any%20two%20distinct%20elements%20of%20%24R%24%20are%20linearly%20dependent**%3B%0A%20%20%20%202.%20**Let%20%24f%3A%20M%20%5Cto%20N%24%20be%20an%20%24R%24-module%20homomorphism%2C%20let%20%24%5Clbrace%20x_1%2C%20%5Cdots%2C%20x_n%20%5Crbrace%24%20be%20a%20subset%20in%20%24M%24.%20Prove%20that%20if%20%24%5Clbrace%20f(x_1)%2C%20%5Cdots%2C%20f(x_n)%20%5Crbrace%24%20is%20linearly%20independent%2C%20then%20the%20set%20%24%5Clbrace%20x_1%2C%5Cdots%2C%20x_n%20%5Crbrace%24%20is%20linearly%20independent**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%201.%20If%20%24x%20%5Cne%20y%20%5Cin%20R%24%2C%20consider%20%24%24(-y)%5Ccdot%20x%20%2B%20x%20%5Ccdot%20y%20%3D%200%2C%24%24%20which%20can%20be%20viewed%20as%20linear%20combination%20of%20%24x%24%20and%20%24y%24.%20Since%20%24x%20%5Cne%20y%24%2C%20at%20least%20one%20of%20them%20is%20non-zero%2C%20which%20implies%20dependence%3B%0A%20%20%20%202.%20Suppose%20%24r_1x_1%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20r_n%20x_n%20%3D%200%24%2C%20then%20%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%200%20%26%20%3D%20f(0)%5C%5C%26%3Df(r_1x_1%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20r_nx_n)%20%5C%5C%20%26%3Dr_1f(x_1)%2B%20%5Cdots%20%2B%20r_nf(x_n)%20%5Cend%7Baligned%7D%24%24%20thus%20%24r_1%20%3D%20%5Cdots%20%3D%20r_n%20%3D%200%24%20because%20%24%5Clbrace%20f(x_1)%2C%20%5Cdots%2C%20f(x_n)%20%5Crbrace%24%20are%20linearly%20independent.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%205%0A%0A%20%20%20%20**An%20%24R%24-module%20%24M%24%20is%20simple%20if%20and%20only%20if%20%24M%24%20is%20isomorphic%20to%20%24R%2FI%24%20where%20%24I%24%20is%20a%20maximal%20ideal%20of%20%24R%24%20as%20an%20%24R%24-module**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20Suppose%20%24I%24%20is%20maximal%20then%20%24R%2FI%24%20is%20a%20field%2C%20and%20a%20field%20only%20has%20two%20ideals%2C%20namely%20%240%24%20and%20itself%2C%20so%20the%20only%20ideal%20of%20%24R%2FI%24%20are%20%240%24%20and%20%24R%2FI%24%2C%20which%20means%20the%20only%20submodule%20of%20%24M%24%20is%20%240%24%20and%20%24M%24%2C%20which%20means%20%24M%24%20is%20simple.%0A%0A%20%20%20%20Suppose%20%24M%24%20is%20simple.%20By%20definition%20%24M%24%20is%20not%20trivial%2C%20i.e.%20there%20exists%20some%20non-zero%20%24m%20%5Cin%20M%24.%20Consider%20%24(m)%24%20the%20cyclic%20module%20generated%20by%20%24m%24.%20Since%20%24M%24%20is%20simple%20we%20must%20have%20%24M%20%3D%20(m)%20%3D%20Rm%24.%20Define%20a%20map%20%24%5Cvarphi%3A%20R%20%5Cto%20M%24%20by%20%24r%20%5Cmapsto%20rm%24%2C%20then%20%24%5Cvarphi%24%20is%20an%20%24R%24-module%20homomorphism%20and%20it%20is%20surjective%2C%20thus%20%24M%20%5Ccong%20R%2FI%24%20where%20%24I%20%3D%20%5Cker%7Bf%7D%24.%20We%20need%20to%20show%20%24I%24%20is%20a%20maximal%20ideal.%20Suppose%20%24I%20%5Csubseteq%20J%20%5Csubseteq%20R%24%2C%20then%20by%20isomorphism%20theorem%2C%20%24J%2FI%24%20is%20an%20ideal%20of%20%24R%2FI%20%5Ccong%20M%24%2C%20thus%20%24J%2FI%24%20is%20a%20submodule.%20Since%20%24M%24%20is%20simple%2C%20%24J%2FI%20%3D%200%24%20or%20%24J%2FI%20%3D%20M%24%2C%20but%20this%20means%20%24J%20%3D%200%24%20or%20%24J%20%3D%20R%24%2C%20which%20proves%20maximality%20of%20%24I%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%206%0A%0A%20%20%20%20**Determine%20the%20characters%20of%20dihedral%20group**%20%24%24D_%7B2n%7D%20%3D%20%5Clangle%20r%2Cs%20%7C%20s%5E2%20%3D%20r%5En%20%3D%201%2C%20srs%20%3D%20r%5E%7B-1%7D%20%5Crangle.%24%24%0A%0A%20%20%20%20Solution%0A%0A%20%20%20%201.%20If%20%24n%24%20is%20even.%20There%20are%20four%20obvious%20representation%20sending%20%24r%2C%20s%24%20to%20%24%5Cpm%201%24%2C%20they%20corresponds%20to%20four%20linear%20characters.%20Now%20let%20%24w%20%3D%20e%5E%7B2%20i%20%5Cpi%2Fn%7D%24%20and%20%24h%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BZ%7D%24%2C%20we%20may%20define%20%24%5Crho(r)%20%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20w%5Eh%260%5C%5C0%26w%5E%7B-h%7D%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%24%20and%20%24%5Crho(s)%20%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%200%261%5C%5C1%260%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%24%2C%20there%20are%20%24%5Cfrac%7Bn%7D%7B2%7D-1%24%20of%20such%20representation%20and%20it's%20not%20too%20hard%20to%20check%20they%20are%20distinct%20irreducible%20dimension%20%242%24%20characters.%20Since%20%24%7C%20D_%7B2n%7D%20%7C%20%3D%202n%20%3D%204%20%2B%20(%5Cfrac%7Bn%7D%7B2%7D-1)%5Ccdot%204%24%2C%20we%20are%20done%3B%0A%20%20%20%202.%20If%20%24n%24%20is%20odd%2C%20we%20have%20two%20linear%20character%20sending%20%24s%24%20to%20%24%5Cpm%201%24%20but%20%24r%24%20to%20%241%24%2C%20and%20there%20are%20%24%5Cfrac%7Bn-1%7D%7B2%7D%24%20of%20above%20%24%5Crho%24's%2C%20dimension%20match%2C%20and%20again%20we%20are%20done.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%207%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24N%24%20be%20a%20normal%20subgroup%20of%20finite%20group%20%24G%24%2C%20show%20that**%20%24%24%7C%20C_%7BG%2FN%7D(xN)%20%7C%20%5Cle%20%7C%20C_G(x)%20%7C.%24%24%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20If%20%24g%24%20is%20in%20the%20conjugacy%20class%20of%20%24x%24%2C%20i.e.%20%24g%20%3D%20kxk%5E%7B-1%7D%24%2C%20then%20%24gN%24%20is%20in%20conjugacy%20class%20of%20%24xN%24%2C%20i.e.%20%24%7C%20%5Ctext%7BCl%7D(x)%20%7C%20%5Cle%20%7C%20N%20%5C%7C%20%5Ctext%7BCl%7D(xN)%20%7C%24.%20So%20%24%24%7C%20G%20%7C%2F%7C%20%5Ctext%7BCl%7D(x)%20%7C%20%5Cge%20%7C%20G%20%7C%20%2F%20(%7C%20N%20%5C%7C%20%5Ctext%7BCl%7D(xN)%20%7C)%24%24%20which%20by%20orbit-stabilizer%20theorem%20is%20the%20same%20as%20%24%24%7C%20C_%7BG%2FN%7D(xN)%20%7C%20%5Cle%20%7C%20C_G(x)%20%7C.%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%208%0A%0A%20%20%20%20**See%20character%20table%20as%20a%20matrix%2C%20what%20is%20its%20determinant**%3F%0A%0A%20%20%20%20Solution%0A%0A%20%20%20%20Call%20the%20matrix%20%24A%24%20and%20we%20have%20%24(A)_%7Bij%7D%20%3D%20%5Cchi_i(g_j)%24.%20Let%20%24A%5EH%24%20be%20the%20conjugate%20transpose%2C%20call%20%24B%20%3D%20A%5EH%20A%24%2C%20then%20%24%24(B)_%7Bij%7D%20%3D%20%5Csum_k%20A_%7Bik%7D%5EHA_%7Bkj%7D%20%3D%20%5Csum_k%20%5Coverline%7BA_%7Bki%7D%7DA_%7Bkj%7D%20%3D%20%5Csum_k%20%5Coverline%7B%5Cchi_k(g_i)%7D%5Cchi_k(g_j)%20%3D%20%7C%20C_G(g_j)%7C%20%5Cdelta_%7Bij%7D%24%24%20by%20the%20(second)%20orthogonality%20relation%2C%20so%20%24%5Cdet%7BB%7D%20%3D%20%5Cprod_j%20%7C%20C_G(g_j)%20%7C%24%20%24%3D%5Cdet%7BA%5EH%7D%5Cdet%7BA%7D%24.%20Consider%20the%20permutation%20map%20on%20conjugacy%20classes%20%24%5Bg%5D%20%5Cmapsto%20%5Bg%5E%7B-1%7D%5D%24%2C%20it's%20a%20composition%20of%20flips%20and%20fixes%20conjugacy%20classes%20invariant%20under%20taking%20inverse%2C%20take%20%24%5Ctilde%7BA%7D%24%20be%20the%20matrix%20got%20from%20%24A%24%20under%20this%20map%2C%20since%20%24%5Cchi(g%5E%7B-1%7D)%20%3D%20%5Coverline%7B%5Cchi(g)%7D%24%2C%20we%20get%20%24A%5EH%20%3D%20%5Ctilde%7BA%7D%5ET%24%2C%20so%20%24%5Cdet%7BA%5EH%7D%20%3D%20(-1)%5El%5Cdet%7BA%7D%24%20if%20%24l%24%20is%20the%20number%20of%20flips.%20So%20%24(-1)%5El(%5Cdet%7BA%7D)%5E2%20%3D%20%5Cdet%7BB%7D%24%20thus%20%24%24%5Cdet%7BA%7D%20%3D%20%5Cpm%20i%5El%20%5Csqrt%7B%5Cprod_j%20%7C%20C_G(g_j)%20%7C%7D.%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%209%0A%0A%20%20%20%20**Sum%20of%20elements%20in%20any%20row%20of%20character%20table%20is%20a%20non-negative%20integer**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20Let%20%24%5Cchi%24%20be%20an%20irreducible%20character%2C%20and%20let%20%24%5Cchi'%24%20be%20a%20character%2C%20by%20definition%20we%20get%20%24%24%5Clangle%20%5Cchi%2C%20%5Cchi'%20%5Crangle%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%7C%20G%20%7C%7D%5Csum_g%20%5Cchi(g)%20%5Coverline%7B%5Cchi'(g)%7D%20%3D%20%5Csum_i%20%5Cfrac%7B1%7D%7BC_i%7D%5Cchi(g_i)%5Coverline%7B%5Cchi'(g_i)%7D%24%24%20with%20our%20usual%20notation.%20We%20want%20to%20find%20some%20particular%20character%20%24%5Cchi'%24%20such%20that%20%24%5Cchi'(g_i)%20%3D%20C_i%24%20then%20we%20are%20done.%20Let%20%24G%24%20act%20on%20%24G%24%20by%20conjugation%20%24g(x)%20%3D%20gxg%5E%7B-1%7D%24%2C%20then%20regard%20it%20as%20the%20permutation%20representation%20of%20%24G%24%20we%20get%20(call%20the%20character%20%24%5Cchi'%24)%20(i.e.%20we%20count%20fixed%20points)%20%24%24%5Cchi'(g_i)%20%3D%20tr(%5Crho(g_i))%20%3D%20%7C%20%5Clbrace%20x%20%5Cin%20X%3A%20x%20%3D%20g_i(x)%20%3D%20g_ixg_i%5E%7B-1%7D%20%5Crbrace%20%7C%20%3D%20%7C%20G_%7Bg_i%7D%20%7C%24%24%20where%20%24G_%7Bg_i%7D%24%20is%20the%20stabilizer%20of%20%24g_i%24%20under%20conjugation%2C%20which%20by%20orbit-stabilizer%20theorem%20%24%7C%20G_%7Bg_i%7D%20%7C%20%3D%20%20C_i%24%2C%20and%20we%20are%20done.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Exercise%2010%0A%0A%20%20%20%20**Irreducible%20characters%20are%20linearly%20independent**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20Decompose%20%24%5Cmathbb%7BC%7DG%20%3D%20M_%7Bf_1%7D(%5Cmathbb%7BC%7D)%20%5Coplus%20%5Cdots%20%5Coplus%20M_%7Bf_r%7D(%5Cmathbb%7BC%7D)%24%20and%20decompose%20%24I%20%3D%20e_1%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20e_r%24%2C%20then%20%24%5Cchi_i(e_i)%20%3D%20f_i%24%20and%20%24%5Cchi_j(e_i)%20%3D%200%24%20if%20%24i%20%5Cne%20j%24.%20If%20%24%5Clambda_1%2C%5Cdots%2C%20%5Clambda_r%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BC%7D%24%20so%20that%20%24%5Csum%20%5Clambda_i%20%5Cchi_i%20%3D%200%24%2C%20then%20%240%20%3D%20%5Csum%20%5Clambda_i%20%5Cchi_i(e_j)%20%3D%20%5Clambda_j%20f_j%24%20for%20each%20%24j%24%20so%20%24%5Clambda_j%20%3D%200%24%20for%20each%20%24j%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Spring%20Semester%20Midterm%20Exam%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%201%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24G%24%20be%20a%20finite%20group%20and%20%24%5Crho%3A%20G%20%5Cto%20GL(2%2C%5Cmathbb%7BC%7D)%24%20be%20a%20representation%20of%20%24G%24.%20Suppose%20that%20there%20are%20elements%20%24g%2C%20h%20%5Cin%20G%24%20such%20that%20%24%5Crho(g)%24%20and%20%24%5Crho(h)%24%20do%20not%20commute%2C%20show%20that%20%24%5Crho%24%20is%20irreducible**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20Two%20diagonalized%20matrices%20always%20commute%2C%20thus%20%24%5Crho(g)%24%20and%20%24%5Crho(h)%24%20do%20not%20commute%20implies%20they%20are%20not%20simultaneously%20diagonalizable%2C%20thus%20%24%5Crho%24%20is%20irreducible.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%202%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24V%24%20be%20non-trivial%20%24%5Cmathbb%7BC%7DG%24-module%20and%20%24%5Cchi%20%3D%20%5Cchi_V%24%20be%20the%20corresponding%20character%20of%20%24G%24.%20Suppose%20%24%5Cchi(g)%20%5Cge%200%24%20for%20all%20%24g%20%5Cin%20G%24.%20Prove%20that%20%24V%24%20is%20reducible**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20Consider%20%24(%5Cchi%2C%20%5Cchi_1)%24%20where%20%24%5Cchi_1%24%20is%20the%20trivial%20character%20and%20suppose%20%24V%24%20is%20irreducible%2C%20then%20by%20the%20orthonormal%20relation%20either%20%24(%5Cchi%2C%5Cchi_1)%20%3D%200%24%20(this%20won't%20happen%20because%20%24%5Cchi_1%20%5Cequiv%201%24%20and%20%24%5Cchi(1)%20%3E%200%24%2C%20%24%5Cchi(g)%20%5Cge%200%24%20for%20other%20%24g%20%5Cin%20G%24%20thus%20%24(%5Cchi%2C%5Cchi_1)%3E0%24)%20or%20%24%5Cchi%20%3D%20%5Cchi_1%24%20(not%20the%20case%20by%20assumption).%20Since%20both%20are%20not%20the%20case%2C%20we%20have%20a%20contradiction.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%203%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24G%20%3D%20F_%7B5%2C4%7D%24%20where%20%24F_%7B5%2C4%7D%20%3D%20%5Clangle%20a%2Cb%20%7C%20a%5E5%20%3D%20b%5E4%20%3D%201%2C%20b%5E%7B-1%7Dab%20%3D%20a%5E2%20%5Crangle%24.%20Then%20its%20commutator%20subgroup%20%24G'%20%3D%24**%3F%0A%0A%20%20%20%201.%20**Describe%20the%20conjugacy%20classes%20of%20%24G%24%20and%20construct%20its%20character%20table**%3B%0A%20%20%20%202.%20**Realize%20%24G%24%20as%20a%20subgroup%20of%20%24S_5%24.%20What%20is%20the%20character%20of%20the%20corresponding%20permutation%20representation%2C%20and%20how%20does%20it%20decompose%20into%20irreducible%20characters**%3F%0A%0A%20%20%20%20Solution%0A%0A%20%20%20%20By%20definition%20of%20commutator%20subgroup%2C%20it%20must%20contain%20%24a%5E%7B-1%7Db%5E%7B-1%7Dab%20%3D%20a%24.%20Since%20%24G%2F%5Clangle%20a%20%5Crangle%20%3D%20C_4%24%20is%20abelian%2C%20the%20commutator%20subgroup%20must%20be%20%24%5Clangle%20a%20%5Crangle%20%3D%20C_5%24%20and%20no%20larger.%0A%0A%20%20%20%20%241%24%20is%20in%20its%20only%20conjugacy%20class.%20%24a%20%2C%20a%5E2%2C%20a%5E4%2C%20a%5E8%20%3D%20a%5E3%24%20are%20in%20a%20conjugacy%20class%20(each%20time%20by%20%24b%24).%20There%20are%20%243%24%20other%20classes%2C%20with%20representatives%20%24b%2C%20b%5E2%2C%20b%5E3%24%20respectively.%20There%20are%20%244%24%20relatively%20obvious%20character%2Firreducible%20representations%2C%20namely%20sending%20%24a%24%20to%20%241%24%20and%20%24b%24%20to%20the%20four%20forth%20roots%20of%20unity.%20Since%20there%20are%20%245%24%20conjugacy%20classes%2C%20there%20are%20%245%24%20irreducible%20characters%2C%20from%20dimension%20the%20last%20one%20has%20%24%5Cchi_5(1)%20%3D%204%24%2C%20and%20we%20can%20use%20orthonormal%20relations%20to%20get%20the%20rest%3A%20%24%24%5Cbegin%7Barray%7D%7B%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C%7D%20%5Chline%20%26%201%26a%26b%26b%5E2%26b%5E3%5C%5C%5Chline%20C_i%20%26%2020%20%26%205%20%26%204%20%26%204%20%264%20%5C%5C%5Chline%20%5Cchi_1%20%26%201%20%26%201%20%26%201%20%26%201%20%26%201%20%5C%5C%5Chline%20%5Cchi_2%20%26%201%20%26%201%20%26%20-1%20%26%201%20%26%20-1%20%5C%5C%5Chline%20%5Cchi_3%20%26%201%20%26%201%20%26%20i%20%26%20-1%20%26%20-i%20%5C%5C%5Chline%20%5Cchi_4%20%26%201%20%26%201%20%26%20-i%20%26%20-1%20%26%20i%20%5C%5C%5Chline%20%5Cchi_5%20%26%204%20%26%20-1%20%26%200%20%26%200%20%26%200%20%5C%5C%5Chline%5Cend%7Barray%7D%24%24%20For%20the%20second%20part%2C%20first%20we%20need%20to%20realize%20%24G%24%20as%20a%20subgroup%20of%20%24S_5%24%2C%20i.e.%20we%20need%20to%20find%20permutations%20%24a%2C%20b%24%20satisfies%20the%20relators.%20%24a%20%3D%20(12345)%24%20is%20easy%3B%20calculate%20%24a%5E2%20%3D%20(13524)%24%20then%20we%20can%20see%20%24b%20%3D%20(2354)%24%20fits%20that%20%24(4532)(12345)(2354)%20%3D%20(13524)%24.%20Now%20the%20character%20of%20permutation%20representation%20is%20easy%20to%20calculate%2C%20we%20just%20need%20to%20count%20fixed%20points%2C%20i.e.%20elements%20not%20appear%20in%20the%20permutation.%20So%20%24%5Cchi_G%20%3D%20(5%2C%200%2C1%2C1%2C1)%24.%20It's%20not%20hard%20to%20see%20%24%5Cchi_G%20%3D%20%5Cchi_1%20%2B%20%5Cchi_5%24%20in%20the%20above%20table.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%204%0A%0A%20%20%20%201.%20**Let%20%24G%24%20be%20a%20non-abelian%20group%20of%20order%20%2416%24.%20Show%20that%20%24G%24%20has%20either%20%247%24%20or%20%2410%24%20conjugacy%20classes**%3B%0A%20%20%20%202.%20**Let%20%24G%20%3D%20%5Clangle%20a%2Cb%20%7C%20a%5E8%20%3D%20b%5E2%20%3D%201%2C%20b%5E%7B-1%7Dab%20%3D%20a%5E3%20%5Crangle%24.%20Note%20that%20%24Z(G)%20%3D%20%5Clbrace%201%2C%20a%5E4%20%5Crbrace%24%20and%20%24G%2FZ(G)%20%5Ccong%20D_4%24.%20%24G%24%20has%20%247%24%20conjugacy%20classes%20with%20representative%20%241%2C%20a%5E4%2C%20a%5E2%2C%20a%2C%20a%5E%7B-1%7D%2C%20b%24%20and%20%24ab%24%20respectively.%20Construct%20the%20character%20table%20of%20%24G%24**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20%24G%24%20is%20not%20abelian%2C%20so%20there%20must%20be%20some%20conjugacy%20class%20with%20elements%20not%20%241%24.%20By%20properties%20of%20character%2C%20we%20know%20the%20order%20of%20each%20conjugacy%20class%20can%20be%20only%20%241%24%20or%20%242%24.%20Thus%20there%20are%20three%20choices%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20%2412%24%20classes%20of%20%241%24%20element%2C%20%241%24%20class%20of%20%242%24%20elements%3B%0A%20%20%20%202.%20%248%24%20classes%20of%20%241%24%20element%2C%20%242%24%20classes%20of%20%242%24%20elements%3B%0A%20%20%20%203.%20%244%24%20classes%20of%20%241%24%20element%2C%20%243%24%20classes%20of%20%242%24%20elements.%0A%0A%20%20%20%20Since%20an%20element%20is%20in%20the%20center%20of%20a%20group%20if%20and%20only%20if%20it%20has%20singleton%20conjugacy%20class%2C%20and%20that%20center%20is%20always%20a%20subgroup%2C%20option%201%20is%20not%20really%20viable%20because%20%2412%20%5Cnmid%2016%24.%20Thus%20we%20have%20the%20other%20two%20choices%2C%20which%20leaves%20with%20%2410%24%20or%20%247%24%20conjugacy%20classes.%0A%0A%20%20%20%20Start%20with%20basic%20information%3A%20%24%24%5Cbegin%7Barray%7D%7B%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C%7D%20%5Chline%20%26%201%26a%5E4%26a%5E2%26a%26a%5E%7B-1%7D%26b%26ab%5C%5C%5Chline%20C_i%20%26%2016%20%26%2016%20%26%208%20%26%208%20%26%208%20%26%204%20%26%204%5C%5C%5Chline%20%5Cchi_1%20%26%201%20%26%201%20%26%201%20%26%201%20%26%201%20%26%201%20%26%201%20%5C%5C%5Chline%20%5Cchi_2%20%26%201%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%5C%5C%5Chline%20%5Cchi_3%20%26%201%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%5C%5C%5Chline%20%5Cchi_4%20%26%201%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%5C%5C%5Chline%20%5Cchi_5%20%26%202%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%5C%5C%5Chline%20%5Cchi_6%20%26%202%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%5C%5C%5Chline%20%5Cchi_7%20%26%202%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%26%20%20%5C%5C%5Chline%5Cend%7Barray%7D%24%24%20The%20four%20linear%20ones%20are%20easy%20to%20get%2C%20%24b%5E2%20%3D%201%20%5Cimplies%20b%20%3D%20%5Cpm%201%24%2C%20so%20that%20%24a%24%20is%20%248%24-th%20root%20of%20%241%24%20such%20that%20%24a%20%3D%20a%5E3%24%2C%20so%20%24a%3D%20%5Cpm%201%24%20also%2C%20so%20we%20can%20fill%20in%20the%20others.%20For%20the%20other%20%243%24%2C%20realize%20%24b%20%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%200%20%26%201%20%5C%5C%201%26%200%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%24%20and%20%24a%24%20is%20of%20form%20%24%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20e%5E%7B2%20k%20%5Cpi%20i%2F8%7D%20%26%200%20%5C%5C%200%20%26%20e%5E%7B2%20l%20%5Cpi%20i%20%2F8%7D%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%24%20such%20that%20%243k%20%5Cequiv%20l%20%5Cpmod%7B8%7D%24%20and%20%243l%20%5Cequiv%20k%20%5Cpmod%7B8%7D%24%20would%20give%20%243%24%20irreducible%20representations%20(because%20%24a%2C%20b%24%20are%20not%20simultaneously%20diagonalizable).%20So%20we%20can%20have%20%24k%20%3D%201%2C%20l%20%3D%203%24%3B%20%24k%20%3D%202%2C%20l%20%3D%206%24%3B%20%24k%20%3D%205%2C%20l%20%3D%207%24%20(the%20others%20are%20isomorphic%20to%20these%20three%2C%20because%20they%20have%20the%20same%20trace)%2C%20do%20some%20calculations%20and%20we%20fill%20the%20rest%20of%20the%20table.%20%24%24%5Cbegin%7Barray%7D%7B%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7Cc%7C%7D%20%5Chline%20%26%201%26%20a%5E4%20%26a%5E2%20%26a%20%26a%5E%7B-1%7D%20%26%20b%20%26ab%5C%5C%5Chline%20C_i%20%26%2016%20%26%2016%20%26%208%20%26%208%20%26%208%20%26%204%20%26%204%5C%5C%5Chline%20%5Cchi_1%20%26%201%20%26%201%20%26%201%20%26%201%20%26%201%20%26%201%20%26%201%20%5C%5C%5Chline%20%5Cchi_2%20%26%201%20%26%201%20%26%201%20%26%20-1%20%26%20-1%20%26%201%20%26%20-1%20%5C%5C%5Chline%20%5Cchi_3%20%26%201%20%26%201%20%26%201%20%26%201%20%26%201%20%26%20-1%20%26%20-1%20%5C%5C%5Chline%20%5Cchi_4%20%26%201%20%26%201%20%26%201%20%26%20-1%20%26%20-1%20%26%20-1%20%26%201%20%5C%5C%5Chline%20%5Cchi_5%20%26%202%20%26%202%20%26%20-2%20%26%200%20%26%200%20%26%200%20%26%200%20%5C%5C%5Chline%20%5Cchi_6%20%26%202%20%26%20-2%20%26%200%20%26%20%5Csqrt%7B2%7Di%20%26%20-%5Csqrt%7B2%7Di%20%26%200%20%26%200%20%5C%5C%5Chline%20%5Cchi_7%20%26%202%20%26%20-2%20%26%200%20%26%20-%5Csqrt%7B2%7Di%20%26%20%5Csqrt%7B2%7Di%20%26%200%20%26%200%20%5C%5C%5Chline%5Cend%7Barray%7D%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Spring%20Semester%20Final%20Exam%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%201%0A%0A%20%20%20%20**A%20subring%20%24R%24%20of%20a%20field%20%24K%24%20is%20said%20to%20be%20a%20valuation%20ring%20if%20for%20each%20%24x%20%5Cin%20K%5E%7B*%7D%24%2C%20we%20have%20either%20%24x%20%5Cin%20R%24%20or%20%24x%5E%7B-1%7D%20%5Cin%20R%24%20or%20both.%20Show%20that%20a%20valuation%20ring%20%24R%24%20is%20local%20and%20integrally%20closed**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20It%20suffice%20to%20show%20the%20set%20of%20non-unit%20elements%20in%20%24R%24%20form%20an%20ideal%20(so%20it%20is%20the%20unique%20maximal%20ideal).%20Denote%20this%20set%20be%20%24M%20%3D%20%5Clbrace%20x%20%5Cin%20R%20%7C%20x%5E%7B-1%7D%20%5Cnotin%20R%20%5Crbrace%24.%20We%20need%20to%20show%20%24a%2C%20b%20%5Cin%20M%24%20implies%20%24a%2Bb%2C%20ab%20%5Cin%20M%24.%20If%20either%20of%20%24a%2C%20b%24%20is%20zero%2C%20this%20is%20obviously%20true%2C%20so%20suppose%20both%20of%20them%20are%20not%20zero.%0A%0A%20%20%20%20Since%20%24a%2Cb%20%5Cin%20K%24%2C%20%24%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%2C%20%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D%20%5Cin%20K%5E%7B*%7D%24%2C%20thus%20either%20of%20them%20is%20in%20%24R%24.%20If%20%24%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%20%5Cin%20R%24%2C%20then%20we%20can%20write%20%24a%2Bb%20%3D%20(1%2B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D)b%24.%20Suppose%20%24a%2Bb%20%5Cnotin%20M%24%2C%20then%20%24(a%2Bb)%5E%7B-1%7D%20%5Cin%20R%24%2C%20then%20%24b%5E%7B-1%7D%20%3D%20(1%2B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D)(a%2Bb)%5E%7B-1%7D%20%5Cin%20R%24%20implies%20%24b%20%5Cnotin%20M%24%2C%20which%20is%20a%20contradiction.%20Similar%20if%20%24%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D%20%5Cin%20R%24.%0A%0A%20%20%20%20Now%20suppose%20%24ab%20%5Cnotin%20M%24%2C%20then%20%24(ab)%5E%7B-1%7D%20%5Cin%20R%24%2C%20then%20%24(ab)%5E%7B-1%7Dab%20%3D%201%24%20implies%20%24b%5E%7B-1%7D%20%3D%20(ab)%5E%7B-1%7Da%20%5Cin%20R%24%20so%20%24b%20%5Cnotin%20M%24%20so%20again%20we%20have%20a%20contradiction.%0A%0A%20%20%20%20Thus%20%24R%24%20is%20local.%0A%0A%20%20%20%20Suppose%20now%20%24%5Calpha%20%5Cin%20K%24%20is%20integral%20over%20%24R%24%2C%20we%20need%20to%20show%20%24%5Calpha%20%5Cin%20R%24.%20Being%20integral%20over%20%24R%24%20means%20that%20%24f(%5Calpha)%20%3D%20%5Calpha%5En%20%2B%20r_%7Bn-1%7D%5Calpha%5E%7Bn-1%7D%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20r_0%20%3D%200%24%20for%20%24r_i%20%5Cin%20R%24.%20If%20%24%5Calpha%20%3D%200%24%20then%20%24%5Calpha%20%5Cin%20R%24%2C%20so%20we%20can%20assume%20%24%5Calpha%20%5Cne%200%24%20thus%20by%20assumption%20either%20%24%5Calpha%24%20or%20%24%5Calpha%5E%7B-1%7D%20%5Cin%20R%24.%20If%20%24%5Calpha%20%5Cin%20R%24%20then%20we%20are%20done.%20So%20suppose%20%24%5Calpha%5E%7B-1%7D%20%5Cin%20R%24.%20Then%20times%20%24%5Calpha%5E%7B-n%2B1%7D%24%20to%20the%20polynomial%2C%20we%20get%20%24%5Calpha%20%2B%20%5Cfrac%7Br_%7Bn-1%7D%7D%7B%5Calpha%7D%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20%5Cfrac%7Br_0%7D%7B%5Calpha%5E%7Bn-1%7D%7D%20%3D%200%24%2C%20but%20then%20%24%5Calpha%20%3D%20-(%5Cfrac%7Br_%7Bn-1%7D%7D%7B%5Calpha%7D%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20%5Cfrac%7Br_0%7D%7B%5Calpha%5E%7Bn-1%7D%7D)%20%5Cin%20R%24%20so%20%24%5Calpha%20%5Cin%20R%24%20anyway.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%202%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24%5Calpha%24%20be%20a%20real%20root%20of%20%24f(x)%20%3D%20x%5E3-x%2B4%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BZ%7D%5Bx%5D%24%20(%24D(f)%20%3D%20-428%24).%20Consider%20%24K%20%3D%20%5Cmathbb%7BQ%7D%5B%5Calpha%5D%24%20and%20%24R%20%3D%20%5Cmathbb%7BZ%7D%5B%5Calpha%5D%24.%20Explain%20why%20%24R%24%20is%20not%20Dedekind%20and%20exhibit%20a%20non-invertible%20ideal%20of%20%24R%24.%20What%20is%20the%20integral%20basis%20of%20%24K%24%20and%20what%20is%20the%20discriminant%20%24%5CDelta_K%24**%3F%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20Since%20%24D(f)%20%3D%20-2%5E2%5Ccdot%20107%24%20thus%20possible%20ramified%20primes%20are%20%242%24%20or%20%24107%24.%20Factor%20%24f%24%20over%20%24%5Cmathbb%7BF%7D_2%24%20we%20have%20%24%5Coverline%7Bf%7D%20%3D%20x%5E3-x%20%3D%20x(x%5E2-1)%20%3D%20x(x-1)%5E2%24.%20The%20remainder%20of%20%24f%24%20divided%20by%20%24(x-1)%24%20is%20%241-1%2B4%20%3D%204%20%5Cequiv%200%20%5Cpmod%7B4%7D%24%20thus%20%242%24%20is%20a%20singular%20prime%2C%20thus%20%24R%24%20is%20not%20Dedekind.%20By%20Kummer-Dedekind%20Theorem%2C%20%24(2%2C%20%5Calpha%20-%201)%24%20is%20a%20non-invertible%20ideal%20of%20%24R%24.%20%24107%24%20is%20regular%20because%20it%20is%20larger%20than%20Minkowski's%20bound.%0A%0A%20%20%20%20Now%20write%20%24f%20%3D%20(x-1)(x%5E2%2Bx)%2B4%24.%20Since%20%24%5Calpha%24%20is%20a%20root%20of%20%24f%24%2C%20%24(%5Calpha%20-%201)(%5Calpha%5E2%20%2B%20%5Calpha)%20%2B%204%20%3D%200%24.%20If%20we%20take%20%24%5Cbeta%20%3D%20%5Cfrac%7B-(%5Calpha%5E2%2B%20%5Calpha)%7D%7B2%7D%20%5Cnotin%20R%24%20so%20that%20%24%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Cbeta%7D%20%3D%20%5Calpha%20-%201%24%2C%20then%20the%20minimal%20polynomial%20for%20%24%5Cbeta%24%20is%20%24x%5E3-x%5E2%2B3x%20-%202%20%3D%200%24.%20It%20is%20not%20hard%20to%20check%20%242%24%20is%20not%20a%20singular%20prime%20for%20%24%5Cmathbb%7BZ%7D%5B%5Cbeta%5D%24.%20Thus%20%24O_K%20%3D%20%5Cmathbb%7BZ%7D%20%2B%20%5Cmathbb%7BZ%7D%5B%5Calpha%5D%20%2B%20%5Cmathbb%7BZ%7D%5B%5Cbeta%5D%24.%0A%0A%20%20%20%20The%20discriminant%20can%20be%20calculated%20to%20be%20%24%7C%20%5Cdet(T%3A%20O_K%20%5Cto%20%5Cmathbb%7BZ%7D%5E3)%20%7C%24%20where%20the%20transformation%20is%20given%20by%20the%20inverse%20of%20%24%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%201%20%26%200%20%26%200%20%5C%5C%200%20%26%201%20%26%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5C%5C%200%20%26%200%20%26%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cend%7Bpmatrix%7D%24%20thus%20%24%5CDelta_K%20%3D%202%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%203%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24K%20%3D%20%5Cmathbb%7BQ%7D%5B%5Csqrt%7B-103%7D%5D%24%20and%20%24R%20%3D%20O_K%20%3D%20%5Cmathbb%7BZ%7D%5B%3F%5D%24%20be%20the%20maximal%20order%20in%20%24K%24.%20Find%20the%20class%20group%20%24%5Ctext%7BCl%7D(K)%24**.%0A%0A%20%20%20%20Solution%0A%0A%20%20%20%20Since%20%24-103%20%5Cequiv%201%20%5Cpmod%7B4%7D%24%2C%20we%20know%20that%20%24O_K%20%3D%20%5Cmathbb%7BZ%7D%5B%5Cfrac%7B1%2B%5Csqrt%7B-103%7D%7D%7B2%7D%5D%24.%20%24R%24%20is%20realized%20by%20the%20polynomial%20%24f%20%3D%20x%5E2%20-%20x%20%2B%2026%24.%20The%20Minkowski's%20bound%20in%20this%20case%20is%20%24M_R%20%3D%20(%5Cfrac%7B4%7D%7B%5Cpi%7D)%5E3%20%5Cfrac%7B2!%7D%7B2%5E2%7D%5Csqrt%7B103%7D%20%3C%207%24%2C%20thus%20the%20possible%20generators%20of%20the%20class%20group%20has%20norm%20%242%2C3%24%20or%20%245%24.%20Calculate%20%24N(c-%5Calpha)%20%3D%20f(c)%24%2C%20we%20have%20that%20%24f(c)%20%3D%202%5E5%24%20when%20%24c%20%3D%20-2%24.%20Also%20check%20%24%5Coverline%7Bf%7D%24%20in%20%24%5Cmathbb%7BF%7D_%7B2%2C3%2C5%7D%24%2C%20it%20is%20not%20hard%20to%20get%20%24(2)%20%3D%20(2%2C%5Calpha)(2%2C%5Calpha-1)%24%20and%20both%20%243%2C5%24%20are%20inert.%20So%20%24%5Ctext%7BCl%7D(K)%20%3D%20%5Ctext%7BCl%7D(R)%24%20is%20cyclic%20group%20%24C_5%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Problem%204%0A%0A%20%20%20%20**Let%20%24S%24%20be%20a%20Dedekind%20domain%2C%20%24I%2C%20J%24%20be%20two%20non-zero%20fractional%20ideals%20of%20%24S%24.%20We%20write%20%24I%20%7C%20J%24%20if%20there%20exists%20an%20integral%20ideal%20%24L%20%5Csubset%20S%24%20such%20that%20%24J%20%3D%20IL%24.%20Prove%20that%20%24I%20%7C%20J%24%20if%20and%20only%20if%20%24I%20%5Csupseteq%20J%24**.%0A%0A%20%20%20%20Proof%0A%0A%20%20%20%20(%24%5Cimplies%24)%20Suppose%20%24I%20%7C%20J%24%2C%20then%20%24J%20%3D%20IL%24%20for%20some%20%24L%20%5Cin%20S%24.%20Then%20for%20any%20%24j%20%5Cin%20J%24%2C%20%24j%20%3D%20i%5Ccdot%20s%20%5Cin%20I%24%20by%20definition%20of%20ideal%3B%0A%0A%20%20%20%20(%24%5Cimpliedby%24)%20Suppose%20now%20%24I%20%5Csupseteq%20J%24.%20Since%20%24S%24%20is%20Dedekind%2C%20any%20fractional%20ideal%20is%20invertible%2C%20thus%20we%20can%20write%20%24S%20%3D%20II%5E%7B-1%7D%20%3D%20JJ%5E%7B-1%7D%24%2C%20thus%20%24J%20%3D%20II%5E%7B-1%7DJ%24.%20Since%20%24J%20%5Csubseteq%20I%24%2C%20%24I%5E%7B-1%7DJ%20%5Csubseteq%20II%5E%7B-1%7D%20%3D%20S%24%20thus%20%24I%5E%7B-1%7DJ%24%20is%20an%20integral%20ideal%2C%20and%20we%20are%20done.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A